最新初三九年级上册上册数学压轴题(培优篇)(Word版 含解析)
最新初三九年级上册上册数学压轴题（培优篇）（Word 版 含解析）
一、压轴题
1．如图1，△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=100，D 是BC 的中点．
小明对图1进行了如下探究：在线段AD 上任取一点E ，连接EB ．将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ，连接BF ，小明发现：随着点E 在线段AD 上位置的变化，点F 的位置也在变化，点F 可能在直线AD 的左侧，也可能在直线AD 上，还可能在直线AD 的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）如图2，当点F 在直线AD 上时，连接CF ，猜想直线CF 与直线AB 的位置关系，并说明理由．
（2）若点F 落在直线AD 的右侧，请在备用图中画出相应的图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
（3）当点E 在线段AD 上运动时，直接写出AF 的最小值．
2．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且
2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
3．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形．点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，图中的矩形
，
，
都是
点A ，B ，C 的外延矩形，矩形是点A ，B ，C 的最佳外延矩形．
（1）如图1，已知A （－2，0），B （4，3），C （0，）． ①若
，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为 ；
②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则的值为 ； （2）如图2，已知点M （6，0），N （0，8）．P （，）是抛物线
上一点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标的取值范
围；
（3）如图3，已知点D （1，1）．E （
，）是函数
的图象上一点，矩形
OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．
4．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与AB ，
CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
5．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于
O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．
（1）求证：AB CD =； （2）若
O 的半径为8，弧BD 的度数为120?，求四边形ABCD 的面积；
（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论． 6．数学概念
若点P 在ABC ?的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是
ABC ?的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ?的“强等角点”. 理解概念
（1）若点P 是ABC ?的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ?的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足
180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ?的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ?的
边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ?的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =
深入思考
（3）如图③，在ABC ?中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点
Q .（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）
7．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段
AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD .
（1）若28A ∠=?，求ACD ∠的度数； （2）设BC a =，AC b =；
①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗？说明理由. ②若线段AD EC =，求
a
b
的值. 8．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（﹣3，1），点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（13D 在x 轴上，且点D 在点A 的右侧． （1）求菱形ABCD 的周长；
（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与AD 相切，且切点为AD 的中点时，连接AC ，求t 的值及∠MAC 的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M 与AC 所在的直线的距离为1时，求t 的值．
9．抛物线G ：2
y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．
（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；
（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；
（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．
10．如图，一次函数1
22
y x =-
+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．
（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
11．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线2
12
y x bx c =-
++经过B 、D 两点，与
x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标（请在图2中探索）
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO = 30°．抛物线y = ax2 + bx + 1（a < 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作
CD∥BO交直线l于点D，四边形OBCD是菱形．动点M在x轴上从点E（ -3，0）向终点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．
（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．
①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM = m，FN = n，求n 关于m的函数表达式．
②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
CF AB，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）AF的最小值为4 1．（1）//
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据旋转的知识，得BE EF =，80BEF ∠= ，再根据三角形内角和性质，得50BFD ∠=；结合AB=AC=4，D 是BC 的中点，推导得CFD BAD ∠=∠，即可完成解题；
（2）由（1）可知：EB=EF=EC ，得到B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心，得∠BCF=
1
2
∠BEF=40°，从而计算得ABC BCF ∠=∠，完成求解； （3）由（1）和（2）知，CF ∥AB ，因此得点F 的运动路径在CF 上；故当点E 与点A 重合时，AF 最小，从而完成求解. 【详解】
（1）∵将线段EB 绕点E 逆时针旋转80°，点B 的对应点是点F ∴BE EF =，80BEF ∠= ∴180502
BEF
EBF BFE -∠∠=∠=
= ，即50BFD ∠=
∵AB=AC=4，D 是BC 的中点 ∴BD DC =,AD BC ⊥
∴BF CF =，ABD ACD △≌△ ∴FBD FCD △≌△，100
5022
BAC BAD CAD ∠∠=∠=== ∴50BFD CFD ∠=∠= ∴50CFD BAD ∠=∠= ∴//CF AB
（2）如图，连接BE 、EC 、BF 、EF
由（1）可知：EB=EF=EC
∴B ，F ，C 三点共圆，点E 为圆心 ∴∠BCF=
1
2
∠BEF=40° ∵50BAD ∠=，AD BC ⊥ ∴9040ABC BAD ∠=-∠= ∴ABC BCF ∠=∠
∴//CF AB ，（1）中的结论仍然成立
（3）由（1）和（2）知，//CF AB ∴点F 的运动路径在CF 上 如图，作AM ⊥CF 于点M
∵8090BEF ∠=<
∴点E 在线段AD 上运动时，点B 旋转不到点M 的位置 ∴故当点E 与点A 重合时，AF 最小 此时AF 1=AB=AC=4，即AF 的最小值为4． 【点睛】
本题考查了旋转、等腰三角形及底边中线、垂直平分线、全等三角形、三角形内角和、平行线、圆心角、圆周角的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、旋转、垂直平分线、平行线、圆心角和圆周角的知识，从而完成求解． 2．（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点
N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
42AB =
2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11
641222
ABC S AC BD ∴=?=??=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，
点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=，
11
903033
BOD COB ∴∠=∠=?=，
10AB =，
11
10522
OD AB ∴=
=?=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155
,222DH OD QH DH ∴==∴==，
2
2
2
2
553522OH OD DH ??∴=-=-=
???
， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
553,2OM QH MQ OH ∴==
==
515522
CM OM OC ∴=+=+
=， 2
22215535322CQ CM MQ ??
??∴=+=+= ? ? ?????
， PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交
OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
3．（1）①18；②t=4或t=－1；（2）48；，或；（3）
【解析】
试题分析：（1）根据给出的新定义进行求解；（2）过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小；根据当y=0是y=8时求出x的值得到取值范围；（3）根据最佳外延矩形求出半径的取值范围.
试题解析：（1）①18；②t=4或t=－1；
（2）如图，过M点作轴的垂线与过N点垂直于轴的直线交于点Q，则当点P位于矩形OMQN内部或边界时，矩形OMQN是点M，N，P的最佳外延矩形，且面积最小．
∵S矩形OMQN＝OM·ON＝6×8＝48，∴点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为48．
抛物线与轴交于点T（0，5）．令，有，
解得：x=－1（舍去），或x=5． 令y=8，有，解得x=1，或x=3．∴
，或
．
（3）
．
考点：新定义的理解、二次函数的应用、圆的性质. 4．(1)证明见解析；(2)213；(3) 23a 【解析】 【分析】
(1)根据△ABC 是等边三角形，从而可以得出∠BAC=∠C ，结合圆周角定理即可证明； (2)过点A 作AG ⊥BC 于点G ，根据△ABC 是等边三角形，可以得到BG 、AG 的值，由BF ∥AG 可得到
AF BG
EF EB
=，求出BE ，最后利用勾股定理即可求解； (3)过点O 作OM ⊥BC 于点M ，由题(2)知
AF BG
EF EB =，CG=BG=1122
AC a =，可以得到BM 的值，根据BF ∥AG ，可证得△EBF ∽△EGA ，列比例式求出BF ，从而表示出△OFB 的面积． 【详解】
(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，
∵∠DEB=∠BAC=60°，∠D=∠C=60°， ∴∠DEB=∠D ， ∴BD=BE ；
(2)解：如图所示，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，
∵△ABC 是等边三角形，AC=6， ∴BG=
11
322
BC AC ==， ∴在Rt △ABG 中，333AG BG == ∵BF ⊥EC ， ∴BF ∥AG ， ∴
AF BG EF EB
=， ∵AF ：EF=3：2，
∴BE=
2
3
BG=2， ∴EG=BE+BG=3+2=5， 在Rt △AEG 中，()
2
22
2335213AE AG EG =
+=
+=
(3)解：如图所示，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，
由题(2)知AF BG
EF EB =，CG=BG=1122
AC a =， ∴
3=2
AF BG EF EB =， ∴2211
3323
EB BG a a ==?=， ∴EC=CG+BG+BE=1114
2233
a a a a ++=，
∴EM=
1
2EC =23
a ， ∴BM=EM-BE=211
333
a a a -=， ∵BF ∥AG ，
∴△EBF ∽△EGA ，
∴1
23=115
32
a
BF BE AG EG a a ==+， ∵3
3AG BG ==， ∴233525
BF a a =
?=， ∴△OFB 的面积＝2
1313225330
BF BM a a a ?=??=． 【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，关键是根据等边三角形的性质，勾股定理和相似三角形的判
定和性质求解．
5．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；
（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到
∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．
【详解】
解：（1）证明：∵AC=BD，
∴AC BD
，
则AB DC，
∴AB=CD；
（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，
∵弧BD的度数为120°，
∴∠BOD=120°，
∴∠BOH=60°，
则BH=3
OB=43，
∴BD=83，
则四边形ABCD的面积=1
2
×AC×BD=96；
（3）AD=2OM，
连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，∵OE⊥AD，
∴AE=DE，
∵∠BOC=2∠BAC，
而∠BOC=2∠BOM，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中，
OMB OEA
OBM OAE
OB OA
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△BOM≌△OAE（AAS），
∴OM=AE，
∴AD=2OM．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．
6．（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤【解析】
【分析】
（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；
（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；
②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；
（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；
（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．
【详解】
（1）（i）若APB
∠=BPC
∠时，
∴BPC
∠=APB
∠=100°
（ii）若BPC CPA
∠=∠时，
∴
1
2
BPC CPA
∠=∠=（360°－APB
∠）=130°；
（iii）若APB
∠=CPA
∠时，
BPC
∠=360°－APB
∠－CPA
∠=160°，
综上所述：BPC
∠=100°、130°或160°
故答案为：100、130或160．
（2）选择①： 连接,PB PC ∵DB DC = ∴=DB DC ∴BPD CPD ∠=∠
∵180APB BPD ∠+∠=，180APC CPD ∠+∠= ∴APB APC ∠=∠ ∴P 是ABC ?的等角点． 选择② 连接,PB PC ∵BC BD = ∴BC BD = ∴BDC BPD ∠=∠
∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形， ∴180BDC BPC ∠+∠= ∵180BPD APB ∠+∠= ∴BPC APB ∠=∠ ∴P 是ABC ?的等角点
（3）作BC 的中垂线MN ，以C 为圆心，BC 的长为半径作弧交MN 与点D ，连接BD ， 根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC ∴△BCD 为等边三角形 ∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60° 作CD 的垂直平分线交MN 于点O
以O 为圆心OB 为半径作圆，交AD 于点Q ，圆O 即为△BCD 的外接圆 ∴∠BQC=180°－∠BDC=120° ∵BD=CD
∴∠BQD=∠CQD
∴∠BQA=∠CQA=1
2
（360°－∠BQC ）=120° ∴∠BQA=∠CQA=∠BQC 如图③，点Q 即为所求．
（4）③⑤．
①如下图所示，在RtABC 中，∠ABC=90°，O 为△ABC 的内心
假设∠BAC=60°，∠ACB=30° ∵点O 是△ABC 的内心 ∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=1
2
∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=
1
2
∠ACB=15° ∴∠AOC=180°－∠CAO －∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO －∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO －∠BCO=120° 显然∠AOC ≠∠AOB ≠∠BOC ，故①错误；
②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；
④由（3）可知，点Q 为△ABC 的强等角，但Q 不在BC 的中垂线上，故QB ≠QC ，故④错误；
⑤由（3）可知，当ABC ?的三个内角都小于120时，ABC ?必存在强等角点Q ．
如图④，在三个内角都小于120的ABC ?内任取一点'Q ，连接'
Q A 、'
Q B 、'
Q C ，将
'Q AC ?绕点A 逆时针旋转60到MAD ?，连接'Q M ，
∵由旋转得'
Q A MA =，'
Q C MD =，'
60Q AM ∠= ∴'
AQ M ?是等边三角形．
∴'
'Q M Q A =
∴'
'
'
'
'
Q A Q B Q C Q M Q B MD ++=++ ∵B 、D 是定点，
∴当B 、'
Q 、M 、D 四点共线时，'
'
Q M Q B MD ++最小，即'
'
'
Q A Q B Q C ++最小． 而当'
Q 为ABC ?的强等角点时，'
'
'
120AQ B BQ C CQ A AMD ∠=∠=∠==∠，
此时便能保证B 、'Q 、M 、D 四点共线，进而使'''
Q A Q B Q C ++最小．
故答案为：③⑤．
【点睛】
此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 7．（1）ACD ∠＝31?；（2）①是；②34
a b =. 【解析】 【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠B ，根据等腰三角形的性质求出∠BCD ，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD ，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【详解】
（1）在ABC ?中，90ACB ∠=?. ∴90B A ∠=?-∠
9028=?-?
62=?，
∵BC BD =，
∴1802
B
BCD BDC ?-∠∠=∠=
180622
?-?
=
59=?.
∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠
9059=?-? 31=?.
（2）①BD BC a ==， ∴AD AB BD =- AB a =-.
在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?， 22AB AC BC =+
=
∵2220x ax b +-=，
∴x =
a =- a AB =-±.
∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根. ②∵AE AD =， 又∵AD EC =， ∴2
b AE EC ==， ∴2
b AD =
. 在Rt ABC ?中，
222AB AC BC =+，
∴2
222b a b a ??+=+ ???， 2
2
224
b a ab b a ++=+，
∴
2
34
b ab =. ∵0b >， ∴3
4
b a =， ∴
34a b =. 【点睛】
本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
8．（1）菱形的周长为8；（2）t=65，∠MAC=105°；（3）当t=1或t=1圆M 与AC 相切． 【解析】
试题分析：（1）过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．由点A 和点B 的坐标可知：AE=1，依据勾股定理可求得AB 的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M 与x 轴的切线为F ，AD 的中点为E ．先求得EF 的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接MF ，F 为 M 与AD 的切点．由特
殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明△AFM 是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF 的度数，故此可求得∠MAC 的度数；（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE 的长，然后依据3t+2t=5-AE 可求得t 的值；如图5所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到EA=
3
3
，最后依据3t+2t=5+AE ．列方程求解即可． 试题解析：（1）如图1所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，
∵()
B 1,3-，()A 2,0， ∴BE 3=，AE 1=， ∴22AB AE BE 2=
+=，
∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB BC CD AD ===， ∴菱形的周长248=?=．
（2）如图2所示，⊙M 与x 轴的切线为F ，AD 中点为E ，
∵()M 3,1-， ∴()F 3,0-，
∵AD 2=，且E 为AD 中点，
∴()E 30，
，EF 6=， ∴2t 3t 6+=， 解得6t 5
=
．