这个好 正交试验设计的理论分析方法及应用_董如何
第12卷第6期安徽建筑工业学院学报(自然科学版)Vol.12No.6 2004Journal of Anhui Institute of Architecture&Industry2004
正交试验设计的理论分析方法及应用
董如何,肖必华,方永水
(安徽建筑工业学院材料科学与工程系,合肥 230022)
摘 要:以四因素三水平正交试验设计为例,详细讲述了正交试验表的具体使用方法以及本方法在设计中的应用,并通过四因素三水平向大家介绍了该试验的原理、优点及数据处理方法。
关键词:因素;水平;正交试验设计表;最佳掺量
中图分类号:T U375 文献标识码:A 文章编号:1006-4540(2004)06-103-04
20世纪60年代初,正交试验设计方法从日本传入我国。20年后,该方法经田口玄一3次优化设计传到中国并得到广泛的运用。除一些已经成熟的标准外,正交最优化设计无疑是我们的最佳选择。
合理地、科学地进行正交试验设计,不仅可以获得高质量、高可靠性的试验数据及试验产品,而且在试验数据分析中,我们更有利于掌握试验对象之间的内在联系、最佳掺量及工艺。试验安排妥当,试验次数少且能获得满意的结果,事半功倍、多快好省,这样不仅节省了大量的人力、物力、财力,同时还获得良好的技术经济效益。
正交试验法是目前最流行,效果相当好的方法,统计学家将正交设计通过一系列的表格来实现,这些表叫正交表。
1 正交试验介绍
1.1 正交试验表示方法
对于L16(43×26),“L”表示正交表;“16”表示总共要做16次试验;幂指数简单相加,即:“3+6=9”表示该试验正交表有9列,最多可以安排9个因素;“4”表示9个因素中,其中有3个因素每个因素有4个水平;“2”表示另外6个因素每个因素有2个水平。
1.2 常见的多水平正交表
二水平正交试验表有L4(23),L8(27),L16(215),L32(231)等;三水平正交试验表有L9(34)等;四水平正交试验表有L16(45)等;混合水平正交试验表有L8(4×24),L12(23×31),L16(43×26),L16(44×23), L16(4×212),L16(81×28),L18(2×37)等。
1.3 正交试验表的设计
(1)确定正交试验因素。以砼为例,这里砼考察的指标为抗压强度,影响砼的强度主要因素有:每立方米砼水泥用量(C0)、水灰比(w0/c0)、砂率(ρS)、外加剂掺量(ζ)。确定每一个因素的水平,C0有C1, C2,C3共3试验个水平;w0/c0有w/c1,w/c2,w/c3共3试验个水平;ρS有ρ1,ρ2,ρ3共3试验个水平;ζ有ζ1,ζ2,ζ3共3个试验水平。
(2)选用正交表。根据上面提供的因素和水平进行正交表的选择,选择的方法为试验的水平作为正
收稿日期:2004-04-02
作者简介:董如何(1955-),男,讲师,主要研究方向为建筑材料。
交表的水平,试验的各个因素小于或等于正交表的列数。根据上面所举的例子显而易见该正交表为四因素三水平试验方案,所以选用L 9(34)作为该试验考察试验指标的正交表。
(3)表头设计。假设上面各因素之间相互独立,没有交互作用,我们把上述各因素放在正交表的列位置,把每一个因素的水平放在正交表的行位置,这样就构成了完整的表头设计。1.4 因素水平试验分配方案(见表1)
表1 因素水平正试验分配方案
编号
因 素
每立方米砼水泥用量
水灰比砂率外加剂掺量
1C 1w /c 1ρ1ζ12C 1w /c 2ρ2ζ23C 1w /c 3ρ3ζ34C 2w /c 1ρ2ζ35C 2w /c 2ρ3ζ16
C 2w /c 3ρ1ζ27C 3w /c 1ρ3ζ28C 3w /c 2ρ1ζ39
C 3
w /c 3
ρ2
ζ1
1.5 正交试验表特点
按照传统单因素轮换法安排试验,如果每个水平都要与其它因素的水平进行试验,根据排列组合原理则要进行C 1
3C 1
3C 1
3C 1
3=81次试验,这种做法很不经济,也不能很好地估计试验误差。正交试验表的设
计就很有代表性、典型性,表1中只需要进行9次试验就可以对试验结果进行综合处理,这样不仅大大缩短了试验时间,而且更表现在试验结果的处理上带来了极大的方便。
从表1的正交试验表下标中,可以看到有如下的特点:(1)每个因素的水平都重复了3次;
(2)表1中任意两个因素的水平组合后,都组成一个全面的试验方案;
(3)任意两个因素的水平组合后所得到的下标数列都相同。
2 正交试验表数据直观分析
2.1 指标的求和与均值分析
常见的正交试验表为四因素三水平正交试验表L 9(34),下面以表2来说明数据的处理过程。
表2 因素水平正试验数据处理
编号因 素
A B C D 试验结果
1A 1B 1C 1D 1y 1
2A 1B 2C 2D 2y 23A 1B 3C 3D 3y 34A 2B 1C 2D 3y 45A 2B 2C 3D 1y 56A 2B 3C 1D 2y 67A 3B 1C 3D 2y 78A 3B 2C 1D 3y 89A 3
B 3
C 2
D 1
y 9
I 1y 1+y 2+y 3y 1+y 4+y 7y 1+y 6+y 8y 1+y 5+y 9I 2y 4+y 5+y 6y 2+y 5+y 8y 2+y 4+y 9y 2+y 6+y 7I 3
y 7+y 8+y 9y 3+y 6+y 9y 3+y 5+y 7y 3+y 4+y 8I -1I -11=(y 1+y 2+y 3)/3I -12
=(y 1+y 4+y 7)/3I -13
=(y 1+y 6+y 8)/3I -14
=(y 1+y 5+y 9)/3I -2I -21=(y 4+y 5+y 6)/3I -22=(y 2+y 5+y 8)/3I -23=(y 2+y 4+y 9)/3I -24=(y 2+y 6+y 7)/3
-----Y =1/n (∑y j ),其中 (n =9,j =1,2,3...9)
104安徽建筑工业学院学报(自然科学版) 第12卷
2.2 极差分析(见表3)
表3 极差分析表
编号因 素
δ1δ2
δ3
R
T
1δ11=I -
11-Y δ21=I -
21-Y δ31=I -
31-Y R 01=max (δ11,δ21,δ31)
R 11=min (δ11,δ21,δ31)T 1=R 01-R 112δ12=I -12-Y δ22=I -22-Y δ32=I -32-Y R 02=max (δ12,δ22,δ32)R 12=min (δ12,δ22,δ32)T 2=R 02-R 123δ13=I -13-Y δ23=I -23-Y δ33=I -33-Y R 03=max (δ13,δ23,δ33)R 13=max (δ13,δ23,δ33)T 3=R 03-R 134
δ14=I -14-Y
δ24=I -24-Y
δ34=I -34-Y
R 04=max (δ14,δ24,δ34)R 14=max (δ14,δ24,δ34)
T 4=R 04-R 14
见表3,如果通过试验得到的结果为T 2>T 1>T 4>T 3,在变化的水平范围内,可以说明因素2(即
B 因素)对结果造成的影响最大,其次依次为因素1(即A 因素)、因素4(即D 因素),因素3(即
C 因素)对结果造成的影响最小。反之,T 越小,与之对应的那一列的因素试验的结果影响越小。
设有一组试验结果为:δ21>δ11>δ31,δ32>δ12>δ22,δ23>δ33>δ13,δ14>δ34>δ24,如果该值为某试件的抗压强度,一般希望抗压强度大,因此根据δ值的大小很快可以确定对应因素水平组合为A 2B 3C 2D 1(该组合的下标表示该因素所在的水平),也就是说使用A 2B 3C 2D 1配合比试验结果是最优化配合比;如果该值为某砌块的干燥收缩值,为降低砌筑后的墙体裂缝,一般希望干燥收缩值小而稳定,因此同样得出组合为A 3B 2C 1D 2,使用A 3B 2C 1D 2配合比生产的产品,不仅砌块干燥收缩值稳定,而且该水平值微小波动时对试验结果的影响甚小。
考察指标中,如若δ<0,表明某因素的某一水平低于样本总体的平均值,反之则高于样本总体的平均值。
3 正交试验表数据方差分析
3.1 方差计算
直观分析法比较简单易懂,只要对试验结果作少量计算,便可得到最佳配合比和因素影响程度,但直观分析不能估计试验过程中必然存在的误差大小,换句话说不能区分某因素各水平所对应的差异究竟是因素水平不同引起的,还是试验误差所引起的。而本节将要进行的方差分析刚好弥补这个不足,以表2为例
S 总=∑(y i -Y )2
其中,i =1,2,3...9;Y =1/n (∑y j )
(n =9,j =1,2,3...9).S A =r 0∑(I -j 1-Y )2
其中,j =1,2,3;r 0为A 因素水平重复数,对L 9(34),有r 0=3.
S B =r 1∑(I -k 2-Y )2
其中,k =1,2,3;r 1为B 因素水平重复数,对L 9(34),有r 1=3.
S C =r 2∑(I -t 3-Y )2
其中,t =1,2,3;r 2为C 因素水平重复数,对L 9(34),有r 2=3.
S D
=r 3∑(I -q 4
-Y )2
其中,q =1,2,3;r 3为D 因素水平重复数,对L 9(34),有r 3=3.
S E =S 试验误差=S 总-S A -S B -S C -S D .
3.2 自由度计算
f 总=nm -1 其中,n 为试验次数;m 为某因素的水平数,对L 9(34),有n =9,m =3.
f A =m 1-1 其中,m 1为A 因素的水平数,对L 9(34),有m 1=3.f B =m 2-1 其中,m 2为B 因素的水平数,对L 9(34),有m 2=3.f C =m 3-1 其中,m 3为C 因素的水平数,对L 9(34),有m 3=3.f D =m 4-1 其中,m 4为D 因素的水平数,对L 9(34),有m 4=3.f E =f 试验误差=f 总-f A -f B -f C -f D .3.3 均方计算
105
第6期 董如何,肖必华,方永水:正交试验设计的理论分析方法及应用
S A=S A/f A, S B=S B/f B, S C=S C/f C, S D=S D/f D, S E=S E/f E.
3.4 计算F比
F A=S A/S E, F B=S B/S E, F C=S C/S E, F D=S D/S E.
3.5 方差分析表和显著性检验(见表4)
表4 方差分析表和显著性检验
因素偏差平方和S自由度f均方F比显著性
A S A f A S
A F A
F A>F0.05(f A,f总)
☆☆
B S B f B S
B F B...
..................
误差S
误差f误差S
E
在试验水平α=0.05(或0.01)的情况下,分别检验各因素的显著性,如果F A>F0.05(f A,f总),即认为A因素对试验指标有显著影响,其它因素依此类推,反之没有显著影响。
在今后的试验中,我们对数据的处理可以通过直观分析方法分析试验结果,并运用方差分析法进行验证,两种方法分析结果应该是一致的。
4 结束语
通过上述分析,针对多因素多水平的问题,我们可以运用正交试验表的方法来解决考察指标,这样不但降低了试验次数,而且得出了最佳效果。当然在选择正交表的时候,也不是随意的,因此,我们在设计正交表时,常常仿照常见的正交表,并利用常见的计算方法进行处理,时间短,效率高,节省了大量的人力物力、财力。此外,正交试验表还可以处理多个试验指标,各种指标同时分析,综合考虑,相得益彰。有时多个正交试验指标一起计算,多而不烦,甚至还可以通过回归的方法对试验多组数据指标之间进行回归分析,建立回归方程。这样,正交试验表的优点很明显表现出来。
正交试验设计表应用领域很广,它可以应用于制药、化工、桥梁、道路、无机非金属材料及新材料、新工艺等多个领域,相信有了它,在研究材料配合比或新工艺的方案时正交试验为我们提供了或多或少的理论依据。
参考文献
1 盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计.北京:高等教育出版社.1995.
2 朱清江.高强高性能混凝土研制及应用.北京:中国建材工业出版社.1999.
3 徐家和.建筑技术.建筑技术.2000,(3).
THE THEORETICAL ANALYSIS
OF ORTH OG ONAL TEST DESIGNS
DO NG Ru-he,XIAO Bi-hua,FANG Yong-shui (Department of M aterial Science&Engineering,A nhui Institute of Architecture&Industry,Hefei,230022,China)
A bstract:The paper gives an ex ample of using4factors and3dimensions orthogonal test designs,in order to show how to use this orthogonal test table and orthogonal test method′s applications on testing designs.At the same time,the example show s the details of principle,adv antages,dealing w ith testing data of o rthogo-nal test desig ns.
Key words:factors;dimension;orthogonal test desig ns table;optim um added quantity
106安徽建筑工业学院学报(自然科学版) 第12卷