第10课 分式方程及应用

第10课 分式方程及应用

【课标要求】

1．了解分式方程的概念。

2. 会解分式方程，掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。

3. 能根据具体问题的实际意义，列分式方程解决实际问题。

【知识要点】

1.方程的分类：

2.解分式方程的步骤：

1、 去分母 化为 整式方程 。

2、解这个 整式方程 。

3、检验。

【典型例题】

【例1】解下列方程：

（1）

11322x x x -=--- （2）22011x x x -=+- 【例2】(1)分式方程112x x =+的解是（ ） A. x=1 B. x=－1 C. x=2 D. x=－2 (2)方程22123=-+--x

x x 的解是=x __________. (3)当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--有增根． 【例3】轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，可列方程为_____________________．

【例4】某企业组织员工外出旅游，如果单独租用45座客车若干辆，则刚好座满；如果单独租用60座客车，也刚好座满，且可以少租一辆，求该企业参加旅游的人数.

【课堂检测】

▲1.方程21011x x x

-+=--的解是（ ） A.2 B.0 C.1 D.3

▲2.分式方程992-x -32-x =3

1+x 的解为（ ） A ．3 B ．-3 C ．无解 D ．3或-3 ▲3.把分式方程x

x 142=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B.2x C.x+4 D.x （x+4） ▲4.若关于x 的方程

2x-2 +x+m 2-x =2有增根,则m 的值是_____ ▲5.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是

有理方程

分式方程：分母中含有未知数的方程是分式方程。

整式方程 一元一次方程 一元二次方程

A ．30x ＝4015x -

B ．3015x -＝40x

C ．30x ＝4015x +

D ．3015x +＝40x

▲6.解分式方程：（1）2112323x x x -=-+ （2）21124

x x x -=--

▲7. A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

▲8.一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元。

（1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？

【课后作业】

▲9.分式方程112

x x =+的解是（ ） A. x=1 B. x=－1 C. x=2 D. x=－2

▲10.分式方程

3121

x x =- 的解为（ ） A ．1x = B ．2x = C ．3x = D ．4x =

▲11.分式方程1412112-=+--x x x 的解是（ ） A.0=x B.1-=x C.1±=x D.无解

▲12.分式方程2x ＝53

x +的解是___________．

▲13.方程

x 3-2

2-x =0的解是 . ▲14.方程22123=-+--x x x 的解是=x __________. ▲15.某市对一段全长1500米的道路进行改造．原计划每天修x 米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天．

▲16.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x 台机器，则可列方程为

▲17.某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的73倍，求手工每小时加工产品的数量.

▲18.某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。

（1）求第一批购进书包的单价是多少元？

（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？

▲19.解分式方程：（做在作业本上）

(1) 321x x =+ (2) 2112-=-x x (1)2133x x x -=-- (1)

(1) 48122-=--x x x (1) 111122=++-x x

八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点及典型例习题.doc

【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分 母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲 分式方程》知识点和典型例习题 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘 记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （ 1） x 4 x 4 4 ； （ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3

【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题 练习： 1．解下列方程： （ 1） x 1 2x 0 ； （2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ； （4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程： （ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法 例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1

初三中考数学分式方程及其应用

课时11．分式方程及其应用 【课前热身】 1．方程22123=-+--x x x 的解是x= ． 2. 已知2+x a 与2-x b 的和等于4 42-x x ，则=a ，=b . 3．解方程1 2112-=-x x 会出现的增根是（ ） A ．1=x B.1-=x C. 1=x 或1-=x D.2=x 4．如果分式12-x 与3 3+x 的值相等,则x 的值是( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 5．如果3:2:=y x ，则下列各式不成立的是（ ） A ．35=+y y x B ．31=-y x y C ．312=y x D ．4 311=++y x 6．若分式 1 22--x x 的值为0，则x 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. ±1 D.2 【考点链接】 1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤： （1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去. 3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答. 4．分式方程的应用： 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验： （1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析： （1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.

（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使 最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. （3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变 形后的整式方程，求出参数的值. 【典例精析】 例1 解分式方程：1233x x x =+--． 例2 在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电. 该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度. 例3 某中学库存960套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校．现有甲、乙两个木 工小组都想承揽这项业务．经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修8套；学校每天需付甲小组修理费80元，付乙小组120元． （1）求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套． （2）在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负 担他每天10元的生活补助．现有以下三种修理方案供选择： ① 由甲单独修理；② 由乙单独修理；③ 由甲、乙共同合作修理． 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明． 【中考演练】 1．方程0112=--x x 的解是 ． 2．若关于x 方程23 32+-=--x m x x 无解，则m 的值是 ．

分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；

分式方程及其应用教案

第三讲 分式方程及其应用专讲 【学习目标】 1．掌握分式的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程； 2．体验和学习应用分式方程． 3．熟练运用分式方程解题，能准确找出题中的等量关系。 【知识要点】 1．分式方程的概念： 字母里面有未知数的方程． 2．分式方程的解法： （1）去分母：将分式方程两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程； （2）解整式方程； （3）验根 3．增根：使分式方程中分母为0的根，叫做方程的增根，应舍去． 【经典例题】 例1 解方程 （1）2235211787 x x x x x x x ----=----+ （2）x x x x -=-+-3231 例2 解方程 （1）22416222-+=--+-x x x x x （2）()() 365212222-=+----x x x x x x x

（3）9 6999624822222+--=-++++x x x x x x x x （4）61514171-+-=-+-x x x x 例3 （1）a 为何值时，方程 3 23-+=-x a x x 会产生增根？ 例4 .甲、乙两地相距50千米，A 骑自行车，B 乘汽车同时从甲城出发去乙城，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍,B 中途休息了半个小时,还比A 早到2小时,求A 和B 两人的速度? 例5．轮船顺水航行100千米所需的时间和逆水航行80千米所需的时间相同，已知水流速度 为2千米/小时，求船在静水中的速度。 例6．某工程甲、乙两队合做2天完成全工程的31，甲队独做所需天数是乙队独做所需天数的2倍，现由甲队先做4天后，甲、乙合做2天，余下的由乙队独做，共需几天完工？

分式方程解法的标准

分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊

分式方程及其应用(北师版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：分式方程的概念是什么？并举例说明； 问题2：解分式方程分为哪三步？ 问题3：解分式方程中，把分式方程化成整式方程的依据是什么？ 问题4：解分式方程，结果必须_______，原因是什么？ 问题5：增根产生的原因是什么？ 问题6：分式方程有增根意味着什么？ 问题7：分式方程无解可能存在两种情形，分别是什么？ 分式方程及其应用（北师版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列方程不是分式方程的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式方程的定义 2.分式方程的解是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：解分式方程 3.分式方程的解是( ) A. B. C. D.无解 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解分式方程 4.若关于的分式方程有增根，则的值为( )

A.1 B.-1 C.-7 D.7 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式方程增根问题 5.若关于的分式方程有增根，则的值为( ) A.1 B.-1 C.3 D.5 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式方程增根问题

6.若关于的分式方程无解，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：分式方程无解问题 7.若关于的分式方程无解，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：分式方程无解问题 8.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少．设货车的速度为千米/小时，依题意列方程正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题。 重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量 关系． ● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 学习策略： ● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培 养数学的应用意识。 二、学习与应用 （一）什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有 的 叫做方程． 使方程两边相等的 的值，叫做方程的解． （二）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个 ，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 （除数不能为0），所得的结果仍是等式。 （四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5； （2）5 2221+-=--y y y 知识点一：分式方程的定义 里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是 ；②含有 ；③分母里含 有 。 （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有 （不是一般 的字母系数），分母中含有未知数的方程是 ，不含有未知数的方程是 方程，如：关于x 的方程 x x =-21和12723+=-x x 都是 方程，而关于x 的方程x x a =-21和d c b x =+1都是 方程。 知识点二：分式方程的解法 （一）解分式方程的基本思想 把分式方程化为 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分 母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 （二）解分式方程的一般方法和步骤 （1） ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 （2）解这个 方程。 （3） ：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是 原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 。 注：分式方程必须 ；增根一定适合分式方程转化后的整式方程， 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#233542

培优专题分式方程及其应用(含答案)

12、分式方程及其应用 【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 【分类解读】 例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根 解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 22221112123 2 32--=+---=--∴== ()()()， 即， 经检验：是原方程的根。 例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 1671236723836 9 2 ()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =- 92。 例3. 解方程：121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解：由原方程得：3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。 解：原方程变形为：62222222022 2 ()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202 y y y y y y +-+-++-=()()

分式方程的解法与技巧_知识精讲

分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=

当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。

分式方程的解法及应用(提高)

分式方程的解法及应用（提高） 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题． 学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为 ，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念 分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含 有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一 般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有 未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

《 分式方程》word版 公开课一等奖教案 1

当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 10.5 分式方程（2） 教学目标: 1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程. 2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 教学重点: 1. 了解分式方程必须验根的原因 2. 培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力 教学难点: 了解分式方程必须验根的原因 课时数:3 第二课时 教学过程复备栏 （一）．复习引入 解方程： 思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解 就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？ 学生活动：小组讨论后总结 （二）．总结 （1）为什么要检验根？ 在将分式方程变形为整式方程时， 方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母， 有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）。 对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均 不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求. 如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分 母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的 值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解。 （2）验根的方法 一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方 程中分母为0，因此应如下检验：

分式方程及其应用知识分享

分式方程及其应用

分式方程应用题辅导班（B班） 一、知识梳理： 列分式方程解应用题的步骤：1、设元（一般采用直接设元，要带上单位） 2、列分式方程 3、解分式方程（可直接写结果，不要过程） 4、检验（这是必不可少的，要做到验方程、验题意） 5、答题（要带上单位） 二、列分式方程解应用题专题训练 行程问题 1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 2、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2

工程问题 3、某大队要筑一条水坝，需要在规定日期内完成，如果由甲小队去做，恰好能够如期完成；如果由乙小队去做，要超过规定日期3天才能完成；现在由甲乙两队合作2天，剩下的工程由乙小队独立去做，恰好在规定日期完成，问规定日期为几天？ 4、现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数. 顺逆流航行问题 5、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 6、A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地 逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．9448448=-++x x B ．9448448=-++x x C ．9448=+x D ．94 96496=-++x x

分式方程的概念及解法

分式方程的概念，解法 知识要点梳理 要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和 都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根。 注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。 规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解． 经典例题透析： 类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D． 举一反三：

解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法 一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 检验根的方法： （1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 （2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．

用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答． 注意： （1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 （2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

分式方程的概念解法及应用

分式方程的概念，解法及应用 目标认知 学习目标： 1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一 次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未 知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系； 5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程； 重点： 分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系． 难点： 检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析． 知识要点梳理

要点一：分式方程的定义 分母里含有未知数的方程叫分式方程。 要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 的方程和 都是分式方程，而关于

的方程和 都是整式方程。 要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想 把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。

(完整版)分式方程的解法及应用(基础)

分式方程及应用 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（ ）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数） 类型二、解分式方程 2、 解分式方程（1） 10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-． 举一反三： 【变式】解方程：21233x x x -=---． ． 类型三、分式方程的增根 3、m 为何值时，关于x 的方程 223242 mx x x x +=--+会产生增根？ 举一反三： 【变式】如果方程11322x x x -+=--有增根，那么增根是________． （二）分式方程的特殊解法 一、交叉相乘法 例1．解方程：231+= x x 二、化归法 例2．解方程： 01 2112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程： 87178=----x x x 四、分子对等法 例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法 例5．解方程： 417425254=-+-x x x x 六、分离常数法 例6．解方程： 87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法 例7．解方程：4 1315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法 例1．若分式方程 x m x x -=--221无解，求m 的值。 例2．若关于x 的方程 11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。 例3．若关于x 分式方程 432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。 例4．若关于x 的方程 1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。 ． 类型四、分式方程的应用 例、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲 班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两 班每小时各种多少棵树? 举一反三：

分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含标准答案】

分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母 系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的 方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程 的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程 不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解 方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程 中没有错误的前提下进行的． 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程； （5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.

56分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高） 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】

分式方程及其应用(讲义及答案)

分式方程及其应用（讲义） 课前预习 1.请回顾相关知识，填空： 2.回忆并背诵应用题的处理思路，回答下列问题： （1）理解题意，梳理信息． 梳理信息的主要手段有_______________________________．（2）建立数学模型． 建立数学模型要结合不同特征判断对应模型，如： ①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑___________； ②不超过、不多于、少于、至少……，考虑_____________． （3）求解验证，回归实际． 主要是看结果是否_________________． 知识点睛

1. 分式方程的定义：__________________的方程叫做分式方程． 2. 解分式方程： 根据________________，把分式方程转化为__________求解，结果必须_______，因为解方程的过程中有可能产生______． 增根产生的原因是方程两边同乘了一个_________________． 3. 列分式方程解应用题，也要进行___________． 精讲精练 1. 下列关于x 的方程是分式方程的有__________．（填写序号） ① 315x -=；②x x π=π；③11123x y -=；④1152 x x +=+； ⑤11 x a b =-． 2. 已知方程2512kx x +=+的解为1x =，则k =_________． 3. 解分式方程： （1）2115225 x x x ++=--； （2）100602020x x =+-； （3）3201(1) x x x x +-=--； （4）2216124x x x ++=---； （5） 2236111 x x x +=+--；