高中数学必修五第一章测试题.docx
必修五阶段测试一(第一章解三角形 )
时间： 120 分钟满分： 150 分
一、选择题 ( 本大题共12 小题，每小题 5 分，共60分)
1．(2017 ·江西金溪一中月考) 已知△ABC中，a
＝ 2 ，b＝3，B＝60°，那么∠A＝ ()
A．45°B．90°C．130°或 45°D．150°或 30°π
2．在△ABC中，B＝
3，AB＝8， BC＝5，则△ ABC外接圆的面积为() B．16πD．15π
3．(2017 ·黑龙江鸡西期末) 已知锐角△的面积为 33，＝ 4，＝3，则角
C 的
ABC BC CA 大小为 ()
A．75°B．60°C．45°D．30°
4．在△ABC中，
sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C，则 A 等于() A．30°B．60° C ．120°D．150°
5．在△中，角、、的对边分别是、、，且> >2< 2＋
c 2，则∠
A
的取
ABC A B C a b c a b c, a b
值范围是 ()
6．(2017 ·阆中中学质检 ) 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，如果 b cos C ＋ c cos B－a sin A＝0，那么△ ABC的形状为
()
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．不确定
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别
是a， b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C ＝ ()
C
7
D
7．－25．± 25
8．(2017 ·青海师范大学附属中学月考) 在△中，＝30°，＝60°，＝90°，那
ABC A B C
么三边之比 a∶ b∶c 等于()
A． 1∶2∶ 3B．3∶ 2∶ 1C．1∶ 3∶2D．2∶ 3∶1 9．在△ABC中，b＝
8,c＝83，S＝163，则∠A等于 ()
△ ABC
A．30°B．60°C． 30°或 150°D．60°或 120°
10．(2017 ·莆田六中期末 ) 如图，已知，
B 两点分别在河的两岸，某测量者在点
A
所
A
在的河岸边另选定一点C，测得 AC＝50 m，∠ ACB＝45°，∠ CAB＝105°，则 A，B 两点的距离为 ()
A． 50 3 m B．253 m C．25 2 m D．502 m
AC
11．在锐角△
ABC 中， B ＝ 2A ，则
的取值范围是
BC
(
)
A ．( －2,2)
B ．( 2，2)
C ．(0 ，
， B 两地相距 200 m ，且 A 地在 B 地的正东方．一人在
D 在北偏西 60°；在 B 地测得建筑 C 在北偏东 45°，建筑
3)
D ．( 2， 3)
A 地测得建筑 C 在正北方，建筑
D 在北偏西 15°，则两建筑 C 和
D 之间的距离为 (
)
A ． 200 2 m B
． 100 7 m C ． 100 6 m
D
． 100( 3－ 1)m
二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．设△
的内角
， ， 所对边的长分别为
， ， . 若 ＋ ＝ 2
a, 3sin ＝ 5sin ，
ABC
A B C
a b
c b c
A B
则角 C ＝ ________.
b a
14．(2017 ·唐山一中月考 ) 在锐角△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为
a ，
b ，
c . 若a ＋
b
tan C tan C
＝ 6cos C ，则 tan A ＋ tan B ＝ ________.
15．三角形的一边长为 14，这条边所对的角为 60°，另两边之比为 8∶5，则这个三角形的面积为 ________．
3
π
16．已知△ ABC 的面积为 2
， AC ＝ 3，∠ ABC ＝ 3 ，则△ ABC 的周长等于 _________．
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分 )
17． (10 分 ) 在四边形 ABCD 中， AD ⊥ CD ， AD ＝ 5， AB ＝ 7，∠ BDA ＝60°，∠ CBD ＝15°，求 BC 的长．
18.(12 分)(2017 ·贵州铜仁期中 ) 设 a ， b ， c 分别是△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的
边， S 是△ ABC 的面积，已知 a ＝ 4， b ＝ 5， S ＝5 3.
(1) 求角 C ；
(2) 求 c 边的长度．
b 2＋
c 2－ a 2 8
19．(12 分 ) 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，且
2
＝ 3S △ ABC ( 其
中 S △ ABC 为△ ABC 的面积 ) ．
(1) 求
sin
2
B ＋ C
＋ cos2 A ；
2
(2) 若 b ＝ 2，△ ABC 的面积为 3，求 a .
20.(12 分)(2017 ·河北开滦一中期末 ) 如图，△ ACD 是等边三角形，△ ABC 是等腰直角
三角形，∠ ACB ＝90°， BD 交 AC 于 E ，AB ＝ 2.
(1) 求 cos ∠ CBE 的值；
(2) 求 AE .
21． (12 分)(2017 ·山西省朔州期末 ) 在△ ABC 中， A ， B ，C 所对的边分别为 a ， b ，c ，
3
5 7
且 a ＝ 4，cos A ＝ 4， sin B ＝ 16 ， c >4.
(1) 求 b ；
(2) 求证： C ＝ 2A .
22． (12
分 ) 如图所示，一辆汽车从
O 点出发，沿海岸一条直线公路
以
100 km/h
的速度
向东匀速行驶，汽车开动时，在 O 点南偏东方向距 O 点 500 km ，且与海岸距离为海上
M 处有一快艇， 与汽车同时发出， 要把一件重要物品递送给这辆汽车的司机，
300 km 的
问快艇至
少必须以多大的速度行驶， 才能把物品送到司机手中， 并求快艇以最小速度行驶的行驶方向与
OM 所成的角．
答案与解析
a
b
1． A 由正弦定理 sin A ＝
sin B
，
sin
2sin60 °
2
得 sin A ＝ a b B
＝
3
＝ 2 .
又 a
2
2
2
1
2． A 由余弦定理得 AC ＝ AB ＋ BC － 2AB · BC cos B ＝ 64＋ 25－2×8×5× 2＝ 49，∴ AC ＝
7.
AC AC
7 7 3
由正弦定理得 sin B ＝ 2R ( R 为△ ABC 外接圆的半径 ) ，∴ R ＝ 2sin B ＝
3 ＝ 3 . ∴△ ABC
2× 2
2
49π
外接圆的面积 S ＝π R ＝ 3 .
1
3． B S △ABC ＝2BC · CA ·sin C ，
1
∴2×4×3·sin C＝ 3 3，
3
∴ sin C＝，
2
又△ ABC是锐角三角形，
∴C＝60°，故选 B.
4．C由正弦定理，得 sin＝a
， sin＝
b
， sin＝
c
( 其中
R
为△外接圆半径 ) ，
A
2R B
2R
C
2R ABC
代入 sin 2A＝ sin 2B＋ sin B·sin C＋sin2C，得 a2＝ b2＋ bc＋ c2＝ b2＋ c2＋bc，即 b2＋ c2－ a2＝－
bc
b2＋c2－ a2－ bc1
，由余弦定理得 cos ＝＝＝－ .
2bc2
2bc
又 0°<∠A<180°，∴∠A＝120°. 故选 C.
b2＋ c2－ a2
5． C解法一：cos A＝，
2bc
222,a>b>c,
a2＋ c2－ a2 c b 11∵ a
2bc2b 2b22∴∠ A的范围为
ππ
，故选 C.
3
，
2
解法二：∵> >∴
a
为最长边，∠
π
> .
a b c, A 3
222,
πππ
又 a
6． A b cos C＋c cos B－ a sin A＝0，
∴sin B cos C＋ sin C cos B－sin 2A＝ 0.
∴sin( B＋C) －sin 2A＝ 0.
∴sin A－ sin 2A＝ 0，∴ sin A＝ 0( 舍去 ) 或 sin A＝ 1，
π
∴A＝2.故选A.
cbc sin C 8
7．A∵C＝2B，∴sin C＝sin2 B＝2sin B cos B.又∵8b＝5c，sin C＝sin B，∴b＝sin B＝5.
sin C 18 4
∴ cos B＝＝×＝ .
2sin B 2 5 5
2 4 27
∴ cos C＝ cos2 B＝ 2cos B－1＝2×5－ 1＝25.
13
8． C a∶ b∶ c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶2∶1＝1∶3∶ 2，故选 C.
9． C
△ABC12
S△ABC 1∵ S ＝2bc sin A,∴ sin A＝bc＝2.
∴∠ A＝30°或150°，经检验均满足已知条件，故选 C.
10． D∠＝180°－∠－∠＝180°－ 45°－ 105°＝ 30°，CBA ACB CAB
AB
AC
·sin ∠ BCA 50×sin45 °
AC
＝ 50 2 m ．故选 D.
∴
＝
，∴ AB ＝
sin ∠ CBA ＝
sin30 °
sin ∠ BCA sin ∠ CBA
11．D ∵B ＝ 2A ，
AC sin B sin2 A
∴ ＝
＝
sin A ＝ 2cos A ，
BC sin A
∵△ ABC 是锐角三角形，
π
2A ＜ 2，
∴
π
π－ 3A ＜ ，
π
π
∴ 6＜A ＜4，
∴ 2＜ 2cos A ＜ 3 ，故选 D.
12． C 由题可知△ BCA 是等腰直角三角形，
∴ AB ＝AC ＝ 200， BC ＝ 200 2，
∠ DBC ＝15°＋ 45°＝ 60°， ∵∠ DAB ＝90°－ 60°＝ 30°，
AB
DB
∴∠ BDA ＝45°，∴ sin45 ° ＝ sin30 ° .
∴
＝AB ·sin30 ° ＝ 100 2，
DB sin45 °
2
2
2
∴ DC ＝ DB ＋ BC － 2DB · BC ·cos60°
2
2
1
＝ (100 2) ＋ (200
2) －2×100 2×200
2× 2
＝ 6×100 2，
∴ DC ＝100 6 m ，故选 C.
解析： 由 3sin A ＝ 5sin B ，得 3a ＝ 5b .
5c 3c
又 b ＋c ＝ 2a ，∴ a ＝ 7 ，b ＝ 7 .
2
2
2
a ＋
b － c
1
∴ C ＝
2π
.
3
14． 4
b a
22 2 22
解析： a ＋ b ＝ 6cos C ，∴ b ＋ a ＝ 6ab cos C ＝ 3( a ＋b － c ) ， ∴ 3c 2＝ 2a 2＋ 2b 2.
tan C tan C cos A cos B
tan A ＋
tan B
＝tan C
sin A
＋
sin B
＝
sin C sin A＋ B sin 2C c2
cos
C sin sin
＝
cos sin sin＝
ab
cos＝
A B C A B C
2
a2＋b2
3
1
＝ 4. a2＋ b2
6
15． 403
解析：设另两边分别为8t, 5t ( t >0) ，则由余弦定理得142＝ (8 t ) 2＋ (5 t ) 2－2·8t·5t·cos60°，
∴ t 2＝4,∴ t＝2.
∴S△ABC＝1
×16×10×
3
＝40 3.
22
16． 3＋3
31π2222解析：由已知得＝ AB· BC sin，∴ AB· BC＝2.又 AC＝ AB＋BC－2AB·BC cos B＝AB 223
22
－ 3AB·BC＝ ( AB＋BC)2
－6. 又AC＝3，∴AB＋BC＝ 3.∴ AB＋ BC
＋ BC－ AB· BC＝( AB＋ BC)＋ AC＝3＋ 3.
17．解：在△ABD中，由余弦定理得
222
AB＝ AD＋BD－2AD· BD cos60°，又 AD＝5，AB＝7，
2
∴ BD－5BD－24＝0，解得 BD＝8.
BD sin∠ BDC 8sin30°
在△ BCD中，∠ BDC＝30°，∠ BCD＝135°，由正弦定理得BC＝
sin ∠BCD
＝
sin135 °
＝
4 2.
18．解： (1) 由题知＝ 53，＝4，＝ 5.
S ab
1
由 S＝2ab sin C得，
1
53＝2×4×5sin C，
解得 sin＝3，
C2
又 C是△ ABC的内角，所
以C＝π
或 C＝
2π3 3
.
(2)当 C＝π
时，由余弦定理得 c2＝ a2＋b2－2ab cos
π
＝16＋25－2×4×5×
1
＝21，解得332
c＝21；
2π
2
2
2
2π
当C ＝ 3
时， c ＝ a ＋ b － 2ab cos 3 ＝
16＋ 25＋2×4×5× 1 ＝ 61，解得 ＝ 61.
2
c 综上得， c 边的长度是
21或 61.
2bc cos A
8 1 sin ，即 19. 解：(1) 由已知得
＝ ×
2bc 2
3
A
3 4
∴ sin A ＝ 5， cos A ＝ 5.
＋ C
1＋ cos A
2
2
B sin
2 ＋ cos2A ＝ 2
＋ cos2A ＝ 2cos A ＋
3cos A ＝ 4sin A >0，又∵ sin 2A ＋ cos 2A ＝ 1，
cos A
1 16
4
1 59 － ＝2×
＋
－ ＝ .
2 2 25 2×5
2 50
(2) 由(1) 知 sin A ＝ ， S ＝ bc sin A ＝ 3， b ＝ 2，
3
△ ABC
1
5
2
∴ c ＝5. 又∵ a 2＝ b 2＋ c 2－ 2bc cos A ，
2
4
∴ a ＝4＋ 25
－2×2×5× ＝ 13，
5
∴＝ 13.
a
20． 解： (1) ∵∠ BCD ＝90°＋ 60°＝ 150°， CB ＝ AC ＝ CD ，
∴∠ CBE ＝15°，∴ cos ∠CBE ＝cos(45 °－ 30°) ＝
6＋ 2
4
.
(2) 在△
中，
＝ 2，由正弦定理得
AE
＝ 2
，
ABEAB
sin
45°－ 15°
sin
90°＋ 15°
1
2sin30 °
2× 2
故 AE ＝ cos15° ＝
6＋ 2 ＝6－2.
4
21. 解： (1) ∵ cos A ＝ 3
，
4
2
7
可得 sin A ＝ 1－ cos A ＝ 4 ，
5 7 a ·sin B
4×
16
∴由正弦定理可得 b ＝ sin A ＝
7 ＝ 5.
4
3
(2) 证明：∵由 (1) 可得 a ＝ 4， cos A ＝ 4， b ＝5，
2
3
∴由余弦定理可得
16＝ 25＋ c －2× b × c ×4，
2
整理可得 2c － 15c ＋ 18＝0，
3
∴解得 c＝6或2( c>4，故舍去)，
6×7
c sin A4 3 7
sin C＝
∴由正弦定理可得a＝4＝8 .
又∵ sin2＝ 2sin cos ＝2×7337× ＝，
A A A448
∴可得 sin C＝sin2 A，
∵ C∈(0，π)，2A∈(0，π)，
∴C＝2A，或 C＋2A＝π(A≠ B 故舍去)．
∴C＝2A，得证.
22．解：如图，设快艇从M处以 v km/h的速度出发，沿MN方向航行， t 小时后与汽车相遇．
在△ MON中， MO＝500，
ON＝100t, MN ＝vt .
设∠＝. 由题意知 sin
34α＝，则 cosα＝ .
MON α55由余弦定理知
222
α，
MN＝ OM＋ ON－2OM·ON·cos
即 v2t 2＝5002＋1002t 2－2×500×100 t ·4 .5
22112
v ＝500·t 2－2×500×80·t＋ 100
12
＝500·t－ 80 ＋ 3 600.
180252
当t＝500，即 t ＝4时， v min＝3 600，即快艇必须至少以60 km/h 的速度行驶．此时
＝60×25＝15×25.
MN4
MQ是 M到 ON的距离，且MQ＝300，设∠ MNO＝β，
3004
∴ sin β＝15×25＝5
.
∴α＋β＝90°，∴ MN与 OM成直角．
∴快艇至少必须以60 km/h 的速度行驶，才能把物品送到司机手中，其行驶方向与OM 成直角．