(完整版)初二数学下册难题
已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足
O．（1）如图1,连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；（2）如图2,动点
、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．
1）如图1,连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长；
2）如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即
P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中,
P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点
,求t的值．
P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm,ab≠0）,已知A、C、P、Q四点为顶点的四
,求a与b满足的数量关系式．
）证明：①∵四边形ABCD是矩形,
AD∥BC,∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,
EF垂直平分AC,垂足为O,∴OA=OC,
AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形,
EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形,
AF=CF=xcm,则BF=（8-x）cm,
Rt△ABF中,AB=4cm,由勾股定理得42+（8-x）2=x2,解得x=5,
AF=5cm．
2）①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平
P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形．
P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
PC=5t,QA=12-4t,
5t=12-4t,解得t=4/3,
A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=4/3秒．
,以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,点P、Q在互相
）当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；
）当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；
）当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12．
,a与b满足的数量关系式是a+b=12（ab≠0）．
2. 某数学兴趣小组开展了一次课外活动,如图1,正方形
中,AB=6,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的
D点重合．三角板的一边交AB于点P,另一边交
的延长线于点Q．
（1）求证：DP=DQ；
（2）如图2,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE
BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关
,请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图3,固定三角板直角顶点在D点不动,转动三角板,
AB的延长线于点P,另一边交BC的延长
Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E,连
PE,若AB：AP=3：4,请帮小明算出△DEP的面积．
?ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三
1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接
，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接
，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不
成立，说明
1）GF⊥EF，GF=EF。
2）GF⊥EF，GF=EF成立。理由如下：
ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。
都是等腰直角三角形，
DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°
和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。
1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=
即可得出答案：
ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。
都是等腰直角三角形，
DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°。
和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。
2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而
即可得出答案。
ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交直线DC的延长线于点F。
在图1中是说明：CE=CF。
若∠ABC=90° ，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数。
若∠ABC=90°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB,DG(如图3），求∠BDG的度数。
F=∠BAE,∠DAF=∠AEB
AF是角平分线
BAE=∠DAF
F=∠AEB
CEF=∠AEB
F=∠CEF
CE=CF
因为AF是角平分线
ABC=90°
BE=AB
AB=CD
BE=CD
CG,BG
EFG是等腰直角三角形
CG=GE
GCD=∠GEB=135°
BEG≌△DCG
BG=CD
CGD+∠EGD=90°
CGD=∠EGB
EGB+∠EGD=90°
BGD=90°
BG=GD
BGD是等腰直角三角形
BDG=45°
）延长AB、FG交于H，连接HD．
AHFD为平行四边形
ABC=120°，AF平分∠BAD
DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
DAF为等腰三角形
AD=DF
AHFD为菱形
ADH，△DHF为全等的等边三角形
DH=DF∠BHD=∠GFD=60°
FG=CE，CE=CF，CF=BH
BH=GF
BHD 与△GFD全等
BDH=∠GDF
BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°