常微分方程期末考试练习题及答案.
一，常微分方程的基本概念
常微分方程：
含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0).
1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。
如：f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。
2. 若f (x)使常微分方程两端恒等，则f (x)称为常微分方程的解。
3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微
分方程的通解。如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为：x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。
4.
满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一，亦可能不存在) 。
5. 常微分方程之线性及非线性：对于F (x, y, y…y(n)) =0而言，如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与白变量无关)。如：xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y⑵+siny=0为非线性微分方程。
注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。
b.教材28页第八题不妨做做。
二.可分离变量的方程
1. 定义：形如dy=f (x) 4 (y)的方程，称为分离变量方程。这里f
dx
(x), § (x)分别是x, y的连续函数。
2. 解法：分离变量法』芸七=J
f (x)dx+c. (*)
说明：a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上，故而可能漏解。
需视情况补上§ (y) =0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于
一式中)
b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。
例 1. ydx (x2-4x)dy =0
解：由题意分离变量得：2dx dy=0
x -4 y
即：1(工-1)dx 业=。
4 x —4 x y
积分之，得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c
故原方程通解为：(x-4)y4=cx (c为任意常数)，特解y=0
包含在通解中(即两者统一于一式中)。
*例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(：)dt+|n2,则f (x)是？
解：对给定的积分方程两边关于x求导，得：
f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导)
分离变量，解之得：f(x)=Ce2x
由原方程知：f (0) =In2 ,代入上解析式得：
C=ln2 ,
解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。
类型1.1.形式：形如^=g(y)(2.2 )
dx x
的方程，此类方程称为齐次微分方程，这里g (u)是u的连续函数。
1. 解法：作变量变换u= - , (
2.3)
x
即y=ux，从而：^^ =x du +u (2.4) dx dx
将(2.3) (2.4)代入(2.2 ),则原方程变为：
du _ g(u) u dx x
这是一个变量分离方程，可按照A中的方法求解。
例3.求解方程：史= (x + y)2 dx
解：令u=x+y ,贝U y=u-x , 于是：我=业_1
dx dx
于是，原方程可化为：也-1=u2 dx
分离变量得：?u〔 =dx
积分之，得: arctanu=x+c
变量回代，既得方程之通解：
arctan (x+y) =x+c
例 4 求命军方程x(ln x —ln y)dy - ydx = 0.
解：由题意可得：ln有尸-~dx =0 , y x
即：d x _ m y (2.5) dy y x
令-=u，贝fjx=uy,于是：^nWy+u, y dy dy
代入(2.5)得：空y+u=y , dy u
分离变量，并整理得：一四一=也
u(ln u —1) y
两边积分得：——^^——=曳，令u=e t
u(ln u -1) y
则有：[―d^ [-dy , 从而有：lnt-1 =ln y+lnc , t 一1 ■ y
(c>0).
即：t —1=±cy ，变量回代得:ln- =C 1y +1 ( G =±C ) y
类型二：形式：业=门"
对0
dx
解法：1.当c 〔=c 2=0时，
dy = f (&x 叫 dx a 2x b 2y
x
2. 当色=%3时，
a 2
b 2
dy ，(a 2x b 2y) G —=f ( ------------------------ dx a 2x b 2y c 2 du f dy f CI
a 2
b 2 ——=a 2 b 2 f ( )
dx dx u c 2
a 2x
b 2
c 2
)=g(")
x
转化为齐次方程。
)=g (
a 2x
b 2y
)
a 2x+
b 2y=u,贝
3. 当土?且C 1,C 2不全为零时,
a 1x ^y G = 0 解方程组
｛ a 2x+b 2y+C 2=0，求交点(a ,B ),
解：令u =x —y ，则y=x -u ，从而：也=1—史
dx dx
代入原方程，得：1 一业=心，
a 2x 令x=X+a , y =Y +E ，则原方程化为:
、心）
X
dY
这是齐次方程。 例5
.求解方程务= 2x -y w
x -2y 1
解:
2x - y 1 =0 x -2y 1=0
得交点
1
x = —
一
3
1 y =3
x =X
令｛
1
3
代入原方程有:
1
V = Y —
3
dY dX 2X -Y X -2Y 贝U Y=uX ,于是:
dY dX
du v
X u dX
从而有: 整理得: du 2 - u
X u = --------- ,
dX 1 -2u
1-2u
「dX -2 --------du = 2 —, u 2
-u 1 X
两边积分之，得:
d(u 2
-u 1)
u 2
-u 1
即：ln(u 2
-u+1) =-2ln X +lnc 1
(C 1
>0)
代，并整理得：x 2
+
1
-
例6.
求解方程dy x -y 5 x - y - 2
dx u - 2
整理得：—=du ,
2 -u dx
分离变量得：(2 -u)du = 7dx ,
1,,2 八 1
两边积分之：2u—u =7X"c,
变量回代，并整理得：X2? y2? 10X ? 4y-2xy = c
(C是任意常数)
1. 形式：形如义+ p(x)y=Q(x)的一阶方程称为一阶线性方
dx
程.当Q(x)三0时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的
2. 解法：利用常数变易法求解。
其解为：y =e"dx(JQ(x)e-Jf + c).下面用具体
的题目体现这一思想.
注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注标准式(也的系数为1),否则易出错.
dx
例7 求方程业=y +sin x的通解.
dx
解：首先求线性齐次方程曳=y的通解，
dx
分离变量得：业=dx,两边同时积分，
y
得：y=ce x,因而可设原方程的通解为：
y=c(x)e x，则业=dc(x) e x+e x c(x),
dx dx
将之入原方程，得:
dc(x)e x+e x c(x)=c(x)e x+sin x 即：dc(x) =sin xe^ ,
dx dx
两边积分得：c(x) = jsin xe^dx ,而
sinxe 顼dx - - sin xd (e^)