数列常见题型总结经典
高中数学《数列》常见、常考题型总结
题型一 数列通项公式的求法
1．前n 项和法（知n S 求n a ）??
?-=-11
n n n S S S a )
2()1(≥=n n
例1、已知数列}{n a 的前n 项和2
12n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122
-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T
练习：
1、若数列}{n a 的前n 项和n
n S 2=，求该数列的通项公式。答案：???=-12
2n n a )2()
1(≥=n n
2、若数列}{n a 的前n 项和32
3-=n n a S ，求该数列的通项公式。答案：n
n a 32?=
3、设数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n S 的前n 项和为n T ，满足2
2n S T n n -=，
求数列}{n a 的通项公式。
4.n S 为{n a }的前n 项和，n S =3（n a －1），求n a （n ∈N +） 5、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3，求数列{}n a 的通项公式（作差法） 2.形如)(1n f a a n n =-+型（累加法）
（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法.
例 1. 已知数列｛a n ｝满足)2(3,111
1≥+==--n a a a n n n ,证明2
1
3-=n n a
例2.已知数列{}n a 的首项为1，且*
12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()
1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.
3.形如)(1
n f a a n
n =+型（累乘法）
（1）当f(n)为常数，即：q a a n
n =+1（其中q 是不为0的常数），此数列为等比且n a =1
1-?n q a .
（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例1、在数列}{n a 中111
,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。答案：12+=n a n
练习：
1、在数列}{n a 中111
1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。答案：)1(2
+=n n a n
2、求数列)2(1
232,111
≥+-==-n a n n a a
n n 的通项公式。
4.形如s
ra pa a n n n +=
--11
型（取倒数法）
例1. 已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1
211
≥+=--n a a a n n n ，求通项公式n a
练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：2
31
-=n a n
2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：1
21
-=n a n
5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列） （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设)(1A a c A a n n +=+
+,利用待定系数法求出A
例1．已知数列}{n a 中，,2
1
21,211+==+n n a a a 求通项n a . 练习：1、若数列}{n a 中，21=a ,121-=+n n a a ,求通项公式n a 。答案：121
+=-n n a
2、若数列}{n a 中，11=a ,1321+=+n n a a ,求通项公式n a 。答案：1
)3
2(23-?-=n n a
6.形如)(1n f pa a n n +=+型（构造新的等比数列）
(1)若b kn n f +=)(一次函数(k,b 是常数，且0≠k )，则后面待定系数法也用一次函数。
例题. 在数列{}n a 中，2
3
1=a ，3621-+=-n a a n n ,求通项n a .
解：原递推式可化为b n k a b kn a n n
+-+=++-)1()(21
比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为12-=n n b b
所以{}n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ,公比为2
1. 1)21(29-=∴n n b 即：n n n a )21(996?=+-，故96)2
1
(9-+?=n a n n .
练习：1、已知数列{}n a 中，31=a ，2431-+=+n a a n n ，求通项公式n a
(2)若n
q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n
n n q a a +=+1，累加即可
②若1≠p 时，即：n
n n q a p a +?=+1，后面的待定系数法也用指数形式。
两边同除以1
+n q
. 即：
q q a q p q
a n n n n 11
1
+?=
++, 令n
n n q a b =,则可化为q b q p b n
n 1
1+?=+.然后转化为类型5来解， 例1. 在数列{}n a 中，52
1-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a
1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a )21(21+=-，求通项公式n a 。答案：12
1
++=n n n a
2、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331?+=+，求通项公式n a 。答案：n
n n a 23371?-?=-
题型二 根据数列的性质求解（整体思想）
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S n n ，则=5
5b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5
935,95S S
a a 则（ ）
5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3.
7、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（ ） 8、在等比数列中，已知910(0)a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +=. 题型三：证明数列是等差或等比数列 A)证明数列等差
例1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=2
1
.求证：{n S 1}是等差数列；
B ）证明数列等比
例1、已知数列{}n a 满足*12211,3,32().
n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；⑵求数列{}n a 的通项公式； 题型四：求数列的前n 项和 基本方法：A ）公式法， B ）分组求和法
1、求数列n
{223}n +-的前n 项和n S .
2.)12()1(7531--+?++-+-=n S n
n
3.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝() A ．15 B ．12C ．－12 D ．－15
4.求数列1，2+
21，3+41，4+81，…，12
1-+n n 5.已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和Sn . C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：
1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11
1
；
例1、求和：S =1+
n
+++++
+++++ 3211
3211211 例2、求和：
n
n +++++++++11341231121 . D ）倒序相加法，
例、设2
2
1)(x
x x f +=，求：).2010()2009()2()()()()(21312009120101f f f f f f f ++++++++ E ）错位相减法，
1、若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(?-=，求此数列的前n 项和n S . 2.2
1123(0)n n S x x nx x -=+++
+≠ （将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）
题型五：数列单调性最值问题
例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .
例2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，.16,2541==a a 当n 为何值时，n S 取得最大值；
例3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*
n ∈N ．
（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*
n ∈N ，求a 的取值范围．
题型六：总结规律题 1． 已知数列{}n a 满足),2(5
2
5*11N n n a a a n n n ∈≥--=
--，且{}n a 前2014项的和为403，则数列{}1+?n n a a 的前2014
项的和为？
2． 数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为？ 常见练习
1．方程2640x x -+=的两根的等比中项是（）
A ．3
B ．2± C
． D ．2 2、已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =
A ．342n ??? ???
B ．243n ??
? ???
C ．1
342n -??? ?
?? D ．1
243n -??
? ?
??
3．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 4．{a n }是等差数列，10
110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是（）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 5.若数列2
2
3
3
1,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0，则θ的值为（）
A. ()3
k k Z π
π±
∈ B. 2()3
k k Z π
π±
∈ C. 22()3
k k Z π
π±
∈ D.以上的答案均不对 6.设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成
A.等差
B.等比
C.非等差也非等比
D.既等差也等比 7．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( ) （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35
8.设数列{}n a 的前n 项和3
S n n =，则4a 的值为( )
（A ） 15 (B) 37 (C) 27 （D ）64 9.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则
4
2
S a =（ ） A ．2 B ．4 C ．
2
15 D ．
2
17 10.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ）