2013届高三数学 章末综合测试题(9)数列(2)
2013届高三数学章末综合测试题（9）数列
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则a 7为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 解析：∵a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝4a 7＝24，∴a 7＝6. 答案：A
2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2＝1，则数列{a n }的公差是( )
A.1
2 B ．1 C ．2 D ．
3 解析：由S n ＝na 1＋n (n －1)2
d ，得S 3＝3a 1＋3d ，S 2＝2a 1＋d ，代入S 33
－S 2
2
＝1，得d ＝2，
故选C.
答案：C
3．已知数列a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *
)，则a 2 011等于( ) A ．1 B ．－4 C ．4 D ．5
解析：由已知，得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝4，a 4＝－1，a 5＝－5，a 6＝－4，a 7＝1，a 8＝5，… 故{a n }是以6为周期的数列， ∴a 2 011＝a 6×335＋1＝a 1＝1. 答案：A
4．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d ＜0 B ．a 7＝0
C ．S 9＞S 5
D ．S 6与S 7均为S n 的最大值
解析：∵S 5＜S 6，∴a 6＞0.S 6＝S 7，∴a 7＝0. 又S 7＞S 8，∴a 8＜0.
假设S 9＞S 5，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＞0，即2(a 7＋a 8)＞0.
∵a 7＝0，a 8＜0，∴a 7＋a 8＜0.假设不成立，故S 9＜S 5.∴C 错误. 答案：C
5．设数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 的值为( ) A ．－12
B.12 C ．1或－1
2
D ．－2或1
2
解析：设首项为a 1，公比为q ，
则当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3，适合题意．
当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q
＝3·a 1q 2
，
∴1－q 3
＝3q 2
－3q 3
，即1＋q ＋q 2
＝3q 2,
2q 2
－q －1＝0， 解得q ＝1(舍去)，或q ＝－1
2.
综上，q ＝1，或q ＝－1
2.
答案：C
6．若数列{a n }的通项公式a n ＝5·? ????252n －2－4·? ??
??25n －1
，数列{a n }的最大项为第x 项，最
小项为第y 项，则x ＋y 等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：a n ＝5·? ????252n －2－4·? ????25n －1
＝5·??????? ??
??25n －1－252－45，
∴n ＝2时，a n 最小；n ＝1时，a n 最大． 此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3. 答案：A
7．数列{a n }中，a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *
)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( )
A ．a 21a 22
B ．a 22a 23
C ．a 23a 24
D ．a 24a 25 解析：∵3a n ＋1＝3a n －2， ∴a n ＋1－a n ＝－23，即公差d ＝－2
3.
∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝15－2
3(n －1)．
令a n ＞0，即15－2
3(n －1)＞0，解得n ＜23.5.
又n ∈N *
，∴n ≤23，∴a 23＞0，而a 24＜0，∴a 23a 24＜0. 答案：C
8．某工厂去年产值为a ，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为( )
A ．1.14a
B ．1.15
a
C ．11×(1.15
－1)a
D ．10×(1.16
－1)a
解析：由已知，得每年产值构成等比数列a 1＝a ，
a n ＝a (1＋10%)n －1(1≤n ≤6)．
∴总产值为S 6－a 1＝11×(1.15
－1)a . 答案：C
9．已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和为100，那么a 7·a 14的最大值为( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 解析：由S 20＝100，得a 1＋a 20＝10. ∴a 7＋a 14＝10. 又a 7＞0，a 14＞0，∴a 7·a 14≤? ??
??a 7＋a 1422＝25.
答案：A
10．设数列{a n }是首项为m ，公比为q (q ≠0)的等比数列，S n 是它的前n 项和，对任意的n ∈N *
，点?
??
??a n ，S 2n S n ( )
A ．在直线mx ＋qy －q ＝0上
B ．在直线qx －my ＋m ＝0上
C ．在直线qx ＋my －q ＝0上
D ．不一定在一条直线上
解析：???
a n ＝mq n －1＝x ， ①
S 2n
S n
＝m (1－q 2n
)1－q
m (1－q n
)1－q
＝1＋q n
＝y ， ②
由②得q n
＝y －1，代入①得x ＝m q
(y －1)， 即qx －my ＋m ＝0. 答案：B
11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )
A ．n 2
－n B ．n 2
＋n ＋2 C ．n 2＋n
D ．n 2
－n ＋2
解析：因为前n －1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(n －1)n
2项，
所以第n 组的首项为数列2,4,6，…的第(n －1)n 2＋1项，等于2＋??????(n －1)n 2＋1－1·2＝n 2
－n ＋2.
答案：D
12．设m ∈N *
，log 2m 的整数部分用F (m )表示，则F (1)＋F (2)＋…＋F (1 024)的值是( ) A ．8 204 B ．8 192 C ．9 218 D ．以上都不对
解析：依题意，F(1)＝0，
F(2)＝F(3)＝1，有2个
F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．
F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．
F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．
…
F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．
F(1 024)＝10，有1个．
故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.
令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①
则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②
①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210＝
2(1－29)
1－2
－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，
∴T＝8×210＋2＝8 194，
∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．若数列{a n}满足关系a1＝2，a n＋1＝3a n＋2，该数列的通项公式为__________．
解析：∵a n＋1＝3a n＋2两边加上1得，a n＋1＋1＝3(a n＋1)，
∴{a n＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，
∴a n＋1＝3·3n－1＝3n，∴a n＝3n－1.
答案：a n＝3n－1
14．已知公差不为零的等差数列{a n}中，M＝a n a n＋3，N＝a n＋1a n＋2，则M与N的大小关系是__________．
解析：设{a n}的公差为d，则d≠0.
M－N＝a n(a n＋3d)－[(a n＋d)(a n＋2d)]
＝a n2＋3da n－a n2－3da n－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.
答案：M＜N
15．在数列{a n}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n－1)在直线x－y
＝6上，则数列{a n
n3(n＋1)
}的前n项和S n＝__________. 解析：∵点(a n，a n－1)在直线x－y＝6上，
∴a n －a n －1＝6，即数列{a n }为等差数列． ∴a n ＝a 1＋6(n －1)＝6＋6(n －1)＝6n ， ∴a n ＝6n 2
.
∴a n n 3(n ＋1)＝6n 2
n 3(n ＋1)＝6n (n ＋1)＝6? ??
??1
n －1n ＋1 ∴S n ＝6? ????1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1.＝6? ????1－1n ＋1＝6n n ＋1. 答案：
6n
n ＋1
16．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …
则第__________行的各数之和等于2 0092
. 解析：设第n 行的各数之和等于2 0092
，
则此行是一个首项a 1＝n ，项数为2n －1，公差为1的等差数列． 故S ＝n ×(2n －1)＋(2n －1)(2n －2)2＝2 0092
， 解得n ＝1 005.
答案：1 005
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋1(n ∈N *
)，令b n ＝a n －2.
(1)求证：{b n }是等比数列，并求b n ； (2)求通项a n 并求{a n }的前n 项和S n .
解析：(1)∵b n ＋1b n ＝a n ＋1－2a n －2＝12a n ＋1－2a n －2＝1
2a n －1
a n －2＝1
2，
∴{b n }是等比数列． ∵b 1＝a 1－2＝－3
2，
∴b n ＝b 1q
n －1
＝－32×? ????12n －1＝－32
n .
(2)a n ＝b n ＋2＝－3
2
n ＋2，
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝? ????－32＋2＋? ????－322＋2＋? ????－323＋2＋…＋? ??
??－32n ＋2 ＝－3×? ????12＋1
2
2＋…＋12n ＋2n ＝－3×12×? ?
???1－12n 1－
12＋2n ＝32n ＋2n －3.
18．(12分)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n
. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，且c n ＝a n ·b n
n
，求数列{c n }的通项公式及其前n 项和T n .
解析：(1)由题意S n ＝2n
， 得S n －1＝2
n －1
(n ≥2)，
两式相减，得a n ＝2n
－2n －1
＝2
n －1
(n ≥2)．
当n ＝1时，2
1－1
＝1≠S 1＝a 1＝2.
∴a n ＝?
????
2 (n ＝1)，2n －1
(n ≥2).
(2)∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)， ∴b 2－b 1＝1，
b 3－b 2＝3， b 4－b 3＝5，
…
b n －b n －1＝2n －3.
以上各式相加，得
b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)
＝
(n －1)(1＋2n －3)2
＝(n －1)2
.
∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2
－2n ，
∴c n ＝?
????
－2 (n ＝1)，(n －2)×2n －1
(n ≥2)，
∴T n ＝－2＋0×21
＋1×22
＋2×23＋…＋(n －2)×2
n －1
，
∴2T n ＝－4＋0×22
＋1×23
＋2×24
＋…＋(n －2)×2n
. ∴－T n ＝2＋22
＋23
＋…＋2
n －1
－(n －2)×2n
＝2(1－2n －1
)1－2－(n －2)×2n
＝2n
－2－(n －2)×2n
＝－2－(n －3)×2n
. ∴T n ＝2＋(n －3)×2n
.
19．(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13
成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n
项，…，按原来顺序组成一个新数列{b n }，记该数列的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．
解析：(1)依题意，得
???
??
3a 1＋3×22d ＋5a 1＋5×42d ＝50，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋12d )，
解得???
??
a 1＝3，d ＝2.
∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， 即a n ＝2n ＋1.
(2)由已知，得b n ＝a 2n ＝2×2n ＋1＝2n ＋1
＋1，
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(22
＋1)＋(23
＋1)＋…＋(2
n ＋1
＋1)
＝4(1－2n
)1－2
＋n ＝2n ＋2－4＋n .
20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且ba n －2n
＝(b －1)S n . (1)证明：当b ＝2时，{a n －n ·2n －1
}是等比数列；
(2)求通项a n .
解析：由题意知，a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，
ba n ＋1－2n ＋1＝(b －1)S n ＋1，
两式相减，得b (a n ＋1－a n )－2n
＝(b －1)a n ＋1， 即a n ＋1＝ba n ＋2n
.①
(1)当b ＝2时，由①知，a n ＋1＝2a n ＋2n
. 于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n
＝2()a n －n ·2
n －1
.
又a 1－1·20
＝1≠0， ∴{a n －n ·2
n －1
}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)当b ＝2时， 由(1)知，a n －n ·2
n －1
＝2
n －1
，即a n ＝(n ＋1)·2
n －1
当b ≠2时，由①得
a n ＋1－
12－b ·2n ＋1＝ba n ＋2n －12－b ·2n ＋1＝ba n －b 2－b
·2n
＝b ? ??
??a n －12－b ·2n ， 因此a n ＋1－12－b ·2n ＋1
＝b ? ????a n －12－b ·2n ＝2(1－b )2－b ·b n . 得a n ＝????
?
2， n ＝1，12－b
[2n ＋(2－2b )b n －1
]， n ≥2.
21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．
解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{a n }，则a n －a n －1
＝－1
3
.
所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－1
3的等差数列，由题知，24小时内最多可
抽调72辆车．
设还需组织(n －1)辆车，则
a 1＋a 2＋…＋a n ＝24n ＋n (n －1)2
×? ??
??
－13≥20×25.
所以n 2
－145n ＋3 000≤0， 解得25≤n ≤120，且n ≤73. 所以n min ＝25，n －1＝24.
故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．
22．(12分)已知点集L ＝{(x ，y )|y ＝m ·n }，其中m ＝(2x －2b,1)，n ＝(1,1＋2b )，点列P n (a n ，b n )在点集L 中，P 1为L 的轨迹与y 轴的交点，已知数列{a n }为等差数列，且公差为1，n ∈N *
.
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(3)设c n ＝
5
n ·a n ·|P n P n ＋1|
(n ≥2)，求c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n 的值．
解析：(1)由y ＝m ·n ，m ＝(2x －2b,1)，n ＝(1,1＋2b )， 得y ＝2x ＋1，即L ：y ＝2x ＋1.
∵P 1为L 的轨迹与y 轴的交点， ∴P 1(0,1)，则a 1＝0，b 1＝1. ∵数列{a n }为等差数列，且公差为1， ∴a n ＝n －1(n ∈N *
)．
代入y ＝2x ＋1，得b n ＝2n －1(n ∈N *
)． (2)∵P n (n －1,2n －1)，∴P n ＋1(n,2n ＋1)．
＝5n 2
－n －1＝5? ????n －1102－2120.
∵n ∈N *
，
(3)当n ≥2时，P n (n －1,2n －1)，
∴c 2＋c 3＋…＋c n
＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ??
??1n －1－1n ＝1－1n .