7-5-1 组合的基本应用(一).教师版【小学奥数精品讲义】
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；
2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；
3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；
4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．
一、组合问题知识要点
教学目标
7-5-1.组合的基本应用（一）
1
2
日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．
一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．
从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的
组合数．记作m
n C ．
一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n
m P 可分成以下两步：
第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；
第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m
P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m
n n m P C P =?．
因此，组合数12)112321
?-?-??-+==?-?-????m m
n n
m m P n n n n m C P m m m （）（（）
（）（）．
这个公式就是组合数公式．
二、组合数的重要性质
3
一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)
这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m
n C -表示从n 个
元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．
例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3
25
5C C =． 规定1n n C =，0
1n
C =．
模块一、组合之计算问题
【例 1】 计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．
【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 2266
22651521P C P ?==
=?，44
66446543154321
P C P ???===??? ⑵ 22
77
22762121
P C P ?==
=?，55
7755765432154321P C P ????===???? 例题精讲
旗开得胜
4
【小结】注意到上面的结果中，有2466C C =，25
77C C =．
【答案】⑴ 2615C =，4615C =
⑵ 2721C =，5
7
21C =
【例 2】 计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 98100
1001002C C -．
【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 2198
2001982200200
200
200
222001991990021
P C
C
C
P -?=====?； ⑵ 155
56551
5656
56
56
11
56
561P C C
C P -=====；
⑶ 298
1002100
100
100
100
221009922122494821
P C
C
C
P ?-=-?=-=-=?．
【答案】⑴19900 ⑵56 ⑶ 4948．
【巩固】 计算：⑴ 312C ；⑵ 998
1000C ；⑶ 2288P C -．
【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 312121110
220321
C ??=
=??
⑵ 9982
100010001000999
49950021
C C ?==
=?
旗开得胜
5
⑶ 22
8887
8756282821
P C ?-=?-
=-=?． 【答案】⑴ 3
12
220C = ⑵ 998
1000
499500C = ⑶ 22
8828P C -=．
模块二、组合之体育比赛中的数学
【例 3】 某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？
【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 因为比赛是单循环制的，所以，12个队中的每两个队都要进行一场比赛，并且比赛的场次只与两个
队的选取有关而与两个队选出的顺序无关．所以，这是一个在12个队中取2个队的组合问题．
由组合数公式知，共需进行2121211
6621
C ?=
=?(场)比赛． 【答案】2
12
66C =
【巩固】 芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？
【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答