直线与方程专题复习
专题复习 直线及方程
【基础知识回忆】
1.直线的倾斜角及斜率 （1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.及x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向.
②直线及x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 . （2）直线的斜率
①直线的倾斜角及斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为 的
直线斜率不存在。
2.两直线垂直及平行的判定
（1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有：
?21//l l ? ； ?⊥21l l
? .
（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条
直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式
注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式. 4.三个距离公式
（1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d . （3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：
=d .
【典型例题】
题型一：直线的倾斜角及斜率问题
例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A .
（1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角.
（2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围.
例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则：
A ．k 1＜k 2＜k 3
B ．k 3＜k 1＜k 2
C ．k 3＜k 2＜k 1
D ．k 1＜k 3＜k 2
例3、利用斜率证明三点共线的方法：
若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为 .
总结：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
例4、直线l 方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 不过第二象限，求a 的取值范围。
变式：若0 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 题型二：直线的平行及垂直问题 例1、 已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求下列直线l '的方程, l '满足 （1）过点)3,1(-，且及l 平行；（2）过)3,1(-，且及l 垂直. 本题小结：平行直线系：及直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为 01=++C By Ax 垂直直线系：及直线0=++C By Ax 垂直的直线方程可设为 02=+-C Ay Bx 变式：（1）过点（1，0）且及直线x-2y-2=0平行的直线方程 （2）过点（1，0）且及直线x-2y-2=0垂直的直线方程 例2、1l ：0)1(=+-+m y mx ，2l ：02=-+m my x ，①若1l ∥2l ，求m 的值；②若1l ⊥ 2l ，求m 的值。 变式：（1）已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线及直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 10 （2）如果直线ax+2y+2=0及直线3x-y-2=0平行，则系数a =（ ） A ． -3 B ．-6 C ．2 3- D ．3 2 （3）若直线1:10l mx y +-=及2:250l x y -+=垂直，则m 的值是 ． 题型三：直线方程的求法 例1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 例2、已知ABC ?三个顶点是)4,1(A -，)1,2(B --，)3,2(C ． (1)求BC 边中线AD 所在直线方程；(2)求AC 边上的垂直平分线的直线方程 （3）求点Ａ到ＢＣ边的距离． 变式：1．倾斜角为45°，在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x =-- C ．1y x =-+ D ．1y x =- 2．求经过A （2，1），B （0，2）的直线方程 3. 直线方程为02)1(=-+++a y x a ，直线l 在两轴上的截距相等，求a 的方程； 4、过P （1，2）的直线l 在两轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的方程 5、已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 及两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程． 题型四：直线的交点、距离问题 例1：点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A ．2 B ．2 1 C ．1 D ．2 7 例2：已知点P （2，-1）。（1）求过P 点且及原点距离为2的直线l 的方程； （2）求过P 点且及原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ （3）是否存在过P 点且及原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。 例3：已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=， （1）试判断1l 及2l 是否平行，如果平行就求出它们间的距离； （2）1l ⊥ 2l 时，求a 的值。 变式：求两直线:3x-4y+1=0及6x-8y-5=0间的距离 。 题型五：直线方程的应用 例1、已知直线0355:=+--a y ax l . （1）求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围. 例2、直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 （ ） A ．（-2，1） B ．（2，1） C ．（1，-2） D ．（1，2） 圆及方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是 2 22)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点及圆的位置关系： (1). 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2). 给定点),(00y x M 及圆2 22 )() (:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-?（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程： 02 2=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422 >-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心，半径. (2) 当0422 =-+F E D 时，方程表示一个点. (3) 当0422 <-+F E D 时，方程不表示任何图形. 注：方程 22=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且 0422 AF E D -+. 4. 直线及圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 及圆2 22)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交?? 2d r - d r r d 还可以利用直线方程及圆的方程联立方程组 ???=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断： （1）当0>?时，直线及圆有2个交点，，直线及圆相交； （2）当0=?时，直线及圆只有1个交点，直线及圆相切； （3）当0 5. 两圆的位置关系 （1）设两圆2 121211)()(:r b y a x C =-+-及圆 2 22 2222)()(:r b y a x C =-+-， 圆心距2 21221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421??+>r r d ； ② 条公切线外切321??+=r r d ； ③ 条公切线 相交22121??+<<-r r d r r ； ④ 条公切线 内切121??-=r r d ； ⑤ 无公切线 内含??-<<210r r d ； 外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程 圆1 C ：221110 x y D x E y F ++++=， 圆 2C ： 222220 x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明： ① 若1C 及2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 及2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. （3）圆系问题 过两圆1 C ：221110 x y D x E y F ++++=和 2 C ： 222220 x y D x E y F ++++=交点的圆系 方程为 ()22221112220 x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 补充： ① 上述圆系不包括2C ； ② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） ③ 过直线0Ax By C ++=及圆 220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220 x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++= 6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立 ②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 求解k ，得到切线方程【一定两解】 例 1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。 (2) 过圆上一点的切线方程：圆(x —a )2+(y —b )2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)， 则过此点的切线方程为(x 0—a )(x —a )+(y 0—b )(y —b )= r 2 特别地，过圆2 22 r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为2 00r y y x x =+. 例 2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为 。 7．切点弦 (1)过⊙C ：2 22)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作⊙C 的两条切线，切点分别为 B A 、，则切点弦AB 所在直线方程为：2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- 8. 切线长： 若圆的方程为(x a )2 (y b )2=r 2，则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长为 d = 22020b)(+)(r y a x ---． 9. 圆心的三个重要几何性质： ① 圆心在过切点且及切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上； ③ 两圆内切或外切时，切点及两圆圆心三点共线。 10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆C 1：x 2 +y 2 —2x =0和圆C 2：x 2 +y 2 +4 y =0，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为A 、B ，试求出它们的公共弦AB 的方程及公共弦长。 【检测反馈】 1.若直线过点),32,4(),2,1(+则此直线的倾斜角是（ ）. （A ）030 （B ）045（C ）060 （D ） 090 2.过点)1,1(E 和)0,1(-F 的直线及过点和点直线的位置关系是（ ） （A ）平行（B ）重合（C ）平行或重合（D ）相交或重合 3.过点)3,1(-且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）. (A)012=-+y x (B) 052=-+y x (C) 052=-+y x (D) 072=+-y x 4.已知点),1,3(),2,1(B A 则到B A ,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（ ）. （A ）524=+y x （B ）524=-y x （C ）52=+y x （D ）52=-y x 5.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）. 6.直线l 被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是原点O ，则直线l 的方程为 . 7. 已知,0>a 若平面内三点),3(),,2(),,1 (32a C a B a A -共线，则a = . 8.过点),4,1(A 且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（ ）. A 1 B 2 （A）1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 9.已知直线l过点)1,1(P，且被平行直线0 3= 4 -y x截得的线 + 7 x及0 13 3= 4 -y - 段长为2 4，求直线l的方程.