高二数学(立体几何)①
一. 选择题:(将你认为的正确答案写到题号前)
1. 下列命题中正确的一个是
A. 四棱柱是平行六面体
B. 直平行六面体是长方体
C. 底面是矩形的四棱柱是长方体
D. 六个面都是矩形的六面体是长方体
2. 已知l ⊥α,m ?β,则下面四个命题其中正确的是①α∥β则l ⊥m ②α⊥β则l ∥m
③l ∥m 则α⊥β④l ⊥m 则α∥β
A.①②
B.③④
C.②④
D.①③
3. 如图,在棱长为1的正方体ABCD A B C D -1111中,M 和N 分别为11
A B
和1BB 的中点,那么直线AM 与CN 所成的角的余弦值是
C. 35
D. 2
5
4. 线段AB 两端点到平面α的 距离分别是6cm 和10cm ,则它的中点到α
的距离是 A. 6cm B. 8cm
C. 2cm
D.8cm 或2cm
5. 如图,正方体ABCD A B C D -
1111中,1BC 与对角面11BB D D 所成的角是
A.11C BD ∠
B.11C BO ∠
C.11C BB ∠
D.1C BD ∠
6. 已知二面角αβ--a 为 60,如果平面α内一点A 到平面β的距离
为A 在平面β上的射影A ′到平面α的距离为
7. 空间一点P 到二面角l αβ--的两个面的距离分别为1P 到l 的距离等于2,
则二面角l αβ--的大小为 A .75° B. 15°
C. 105°
D. 75°或15°
8. 如图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体
后,图形是
A
B C D
二. 填空题:
9.已知BAC ∠在平面α内,PA 是平面的斜线,若60,PAB PAC BAC PA a ∠=∠=∠== ,则点P 到平面α的距离是
10.设P 为直角三角形ABC 所在平面外一点,9024,ACB PC cm ∠== ,P 到两直角边的
A B C A
B
C
D E
F 1
1
1
距离都是,则PC 与平面α所成的角为
11. 已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等,
且2AB AC BC ===,则以BC 为棱,以面BCD 与面BCA 的二面角的大小是
12. 已知、a b 是异面直线,a 上有A B 、两点相距8cm ,b 上有C D 、两点相距6cm ,AD 和BC 的中点分别为M N 、,且5MN cm =,则、a b 所成角的度数为 三. 解答题: 13.在空间四边形ABCD 中,AB BC CD DA AC BD =====,E F 、分别是BC 和AD 的中点,求异面直线AE 与CF 所成角的余弦值。
14.已知:如图,ABC △中,90,CD ACB ∠=⊥ 平面α,BD AD 、和平面α所成角分别为30°和45°,CD h =,求:D 点到直线AB 的距离。
15.正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,BC =2,AA 1=6,D 、E 分别是AA 1、B 1C 1的中点. (1)求证:面AA 1E ⊥面BCD ;
(2) 求直线A 1B 1与平面BCD 所成的角.
高二数学(立体几何)②
一.选择题:(将你认为的正确答案写到题号前)
1)两条异面直线的距离是:
(A)和两条异面直线都垂直相交的直线(B)和两条异面直线都垂直的直线
(C)它们的公垂线夹在垂足间的线段的长(D)两条直线上任意两点间的距离
2)边长为1的正方形ABCD,沿对角线AC折成直二面角后,B D
、两点的距离为:
(A)1 (B)2(C(D
3)已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行截面间的距离是:
(A)1 (B)
2(C)1或7(D)2或6
4)在平行六面体ABCD A B C D
-
1111
中,M为AC与BD的交点,若1
AB a
=
,
1
AD b
=
,
1
AA c
=
,
则下列向量中与
1
B M
相等的向量是:
(A)11
22
a b c
-++
(B)11
22
a b c
++
(C)11
22
a b c
-+
(D)11
22
a b c
--+
5)菱形ABCD中,∠A=60°,边长为3,沿对角线BD把它折成60°的二面角,则AC与BD的距离是
(A(B)3
4
(C)3
2
(D
6)△ABC和△DBC所在的平面互相垂直,AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120则二面角A BD C
--的正切值为
(A)2 (B)-2(C(D
7)如图,在正方形ABCD A B C D
-
1111
中,M是棱
1
DD的中点,P为棱
11
A B
上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角为
(A)
4
π
(B)
3
π(C)
2
π(D)与P点位置有关
8)如图,水平地面上有一个大球,现有如下方法测量球的大小,用一个锐角为45°的三角板,斜边紧靠球面,一条直角边紧靠地面,并使三角板与地面垂直,如果测得PA=5cm,则球的表面积为
(A)100πcm2(B)100(3+22)πcm2
(C)100(3-22)πcm2 (D)200πcm2
F
E
G D
1C 1
B 1
A 1D C
A E
F D 1
C 1
B 1
A 1D
C
B
A
P
N
M D
C
B
A
二. 填空题:
9)在半径为25cm 的球内有一个截面,它的面积是249cm π,那么球心到这
个截面的距离为 10)如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,G 、E 分别为BB 1、C 1D 1
的中点,点F 是正方形ADD 1A 1的中心,则四边形BGEF 在正方体六个面内的
射影图形的面积的最大值为
11)已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB = 5 , AA 1 = 4 , AD = 3,从点A 出发沿着表面运动到C 1的最短路线的长是
12)已知△ABC 中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,△ABC 所在平面外一点P 到此三角形三个顶点的距离都是14,则点P 到平面ABC 的距离是
三. 解答题:
13)如图,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形,PA =AD =a ,M 、N 分别是AB 、PC 的中点.
(1)求平面PCD 与平面ABCD 所成的二面角的大小; (2)求证:平面MND ⊥平面PCD .
14)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB
AA 1=1,AD =3,E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点.(1)求证:A 1B 1⊥EF ;(2)求直线A 1B 1与平面A 1EF 所成的角.
15)如图,斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为a 的正三角形,侧棱AA 1长为
3
2
a ,它和AB 、AC 均为60?。 (1)求证:平面A 1BC ⊥平面ABC ;(2)求A 到侧面BC 1的距离。
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 及CN 所成的角的余弦值; 解析:(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ,则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1, 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中,CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注:1、本题的平移点是N ,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长,再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析:在BD 上取一点G ,使得3 1 =GD BG ,连结EG 、FG 在ΔBCD 中,GD BG EC BE = ,故EG//CD ,并且4 1==BC BE CD EG , 所以,EG=5;类似地,可证FG//AB ,且 4 3 ==AD DF AB FG , 故FG=3,在ΔEFG 中,利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ,故∠FGE=120°。 另一方面,由前所得EG//CD ,FG//AB ,所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角,于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=c ,AB=a ,AD=b ,且a >b .求AC 1及BD 所成的角的余弦. A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O
( )() 2 2 2αβ β ααβ+=- -- 等), 如(1)已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是_____ (答:3 22); (2)已知02πβαπ<<<<,且129cos()βα-=-,2 23 sin()αβ-=,求cos()αβ+的值 (答:490729 ); (3)已知,αβ为锐角,sin ,cos x y αβ==,3 cos()5 αβ+=- ,则y 与x 的函数关系为______(答:2343 1(1)555 y x x x =- -+<<) 三、解三角形 Ⅰ.正、余弦定理⑴正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 2是AB C ?外接圆直径) 注:①C B A c b a sin :sin :sin ::=;②C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===;③ C B A c b a C c B b A a sin sin sin sin sin sin ++++===。 ⑵余弦定理:A bc c b a cos 22 2 2 -+=等三个;注:bc a c b A 2cos 2 22-+=等三个。 Ⅱ。几个公式: ⑴三角形面积公式:))(2 1 (,))()((sin 2 1 21c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++= ---=== ?; ⑵内切圆半径r= c b a S ABC ++?2;外接圆直径2R= ;sin sin sin C c B b A a == ⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法:⊿ABC 中,sin A B A >?Ⅲ.已知A b a ,,时三角形解的个数的判定: 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时: ①a 俯视图侧视图 正视图高二学考必修二学案 第1课 空间几何体的结构、三视图和直观图 一、要点知识:1、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的结构特征: (1)___________________________________,_______________________________________, _______________________________________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 (2)___________________________________,____________________________由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 (3)______________________________________________________这样的多面体叫做棱台。 (4)______________________________________________________叫做圆柱,旋转轴叫做_______,垂直与轴的边旋转而成的圆面叫做_______,平行与轴的边旋转而成的曲面叫做______,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做___________ (5) _____________________________________________________所围成的旋转体叫做圆锥。 (6) _____________________________________________________叫做圆台。 (7) _____________________________________________________叫做球体,简称球。 2、中心投影、平行投影及空间几何体的三视图、直观图 (1)光由一点向外散射形成的投影,叫做______________ (2)在一束平行光线照射下形成的投影,叫做__________,投影线正对着投影面时,叫做正投影,否则叫斜投影。 3、正视图:光线从物体的_______投影所得的投影图,它能反映物体的_______和长度。 侧视图:光线从物体的________投影所得的投影图,它能反映物体的高度和宽度。 俯视图:光线从物体的________投影所得的投影图,它能反映物体的长度和宽度。 学业水平考试怎么考 1. 下列几何体中,正视图、侧视图和俯视图都相同的是( ). A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱 2、如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( ) A 、球 B 、圆柱 C 、圆台 D 、圆锥 3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( ) A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 二、课前小练: 1、有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( ) A 、棱台 B 、棱锥 C 、棱柱 D 、都不对 2、下列结论中 (1).有两个面互相平行,其余各面都是平面四边形的几何体叫棱柱 ; (2).有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱; (3).用一个平面去截棱锥,棱锥的底面和截面之间的部分叫棱台; (4).以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫 圆锥。其中正确的结论是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 3、将图1所示的三角形绕直线l 旋转一周,可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角 形( ) 4、下面多面体是五面体的是( ) C ′ A ′ Y ′ D ′ 立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 立体几何大题专练 1、如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别为AB 、PC 的中点; (1)求证:MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°,求证:MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12分) 如图,在三棱锥P ABC -中,,E F 分别为,AC BC 的中点. (1)求证://EF 平面PAB ; (2)若平面PAC ⊥平面ABC ,且PA PC =,90ABC ∠=?, 求证:平面PEF ⊥平面PBC . P A C E B F (1)证明:连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点, //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ,?AB 平面PAB , ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 (2)PA PC = ,E 为AC 的中点, PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点, //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC ,点D 是AB 的中点。 (1)求证:BC 1//平面CA 1D ; (2)求证:平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是 AB 、PC 的中点. (1) 求证:EF ∥平面PAD ; (2) 求证:EF ⊥CD ; (3) 若∠PDA =45°,求EF 与平面ABCD 所成的角的大小. a 2sin 4-a 2cos 4a 2cos 2a 2sin ,21tan +-=则252 5-14114 1-a 4asin 2sin 41a 8sin -a 8cos +]sin )a 2[sin(2 1)cosa sin(a βββ-+-+§3.2.2 三角函数化简及证明 编者:任传军 【学习目标 细解考纲】 1. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简和恒等式证明(包括引出半角、积化和差、和差化积公式,但不要求记忆); 2. 掌握三角函数式的化简和证明的方法及步骤。 【知识梳理、双基再现】 1.cosαcosβ= ;sinαcosβ= 2.sinθ+sinφ= ; sinθ-sinφ= ; cos θ+cos φ= ; cos θ-cos φ= 【小试身手、轻松过关】 1.已知 的值是( ) A. B. C. D. 2. 4cos 22sin 2+-等于 ( ) A. 2sin B. 2cos - C. 2cos 3 D. 2cos 3- 3. 等于( ) A. cosa B. cos2a C. sina D a 2sin 4.化简4cos 224sin 12+++的结果是 。 【基本训练、锋芒初显】 5. 可化简为( ) A. ββsin )a 2sin(++- B. )a 2sin(β+-2015年高二数学学业水平考试复习学案(1318)立体几何
高一数学立体几何练习题及部分答案大全
立体几何大题练习题答案
高二数学三角函数化简及证明测试题