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2020年人教版七年级数学提优训练-- 绝对值知识点与经典例题

绝对值的性质及化简

【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a

的绝对值记作a . （距离具有非负性）

【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根

据性质去掉绝对值符号.

② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相

反数；0的绝对值是0.

③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负

号，绝对值是5.

【求字母a 的绝对值】

①(0)

0(0)(0)

a a a a a a >??

==??-

②(0)(0)a a a a a ≥?=?-?=?-≤?

利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =

【绝对值的其它重要性质】

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，

即a a ≥，且a a ≥-；

（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =?；

a a

b b

=(0)b ≠；（4）2

||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|

a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．

【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数

式类型来解；

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：

A ）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；

B ）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】

【例题精讲】

（一）绝对值的非负性问题

1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.

2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c = 【例题】若

3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0，。

【巩固】若7

322102

m n p ++-

+-=，则23_______p n m +=＋【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a

2)23(223222

+??

???---．

其中a 、b 满足

0)42(132=-+++a b a .

（二）绝对值的性质

【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（）

A ．11a

B ．-11a

C ．-3a

D ．3a

【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）

A ．1，0

B ．正数

C ．非正数

D ．非负数

【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（）

A ．7或-7

B ．7或3

C ．3或-3

D ．-7或-3

【例4】若

1-=x

x ，则x 是（

）

A ．正数

B ．负数

C ．非负数

D ．非正数

【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（）

A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a

B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b

C ．1+a ＞1-b ＞a ＞-b

D ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a

【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（）

A ．2

B ．2或3

C ．4

D ．2或4

【例7】a ＜0，ab ＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）

A ．6

B ．-4

C ．-2a+2b+6

D ．2a-2b-6

【例8】若|x+y|=y-x ，则有（）

A ．y ＞0，x ＜0

B ．y ＜0，x ＞0

C ．y ＜0，x ＜0

D ．x=0，y ≥0或y=0，x ≤0

【例9】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）

【例12】若x ＜

-2，则|1-|1+x||=______

若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________

【例15】已知数,,a b c

则下列各式：

①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③

1=++c

b b a a ；④0>-a b

c ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有．

（请填写番号） c

a 0b

种不同可能．

当a 、b 、c 都是正数时，M= ______；

当a 、b 、c 中有一个负数时，则M= ________；当a 、b 、c 中有2个负数时，则M= ________；当a 、b 、c 都是负数时，M=__________ ．

【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求

a b c abc

+++

的值

（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）

零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．【例题】阅读下列材料并解决相关问题：

我们知道()()()

0000x x x x x x >??

==??

如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得

12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+ ⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--= ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-

综上讨论，原式()

()()

211312212x x x x x -+<-??

-?≤≥

（1）求出2x +和4x -的零点值（2）化简代数式24x x ++- 解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．

（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；

当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6；当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．

【巩固】化简

1. 12x x +++

2. 12m m m +-+-的值

3. 523x x ++-．

4. (1)

12-x ；

变式5.已知

23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

（四）

b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．

【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：

(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： . (2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离

可以表示为 .

(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为，取得最小值时x 的取值范围为 . (4) 满足

341>+++x x 的x 的取值范围为 .

(5) 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．

（五）、绝对值的最值问题

例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2)当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3)当x 取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、 1）非负数：0和正数，有最小值是0 2）非正数：0和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0 4）x 是任意有理数，m 是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，

-|x+m|≤0有最大值是0

（可以理解为x 是任意有理数，则x+a 依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0） 5）x 是任意有理数，m 和n 是常数，则|x+m|+n ≥n ，有最小值是n

-|x+m|+n ≤n ，有最大值是n

(可以理解为|x+m|+n 是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值

例题1：1 ) 当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2 ) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3 ) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3 4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？

3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？

4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则

1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围

例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

归档总结：

若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

【例题6】

|x-1|的最小值

|x-1|+|x-2|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值

|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值

【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值

（2）已知|x|≤3，求x的取值范围

（3）已知|x|＜3，求x的取值范围

（4）已知|x|≥3，求x的取值范围

（5）已知|x|＞3，求x的取值范围

【例题8】

（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？

【乘方最值问题】

（1）当a取何值时，代数式（a-3)2有最小值，最小值是多少？

（2）当a取何值时，代数式 (a-3)2+4有最小值，最小值是多少？

（3）当a取何值时，代数式(a-3)2-4有最小值，最小值是多少？

（4）当a取何值时，代数式-（a-3)2有最大值，最大值是多少？

（5）当a取何值时，代数式- (a-3)2+4有最大值，最大值是多少？

（6）当a取何值时，代数式-(a-3)2-4有最大值，最大值是多少？

（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)2有最大值，最大值是多少？

【探究1】某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，如图现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？

【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左

到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？

【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An 共n 个汽车站（从

左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？

【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。

探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x 的点，使它到表示1、2、…、617各点的距离之和最小。

【课后练习】

1.（1）当x 取何值时，

3-x 有最小值？这个最小值是多少？

（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值。

（4）求987-+-+-x x x 的最小值。

2．已知

1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的

最大值与最小值．

3、若|1|a b ++与2

(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

4．若1++b a 与2

)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．

A ．a>b

B ．a=b

C ．a

D ．a ≥b

5 . 利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x 到2的距离与x 到-3 的距离之和，它表示两条线段相加：

⑴当x> 时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大； ⑵当x< 时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大；

⑶当 ≤x ≤ 时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比⑴、⑵情况下的值都小。

因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值，即等于到的距离。 6. 利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表示的是x 到-7的距离与x 到1的距离之差它表示两条线段相减：

⑴当x ≤ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值； ⑵当x ≥ 时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值； ⑶当

x << 时，随着x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值；当x 时，有最小值； 7．设0=++c

b a ，0>ab

c ，则的值是（）．

A ．-3

B ．1

C ．3或-1

D ．-3或1 8．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，

则

c c b b a -+-+-可能取得的最大值是．

绝对值（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-

，有

|x |????≤?；|x |>c (0)

0(0)(0)

x c x c c x c x R c <->>??

?≠=??∈

或

2利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|

?a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，

这是种典型的转化与化归的数学思想方法。 3利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2

x 可在两边脱去绝对值

符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝

对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于||||x a x b m -+->或||||x a x b m -+-<(

为正常数)类型不等式。对

||||ax b cx d m +++>(或

二、如何化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。（一）、根据题设条件

例1：设x<-1，化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（）。

（A ）2-x （B ）2+x （C ）-2+x （D ）-2-x

（二）、借助数轴

例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（）（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a

（三）、采用零点分段讨论法

例3：化简2|x-2|-|x+4|

三、带绝对值符号的运算

如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。

(一)、要理解数a的绝对值的定义。

数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a

的绝对值。”应理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身

是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。

(二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。

从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝

对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。重点理解的是，当a是一个负数时，

怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是

非负的作用，二是括号的作用）。

(三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0 时，︱a︱= a(性质1：正数的绝对值是它本身)；

当a=0 时，︱a︱= 0(性质2：0的绝对值是0) ；

当a<0 时；︱a︱= –a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性

质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0 时，︱a+b︱= (a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)；

当a+b=0 时，︱a+b︱= (a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)；

当a+b<0 时，︱a+b︱= –(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3

个性质，去掉绝对值符号进行化简。

但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。

因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，

所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。

口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。

5、对于绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！

6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。

四、去绝对值化简专题练习

（1）设x<-1化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（）。

（A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x

（2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值

等于（）

（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a

（3）已知x≥2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是x-8 。

（4）已知x<-4，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-x+8 。

（5）已知-4≤x<2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是-3x 。

（6）已知a、b、c、d满足a<-1

那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成）

（7）若｜-a｜>-a，则有（ A ）。

（A）a>0 （B）a<0 （C）a<-1 （D）-1

（8）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简

结果为（ C ）．（A）2a+3b-c （B）3b-c （C）b+c （D）c-b

（9）有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b ，b-2a ，

|a-b|，|a|-|b| 中负数的个数是（B ）．（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

(10) 化简|x+4|+2|x-2|=

(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x ≤2) (3)3x(x>2)

(11) 设x 是实数，y=|x-1|+|x+1| 下列四个结论中正确的是（ D ）。（A ）y 没有最小值（B ）有有限多个x 使y 取到最小值（C ）只有一个x 使y 取得最小值（D ）有无穷多个x 使y 取得最小值变式1. 若|m －1|=m －1，则m_______1; 若|m －1|>m －1，则m_______1;

变式2.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

【绝对值化简题例】

绝对值化简公式：

例题1：化简代数式 |x-1|

例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2|

例题3：化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13| 例题4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

初一下数学证明经典例题及答案

如图，已知D是△A B C内一点，试说明A B+A C＞B D+C D 证明：延长BD交AC于E 在△ABC中，AB+AE＞BE,即AB+AE＞BD+DE……①在△DEC中,DE+EC＞DC……② ①+②，得（AB+AE）+（DE+EC）＞（BD+DE）+CD 即AB+（AE+EC）+DE＞（BD+DE）+CD 即AB+AC+DE＞BD+DE+CD ∴AB+AC＞BD+CD 如图，△ABC中，D是BC的中点，求证：（1）AB+AC＞2AD （2）若AB=5,AC=3，求AD的范围。 (1)延长AD到点G,使DG=AD.连接BG 在△CDA和△BDE中 AD=GD,∠ADC=∠GDB ∵D是BC的中点 D C B A E A B C D G

∴CD=BD ∴△CDA ≌△BDG. ∴BG=AC 在△ABG 中,AB+BG=AB+BC AG=2AD 因为三角形两边和大于第三边,所以AB+BE ＞AG ∴AB+BC ＞2AD (2)AB-AC ＜2AD ＜AB+AC 2＜2AD ＜8 1＜AD ＜4 如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F 为DE 的中点，求证：BC=2AF. 延长AF 到点G,使AF=DF.连接GD 在△AFE 和△DFG 中 AF=GF,∠AFE=∠DFG ∵点F 为DE 的中点 ∴DF=EF B D C

所以△AFE≌△DFG.(SAS) GD=AE=AC;∠G=∠FAE. ∴DG∥AE.(内错角相等,两直线平行) 则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行,同旁内角互补）又∵∠BAC+∠DAE=180°. ∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等). 又∵AD=AB. ∴⊿ADG≌⊿BAC(SAS) ∴AG=BC,即2AF=BC. ∴BC=2AF. 如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA 求证：AE=2AD 证明：在AD的延长线上取点F,使AD＝FD,连接CF ∵AD是中线 ∴BD＝CD,AD＝FD,∠ADB＝∠FDC ∴△ABD≌△FCD （SAS） F E C D B A

七年级数学下经典例题不含答案

七年级数学下册测试题 1、如图(2)所示,1l ∥2l ,AB ⊥1l ,∠ABC=130°,那么∠α的度数为( ) A 、60° B 、50° C 、40° D 、30° 2、适合C B A ∠=∠= ∠3 1 21的△ABC 就是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确 3、一个n 边形的内角与等于它外角与的5倍,则边数n 等于( ) A 、24 B 、12 C 、8 D 、6 4、如图(5)BC ⊥ED 于点M,∠A=27°,∠D=20°,则∠B= °,∠ACB= ° 5、已知如图(8),△ABC 中,AB ＞AC,AD 就是高,AE 就是角平分线,试说明 )(2 1 B C EAD ∠-∠= ∠ 6、如图(9),在四边形ABCD 中,∠A=∠C,BE 平分∠ABC,DF 平分∠ADC,试说明BE ∥DF 。 7、如图,每一个图形都就是由小三角形“△” 拼成的 : …… ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 观察发现,第10个图形中需要个小三角形,第n 个图形需要个小三角形。 8、如图(11),BE ∥AO,∠1=∠2,OE ⊥OA 于点O,EH ⊥CO 于点H,那么∠5=∠6,为什么？ 9、若n 为正整数,且72=n x ,则n n x x 2223)(4)3(-的值为( ) A 、833 B 、2891 C 、3283 D 、1225 10、若2=-b a ,1=-c a ,则2 2)()2(a c c b a -+--等于( ) A 、9 B 、10 C 、2 D 、1 11、计算m m 525÷的结果就是( ) A 、5 B 、20 C 、m 5 D 、m 20 ⑶20 10 225.0? ⑷()[]()()5 32 2 32 3 34b a b a b a -?-?- ⑸( )[]()()522 343 225 x x x x -÷-?-÷ 13、若3-=a ,25=b 。则20052005 b a +的末位数就是多少？ 14、多项式b x x ++2 与多项式22 --ax x 的乘积不含2 x 与3 x 项,则 2)3 (2b a --的值就是( ) A 、8- B 、4- C 、0 D 、9 4- 图（5） C D M B E A 图（8）D B C E A 图（9） E B F C D A 图（11） H O C E B A 6 5 4 3 21

七年级数学上册期末复习典型例题讲析(人教版)

七年级数学上册典型例题例1. 已知方程2x m－3+3x=5是一元一次方程，则m= . 解：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3 所以m=4或m=3 警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）. 例2. 已知2 x=-是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值. 解：∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解 ∴将x=－2代入方程，得a·（－2）2－（2a－3）·（－2）+5=0 化简，得4a+4a－6+5=0 ∴ a=8 1 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以了. 例3. 解方程2（x+1）－3（4x－3）=9（1－x）. 解：去括号，得2x+2－12x+9=9－9x，移项，得2+9－9=12x－2x－9x. 合并同类项，得2=x，即x=2. 点拨：此题的一般解法是去括号后将所有的未知项移到方程的左边，已知项移到方程的右边，其实，我们在去括号后发现所有的未知项移到方程的左边合并同类项后系数不为正，为了减少计算的难度，我们可以根据等式的对称性，把所有的未知项移到右边去，已知项移到方程的左边，最后再写成x=a的形式. 例4. 解方程 1 7 5 3 2 1 4 1 6 1 8 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? + - x . 解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得111 351 642 x ?-? ?? ++= ? ?? ?? ?? 同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得11 31 42 x- ?? += ? ??

初一下册数学经典题型

1. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方程260x =- 的解为3x= ，不等式组205x x ->????-??-+<-? ，的关联方程是；（填序号）（2）若不等式组1144275 x x x ? -?? ?++?＜，＞-的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）（3）若方程21+2x x -=， 1322x x ? ?+=+ ???都是关于x 的不等式组22x x m x m -?? -?＜，≤的关联方程，求m 的取值范围.

2. 对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C.当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形ABC的面积为点A的等距面积. 例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC= BC=3，所以B 为点A的等距点，此时点A的等距面积为9 2. （1）点A的坐标是（0，1），在点B1（-1，0），B2（2，3），B3（-1，-1）中，点A的等距点为. （2）点A的坐标是（-3，1），点A的等距点B在第三象限， ①若点B的坐标是 ? ? ? ? ? 2 1 2 9 ，－－，求此时点A的等距面积； ② ②若点A的等距面积不小于9 8，求此时点B的横坐标t的取值范围. 备用图

初一年级数学经典例题

初一,年级,数学,经典,例题,数学,天地,初一,数学天地：初一年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】例1计算：分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成，可利用通项，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解原式= = = = 例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C(如右图).化简. 分析从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b0. 解由数轴知，a0 所以， = -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得

很简便. 解原式== 分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的. =2-22-23-24-……-218+219 =2-22+23 【核心练习】 1、已知│ab-2│与│b-1│互为相反数，试求：的值. （提示：此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.）【参考答案】 1、 2、3 字母表示数篇【核心提示】用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法. 【典型例题】例1已知：3x-6y-5=0,则2x-4y+6=_____ 分析对于这类问题我们通常用“整体代入法”，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用“特殊值法”，取y=0,由3x-6y-5=0，可得,把x、y的值代入2x-4y+6可得答案.这种方法只对填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的. 解由3x-6y-5=0，得所以2x-4y+6=2(x-2y)+6==

人教版七年级数学下册知识点及各章节典型试题

2018年最新版人教版七年级数学下册知识点及练习第五章相交线与平行线一、知识网络结构二、知识要点 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。 2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。如图1所示，与互为邻补角，与互为邻补角。+ =180°；+ =180°；+ =180°；+ =180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。如图1所示，与互为对顶角。=；=。 5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。如图2所示，当= 90°时， ⊥ 。垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。性质3：如图2所示，当a ⊥b 时，= = = = 90°。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。 6、同位角、内错角、同旁内角基本特征： ①在两条直线(被截线)的同一方，都在第三条直线(截线)的同一侧，这样的两个角叫同位角。图3中，共有对同位角：与是同位角；与是同位角；与是同位角；与是同位角。 ②在两条直线(被截线)之间，并且在第三条直线(截线)的两侧，这样的两个角叫内错角。图3中，共有对内错角：与是内错角；与是内错角。 ???? ? ?????? ??????????? ? ??? ?????? ??????????????????????????? ??平移命题、定理的两直线平行：平行于同一条直线性质角互补：两直线平行，同旁内性质相等：两直线平行，内错角性质相等：两直线平行，同位角性质平行线的性质的两直线平行　：平行于同一条直线判定直线平行　：同旁内角互补，两判定线平行　：内错角相等，两直判定线平行　：同位角相等，两直判定定义平行线的判定平行线，不相交的两条直线叫平行线：在同一平面内平行线及其判定内角同位角、内错角、同旁垂线相交线相交线相交线与平行线 4321 4321____________________________:图2 1 3 4 2 a b 图3 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c

七年级数学实数经典例题及习题

经典例题类型一．有关概念的识别 1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（） A、1 B、2 C、3 D、4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C 举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（） A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（） A、1 B、1.4 C、 D、【变式3】类型二．计算类型题 2．设，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B 举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3） ___________，___________，___________. 【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是（）． A．－1 B．1－C．2－D．－2 [变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简类型四．实数绝对值的应用 4．化简下列各式： (1) |-1.4|(2) |π-3.142| (3) |-| 分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。举一反三：【变式1】化简：类型五．实数非负性的应用 5．已知：=0，求实数a, b的值。举一反三：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。【变式2】已知那么a+b-c的值为___________ 类型六．实数应用题 6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

初一下册数学经典易错题

初一下册数学经典易错题一、填空题 1.一个数的平方等于它本身，这个数是;一个数的平方根等于它本身，这个数是;一个数的算术平方根等于它本身，这个数是;一个数的立方等于它本身，这个数是;一个数的立方根等于它本身，这个数是;一个数的倒数是它本身，这个数是;一个数的绝对值等于它本身，这个数是。 2.16的平方根为，，的平方根等于. 3.已知; ，则。 4.已知一个正数的两个平方根分别为3x-5和x-7，则这个正数为. 5. -1的整数部分为;小数部分为;绝对值为;相反数为. 6. 如图，在数轴上，1，的对应点是A、B，A是线段BC的中点，则点C所表示的数是。 7.已知，OAOC，且AOB：AOC=2：3，则BOC的度数为。 8.如果1=80，2的两边分别与1的两边平行，那么2= 。 9.已知点A(1+m，2m+1)在x轴上，则点A坐标为。 10.已知AB∥x轴，A点的坐标为(3，2)，并且AB=5，则B的坐标为. 11.点P(a-2,2a+3)到两坐标轴距离相等,则a= . 12.将点A(1，-3)向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到点B(a， b)，则ab= .新课标第一网 13.已知平面直角坐标系内点P的坐标为(-1,3),如果将平面直角坐标系向左平移3个单位,再向下平移2个单位,那么平移后点P的坐标为________. 14.在平面直角坐标系中，已知A(2，-2)，在y轴上确定一点P，使△A OP为等腰三角形，则符合条件的点P共有个。 15.点P(a+5，a)不可能在第象限。 16.平面直角坐标系内有一点P(x，y)，满足，则点P在 17.方程在正整数范围内的解是_____ 。 18.已知x=1，y=﹣8是方程mx+y-1=0的解，则m的平方根是。 19.关于x的不等式(a+1)xa+1的解集为x1，那么a的取值范围是。 20.如果不等式2x-m0的正整数解有3个，则m的取值范围是。

七年级年级数学经典例题

数学天地：初一年级数学核心题目赏析有理数及其运算篇【核心提示】有理数部分概念较多，其中核心知识点是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用“数形结合思想”解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】例1计算： 2007 20061 ......431321211?+ +?+?+? 分析此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种“抵消”思想，如能把一些项抵消了，不就变得简单了吗？由此想到拆项，如第一项可拆成 2 1 11211-=?，可利用通项 ()11111+-=+?n n n n ，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解. 解原式= )20071 20061(......413131212111-++-+-+-）（）（）（ =20071 20061......41313121211-++-+-+- =20071 1- =2007 2006

例2 已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C(如右图).化简b c b a a -+-+. 分析从数轴上可直接得到a 、b 、c 的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道“在数轴上，右边的数总比左边的数大”，大数减小数是正数，小数减大数是负数，可得到a-b<0、c-b>0. 解由数轴知，a<0，a-b<0，c-b>0 所以，b c b a a -+-+= -a-(a-b)+(c-b)= -a-a+b+c-b= -2a+c 例3 计算：?? ? ??-??? ??-????? ??-??? ??-??? ??-211311 (9811991110011) 分析本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便. 解原式= 2132......9897999810099?????= 100 1 例4 计算：2-22-23-24-……-218-219+220. 分析本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们“相互抵消”呢？我们可先从最简单的情况考虑.2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.再考虑2-22-23+24=2-22+23（-1+2）=2-22+23=2+22（-1+2）=2+22=6.这怎么又等于6了呢？是否可以把这种方法应用到原题呢？显然是可以的. 解原式=2-22-23-24-……-218+219（-1+2） =2-22-23-24-……-218+219 =2-22-23-24-……-217+218（-1+2） =2-22-23-24-……-217+218 =…… =2-22+23 =6

七年级数学下册不等式与不等式组经典例题分析

精品文档不等式与不等式组经典例题分析足的x的值中，绝对值不超过11的那些整数之和【例1】满等于。【分析】要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过11的整数解，因此我们应该先解不等式. 解：原不等式去分母，得 3（2＋x）≥2（2x－1），解得：x≤8. 满足x≤8且绝对值不超过11的整数有0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8，－9，－10，－11. 这些整数的和为（－9）＋（－10）＋（－11）＝－30. 【例2】如果关于x的一元一次方程3（x＋4）＝2a＋5的解大于关于x的方程的解，那么（）. 【分析】分别解出关于x的两个方程的解（两个解都是关于a的式子），再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案. 的解为 2a＋5（x＋4）＝解：关于x的方程3 的方程关于x的解为 D. 由题意得.，解得因此选，2+c>2，那么（）【例3】 . 如果 A. a-c>a+c B. c-a>c+a C. ac>-ac D. 3a>2a 【分析】已知两个不等式分别是关于a和c的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案. 由解: 所以a<0. 由2+c>2，得c>0，答案：B 满足不等式S，这四个数中最大数与最小数四个连续整数的和为S，【例4】的平方差等于 . 【分析】由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出. 解：设四个连续整数为m-1，m，m+1，m+2，它们的和为S＝4m＋2.

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