涂色画(一笔画)

一笔画攻略

一笔画攻略 一．这篇文档是什么 1.首先这篇文档是一篇一笔画游戏攻略。文档详细叙述有关一笔画问题的解答方法和技巧。不同于网上流行的一些一笔画攻略，每幅图都一步步的给出了连线步骤，而是力图带着读者进行一些思考，用抽象和归纳的方法，得出一些通用的结论和解答技巧。 2.这篇文档是作者的itunes store发布的应用程序的自我推广文档。后面将给出链接，如果读者是iphone用户，并且喜欢该文档，可以下载使用。当然你也可以通过阅读本文，领悟技巧，然后下载Android版本的一笔画游戏。毕竟游戏内容和关卡都比较类似，但是我的游戏中融入了攻略以及互动关卡，在互动过程中，竖琴精灵会给予你启发，与本文思想完美融合，并且在出错的第一时间提示你应该注意的地方，并且支持及时撤销等操作。 二．这篇文档不是什么 1.这篇文档不是一个填鸭式的游戏攻略，网上流行的攻略都是详细的操作步骤，这种所谓的攻略无法满足热衷于思考的读者。 2.这篇文档不是一篇单纯的广告，虽然我拟写文档的目的之一是为了推广自己的IOS应用，但更是凝结了我大量的尝试，思考和归纳。作为致力于科研和教育事业的我，更希望读者在阅读过程中有所收获，至于读者是不是苹果用户，或者是否愿意消费购买，是其次的事情，如果你是越狱用户，也可以直接联系我，我会把无认证的app发

给你。 3.这篇文档不是一篇有关拓扑学的文献，虽然作者本人，是从事科学研究工作，并致力于教育事业，对图论，离散数学，计算几何等相关学科略知一二，但是本文不是绝对的严格！的确文中引入了某些拓扑学的概念，也进行了一些逻辑推导，但立足点是针对游戏，某些推导是带有武断性的，它往往指引我们找到答案，但并非总是正确！ 三．目录 1.欧拉生平简介 2.柯尼斯堡七桥于拓扑学 3.相关游戏链接推荐 4.单线问题 5.双线问题 6.箭头(有向图) 7.传送门 8.结语

一笔画问题(欧拉图)

2010-10-18 17:32 by EricZhang(T2噬菌体), 3556 visits, 网摘, 收藏, 编辑 关于一笔画问题的数学分析（对一道面试题的总结与扩展思考） 摘要 前几天参加了一个公司的面试，其中被问到了一个题。面试官在纸上画了一个图形（具体图形见下文），问我能不能一笔画出这个图形，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。当时我没有试着去画，而是凭着自己图论方面的知识在几秒钟之内告诉面试官不可能做到，然后简单说了一下理由。面试结束后我翻阅了图论相关的资料，发现当时自己虽然给出了正确答案，但理由并不完全正确。昨天我花了几个小时仔细研究了一下相关的理论，总结了一下这类问题的类型和解法，写成此文，分享给大家。 问题的提出 当时面试官给我出的问题是这样的：对于下面这个图形，让我一笔画出，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。 面试时我给出的回答是不可能做到，面试结束后我也从数学上证明了这个这个回答。当然有兴趣的朋友可以试着画画看。

这个问题其实就是我们小时候会玩到的一笔画游戏。这类问题看似简单直观，但是仔细研究下来却蕴含了很多东西，而且涉及了图论中一个非常重要的研究课题——欧拉迹。而且这类问题可以扩展出很多东西，例如任意给一个图可不可以完成一笔画且最后回到起始点？再如到底什么样的图可以一笔画出来？什么样的图一笔画不出来？如果一个图可以一笔画出来，那么应该如何画？有没有对一切可一笔画图形的通用解法？ 下面我们将这个问题抽象成一般问题，然后从图论角度寻找上述疑问的答案。 图论中的一些概念 因为在下文论述过程中需要用到一些图论的基本概念，为了照顾在这方面不熟悉的朋友，我先将要用到的定义和概念列出来，如果您对图论的基本内容已经了然于胸，可以跳过这一节。另外如不做特殊说明，下文所有的“图”都默认指“无向图”，本文的讨论不涉及“有向图”。 简单图——一个简单图可表示为G=(V, E)，其中V是顶点集合，其中每个元素是图的一个顶点；E是边集合，其中每一个的元素是一个顶点对(a, b)，其中a和b均属于V，这个顶点对表示顶点a和b 间有一条边相连。 多重图——简单图不允许同一组顶点对在E中出现两次，即一对顶点间最多只有一条边。如果在简单图的基础上允许任一组顶点对间有任意条边，则简单图变为多重图。 一般图——如果在多重图的基础上允许自关联边，即允许(a, a)这样的顶点对出现在E中，则这种图叫一般图。（我们后续所有讨论的对象都是一般图，如不做特殊说明，下文所有的“图”均指一般图）顶点的度——一个顶点的度是这个顶点所连接的边的条数。 连通图——如果一个图任意两个顶点之间都存在由边组成的通路，则这种图叫连通图。（我们后续所有讨论的对象都是连通图，如不做特殊说明，下文所有的“图”均指无向一般连通图）

一笔画(奥数)

一笔画 【知识要点】 1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。 2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。 3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。 【题目】 1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。 2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？ 3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？ D B C D E F B C A

5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？ 6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。 7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。 8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？ 9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？ 10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。 A B H C G F E D

11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。 12 重复。 13 ．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？ 14 A 点位置，白色的鱼在B 点位置。哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？ 15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？ 16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一 条街道，你能帮帮他吗？ 17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？ 18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？ E

一笔画

一、解决一笔画或多笔画问题，都要先数出奇点的个数，奇点个数是0个或2个的连续图形可以一笔画；奇点个数超过2个的连续图形无法一笔画，奇点的个数是2的几倍，画出该图形就需要几笔。 二、一个多笔画的图形，可以通过连线减少奇点个数变成一笔画图形，反之亦然。 三、一笔画图形没有奇点时，要想一笔画出，必须从一个双数点出发，最后再回到原来的双数点；一笔画图形有两个奇点时，要想一笔画出，必须从一个奇点出发，最后再回到另外一个奇点。 【题目】： 下图是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路而又不重复，出、人口应该设在哪里？ 【解析】： 要使游客走遍每一条路而又不重复，也就是一笔画出上图，公园的出入口就是一笔画的起点和终点，观察图形，图中只有I和E两个奇点（每个点连接3条线），因此公园的出入口应设在这两个点上，以其中一个点为入口，以另一个点为出口。 【题目】： 下面各图至少要用几笔才能画成？ 【解析】： 首先观察上面三个图形，数出每个图形中奇点的个数，再根据奇点的个数作出判断： 第（1）个图形中有8奇点（红色交点），8÷2=4，可以四笔画成； 第（2）个图形中有8奇点（红色交点），8÷2=4，可以四笔画成； 第（3）个图形中有4奇点（红色交点），4÷2=2，可以两笔画成。 【题目】： （1）能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？ （2）能否用剪刀一次连续剪下右下图中六个三角形？

【解析】： 上面两个图形都只有两个奇点（红色交点），都是一笔画图形，但用笔画和用剪刀剪，这两种操作是有区别的。 第一、用笔画，笔要经过图中的每一条线段，用剪刀剪只能剪图形内部线段，四周的边框是不能剪的； 第二，用笔画一条经过某个点的直线后，图形还是完整的，用剪刀沿直线经过某个点剪一刀后，这个图形会被剪成两段。因此在剪的过程中要注意技巧，可以分别准备好这样的两张纸片，在纸片上画出对应的线段，让孩子在剪纸的操作中慢慢体验这一点。 这两个图形都可以按题目要求一次连续剪下。上面左边图形在剪的时候注意：可以从图形左边奇点开始先向右剪，遇到第一个交点后拐弯向上，再向右下，再向左剪，最后向下到第二个奇点结束. 奥赛天天练》第45讲《一笔画》，所谓一笔画，是指笔不离纸地一次性画出一个图形，而且笔所走过的路线不能重复。一笔画是个很有趣的数学问题，这个数学问题的学习可以从下面这个著名数学故事《七桥问题》开始： 18世纪，在哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结（如下图）。 城中的居民经常沿河过桥散步。城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是举世闻名的七桥问题，当时的人们始终没有能找到答案。 大数学家欧拉从朋友那里听到这个问题，很快便证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，思考过程如下图：

有趣的一笔画

二有趣的一笔画 ——写有标点的话 【训练内容】1.初步了解标点符号，正确运用逗号与句号。 2.写有标点的话。 【教学目标】1.掌握逗号与句号，并能正确使用。 2.写有标点的话。 【教学重点】学习标点符号，会正确使用逗号与句号，并写几句有标点的句子。 【教学难点】1.正确使用逗号和句号。 2.激发学生想象力，用带标点的句子叙述一笔画。【教学方法】讲授法、采访法。 【教学准备】幻灯片 【教学过程】 第一课时 一. 读经典，我快乐。 学习方法：1.教师先读，学生看准字音。 2.学生齐读，教师简单释义。 3.学生分句来读，并试着背。 4.最后再请齐读一遍，学生试着背诵。 二、学习古诗《月夜》 学习方法：1.教师先读，学生看准字音。 2.学生齐读，教师简单释义。

3.学生有感情的读，要求不出错。 4.学生分句来背。 5.学生试着背诵整首古诗。 三、谚语格言读一读 学习方法：1.学生有感情读。 2.教师简单释义。 3.写一写 四、我说的又快又准。 学习方法：1.学生自己先读，字音要准确。 2.同桌为小组，比一比，谁读的又准又快。 3.找同学读，比一比，谁是小冠军。 五、寓言故事大家讲。 学习方法：1、学生分段来读。 2、说说意思。 第二课时 一、故事导入 师：今天老师讲个故事，同学们要认真听，秀才是怎么样智斗财主的？ 二、老师讲故事，学生回答问题 师：故事讲完了，你认为秀才聪明吗？他是怎样智斗财主的？生：秀才很聪明，他利用了标点符号来智斗财主的。 师：说的很对，同学们，你们看，标点的作用多大呀，以后可要

认真学习它。知道吗？学习标点利用标点符号歌，记得又快又准，我们一起学学标点符号歌吧。 三、学习标点符号歌，记忆标点的写法及用法。 四、做练习（p13） 五、一笔画 师:同学们，喜欢画画吗？谁能一笔画出一幅画呢？ （老师现在黑板上画，然后学生自告奋勇来黑板上画一画） 师：画的不错，谁来为自己的一笔画配个简短的介绍呀？比如老师画的苹果，可以这样说：我一笔画出一个大苹果，红红的、圆圆的，吃在嘴里甜甜的。我最爱吃苹果了，因为它有丰富的营养。（说说一笔画成了什么？它是什么样的？为什么画它？）生：…… （语句通顺的奖励星星） 第三课时 一、激发写作欲望 一笔画有意思吗？你一笔画出了什么？它是什么样的？你为什么要画它？用几句通顺的话写出来，要用上正确的标点符号呦。 二、写作要求： 1.在作文本上画出自己喜欢的一笔画 2.在画的旁边配上几句通顺的话，说说画的是什么？它是什 么样子的？为什么要画它？

【免费下载】 一笔画技巧

益智游戏“一笔画”的技巧 当你还是个小学生的时候，也许就接触过“一笔画”的智力游戏了。对于一个已知的几何图形，要求用笔不间断、不重复路线的方法一次性把它画完，就是“一笔画”。现在有人把它做成手机触屏游戏，在互联网上流传。不懂技巧的人玩起来就像迷路的司机，开着车转来转去，却始终找不到正确的方向，感觉很费神。 其实，“一笔画”是个古老的问题，欧洲人把它叫做“邮递员问题”。邮递员面对错综复杂的城市街道，需要把邮件送达到分散在街道上的各个地方的客户手上，为了少走冤枉路，出发前需要对途经路线进行一个合理的规划，其中需要用到的知识就是“一笔画”。 在介绍一笔画技巧之前，我们先来了解两个基本概念：“奇数端点”和“偶数端点”，看下面的图形：

上图中：以A 为端点，只有AC 一条射线；以E 为原点，有EF 、EJ 、ERJ 三条射线；以G 为端点有GC 、GF 、GH 、GJ 、GK 五条射 线，因为以它们为端点的射线条数都为奇数，所以称它们为“奇数端点”。 同理把B 、C 、D 、F 、H 、J 、K 、L 、M 称为“偶数端点”。概念：以图形中任意一点为端点的射线数量如果为奇数，这个端点就是“奇数端点”；如果为偶数，这个端点就是“偶数端点”。（在这个概念中提到的射线允许是曲线，如上图中的ERJ 和ISK ）对于任意图形，它的“奇数端点”数量只有两种可能：0个或偶数个。即是说你永远也不可能画出一个有奇数个“奇数端点”的图形。【不信你自己拿纸笔试画一下，看看你能否画出一个只有1个（或3个、5个、7个……）奇数端点的图形】。而偶数端点可以是任意个，比如下面的这个圆，你可以把它看成是没有偶数端点的图形（左边），也可以把它看成是有无数个偶数端 点的图形（右边 ），了解了“奇数端点”和“偶数端点”的概念后，下面我们来研究“一笔画”，研究一笔画的重点是研究“奇数端点”，而“偶数端点”可以

数独及一笔画教案

你会爱上的数学 -----------数独 一、教学背景： 在这个知识经济的时代，知识总量越来越丰富，信息的传播和流动速度加快，社会生活的流动性和变迁性增强，在这样一个知识爆炸的时代，小学生也应该不可避免的需要培养自己一些能力，课小学生毕竟不是成人，所以我们应当让他们在游戏等这种轻松的氛围中学习，而数独游戏就是一个不错的选择。数独游戏看似简单，其实奥妙无穷。它不仅可以供人休闲娱乐，而且对开发人的智力、增强逻辑思维具有重要作用。特别对小学生来说，玩数独游戏，对于陪养他们的求知欲、逻辑推理能力，丰富他们的课余生活，都是非常有帮助的。 二、教学目标： 1、认知目标：a、学生知道数独的来源以及传播和数独的规则； b、学生知道玩数独的基本方法； c、学生学会玩数独和 2、能力目标：a、学生的逻辑能力提高 b、学生学会了探索能力 3、情感目标：a、学生们之间相处的更加好； b、学生的求知欲增强，对数学更加感兴趣。 4、行为目标：学生学会在做事情前主动去思考 三、教学内容： 第一堂课：让你知道数独的来源和传播 1、上课前写好关于数独来源和传播的剧本，分好角色 2、上课时根据角色将同学们分成几个小组以及小组编号，并且各小组自行分配好自己 的角色演出 3、给各小组五分钟探讨剧本，五分钟后各小组按编号依次根据自己的理解上讲台表演 节目，其余各小组认真观看给各小组评分并在表演结束后推荐一人或毛遂自荐讲述一下上台表演小组的优缺点。 4、所有小组表演结束后，教师给予各小组赞扬并根据个小组的评分评出最佳小组。在 掌声中结束此次讲课。 第二堂课：让你了解何为数独以及数独的规则 1、组织学生们将桌子移到靠墙的位置，教师在中间空下来的位置上用粉笔画上9x9格子 2、教师选出21个同学分别扮演1~9个数字，将她们固定在制定位置上，其他同学根据

五年级一笔画与多笔画问题

一笔画与多笔画(B) 知识框架 一、一笔画的认识 所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法。 什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏.所谓一笔画，就是从图形上的某点出发，笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复. 我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点. 二、一笔画问题 （1）能一笔画出的图形必须是连通的图形； （2）凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点； （3）凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点.以另一个奇点作为终点； （4）奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画． 三、多笔画问题 我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成. 重难点 （1）知道什么样的的是奇点？什么样的点是偶点。 （2）知道什么样的图形可以一笔画出。 （3）不能一笔画出的图形叫做多笔画图形，多笔画图形的笔画数与什么有关呢？

【例 1】 我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些 点是偶点？哪些点是奇点？ J O I H G F E D C B A 【巩固】 下图中，哪些点是奇点，哪些点是偶点？ G F E D C B A 【例 2】 观察下面的图形，说明哪些图可以一笔画完，哪些不能，为什么？对于可以一笔画的图形，指明 画法. 例题精讲

一笔画规律

一笔画规律 教学内容：一笔画规律 教学目标： 1、通过“过桥故事”，使学生了解许多重要的科学理论来源于生活。 2、掌握一笔画的规律，能应用规律解决简单的实际问题。 教学准备：多媒体课件、练习纸每人一张。 教学过程： 一、故事引入，激发兴趣。 1、讲述哥尼斯堡七桥故事。（但不先揭示结果） 师：在18世纪，东普鲁士的哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普勒格尔河从这个城市穿过，并在这儿形成两条支流，把整座城市分割成4个区域。当时有七座桥横跨普勒格尔河及其支流，把河岸、半岛和河心岛连接起来。有趣的桥群和哥尼斯堡的迷人景色吸引了众多的游客，有人在游览时就提出这样的问题：怎样才能够一次走完这七座桥，每座桥只准通过一次，而且最后又回到出发点？ 2、出示七桥图片： 师：刚才老师讲的故事就是著名的“七桥问题”，同学们仔细观察一下这幅图片，先猜一猜究竟有没有这样一条路线。 师：有的同学认为有，有的认为没有，究竟有没有呢，今天我们就来学习一笔画的有关知识，通过今天的学习，我相信大家一定会找到答案。 所谓一笔画，就是从图形上的某一点出发，笔不离开纸，而且每一条线都不重复，也就是一笔勾画出。 二、讲授新课： 1、出示一组图形，让学生进行判断能不能一笔画出。学生画后汇报。 师：（1）和（2）能，（3）不能，老师来演示一下看看是不是这样。 师：为什么同样是图形有的能一笔画出，有的却不能呢？我们知道，所有的图形都是由点和线组成的，图形中的点可以分成两大类： 1、从一点出发的线的数目是双数的，我们把它叫做双数点； 2、从一点出发的线的数目是单数的，我们把它叫做单数点。引导学生观察图1，它有几个点？都是什么点？依次说出其他图形的点有什么特点。 2、合作探索。师：一个图形能否一笔画成与双数点和单数点有没有关系呢？仔细观察一下这三个图形，分组讨论讨论，看看能不能找出其中的规律。学生讨论后汇报。 3、课件出示一笔画规律：师：刚才老师对同学们讨论的结果进行了总结，我们一起来看一看一笔画究竟有怎样的规律。一笔画图形有如下三条规律： （1）凡是图形中没有单数点的，一定可以一笔画成，画时可以从任意一个双数点为起点，最后仍回到这点； （2）凡是图形中只有两个单数点的，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一个单数点为终点； （3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图形不能一笔画成。 4、课件出示两个图形，让学生进行判断： 5、课件出示一组图形让学生一笔画出 三、实际应用： 1、师：有一个地方要新建一处儿童乐园，平面图都画好了，可是设计人员不知道出入口应设在哪，才最合理，请同学们来帮一帮他。

一笔画问题

第一讲: 一笔画问题 【例1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？并说一说每个图形有几个单数点和双数点 （2 ） 1、下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？并说一说每个图形有几个单数点和双数点 【例2】数一数下列图形单数点与双数点的个数，并说出一笔画图形与单数点和双数点的关 系。

1、下面的图形能否一笔画完成？为什么？ （1） O （2） B D （3） 【例2】下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？ 1、下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？ 【例3】下面的图形能不能一笔画？如果能怎么画？ 12、3

4、、、 【例4】下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成能够一笔画成的图形？ 1、将下列各图改成一笔画。 【例5】邮递员叔叔要向一个居民小区送信，怎么样走才能少走重复路，使每天走的路尽可能短？ 1.下图是一个小区中花园的平面图，你能一次不重复地走完所有的路吗？入口和出口应该设计在哪儿呢？ 2.下面是“儿童乐园”平面图，出口应没在哪里才能不重复地走遍每条路？

1.数一数下面图形有几个单数点？ 2.下列图形能一笔画成吗？为什么？ 3.甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A 、B 出发，哪辆车能最先行驶完所有的路线？ 4.园林工人在花园浇花，怎样才能不重复地走遍每一条小路？

第 二 讲:巧填竖式 【例1】在方框里填上合适的数，使算式成立。 □ 4 + 2 □ 8 9 练习1：下面题中各图形分别表示多少？ （1） 7 ☆ （2） ☆ 9 + □ 4 + 6 5 9 7 8 □ （3） 6 △ （4） 1 ☆ 3 + △ ☆ + □ ☆ 9 7 1 9 5 【例2】猜一猜，每个汉字各表示什么数字？ 学 学 — 4 生 8 学=（ ） 生=（ ）

二年级奥数-简单一笔画

二年级奥数-简单一笔画 王牌例题1 一些平面图形是由点和线构成的。这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线。每个图中的每个点和线的连接情况如何呢？ 【思路导航】请小朋友仔细观察下列各图中的点它们分别与几条线相连。 ①与一条线相连的点有： ②与两条线相连的点有：P25 ③与三条线相连的点有： ④与四条线及四条以上线相连的点有： 归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连的点叫做单数点；把和二条、四条、六条等双数条线连的点叫双数点。每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。 疯狂操练1 随便找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。 王牌例题2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？

（1）（2）（3） 【思路导航】图（1）中有二个单数点，图（2）中有0个单数点，都能一笔画成；图（3）中有四个单数点，不能一笔画成。 结论：一个图能不能一笔画成与它包含的单数点有关，有0个或2个单数点的图能够一笔画成，否则不能一笔画成。 疯狂操练2 下列图形能一笔画成吗？为什么？ ⑴⑵⑶ ⑹ 王牌例题3 下图（图1）能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？ （2） （2）图中画的箭头是：外圆为顺时针方向，正方形是顺时针方向，菱形是逆时针方向，中间两条线是顺时针方向。 【思路导航】通过观察发现图中所有的点都是双数点，根据前面的结论，所有的点都是双数点一定可以一笔画成。因此任何一个双数点都可以作为起点，最后仍以这点作为终点。 图（1）没有单数点，都是双数点，能一笔画成。画法见图（2）。 疯狂操练3 判断下列各图能否一笔画出，并说明理由。能一笔画成的试着画一画。 （2）（3）

（4） （5 （6） 王牌例题4 下图（图1）能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画成？ （1） （2） 【思路导航】此图共有9个点，其中5个点是双数点，4个点是单数点，由于超过两个单数点，因此不能一笔画成。要想改为一笔画成，关键在于减少单数点数目（把单数点的个数减少到0或2），所有只要在任意两个单数点间连上线，就可以一笔画完。有时也可以将多余的两个单数点间的边去掉，改成一笔画。 图（1）中有两个单数点，不能一笔画成。要改成一笔画成，如图（2）。 疯狂操练4 将下图改成一笔画。 王牌例题5 下图是某新村小区主干道平面图，甲乙两人分别从A 、B 出发，以相同的速度走遍所有的主干道，最后到达C ，问谁能最先到达C ？ 【思路导航】图中两人必须走完所有的主干道，最后到达C ，而且两人必须以同样的速度走，很显然谁走的路少，谁肯定先到。通过观察可以发现，图中有两个单数点，两个双数点，A 、C 为单数点，这就是说甲可以从A 点出发，不重复走所有的主干道，最后到达C ；而B 点是双数点，从B 点出发的乙不可能不重复走完所有的街道，因此，甲走的路程正好等于所有主干道的总和，而乙走的路程一定要比这个总和多。所以甲比乙先到达C 。 疯狂操练5 C B （乙） A （甲）

学习一笔画带答案

第10讲学习一笔画 【专题简析】 一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。它是一种有趣的数学游戏。那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？ 一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。 【例题1】 一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。 思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。 ① ② ③ ④ （1）与一条线段相连的点有： （2）与两条线段相连的点有： （3）与三条线段相连的点有： （4）与四条线段相连的点有： 归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。 练习1 1.任意找一个平面图形，数一数图中有几个单数点，几个双数点。 2.下面图形中有哪几个单数点？ 答案：A D 3.数一数下面图形中有几个双数点，分别是哪些点？ 答案：A B C D E F

【例题2】 下面的图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？ （1） O （2） B D （3） 【思路导航】图（1）中A、B、C、D、O五个点都是双数点，所以这个图形可以一笔画成。 画时可以从任意一点出发。图（2）中A、C、D、F四个点都是双数点，B和E两个点是单数点，所以这个图形也可以一笔画成。画时要从单数点出发，最后回到另一个单数点。图（3）中A、D是双数点，B、C、E和F四个点是单数点，单数点的个数超过了两个，这个图形不能一笔画成。 练习2 1.下面的图形能不能一笔画成，如果能，请说明画法，如果不能，请说明理由 （1）（2） 答案：图（1）可以一笔画成，因为单数点有两个 图（2）不能一笔画成，因为单数点大于两个 2.下列图形能一笔画成吗?为什么？ 答：图（1）可以一笔画成，因为单数点个数为零 图（2）不可以画成，因为单数点只有一个 图（3）不可以画成，单数点个数大于两个 3.观察下列图形，哪个图形可以一笔画成？怎么画？

关于图形推理中一笔画问题的解题技巧

关于图形推理中一笔画问题的解题技巧在行测考试中，图形推理中的一笔画问题，一直都是考生在考试中容易失分的题目。其实主要问题存在于几个方面。一、考生无法判断，什么样的图形考查的是一笔画;二、对一笔画图形的判断方法不了解。接下来，中公教育专家卢志喜会从这两个方面给大家揭开一笔画的神秘面纱。 一、什么样的图形是一笔画图形 定义：一笔画图形是一个图形从起点到终点可由一笔画成而中间没有间断，一笔画图形点可以重复，而线不可以重复。 一笔画图形具有两个比较明显的特点。①图形相异;②图形简单;③图形一部分。因此考生在复习图形推理时，除了要掌握相异图形常考的考点，点、线之外，还要掌握一笔画。在复习备考的过程中首先要掌握一些简单的一笔画图形。例如：长方形、正方形、三角形、五角星、圆。当出现这些基本图形，或者在简单图形上增减了部分线条时，有一定的敏感性。 二、如何判断一个图形是否是一笔画图形 方法一、奇偶点判断法 奇点：从一个点引出的线条数为奇数;偶点：从一点引出的线条数为偶数。 规律：⒈凡是奇点数为2或者0的图形，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。(利用奇点数判断，图形必须是一部分，比如“回”，奇点数为0，但是不能一笔画) 2.其他情况的图都不能一笔画出。(有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成。) 利用奇偶点法判断下列几个图形是否为一笔画图形，非一笔画图形需几笔画成?

分析：图形1.奇点数为2，偶点为2，可以一笔画成。图2.奇点为0，偶点为3，可一笔画。图3.奇点为6，偶点为0，三笔可画成。图4.奇点为0，偶点为10，可一笔画。图5.奇点为4，偶点为5，可2笔画。图6.奇点为4，可2笔画。 奇偶点判断法规律适合一切一笔画图形。 方法二、区域连通法 规律：1、平面内区域可以构成两两连通的区域(表示图形没有单独的出头的线条)，且区域之间属于单连通，这样的图形可以一笔画。(单连通表示从一个区域到另一个区域只有唯一的路径，且经过的区域不能重复) 利用区域连通法，判断下列几个图形是否为一笔画图形? 分析：首先对图形进行区域划分，如下： 图1.区域1到区域2是单连通，可以一笔画。图2.区域1到区2，也是单连通(需要经过中间的三角形区域)，可以一笔画。图3.区域1到区域5，可以从区域1-3-5，也可以从区域1-2-4-5，不是单连通，不能一笔画。图4.区域1到2，需要通过区域3，且只有一条路径，可以一笔画。图5.区域1到4，可以从区域1-3-4，也可以从1-2-4，不是单连通，不能一笔画。图6.区域1到3，可以从区域1-3，也可以从1-2-3，不是单连通，不能一笔画。

一笔画公开课

低段《一笔画》公开课 教学内容：二年级华数书P182-P188 教学目标: 1、通过学习能够找出奇点与偶点； 2、判断图形能否一笔画。 教学重难点：找奇点数。 教具准备：三组图片。 教学过程： 一、趣味题： （1）哪一个月有二十八天? （每个月都有28天） （2）小明的妈妈有三个儿子，大儿子叫大明，二儿子叫二明，三儿子叫什么？（小明） （3）把一只鸡和一只鹅同时放在冰山上，为什么鸡死了鹅没死？（鹅是企鹅） 二、激趣导入： 师：小朋友们都特别的棒！你们喜欢《喜羊羊和灰太狼》吗？今天羊羊村举行了一场智力ＰＫ大赛，喜洋洋,美羊羊,沸羊羊他们都参加了，你们敢不敢和他们比试比试，看看谁更聪明？ 师: 村长作为裁判，摸了摸自己的长胡子说“欢迎小朋友来参加智力PK赛，今天我们来笔试的是‘一笔画’。”(板书“一笔画”) 有的小朋友肯定会问什么叫一笔画？所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离开纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都画一次，不准重复。（大声的朗读一遍） 师: 那你能一笔画出什么图形呢？(让学生上来画画) 三、例题新授： 师：小朋友都特别的棒，第一回合，美羊羊出战。小朋友有没有信心？这时候，村长出题了，仔细听好了：观察下面的图形，说明哪些图能一笔画，哪些不能，为什么？

（1）（2）（3）（4） 生：（1）（2）（4）不行，他们没有连在一起。（3）可以，连在一起。（请一个学生上来画一画） 师：对，想要一笔画，他的前提肯定是连通图（板书：①连通图） 朋友可真棒！打败了美羊羊。这时候，最聪明的喜羊羊出来应战了，说想和你们PK，PK，你们愿意吗？ 村长摸了摸胡子，出了第二道题： 我们再看看下面这些都是连通图，连通图是不是就一定能一笔画呢？（在此认识奇点与偶点） （1）（2）（3） 生：（1）（2）可以；（3）不可以。

有趣的一笔画问题

有趣的一笔画问题 一笔画问题的提出： 一笔画是一个大问题，为了更好的解决这个问题，我们从生活提出一笔画问题。我们先看一个公路检查员的问题：他为了检查几个城市之间的若干公路，希望在这些城市和公路组成的公路系统中找出一条路线，使他能不重复地恰好通过每条公路一次，而经过每个城市的次数不限。这就是拓扑学中的数学问题。 一笔画的含义 如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。下面的画能一笔画成，你也试着描一描，画一画吧！ 那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？那我们就要一起学习一笔画的规律。其实一笔画是一个几何问题，一个图形由一笔构成叫一笔画。传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而对于平面图形的一笔画与多笔画问题，通常的几何方法是无能为力的，因为一个图形能否一笔画，与图形的大小、形状和线段的长短等几何概念都没有关系，而是与图形中线段的数目及连接关系有关，我们可以随意地将图形拉伸、压缩或弯曲，甚至在保持端点不动的前提下，还可以将某些线段“搬家”，只要图形的整体结构不变，能否一笔画的性质也就不会改变。 一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能

一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。(在日本动画片一休中，是采用对折纸张的方法画出‘田’和‘目’的一笔画）也是可取之处。 一笔画图形的规律和判别： 著名的哥尼斯堡七桥问题实质上就是一个一笔画问题。欧拉最终证明了这个图形是不能一笔画成的，并在关于七桥问题的报告中得到了任一网络图能否一笔画的判别法则。 欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。 数学家欧拉找到一笔画的规律是： 1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 3．其他情况的图都不能一笔画出。（有偶数个奇点除以二便可算出此图需几笔画成）比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。 补充：相关名词的含义

一笔画问题

2014-7-15一笔画问题简单学习总结 今天学的还是图论的内容——一笔画问题。一笔画就是把一个无向图（或有向图）所有的边都遍历一遍且不重复走同样的边。这个新知识的算法都是建立在几个数学性质上面的，分别如下： 1、这个有向图（或无向图）必须是连通的。这是最基本的条件。 2、每个点之间度的要求： 无向图：满足①所有点的度数为偶数或者②有两个点度数为奇数，其他点度数为偶数，且这两个奇数点必须为一笔画中的开端和结尾。 有向图：满足①所有点出入度相等或者②有一个点出度比入度大1，另一个点入度比出度大1，其他点的出入度相等，且出度大的点为一笔画开端，入度大的点为一笔画结尾。 数学简单证明还是比较容易的，如果一个点度数为奇数，那么从该点出发，去到的无非就两种情况：偶点或奇点，偶点我们总可以绕一个圈回到该偶点重新出发。奇点就到达终点了。（圈套圈的思路） 对于无向边，有一个特殊处理：无向边路过一条边后，要把它的反向边去掉。这个过程可以用指针实现，用一个指针指向它的反向边。或者，如果用数组来储存边时，因为反向边是同时申请的，所以它们的下标一定是相邻的，可以用异或操作得到。 下面介绍几种算法： 1、圈套圈算法 算法思想：每次在某个点随便找一条边，一直走，如果找到环，那么就相应地插入到一笔画的顺序中，环中若有嵌套环，那么同样地找下去。 算法实现：可以用链表实现插入之类的操作，但若用深搜回溯写的话，程序会非常简单。就是从奇点（或任意点）出发，任意地深度遍历，如果当前点已经不能往下搜，那么就回溯看祖先节点是否有其他可以遍历的点，按回溯的顺序弹出的边，在无向图里面正反顺序都是一笔画正确解法，有向图里需要取反顺序。 算法优化：由于系统栈的空间局限性，在朴素的递归算法里面不能支持较大数据范围的题目，可以改成用stack栈模拟递归的操作，这样就不再会爆栈。 2、弗罗莱算法 算法思想：首先在奇点出发，尽量先不走桥（若去掉该边图不连通，则该边为桥），先走环路。只要顺序地走一遍就是一笔画解法。 算法实现：判断一边是否为桥的方法是按照定义，去掉改边后，用宽度搜索遍历一遍。 如何判断一个图是否能实现一笔画？ 根据上述一笔画所需的条件性质，我们可以做一次BFS判断该图是否连通。值得注意的是，当一些点如A、B未在读入出现过时，一切操作和判断应该略过这些点，因为这些点根本没有在图中。同时，判断奇数点是否只有两个或者没有，否则不能实现一笔画。 做了三道练习题，题目的变形比较小，但还是有许多值得注意的细节。

一笔画问题(欧拉图)

一笔画问题(欧拉图)

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2010-10-18 17:32 by EricZhang(T2噬菌体), 3556 visits, 网摘, 收藏, 编辑 关于一笔画问题的数学分析（对一道面试题的总结与扩展思考） 摘要 前几天参加了一个公司的面试，其中被问到了一个题。面试官在纸上画了一个图形（具体图形见下文），问我能不能一笔画出这个图形，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。当时我没有试着去画，而是凭着自己图论方面的知识在几秒钟之内告诉面试官不可能做到，然后简单说了一下理由。面试结束后我翻阅了图论相关的资料，发现当时自己虽然给出了正确答案，但理由并不完全正确。昨天我花了几个小时仔细研究了一下相关的理论，总结了一下这类问题的类型和解法，写成此文，分享给大家。 问题的提出 当时面试官给我出的问题是这样的：对于下面这个图形，让我一笔画出，要求每条边必须只走一次，并且画的过程中笔不能离开纸。 面试时我给出的回答是不可能做到，面试结束后我也从数学上证明了这个这个回答。当然有兴趣的朋友可以试着画画看。

这个问题其实就是我们小时候会玩到的一笔画游戏。这类问题看似简单直观，但是仔细研究下来却蕴含了很多东西，而且涉及了图论中一个非常重要的研究课题——欧拉迹。而且这类问题可以扩展出很多东西，例如任意给一个图可不可以完成一笔画且最后回到起始点？再如到底什么样的图可以一笔画出来？什么样的图一笔画不出来？如果一个图可以一笔画出来，那么应该如何画？有没有对一切可一笔画图形的通用解法？ 下面我们将这个问题抽象成一般问题，然后从图论角度寻找上述疑问的答案。 图论中的一些概念 因为在下文论述过程中需要用到一些图论的基本概念，为了照顾在这方面不熟悉的朋友，我先将要用到的定义和概念列出来，如果您对图论的基本内容已经了然于胸，可以跳过这一节。另外如不做特殊说明，下文所有的“图”都默认指“无向图”，本文的讨论不涉及“有向图”。 简单图——一个简单图可表示为G=(V, E)，其中V是顶点集合，其中每个元素是图的一个顶点；E是边集合，其中每一个的元素是一个顶点对(a, b)，其中a和b均属于V，这个顶点对表示顶点a和b 间有一条边相连。 多重图——简单图不允许同一组顶点对在E中出现两次，即一对顶点间最多只有一条边。如果在简单图的基础上允许任一组顶点对间有任意条边，则简单图变为多重图。 一般图——如果在多重图的基础上允许自关联边，即允许(a, a)这样的顶点对出现在E中，则这种图叫一般图。（我们后续所有讨论的对象都是一般图，如不做特殊说明，下文所有的“图”均指一般图）顶点的度——一个顶点的度是这个顶点所连接的边的条数。 连通图——如果一个图任意两个顶点之间都存在由边组成的通路，则这种图叫连通图。（我们后续所有讨论的对象都是连通图，如不做特殊说明，下文所有的“图”均指无向一般连通图）