九年级上册数学全册教案集
b第一章特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1【教学目标】
1.掌握菱形的概念、性质。
2.掌握菱形的性质定理“菱形的四条边相等”。
3.掌握菱形的性质定理“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”。
4.探索菱形的对称性。
【教学重难点】
重点:菱形的性质.
难点:菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法，是本节的教学难点.
【教学过程】
一、复习引入
观察以下由火柴棒摆成的图形，议一议：
(2)与图一相比，图二与图三有什么共同的特点？
目的是让学生经历菱形的概念，性质的发现过程，并让学生注意以下几点：
（1）要使学生明确图二、图三都为平行四边形；
（2）引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异.
二、探究新知
再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案，让学生感受菱形具有工整，匀称，美观等许多优点.
菱形也是特殊的平行四边形，所以它除具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.
定理1：菱形的四条边都相等.
这个定理要求学生自已完成证明，可以根据菱形的定义推出，课堂上只需让学生说说理由就可以了，不必写证明过程.
定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角. 课时
例：已知:在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD
平分∠ABC和∠ADC.
分析：由菱形的定义得ΔABD是什么三角形？
BO与OD有什么关系？根据什么？
由此可得AC与BD有何关系？与∠BAD有何关系？根据什么？
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD(菱形的定义)，
BO=OD(平行四边形的对角线互相平分）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD(等腰三角形三线合一的性质）.
同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC，
∴对角线AC和BD分别平分一组对角.
由定理2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.另外，还可以从折叠来说明轴对称性.同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质.菱形还具有平行四边形的所有共性，比如:菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点.
三、范例点击
例:在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, ∠BAC=30°，BD=6,求菱形的边长和对角线AC的长.
分析:本题是菱形的性质定理2的应用，由∠BAC= 30°,得出ΔABD为等边三角形，就抓住了问题解决的关键.
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD(菱形的定义),
AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平
分一组对角)
又∵∠BAC= 30°，
∴∠BAD=60°,
∴ΔABD为等边三角形，
∴AB=BD=6.
又∵OB=OD=3 (平行四边形的对角线互相平分), AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直).
由勾股定理得AO2+BO2=AB2，
∴AO=3√3AC=2AO=6√3.
第2【教学目标】
1.经历菱形的判定定理的发现过程.
2.掌握菱形的判定定理“四边相等的四边形是菱形”.
3.掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”.
4.通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力，并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透几何思想.
【教学重难点】
重点:菱形的判定定理.
难点:菱形判定方法的综合应用.课本“做一做”既需要一定的空间想象力，又要有较强的逻辑思维能力. 【教学过程】
一、复习引入
教师提问:菱形的定义和性质.
定义:一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形.
性质:除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？
定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定.(板书课题)
二、创设情境，引入新课
学生拿出准备好的长方形纸片，按P6“做一做”中的图的方法对折两次，并沿第3个图中的斜线剪开，展开剪下的部分，猜想这个图形是哪一种四边形？一定是菱形吗？为什么？剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即知为菱形. 四、巩固练习
教材P4随堂练习
五、课堂小结:
本节课应掌握:一个定义(菱形的定义)，二条定理(菱形的性质定理)，二个结论(菱形是轴对称图形，又是中心对称图形).
六、布置作业
教材P4~5习题1. 1
课时
结论:菱形判定定理1:四边都相等的四边形是菱形.（板书）
三、探究新知
例1:已知：如图，在ABCD中，BD⊥AC，O为垂足.求证：四边形ABCD是菱形.
分析:在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO(平行四边形的对角线互相平分).
∵BD⊥AC，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义).
结论:菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
猜想:对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？
启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边
相等
结论:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
例2:如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE 是菱形.
启发：已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AE//FC(矩形的定义),
∴∠1=∠2.
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO,
∴ΔAOE≌ΔCOF，
∴EO=FO,
∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平
行四边形是菱形）.
四、巩固练习
1.教材P7、P9随堂练习.
2.思考题:如图，ΔABC中，∠A=90°,∠B的平分
线交AC于D,AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，
求证：四边形
AEFD为菱形.
五、课堂小结
本节课应掌握：
1.菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：
(1)一组邻边相等的平行四边形.
(2)四条边相等的四边形.
(3)对角线互相垂直的平行四边形.
（4）对角线互相垂直平分的四边形.
2.想一想:说明平行四边形、矩形、菱形之间的区
1. 教材P7习题1.2
2.教材P9?10习题1. 3
1.2矩形的性质与判定
第1课时
【教学目标】
1.了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质.
2.经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法.
【教学重难点】
重点:掌握矩形的性质，并学会应用.
难点:理解矩形的特殊性.把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形.
【教学过程】
一、联系生活，形象感知
【显示投影片】
教师活动:将收集来的有关长方形图片播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念.
矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（也就是小学学习过的长方形）
教师活动:介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具，同学生一起探究下面问题：
问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）
学生活动:观察教师的教具，研究其变化情况，可以别与联系.
发现:矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）
学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才α变为90°，可以得到α的补角也是90°从而得到:矩形的四个角都是直角.
评析:实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解.
教师活动:用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述).
学生活动：观察发现:矩形的两条对角线相等.口述证明过程是:充分利用(SAS)三角形全等来证明.
口述：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB= 90°,AB=DC.
又∵B C为公共边，
∴ΔABC≌ΔDCB(SAS),
∴AC=BD.
教师提问:AO=AC, BO=BD呢？BO是RtΔABC的
什么线？由此你可以得到什么结论？
学生活动：观察、思考后发现AO=1/2AC，BO=1/2BD，BO是RtΔABC的中线.由此归纳直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半(师生回忆）.
【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点，突破难点.
二、范例点击
例1:如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2. 5,这个矩形对角线的长. (投影显示）
分析：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，可以发现ΔAOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=2. 5，∴AC=BD= 2OA=5.
【活动方略】
教师活动:板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程(课本P13).
学生活动:参与教师讲例，总结几何分析思路. 【问题探究】(投影显示）
如图，ΔABC中，∠A=2∠B，CD是ΔABC的高，E 是AB的中点，求证：:D E=1/2AC.
分析：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理.应用三角形中位线必需找到另一个中点.分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试.
教师活动:操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线.
学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法.
证法一:取BC的中点F，连接EF、DF，如图（1).
【设计意图】补充这道演练题是训练学生的应用能力，提
高一题多解的意识，形成几何思路.
三、随堂练习
教材P13随堂练习
四、应用拓展
已知:如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的
垂线与∠BAD的平分线相交于点E，求
证:AC=CE. ∠FAB .现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，
∠BAF=∠BDA=∠DAC，问题迎刃而解.
五、课堂小结
本节课应掌握：
1.矩形定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩
形，因此矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所
有性质。
2.矩形性质归纳：
（1)边的性质:对边平行且相等.
（2)角的性质：四个角都是直角.
（3)对角线性质:对角线互相平分且相等.
（4)对称性:矩形是轴对称图形.
六、布置作业
教材P13习题1.4第1、2题
第2【教学目标】
1.通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，并会运用定理解决相关问题.
2.通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法.
【教学重难点】
重点:探索矩形判定定理的过程及应用.
难点:矩形判定定理的应用.
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
通过上节课对矩形的学习，谁能回答以下问题：
1.判定四边形是矩形的方法是什么？（用定义）
（1）是不是平行四边形，（2)再看它有无直角.
2.矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？(通过对矩形定义及性质的回顾，引出判定矩形除了定义
课时
外，还有哪些方法，导入新课.）
二、探究新知
活动一:矩形的判定定理一的探索
1.先请同学只用手中量角器量一下图形（甲）（乙）中的四边形的角（有几个直角）.
2.然后通过同桌同学交流用几个直角才能构成矩形，并说明理由.
(此问题的解决以动手实践，合作交流的形式进行，学生在探究过程中根据已有的知识积累——矩形的定义，得出矩形的判定定理一.教师以合作者的身份深入学生中，了解学生的探究进程并适当给予点拨.)
最后教师进行适当板书进行推证、讲解.在此过程中，全体同学可互相补充、互相评价，培养学生的语言表达能力、推理能力.
活动二:教师提问：矩形的对角线相等，反过来对角线相等的四边形是什么图形？在学生回答是或不是的情况下，让学生依下列步骤进行探索.
1.画任意两条长度相等的相交线段，并把它们的四个顶点顺次连接，看是不是矩形？
2.画两条长度相等并且一条平分另一条的线段，并把它们的四个顶点顺次连接，看是不是矩形？
3.画两条长度相等并且互相平分的线段，并把它们的四个顶点顺次连接，看是不是矩形？
4.然后通过同桌同学交流用怎样的两条长度相等的线段才能构成矩形，并说明理由.
最后通过教师演示动画，师生进行适当交流、归纳、讲解，得出矩形的判定定理二.
(此问题的解决仍以分组合作交流的形式进行，通过此种互动过程，让全体学生参与其中，获得不同程度的收获，体验成功的喜悦.)
活动三:矩形的判定定理二的证明.
已知:在平行四边形ABCD中，AC=BD，
求证:平行四边形ABCD是矩形.
对于判定定理二的证明教师从以下几个方面进行与学生交流.
（1）条件与结论各是什么？（引出条件与结论的关系）（2）使一个平行四边形是矩形，已学过什么方法？(引出矩形的定义证明）
（3）要证明一个角是直角，根据平行四边形相邻两个角互补，只需证明什么？（引出证明两个三角形全等）（4）如何选择要证明两个三角形全等，它们的条件是否满足？
最后由学生说出整个证明的过程，教师进行适当的点评与板书.
当判定定理一、定理二得出后，让学生总结矩形的三种判定方法（定义，定理一与定理二），并对题设进行比较、区分，使学生进一步明确定理应用的条件.
三、范例点击
例:如图所示，在□ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE.求证：
(1)ΔABF≌ΔDCE；
(2)四边形A BCD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，∴∠B+∠C=180°，
∴∠B = 90°，∴平行四边形ABCD是矩形.
四、拓展应用
为了帮助学生巩固定理，应用如下：
应用一:工人师傅要检验两组对边相等的四边形是否成矩形，你有没有方法帮助工人师傅解决这个问题？（这一题是由引入判定定理二改编而成的，主要考查学生
分析：(1)由四边形ABCD
是平行四边形，得
AB=CD，再结合已知条
件，利用“SSS”可证得
ΔA B F≌ΔD C E；
(2)只需再证
∠B或∠C等于90°即
可.
证明：（1）∵BE=CF，
B F=B E+E F，
C E=C F+
E F，∴B F=C E.
∵四边形
ABCD是平行四边形，∴
A B=D C.
在ΔABF和ΔDCE中，
∵AB=DC，BF=CE，AF=DE，
∴ΔABF≌ΔDCE，
(2) ∵ΔABF≌ΔDCE，∴∠B=∠C.
利用矩形的判定定理解决实际问题的能力.）
应用二:例题讲解
一张四边形纸板ABCD形状如图，它的对角线互相垂直.若要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎样剪？
对于这个问题的解决教师引导学生回顾过去证明依次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形的经验，使学生联想到连接四边形ABCD的两条对角线，然后运用中位线定理，这样就解决了这个问题.
五、巩固练习
练习一：
1.内角都相等的四边形是矩形. （）
2.对角线相等的四边形是矩形. （）
3.对角线互相平分且相等的四边形是矩形.（)
4.一组邻角相等的平行四边形是矩形. （）
5.对角互补的平行四边形是矩形. （）
练习二：如图，AC，BD是矩形ABCD的两条对角线，AE=CG=BF=DH.求证:四边形EFGH是矩形.
(练习一，二是课内练习，主要为加强学生对所学定理的理解和掌握，使学生能将给出的条件转化为应用定理所需的条件，辨析判定定理的题设，以便更好地应用定理.这两个问题的解决分别应用所学定理，使学生能够学以致用.这两道题的解决方法是先采用独立完成形式，有困难的学生可以求助老师或同学，学生互助完成，派学生代表板书讲解.)
六、课堂小结
本节课应掌握：
矩形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：
（1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
(2)对角线相等的平行四边形是矩形.
（3)有三个角是直角的四边形是矩形.
七、布置作业
教材P16习题1.5第1、2题
1.3 正方形的性质与判定
第1课时
【教学目标】
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理.
【教学重难点】
重点:探索正方形的性质定理.
难点:掌握正方形的性质的应用方法，把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.
【教学过程】
一、探究导入
【显示投影片】
显示内容:展示生活中有关正方形的图片，幻灯片(多幅).
【活动方略】
教师活动:操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题:
1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？
2.正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3.正方形具有哪些性质呢？
学生活动:观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知：1.正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过).
实验活动：教师拿出矩形按左图折叠.然后展开，让学生发现:只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形.
教师活动:组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形，如下图:
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：
正方形定义:有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形性质：
（1)边的性质:对边平行，四条边都相等.
（2)角的性质：四个角都是直角.
（3)对角线的性质:两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
(4)对称性:是轴对称图形，有四条对称轴.
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题，突破难点.
二、探究新知
【课堂演练】(投影显示）
演练题1：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与B D相交于0，MN//AB，且分别与OA、OB相交于M、N.
求证：（1)BM=CN； (2)BM⊥CN.
分析：本题是证明BM=CN，根据正方形性质，可以证明BM、CN所在ΔBOM与ΔCON是否全等.（2）在（1)的基础上完成，欲证BM⊥CN.只需证∠5 + ∠CMG= 90°就可以了.
【活动方略】
教师活动:操作投影仪.组织学生演练，巡视，关注“学困生”；等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流.
学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题.
证明：（1) ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠COB=∠BOM=90°，OC=OB.
∵MN//AB，∴∠1=∠2,∠ABO= ∠3，
又∵∠1=∠ABO= 45°，∴∠ 2=∠3，
∴OM=ON，
∴ΔCON≌ΔBOM，∴BM=CN.
(2)由（1)知ΔBOM≌ΔCON,
∴∠4= ∠5，∵∠4+∠BMO=90°，∴∠5+∠BMC=90
°,∴∠CGM=90°,∴BM⊥CN.
演练题2:如图，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE=AD，F为AB的中点，求证:ΔC E F是直角三角形.
分析：本题要证∠EFC=90°，从已知条件分析可以得到只要利用勾股定理逆定理，就可以解决问题.这里应用到正方形性质.
【活动方略】
教师活动:用投影仪显示演练题2,组织学生应用正方形和勾股定理逆定理分析，并请同学上讲台分析思路，板演.
学生活动:先独立分析，找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题.
证明：设AB= 4a，在正方形ABCD中，DC=BC=4a，AF=FB = 2a，AE=a，DE=3a.
∵∠B=∠A=∠D=90°，由勾股定理得：
EF2 +CF2= (AE2 +AF2) + (CB2 +BF2)=(a2 + 4a2) + (16a2+4a2)=25a2，
CE2=CD2+DE2= (4a)2 + (3a)2=25a2，
∴EF2 +CF2=CE2.
由勾股定理的逆定理可知ΔC E F是直角三角形.
【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题，提高学生的应用能力.
三、范例点击
例：已知：如图，四边形ABCD是正方形，矩形PECF 的顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,E在BC上，F 在CD上，连接AC、AP、PC、EF，若EC=4，CF=3,求PA 的长.
分析：本题运用矩形对角线相等的性质可得EF=PC，运用正方形的性质可得AP=PC，进而可得AP=EF.因此，只要求出EF的值即可.
解：∵四边形PECF是矩形，∴PC=EF.在RtΔEFC 中，
EC=4，CF=3, ∴EF=√EC2+CF2'=√42+32=5;
4 1
∴PC=5. ∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC且BD平分AC，即BD是AC的垂直平分线.∵点P在BD上，∴PA=PC=5.
【方法归纳】与矩形对角线有关的计算问题，主要运用矩形的对角线相等和正方形的对角线的性质，借助第三条线段作“媒介”求线段的长.
四、巩固练习
教材P21随堂练习
五、课堂小结
本节课应掌握：
1.正方形的概念：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
2.正方形的性质
(1)正方形的四个角都是直角，四条边相等.
(2)正方形的对角线相等且互相垂直平分.
(3)正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形.
六、布置作业
教材P22习题1.7第1、2、3题
第2课时
【教学目标】
1.知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.
2.经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.
3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生
辩证看问题的观点.
【教学重难点】
重点:掌握正方形的判定条件.
难点:合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有
关的论证和计算.
【教学过程】
―、创设情境，引入新课
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么
思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也
是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、
菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
1.怎样判断一个四边形是平行四边形？
2.怎样判断一个四边形是矩形？
3.怎样判断一个四边形是菱形？
4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形？二、探究新知
1.探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，
进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结
出判定一个四边形是正方形的基本方法.
（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱
形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，
那么这个四边形是正方形.
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形
和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可
写成:有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正
方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角
的菱形是正方形.
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方
法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、
菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个
四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用
时要仔细辨别后才可以作出判断.
2.正方形判定条件的应用
例1:判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理
由.
（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
⑵四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
师生共析：
(1)是真命题，因为四条边相等的四边形是菱形，又
四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，
所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题
是真命题.
⑵真命题,由四个角相等可知每个角都是直角，是矩
形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据
是既是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.
(3)假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，
对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.
如
下图①
，满足AO
=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD
不是正方形.
（4）假命题，它可能是任意四边形.如上图②，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.
（5）真命题.
方法一:对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定
其为真.
方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形.
总结:通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用.
例2:如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD 上，且∠AFE= 45°，试说明EF=BE+DF.
师生共析:要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决.
像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法.
解:将ΔADF旋转到ΔABC，则ΔADF≌ΔABG
∴AF=AG，∠ADF=∠ABG,DF=BG，
∵∠EAF= 45°且四边形是正方形，
∴∠ADF+∠BAE=45°, ∴∠GAB+∠BAE=45°,即∠GA E=45°，
∴ΔAEF≌ΔAEG(SAS)，∴
EF=EG=EB+BG=EB+DF.
讨论:你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗? 说出你的做法.
你怎么检验它是一个正方形呢？小组讨论一下. 三、范例点击
例3:如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ΔAC E是等边三角形.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠AED = 2∠E AD，求证：四边形ABCD是
正方形.
分析:⑴由已知可得B E垂直平分AC,进而可得AB=BC，再用菱形定义可判定.（2)由菱形性质可得∠DAC =∠BAC，由已知得∠AED=30°，∠E AO=60°，∠DAE= 15°，∠DAO=45°，从而得出∠BAD=90°，问题得解.
证明：（1) ∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC.
又∵ΔAC E是等边三角形，
∴E O⊥AC，即BD⊥AC，
∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)∵ΔAC E为等边三角形，
∴∠AEO= ∠OEC=30〇 , ∠EAC= 60〇.
∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD=15°，
∴∠DAO= 45°.又∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAO=∠BAO=45°，∴∠DAB = 90°，∴菱形ABCD为正方形.
四、巩固练习
教材P24随堂练习
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用. 五、课堂小结
本节课应掌握：
正方形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）
(1)对角线相等的菱形是正方形.
(2)对角线垂直的矩形是正方形.
(3)有一个角是直角的菱形是正方形.
(4)有一组邻边相等的矩形是正方形.
六、布置作业
教材P25习题1.8第1、3题.
第二章一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
第1课时
【教学目标】
了解一元二次方程的概念；一般式a x2+bx+c=O(a≠
0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单
题目.
1.通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方
程概念给一元二次方程下定义.
2.—元二次方程的一般形式及其有关概念.
3.解决一些概念性的题目.
4.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题
来激发学生的学习热情.
【教学重难点】
重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二
次方程的有关概念并用这些概念解决问题.
难点:通过提出问题，建立一元二次方程的数学模
型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概
念.
【教学过程】
一、复习引入
学生活动:列方程.
问题1：古算趣题：“执竿进屋”
笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多
二，没法急得放声哭。
有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨人依言试一
试，不多不少刚抵足。
借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为___
尺，长为_______ 尺，
根据题意，得__________________ .
整理、化简，得: __________________ .
问题2:如图，如果AB
AC
=
AC
CB
,那么点C叫做线段
AB的黄金分割点.
如果假设AB=1，AC=x,那么BC=,根据题意,得: .
整理得: _______ .
问题3:有一面积为54 m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x,那么原来长
方形长是，宽是，根据题意，得: .
整理，得: _____ .
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理.
二、探究新知
学生活动:请口答下面问题.
(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？
老师点评：（1)都只含一个未知数x；（2)它们的最
高次数都是2次的；（3)都有等号，是方程.
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未
知数(一元），并且未知数的最高次数是2(二次）的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理，都能化成如下形式a x2+bx+c=O(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成a x2+bx+c=O(a≠0)后，其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
三、范例点击
例1:将方程3X(X—1)= 5(X+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c= O (a≠0).因此，方程3x(x—1)=5(x+2)必须运用整式运算进
行整理，包括去括号、移项等.
解:一般形式为3x2— 8x— 1O=O,二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-1O.
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2:(学生活动:请二至三位同学上台演练）将方程(x+1)2 + (x — 2) (X+ 2) =1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项.
分析:通过完全平方公式和平方差公式把（x+1)2 + (x一2)(x+2)=1 化成a x2+bx+c=O(a≠0)的形式.
解:一般形式为x2+x- 2=0.二次项为x2，二次项系数为1；一次项为x，一次项系数为1；常数项为-2.
四、巩固练习
1.教材P32随堂练习
2.补充练习：判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)3x+2=5y一3；
⑵=4；
(3)3-5
x
=0；(4)- 4=( x+2)2；
(5)ax2+bx+c=0；
五、应用拓展
例 3 :求证:关于x的方程(m2—8m+17)x2 +2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程.
分析:要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2—8m+17≠0即可.
证明：m2—8m+17=(m一4)2+1
∵(m—4)2≥0
∴(m一4)2+1＞0，即（m—4)2+ 1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程.
六、课堂小结
本节课应掌握：
1.一元二次方程的概念.
2.—元二次方程的一般形式ax2+bx + c=0 (a≠0)
和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的
概念及其运用.
七、布置作业
1.教材P32?33习题
2.1
2.补充:若x2— 2x m-1+3=0是关于x的一元二次
方程，求m的值.
第2课时
【教学目标】
1.了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问
题.
2.提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根.同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题.
【教学重难点】
重点:判定一个数是否是方程的根.
难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还
要考虑这些根是否确定是实际问题的根.
【教学过程】
一、复习引入
学生活动：青同学独立完成下列问题.
问题1：前面有关“执竿进屋”的问题中，我们列
得方程x2—8x+20=0.
列表：
问题2:前面有关长方形的面积的问题中，我们列得方程22
老师点评(略)
二、探究新知
提问:(1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
(2)如果拋开实际问题，问题2中还有其它解吗？
老师点评:(1)问题1中x=2与x=10是x2—8x+20=0 的解，问题2中，x=4 是x2 + 7x-44=0的解.（2)如果拋开实际问题，问题2中还有x=-11的解.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
回过头来看:x2—8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10,都满足题意；但是，问题2中的x=-11 的根不
：x
12
345
6
7
8
9
1011
…
.
x2-8x+20….
x123456…
+ 7x
…
满足题意.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.
三、范例点击
例1:下面哪些数是方程2x2+10x+12 =0的根？
-4，-3，-2，-1,0，1,2,3，4.
分析:要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.
解:将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2 或x=-3是一元二次方程 2x2 + 10x+12=0 的两根.
例2:若x=1是关于x的一元二次方程ax2+b X+c=0(a ≠0)的一个根，求代数式 2007(a + b + c) 的值.
分析：如果一个数是方程的根，那么把该数代入方程，一定能使左右两边相等，这种解决问题的思维方法经常用到，同学们要深刻理解.
解:把x=1代入方程中得a+b+c=0,2007(a+ b + c)=0.
例 3 :你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
(1)x2— 64 =0；
(2)3x2—6=0；
(3)x2—3x=0.
分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义.
解：(1)x1=8,x2 = —8；
（2）x1=—
2，x2=2；
（3）x1=0，X2=3.
四、巩固练习
1.教材P34随堂练习
2.关于x的一元二次方程（a一1) x2+x + a20-1=0的一个根为0,则求a的值.
五、应用拓展
例3:要剪一块面积为150 cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5 cm，这块铁片应该怎样剪？
设长为xcm，则宽为(x—5)cm
列方程x (x—5)=150，即x2—5x一150=0
请根据所列的方程回答以下问题：
(1)x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的
理由.
分析：x2— 5x— 150=0与上面两道例题明显不同，不能用平方根的意义和整式中的分解因式的方法去求根，但是
我们可以用一种新的方法——“夹逼”方法求出该方程的
根.
六、课堂小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1.一元二次方程根的概念.
2.要会判断一个数是否是一元二次方程的根.
3.要会用一些方法求一元二次方程的根（“夹逼”
方法；平方根的意义）
七、布置作业
教材P34习题2.2
2. 2 用配方法求解一元二次方程
第1课时
【教学目标】
1.理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.
2.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2 + c=0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(e x+f)2+c=0型的一元二次方程.
【教学重难点】
重点:运用开平方法解形如(x + m)2=n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想.
难点:通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x + m)2=n(n≥0)的方程. 【教学过程】
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1：填空
解：（1)x不可能小于5.理由：如果x<5,则宽(x—5)<0，不合题意.
x不可能等于10.理由：如果x=10，则面积x2—5x—150=—100,也不可能.
（1）x2—8x + ____ =(x —________ )2；
（2）9x2 + 12x+ _____ = (3x+ _________ )2；
(3)x2+Px + _______ = (x + ________ )2.
根据完全平方公式可得：
(1)16 4； (2)4 2；(3)(p/2)2 p/2.
问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程和一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
二、探究新知
上面我们已经讲了 x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=士3,如果x换元为2t+ 1，即（2t + 1)2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
(学生分组讨论）
老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x, 那么2t+1=士3，
即 2t+1=3，2t+1=—3，
方程的两根为t1=1，t2=-2.
三、范例点击
例1:解方程：
(1)( 2x—1)2=5；
(2)x2 + 6x+9=2；
(3)x2-2x+4=-1.
分析：很清楚，x2+4x + 4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为( x+2)2=1.
解:（1)由题意得：2x—1=士5，
X=(1 士5)/2 .
x1=(1+5)/2 ，x2= (1 -5)/2
(2)由已知，得( x+3)2=2，
直接开平方，得x+3=士2，
即x+3=2，x+3=-2.
所以，方程的两根x1=—3+2，
x2=—3-2.
(3)方程可化为(x—1)2=—4，
∴此方程无实数根.
例2:市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m，求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x. —年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x)；二年后人均住房面积就应该是 10(1+x) + 10 (1 +x)x=10 (1 +x) 2 解:设每年人均住房面积增长率为x，
则 10(1+x)2=14. 4,
(1+x)2=1. 44，
直接开平方，得1+x=士 1.2，
即1+x=1.2，1+x=-1.2.
所以方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2.
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此
x2=-2.2应舍去.
所以每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程，它们的共同特点是什么？
共同特点:把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.
四、巩固练习
1.教材P37随堂练习.
2.补充题:如图，在ΔABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果A B=6cm,BC=12 cm, P、Q都从B点同时出发，几秒后ΔPBQ的面积等于8 cm2？
老师点评：
设x秒后ΔPBQ的面积等于8 cm2
则PB=x，BQ=2x
依题意，得:
1
2x? 2x=8X2=8
根据平方根的意义，得x=士2
即 x1=22，x2=-22.
可以验证，22和-22都是方程
1
2
x? 2x=8的
两根，但是移动时间不能是负值.
所以22秒后ΔPBQ的面积等于8 cm2.
五、应用拓展
例3:某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3. 31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为X，那么二月份的营业额就应该是（1+x)，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是(1+X)2.
解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为X .
那么 1 + (1+X ) + (1+X )2
=3. 31. 把(1+X )当成一个数，配方得：
(1+x +12)2=2. 56，即(X +32)2=2. 56，X +32=士 1.6,
即X +32=1. 6，X +3
2
=-1. 6，
方程的根为X 1=10%，X 2= —3.1.
因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额 平均增长率为10%.
六、 课堂小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如X 2=p (P ≥0)，那么X =士p 转化为应用直接开平方法解形如 (mx +n )2=p(P ≥0)，那么 mx + n=士p ，达到降次转化之目的.若P<0则方程无解. 七、 布置作业 教材P 37?38习题2. 3
第2课时
【教学目标】
1. 理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.
2. 通过复习可直接化成x 2
=p(p ≥0)或（mx +n)2
=p(p ≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤. 【教学重难点】
重点:讲清“直接降次有困难”，如x 2
+6x — 16=0 的一元二次方程的解题步骤.
难点:不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧. 【教学过程】 一、复习引入
(学生活动)请同学们解下列方程 (1) 3x 2
—1=5 ； (2) 4(x —1)2
—9=0； (3) 4x 2
+ 16x +16=9； ⑷ 4X 2 + 16x =-7.
上面的方程都能化成x 2
=P 或(mx + n )2
x =或 mx +n=士
p
(p ≥0).
如:4x 2
+ 16x + 16= ( 2x + 4 )2
,你能把 4x 2
+ 16x =—7 化成 (2X +4)2
=9 吗？ 二、探究新知
列出下面问题的方程并回答：
问题:要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽各是多少？
(1) 列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题 的方程有什么不同呢？
(2) 能否直接用上面三个方程的解法呢？ 答:（1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲
的三道题不 同之处是:前三个左边是含有x 的完全平方式
而后两个不具有.
(2)不能.
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法
把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来
讲如何转化： x 2+6x —16=0 移项→ x 2
+ 6x =16
两边加(6/2)2使左边配成x 2+2bx +b 2的形式→x 2
+6x +32
=16 + 9
左边写成平方形式→(X +3)2
=25降次→x +3=士5 即 x +3=5 或 x +3=-5
解一次方程→x1=2，x2=-8
可以验证:x1=2，x2=— 8都是方程的根，但场
地 的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8m .
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解
一元二次方程的方法，叫配方法.
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次
方程转化为两个一元一次方程来解. 三、范例点击
例1：用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2
—8x +1=0；
(2)x 2
-2x —12
=0.
显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按
前面的方法化为完全平方式.
解：（l)X1=4+15，X2=4-15；
(2)x1 = l+(6/2),x2 = l-(6/2)
四、巩固练习
教材P39随堂练习
五、应用拓展
例 2：如图，在RtΔACB中，∠C=90°，AC=8 m，
CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC
方向向点C匀速移动，它们的速度都是lm/s，几秒后Δ
PCQ的面积为RtΔACB面积的一半.
分析：设X秒后ΔPCQ的面积为RtΔABC面积的一
半，
第3
【教学目标】
l.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次
方程的步骤.
2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的
概念，然后运用配方法解决一些具体题目.
【教学重难点】
重点:讲清配方法的解题步骤.
难点:把常数项移到方程右边后，两边加上的常数
是一次项系数一半的平方.
【教学过程】
一、复习引入
(学生活动)解下列方程：
(l)x2—4x+7=0 ；
(2)2x2—8x+1=0.
老师点评:我们上一节课，已经学习了如何解左边
不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解方程
的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解
题.
解:略.（2)与(1)有何关联？
二、探究新知
讨论:配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；（2)化二次项系
ΔPCQ 也是直角三角形.根据已知列出等式.
解:设x 秒后ΔPCQ 的面积为Rt ΔACB 面积的一半
根据题意，得:12(8—x) (6—x )=12X 1
2X8X 6.
整理，得:x 2
— 14x +24=0. (x —7)2
=25即 x 1=12,x 2=2.
x 1=12,x2=2都是原方程的根，但x1=12不合题意，舍去.
所以2秒后ΔPCQ 的面积为Rt ΔACB 面积的一半. 六、 课堂小结
本节课应掌握:左边不含有x 的完全平方形式的 一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程. 七、 布置作业
教材P40习题2.4
课时
数为1；(3)常数项移到右边；（4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； (5)变形为(x +p)2=Q 的形式，如果Q ≥0,方程的根是
x=-p 士q ；如果q<0,方程无实根.
三、范例点击
例1:解下列方程 (1)2x 2
+1=3x ； (2)3x 2-6x+4=0 ； (3)(1+x)2+2 (1+x) —4=0.
分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些
方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方.
解：略
四、巩固练习
教材P 39随堂练习（2)、（3)
五、应用拓展
例2:用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x +1)=6.
分析：因为如果展开（6x+7)2,那么方程就变得很
复杂，如果把（6x+7)看为一个数y ，那么（6x + 7)2
=y 2
,
其它的 3x + 4=12(6x + 7)+12，x + 1=16(6x +7)—1
6,因此，
方程就转化为y 的方程，像这样的转化，