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浙大《概率论》试卷

概率论试卷（一）

一、填充题（每空格3分） 1.若AB =φ,则P(A ∪B)_____P(B).

2.设ξ服从参数为λ的普阿松分布,P(ξ=1)=P(ξ=3),则λ=_____.

3.设ξi ～N(0,1),i=1,2,…,n; ξξ1,, n 相互独立.则_____～χ2

(n)分布.

4.设ξ,η互不相关,则Var(2ξ-η)=_____.

5.参数λ=1的指数分布的特征函数是__________________________. 二、是非题（每小题3分）（先回答‘对’或‘错’再简述理由）

1.设(ξ,η)为连续型随机向量,如果联合密度等于各自边际密度的乘积,则ξ,η相互独立.

2.随机变量ξ,η相互独立的充分必要条件是E(ξη)=E ξ·E η.

3.设{ξn }为独立同分布随机变量序列,ξ1～N(a,σ2),ξ=11n i i n

ξ=∑,则ξ也服从N(a,σ2).

4.设随机变量ξn 与ξ的特征函数分别为f t n ()与f (t). 若f t n ()→f (t),(n →∞),则ξξn P

?→?. 三、（16分）设ξ,η相互独立，均服从p(x)=e x x x -≥

（1）求U=ξ+η与V=ξ/(ξ+η)的联合密度；（2）判断U 与V 是否独立；

（3）求V 的密度函数.它服从怎样的分布？

四、（16分）已知(ξξ12,)'～N(1,0;

3412322212

,,/),-=

+ηξξ.

（1）写出η的特征函数与密度；（2）求E η,Var η；（3）求Cov(ξη1,)；（4）ξ1与η相互独立吗？为什么？

五、（10分）某商店某种食品一块从上柜到销售出去时间（天）服从参数为λ=1/3的指数分布.若一块这种食品六天内卖不出去，就要另行处理，不能再卖.该店每天新上柜这种食品100块，求（六天后）平均每天另行处理的这种食品的数量.

六、（8分）设{ξk }相互独立，P{ξk k k ==-+2221}()

, P{ξk k k =-=-+2221}(),

P{ξk k

==--0122}, k=1,2,…. 求证：101n k d

k n ξ?→?=∑.

七、（15分）(1)设ξξn P ?

→?，求证：ξξn d

?→?.

(2) 设ξn d c ?

→?（常数），求证ξn p

c ?→?. 八、（8分）设n ξ的密度为

)x n 1(n

)x (p 22n +π=

，n=1,,,2 求证：.0d

n ?→?ξ

概率论试卷（二）

一、填充题（每空格3分）

1.古典概型是具有条件________________________________________的随机试验模型.

2.设(ξ,η)～N(0,1;1,4,0.5)，则ξ,η分别服从_________________________________.

3.设ξξ12,的特征函数分别为f t f t 12(),(),ξξ12,相互独立. 则(ξξ12,)的特征函数为

______________.

4.从1,2,3,4,5五个数字中任取三个，所得号码中最大的为ξ, 则ξ的分布列为 ______________.

二、是非题（每小题3分）（先回答‘对’与‘错’，再简述理由）

(1)设随机变量ξ的密度函数为p(x)=2010x x ,,≤≤???其它

，则η=1-2ξ的密度为

q(y)=101210-≤-≤?

????y y ,,其它.

(2)Var ξ=1,Var η=4,则Var(2ξ+η)=8. (3)?(t)=sint 是某随机变量的特征函数.

(4)设分布函数F x n ()与F(x)对应的特征函数分别为f t n ()与f (t)，若

F x F x n W

()(),?→?则 f t n ()→f (t).(n →∞).

三、（12分）甲乙两厂独立生产同类产品，生产一级品的概率各为p p 12,.某店分别有甲乙两厂的该类产品3件与7件.

（1）求它们都是一级品的概率；

（2）在这10件中任取一件，求它是一级品的概率;

（3）在这10件中任取一件，发现是一级品，求它是甲厂生产的概率. 四、（10分）随机变量ξ的分布列为P(ξ=2k)=3 /41

k +,k=0,1,2,….

（1）求E ξ；（2）求ξ的特征函数.

五、（17分）(ξξ12,)的联合密度为p(x x 12,)=e x x x x -->>??

?1212000,,,其它.

求：（1）ηξξ112=+与ηξξ212=/的联合密度；（2）ηξξ212=/的密度；

（3）E(e

-ξ12

/)；（4）Var(e

-ξ12

/).

六、（12分）设ξξ1,, n 相互独立，都服从正态分布N(μσ,2

). （1）写出其联合分布的密度函数；（2）求证：ξi

i n

=∑1

服从正态分布N(n μσ,n 2

);

（3）求证：对任意正交变换U ，η=U ξ（其中ξ=(ξξ1,,) n '）各分量也相互独立，同方差.

七、（15分）（1）正确叙述并证明林德贝格—勒维中心极限定理.

（2）某种电子元件使用寿命服从λ=0.1（单位（小时)-1

）的指数分布.一个元件损坏后第二个接着使用.求100个这类元件总计使用时间超过900小时的概率.

八、（10分）设{ξn }为相互独立的随机变量序列，成立中心极限定理. 则它服从大数定律

的充分必要条件是[var()]/ξk k n

n 2

1=∑=o(1)，试证明之.

概率论试卷（三）

一、填充题（每空格3分） (1)若P(A)=0.5, P(A ∪B)=0.8, 则当A 与B 相互独立时，P(B)=____, P(A--B)______.

(2)设Var ξ=4, Var η=9, 相关系数r ξη=1/4, 则Var(2ξ-η+5)=_______.

(3)设ξ～B(n,p)，则ξ的特征函数为__________________.

(4){}ξn 独立同分布，E ξn =a,Var ξn =σ2

, 则林德贝格—勒维中心极限定理是说：

________________________________________________________________________. 二、是非题（每小题3分）（先回答“√”或“×”，再简述理由） (1)设随机变量ξ的分布函数为F(x)，则对任意常数a ，P(ξ=a)=0. (2)若Var(ξξ12+≠)Var ξ1+Var ξ2，则ξ1与ξ2不独立.

(3)设随机变量ξ1,ξ2的特征函数分别为f t 1(),f t 2(). 若随机向量(ξ1,ξ2)的特征函数 f(t,t)=f t 1()f t 2(), 则ξ1,ξ2相互独立.

(4)设随机变量ξn ,ξ的分布函数分别为F n (x)与F(x)，特征函数分别为f t n ()与f(t).

若f t n ()→f(t), (n →∞), 则F x F x n W

()()?→?. 三、（10分）随机变量ξ～N(a,σ2). (1)求证ηξ=k +b ～N(ka+b,k 22

σ)，(k ≠0);

(2)求θξ=2

的密度函数.

四、（17分）(ξη,)的联合密度为p(x,y)=320x /,,???01<<-<

(1)求边际密度；(2) 求E ξ,E η及COV(ξη,).

五、（8分）某人每月收入ξ服从[600,1200]上的均匀分布. 当月收入超过800元时应交个人收入调节税. 问此人平均每年有几个月要交该项税款？

六、（8分）随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=2/31

k +,k=0,1,2,….