数列之累加法与累乘法 老师专用

n a

． 2

n (n ＋3) 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝ (n ≥2)． 2

＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋3) ∴ a n ＝a ?＋ ， n 2＋3n －4 2

×(n －1)＝ 2 (n ＋1)＋3 ＝ 解析：由已知得 a n +1－a n ＝n ＋2，于是有 a n －a ?

＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ?－a ?)

＝(n ＋1)＋n ＋(n －1)＋……＋3

∴ a n ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)．

经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝n 2＋n ＋1．

×(n －1)＝(n ＋2)(n －1)． 2

2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a n －a n -1＝2n ，于是有 a n －a ?

＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ?－a ?)

＝2n ＋2(n －1)＋2(n －2)＋……＋2×2

数列之累加法与累乘法 老师专用

1. ☆[累加法] 设数列{a n }中，a ?＝2，a n +1＝a n ＋n ＋2，则通项 a n ＝ ．

2. ◇设数列{a n }中，a ?＝3，a n ＝a n -1＋2n ，则通项 a n ＝ ．

3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a n }满足 a ?＝33，a n +1－a n ＝2n ，则a n 的最小值为 ．

4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a n }的首项为 3，{b n }为等差数列且 b n ＝a n +1－a n (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b 10＝12，则

a 8＝ ．

5. ◇(2015 江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足 a ?＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{ 1 }

n

前 10 项 的 和 为 ．

为 2 ． n 21 所以a n 的最小值 21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ 5 ，

当 n ＝6 时，a n 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ 5 ； 5 和 6．*/

当 n ＝5 时，a n x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x

＋ /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a n ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a n ＝ 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a 4－a ?＝6，…，a n －a n -1＝2(n －1)，

以上各式左右两边分别相加，得 a n －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －1)，

b 10－b ? 解析：设{b n }的公差为 d ，则 d ＝ 10－3

＝2，∴ bn ＝b ?＋(n －3)d ＝2(n －4)，即 a n +1－a n ＝2(n －4)． 则 a ?－a ?＝－6，a ?－a ?＝－4，a 4－a ?＝－2，…，a n －a n -1＝2(n －5)，

累加得到 a n －a ?＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n －5)＝(n －8)(n －1)，

故 a n ＝3＋(n －8)(n －1)，a 8＝3．

＋ n ＝ ，满足 ( ＋

6. ◇数列{a n }满足 a ?＝1，且对任意的 m , n ∈N *，都有 a m +n ＝a m ＋a n ＋mn ，则 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＝ ．

a ? a ? a ? a 2012

7. ◇已知数列{a n }中，a ?＝p ，a ?＝q ，且 a n +2－2a n +1＋a n ＝d ，求数列{a n }的通项公式．

8. ◇已知数列{a n }中，a ?＝5，满足 a n ＝(1 1 )a n -1，求数列{a n }的通项公式．

9. ◇已知数列{a n }中，a ? 1 a n +1＝ 1 2 )a n ，求数列{a n }的通项公式． 3 3 3n

11 11 10 11 2 2 3 10 n

a 1 20 1 1 1 1 1 { }前 10 项的和为 S ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝2(1－ )＝ ． 故数列 1 n n ＋1 1 ＝2( － )， a n n (n ＋1) 2 1 则 1 ＝ ， 2

n (n ＋1) ＝ n n -1 n a ＝a ?＋(a ?－a ?)＋(a ?－a ?)＋…＋(a －a )＝1＋2＋3＋…＋n 解析：由 a ?＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)得，

2012 2013 2013 2 2 3 a 2012 a ? a ? a ? n n ＋1 1 1 4024 1 ＝2( － )，∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ ． a n n (n ＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ∴ 1 ＝ ， 2

＝ 2 ，故 a n ＝a ?＋ 2 (n ＋2)(n －1) n (n ＋1) (n ＋2)(n －1) 累加得到 a n －a ?＝2＋3＋4＋…＋n ＝ 解析：令 m ＝1，则有 a n +1＝a ?＋a n ＋n ，即 a n +1－a n ＝n ＋1，

所以 a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝3，a 4－a ?＝4，……，a n －a n -1＝n ，

d )． 2

n －2 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝p ＋(n －1)(q －p ＋ 2

d )＝p ＋(n －1)(q －p ＋ d ) (n ≥2)． 2 n －2 n －2 2

∴ a n ＝a ?＋(n －1)(q －p ＋ n －2 ＝(n －1)(q －p ＋ d )， 2

n －2 ＝(n －1)(q －p )＋ ×(n －1)d 解析：原式可化为(a n +2－a n +1)－(a n +1－a n )＝d ． 令 b n ＝a n +1－a n ，则 b n +1－b n ＝d ，所以数列{bn }是以 b ?＝a ?－a ?＝q －p 为首项，以 d 为公差的等差数列． ∴ b n ＝b ?＋(n －1)d ＝q －p ＋(n －1)d ．

即 a n +1－a n ＝q －p ＋(n －1)d ．于是有 a n －a ?

＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ?－a ?)

＝[q －p ＋(n －2)d ]＋[q －p ＋(n －3)d ]＋[q －p ＋(n －4)d ]＋……[q －p ＋0d ] 5 (n ＋1)． 2 n n ＋1 ∴ a ＝a ?× ＝ 2

n n －1 n －2

2 4

3 n ＋1 n ＋1 n n －1 ＝ × × ×…× 3 × 2 ＝ ． a ? ×a ? a n a n -1 a n -2×… a ?＝a n -1×a n -2×a n -3 于是有 a n ， n 1 ＝n ＋1 ＋ n

a n -1 解析：原式可化为 a n ＝1

10. ◇在数列{a n }与{b n }中，a ?＝1，b ?＝4，数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 nS n +1－(n ＋3)S n ＝0，2a n +1 为 b n 与 b n +1 的

等比中项，n ∈N *．

⑴ 求 a ?, b ?的值；

⑵ 求数列{a n }与{b n }的通项公式．

＝ 2×3n ． 2 (n ＋1)n (n ＋1)n 1 ＝3

n × (n ＋1)n 2 1 ∴ a n ＝a ?×3n -1× ． 2 1 (n ＋1)n (n ＋1)n 3n -1× 2×1 ＝3n -1×＝ 1 2 × 1 5 × 4 3 × 3 … n －1 n －2 n －3 n －4

n ＋1 n n －1 n －2 × × × × × 3 ＝( 1 )n -1 a ? ×a ? a n a n a n -1 a n -2×… 1 n ＋2 n

n ＋2 a n ＝ 3n ＝ 3 × ，于是有 a ?＝a n -1×a n -2×a n -3 解析：原式可化为 a n +1 ． 2

＝ 6 － 6 (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋1)n (n －1) (n ＋1)n 则当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n -1＝ ， 6

．于是有 S n -1＝ 6 ＝ 6 (n ＋1)n (n －1) (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋1)n ∴ S n ＝S ?× ． 6 ＝ 3×2×1

(n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋1)n ＝ n －1 n －2 n －3 n －4 6 5 4 n ＋2 n ＋1 n n －1 ＝ × × × ×…× 3 × 2 × 1 S ? S ? S ?

S n -1 S n -2 S n -3 S ? S ? S ? S 4 S n S n -1 S n -2 于是有 S n ＝ × × ×…× × × ． n ＋3 n n +1 S n ＝ n

n +1 S ⑵ 由原式可得 nS ＝(n ＋3)S ，∴ ＝9． b ?

(2a ?)2 ＝ ∵ 2a ?为 b ?与 b ?的等比中项，∴ b ? 解析：⑴ 令 n ＝1 可得 S ?＝4S ?＝4，∴ a ?＝S ?－a ?＝3．

/* 令 n ＝2 可得 2S ?＝5S ?＝20，∴ S ?＝10，a ?＝S ?－S ?＝6．*/

综上，恒有 b n ＝(n ＋1)2．

＝(2n ＋1)2． (2n ＋2)2

＝ b 2n +1 [(2n ＋1)(2n ＋2)]2 [(2n ＋1)(2n ＋2)]2 再由①式可得：b 2n ＝ ∴ b 2n +1＝b ?×(n ＋1)2＝(2n ＋2)2＝[(2n ＋1)＋1]2．

b 2n +1＝(n ＋1)2

， 得： b ? 以上各式连乘可 )2． 2n b 2n -1 6 b 5 b ? 2 b ? 4 b n n ＋1

2n ＋2 b 2n +1 8 b 7 6 b 5 b ? 4 n ＋3 两式相除得 b n +2＝( )2，于是有 ＝( )2， ＝( )2， ＝( )2，……， ＝( 由已知 b n ·b n +1＝(2a n +1)2＝[(n ＋1)(n ＋2)]2，①

则 b n +1·b n +2＝[(n ＋2)(n ＋3)]2，②

． 2

(n ＋1)n 经检验当 n ＝1 时也符合上式，∴ a n ＝

高中数学常见题型解法第36招 归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

【知识要点】 一、数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(1 1≠==-++q q a a d a a n n n n 或 常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系， 可以利用项和公式11(1) (2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?，求数列的通项. 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项. 4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在： 1 ()(2)n n a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】 方法一 归纳法 使用情景 已知数列的首项和递推公式 解题步骤 观察、归纳、猜想、证明. 【例1】在数列{n a }中，16a =，且1 11n n n a a n n ---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值； （2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.

【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法. 【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122 ,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n =L ． （1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42 n n S n <+，n *∈N ． 方法二 公式法

第36招归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲： 数列通项的求注一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法) 【知识要点】 一、数列的通项公式 如果数列〈an ?的第n 项a n 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列 的通项公式.即a . = f (n).不是每一个数列都有通项公式 .不是每一个数列只有一个通项公式 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在： a n 1 -a n = d(常数)或a n 1二q,(q = 0)的关系，可采用求等差数列、 a n 等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在： S n 二f (a n )或S n 二f(n)的关系, $ (n =1) 可以利用项和公式 a= ，求数列的通项. n IS n —S n 』(n >2) 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在： a n - a n 』二f (n) (n _ 2)的关系，可用“累加法”求通项 5、构造法：(见下一讲) * 【例 1】在数列｛a n ｝中，ai =6，且 a n - a n4 心5 1 (n ，N , n - 2)， n (1)求 a 2 ,a 3, a 4的值; (2)猜测数列｛ a n ｝的通项公式，并用数学归纳法证明 【解析】 ⑴ ^-12^=20^ = 30 a n 与项数n 的关系，猜想数列 4 、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在: a n =g( n)( n 一2)的关系, 可用“累乘法”求通项 a n J

方法 累加法与累乘法

方法1：累加法与累乘法 A组 1.☆[累加法] 设数列{a n}中，a?＝2，a n+1＝a n＋n＋2，则通项a n＝． 2.◇设数列{a n}中，a?＝3，a n＝a n-1＋2n，则通项a n＝． 3.◇(2010辽宁卷T16) 已知数列{a n}满足a?＝33，a n+1－a n＝2n，则a n n的最小值为． 4.◇(2011四川卷T8) 数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n＝a n+1－a n (n∈N*)．若b?＝－2，b10＝12，则 a8＝．

5. ◇(2015江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足a ?＝1，且a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{1 a n } 前10项的和为 ． 6. ◇数列{a n }满足a ?＝1，且对任意的m , n ∈N *，都有a m +n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1 a ?＋1 a ?＋1 a ?＋…＋1 a 2012＝ ． 7. ◇已知数列{a n }中，a ?＝p ，a ?＝q ，且a n +2－2a n +1＋a n ＝d ，求数列{a n }的通项公式． 8. ☆[累乘法] 已知数列{a n }中，a ?＝2，满足a n +1＝n ＋2 n a n ，求数列{a n }的通项公式．

9.◇已知数列{a n}中，a?＝5，满足a n＝(1＋1 n)a n-1，求数列{a n}的通项公式． 10.◇已知数列{a n}中，a?＝1 3 ，满足a n+1＝(1 3 ＋2 3n)a n，求数列{a n}的通项公式． 11.◇在数列{a n}与{b n}中，a?＝1，b?＝4，数列{a n}的前n项和S n满足nS n+1－(n＋3)S n＝0，2a n+1为b n与b n+1的 等比中项，n∈N*． ⑴求a?, b?的值； ⑵求数列{a n}与{b n}的通项公式．

数列之累加法与累乘法老师专用

n a ． 2 n (n ＋3) 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝ (n ≥2) ． 2 ＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋3) ∴ a n ＝a ?＋ ， n 2＋3n －4 2 ×(n －1)＝ 2 (n ＋1)＋ 3 ＝ 解析：由已知得 a n +1－a n ＝n ＋2，于是有 a n －a ? ＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ? －a ?) n n n ∴ a n ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)． 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝n 2＋n ＋1． ×(n －1)＝(n ＋2)(n －1)． 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a n －a n -1＝2n ，于是有 a n －a ? ＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ? －a ?) n n n 数列之累加法与累乘法 老师专用 1. ☆[累加法] 设数列{a n }中，a ?＝2，a n +1＝a n ＋n ＋2，则通项 a n ＝ ． 2. ◇设数列{a n }中，a ?＝3，a n ＝a n -1＋2n ，则通项 a n ＝ ． 3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a n }满足 a ?＝33，a n +1－a n ＝2n ，则a n 的最小值为 ． 4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a n }的首项为 3，{b n }为等差数列且 b n ＝a n +1－a n (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ． 5. ◇(2015 江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足 a ?＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{ 1 } n 为 2 ． n 21 所以a n 的最小21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ ， 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ ； 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x ＋ /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a n ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a n 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a 4－a ?＝6，…，a n －a n -1＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a n －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n － 1)， b 10－b ? 解析：设{b n }的公差为 d ，则 d ＝ 10－3 ＝2，∴ bn ＝b ?＋(n －3)d ＝2(n －4)，即 a n +1－a n ＝2(n －4)． 则 a ?－a ?＝－6，a ?－a ?＝－4，a 4－a ?＝－2，…，a n －a n -1＝2(n － 5)， 累加得到 a n －a ?＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n －5)＝(n － 8)(n －1)， 故 a n ＝3＋(n －8)(n －1)，a 8＝3．

数列通项公式 累乘和累加法 学案

名校学案，高二数学,必修五，数列，拔高训练,优质学案,专题汇编（附详解） 1 专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法 学习目标 1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法； 2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法； 3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。 ________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。 例：已知数},{n a 其中,, 111n a a a n n +==+ ① 求它的通项n a 。 变题1：把①式改为;11+=+n n a a 变题2：把①式改为;21 n n n a a +=+ 小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？ 变题3：把①式改为;11n n a n n a += + 变题4：把①式改为;21 n n a a =+ 小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？ 挑战高考题： 1.(2015.浙江.17）已知数列{}n a 满足n n n a a a 2,211==+，)*∈N n （。 （1）求n a 2.（2008.江西.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++ 你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？ 通过本节课的学习你收获了什么？

谈谈累加法和累乘法的另一种形式

谈谈累加法和累乘法的另一种形式 课本上推导等差数列的通项公式和等比数列的通项公式分别用了累加法和累乘法，在各类考试中也经常出现使用累加和累乘的方法来求通项公式的问题，它们的重要性毋庸置疑．笔者在此给出累加法和累乘法的另一种形式，它使用起来更加简洁明了． 递推关系1()n n a a f n +-=可用累加法求其通项公式： 1 1 1 111 1 ()()n n n k k k k a a a a f k a --+=== -+=+∑∑，2n ≥， 若()(1)()f n g n g n =+-，则1()n n a a f n +-=可以写成1(1)()n n a a g n g n +-=+-，即 1(1)()n n a g n a g n +-+=-，这说明()n a g n -为常数，即1()(1)n a g n a g -=-，由此可求 得2n ≥时的n a ； 递推关系 1 ()n n a f n a +=可用累乘法来求其通项公式： 1 1 1 1111 ()n n n n k k n a a a a f n a --+====∏∏，2n ≥， 若(1)()()g n f n g n += ，则1()n n a f n a +=可以写成1(1) () n n a g n a g n ++=，即 1(1)()n n a a g n g n +=+，这说明 ()n a g n 为常数，即1()(1) n a a g n g =，由此可求得2n ≥时的n a ． 例1：等差数列1n n a a d +-=，将d 改写(1)n d nd +-，则由上可知1n a nd a d -=-，故 2n ≥时1(1)n a a n d =+-，经检验1a 符合上式，故1(1)n a a n d =+-． 例2：等比数列1 n n a q a +=，将q 改写为1n n q q +，则由上可知1n n a a q q =，故2n ≥时11n n a a q -=，经检验1a 符合上式，故11n n a a q -=． 例3：数列{}n a 满足 11 n n a n a n ++= 且11a =，则n a =_____________. 解： 1111n n n n a a a n a n n n +++=?=+，所以111n a a n ==，所以2n ≥时n a n =，经检验1a 符合上 式，故n a n =．

累加法与累乘法

求数列通项公式之累加法 （1）累加法：如果递推公式形式为：()1n n a a f n +-=或)(1n f a a n n +=+，则可利用累加法求通项公式 注意：①等号右边为关于n 的表达式，且能够进行求和 ②1,n n a a +的系数相同，且为作差的形式 ③、具体操作流程之一：若1()n n a a f n +-=， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1：数列{}n a 满足：11a =，且121n n n a a +-=+，求n a 解：121n n n a a +-=+ 累加可得：()2 112221n n a a n --=++ ++- 【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成 ) (1n f a a n n =-+或 例2：已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解： 【变式训练】： 变式1、已知数列{}n a 的首项为1，且n a a n n 21+=+写出数列{}n a 的通项公式. 变式2、在数列{}n a 中，01=a 且 121-+=+n a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。 变式3、已知数列{}n a 满足1=a 变式4、在数列{}n a 中，1=a 变式5、已知数列{}n a 满足1321+?+=+n n n a a ，31=a ，求数列{}n a 的通项公式。

累 乘 法 1、数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式 解：因为1(1)n n na n a +=+ 所以n n a a n n 1 1+= + 则11 -= -n n a a n n (1) . （2） . . . . 1212= a a (n-1) 将上式中的（1）*（2）*………*（n-1）化简得 , 1 n a a n =（n 》2） 所以 n a n 2= （n 》2） 当n=1时满足上式，所以n a n 2= 总结：满足 n 1a a n 与+的比值为常数或者变量的时候都可以采用累乘法 变式1：数列}{n a 中，12a =,32=a ，n n a n na )1(1-=+ , 求}{n a 通项公式 解： 变式2：数列}{n a 中，12a =, n n a n na )2(1+=+ , 求}{n a 通项公式 解： 变式3：已知数列{}n a 中，3 1 1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

数列之累加法与累乘法老师专用

n ． 2 n (n ＋ 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝ (n ≥2)2 ＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋∴ a ＝a ?＋ ， n 2＋3n －4 2 ×(n －1)2 (n ＋1)＋＝ 解析：由已知得 a －a ＝n ＋2，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) ∴ a ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)． ×(n －1)＝(n ＋2)(n － 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a －a ＝2n ，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) 数列之累加法与累乘法 老师专用 1. ☆[累加法] 设数列{a }中，a ?＝2，a ＝a ＋n ＋2，则通项 a ＝ ． 2. ◇设数列{a }中，a ?＝3，a ＝a ＋2n ，则通项 a ＝ ． 3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a }满足 a ?＝33，a －a ＝2n ，则a 的最小值为 ． 4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a }的首项为 3，{b }为等差数列且 b ＝a －a (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b ＝12，则a ＝ ． 为 n 21 所以a 的最小值 21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a ＝ 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a －a ?＝6，…，a －a ＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －

2018年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第36讲数列通项的求法一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法

第36讲 数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法） 【知识要点】 一、数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法 1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明. 2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(1 1≠==-++q q a a d a a n n n n 或 常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系，可以利用项和公式11(1) (2) n n n S n a S S n -=?=? -≥?，求数列的通项. 3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项. 4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在： 1 ()(2)n n a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】 【例1】在数列{n a }中，16a =，且1 11n n n a a n n ---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值； （2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.

【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法. 【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122 ,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n =L ． （1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）； （3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42 n n S n <+，n *∈N ．

高三总复习---数列求通项方法总结已知Sn求an累加法累乘法题型分类整理总结

已知求，这种方法很好辨认，一般式子里都有或、等，题型一般有以下两种：①式子中只含和有关的函数式；②式子中出了含有和有关的函数式以外，还有其他诸如、、、等等。对于第一种题型，在求出后，一般还需对是否相等进行验证；而第二种题型一般则需令取1去求。 1、已知数列满足,则=（ ） 2、已知数列的前项和满足：，且，那么（ ） 3、数列的前项和，则＝（ ） 4、若等比数列的前项之和为，则等于（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ． 5、设等差数列的前项和公式是，求它的前3项，并求它的通项公式。 6、数列的前项和记为， （1）求的通项公式； （2）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求。 7、已知求，（1），求；（2），求。 8、设数列的每一项都不为零，，已知，求通项公式。 9、设数列的前项和为，且对任意正整数，。 （1）求数列的通项公式 （2）设数列的前项和为 10、已知为数列的前项和，点在直线上． （1）若数列成等比，求常数的值； （2）求数列的通项公式； 11、已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。 （1）求数列的通项公式； （2）设，当为何值时，数列的前项和最大？ 12、已知数列的前项和为，。 （1）证明数列为等比数列，并求出通项公式； n S n a n S 1-n S 1+n S n S n n S n n a 1-n a 1-n S 1+n S n a 11S a 与n 1a {}n a n n a S 4 11+=n a {}n a n n S m n m n S S S +=+11=a =10a {}n a n 2 3n S n n -＝n a {}n a 3n n S a =+a 1-{}n a n 253n S n n =+{}n a n ()11,1,211n n n S a a S n +==+≥{}n a {}n b n n T 315T =112233,,a b a b a b +++n T n S n a 422++=n n S n n a 132 +-=n n S n n a {}n a n n a a a a S ++++= 3212)1(4+=n n a S n a {}n a n n S n 4096n n a S +={}n a 2{log }n a n n T n S {}n a n ()n n S a ,n x y 32-={}c a n +c {}n a {}n a n n S 0>λ11n n a a S S λ=+n {}n a 100,01=>λa n 1lg n a ?????? n {}n a n 23,2 n S a =1232n n S S +=+{}n a

高三总复习数列求通项方法总结已知Sn求an累加法累乘法题型分类总结

已知n S 求n a ，这种方法很好辨认，一般式子里都有n S 或1-n S 、1+n S 等，题型一般有以下两种：①式子中只含n S 和有关n 的函数式；②式子中出了含有n S 和有关n 的函数式以外，还有其他诸如n a 、1-n a 、1-n S 、1+n S 等等。对于第一种题型，在求出n a 后，一般还需对11S a 与是否相等进行验证；而第二种题型一般则需令n 取1去求1a 。 1、已知数列{}n a 满足n n a S 4 11+=,则n a =（ ） 2、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a （ ） 3、数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝（ ） 4、若等比数列{}n a 的前项之和为3n n S a =+，则a 等于（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．1- 5、设等差数列{}n a 的前n 项和公式是2 53n S n n =+，求它的前3项，并求它的通项公 式。 6、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥， （1）求{}n a 的通项公式； （2）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T 。 7、已知n S 求n a ，（1）422++=n n S n ，求n a ；（2）132+-=n n S n ，求n a 。 8、设数列{}n a 的每一项都不为零，n n a a a a S ++++=Λ321，已知2)1(4+=n n a S ，求通

数列之累加法与累乘法老师专用

n ． 2 n (n ＋ 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝ (n ≥2) 2 ＝ 2 ＝ 2 n 2＋3n －4 n 2＋3n n (n ＋∴ a ＝a ?， n 2＋3n －4 2 ×(n －1)2 (n ＋1)＋＝ 解析：由已知得 a －a ＝n ＋2，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) ∴ a ＝a ?＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n 2＋n ＋1 (n ≥2)． ×(n －1)＝(n ＋2)(n － 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a －a ＝2n ，于是有 a －a ? ＝(a －a )＋(a －a )＋(a －a )＋……＋(a ?－a ?) 数列之累加法与累乘法 老师专用 1. ☆[累加法] 设数列{a }中，a ?＝2，a ＝a ＋n ＋2，则通项 a ＝ ． 2. ◇设数列{a }中，a ?＝3，a ＝a ＋2n ，则通项 a ＝ ． 3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a }满足 a ?＝33，a －a ＝2n ，则a 的最小值为 ． 4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a }的首项为 3，{b }为等差数列且 b ＝a －a (n ∈N *)．若 b ?＝－2，b ＝12，则a ＝ ． 为 n 21 所以a 的最小值 21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x /*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1， n n 33 ∴ a ＝a ?＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a 解析：a ?－a ?＝2，a ?－a ?＝4，a －a ?＝6，…，a －a ＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a －a ?＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －