圆、相似三角形、二次函数经典综合题解析
中考数学《圆》综合复习
【1】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，EF ∥BC 且交AC 延长线于F ，连结CE.
求证：(1)∠BAE=∠CEF ；
(2)CE 2
=BD ·EF.
【2】如图，△ABC 内接于圆，D 为BA 延长线上一点，AE 平分∠BAC 的外角，交BC 延长线于E ，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE 、AF 的长.
【3】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，
C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接 CO 并延长CO 交于⊙O 于点
D ，连接AD ． (1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；
(3)当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点
的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．
【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交
ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．
GE CD ，的交点为M ，且ME = :2:5MD CO =．
（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．
B C
F E A D O .
A B D C E
F 第9题图
【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。
(1)求证：CD 为⊙0的切线；
(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 【
6】
【7】如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C. （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2； （2）证明：AB ·BC=2O 2B ·BO 1；
（3）如果AB ·BC=12，O 2C=4，求AO 1的长.
O 1
O 2
A B
【8】如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为 直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连 结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴垂
线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF （1）当∠AOB =30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE =8时，求线段
EF 的长；
（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此 时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2
(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；
（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN
+
第24题图
图（3）
l '
【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10．以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C．连接BC，AC。CD是⊙O’的切线．AD⊥CD于点D，
tan∠CAD=1
2
，抛物线2
y ax bx c
=++过A、B、C三点。
（1）求证：∠CAD=∠CAB；
（2）①求抛物线的解析式；
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上．并说明理由：
（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA
是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在．请说明理由．
A B
D
C
E
F
【1】证明：(1)∵EF ∥BC ，∴∠BCE=∠CEF. 又∵∠BAE=∠BCE ，∴∠BAE=∠CEF.
(2)证法一：∵∠BAD ＝∠CAD ，∠BAE ＝∠CEF ，
∴∠CAD ＝∠CEF.又∵∠ACD ＝∠F ，∴△ADC ∽△ECF.
∴CE EF AD AC =.∴CE AD
EF AC =. ①又∵∠BAD ＝∠EAC ，∠B ＝∠AEC ，∴△ABD ∽△AEC ，∴
BD AD CE AC =. ② 由①②得CE BD EF CE
=，∴CE 2＝BD ·EF.
【2】解：连结BF.∵AE 平分∠BAC 的外角，∴∠DAE=∠CAE.
∵∠DAE=∠BAF ，∴∠CAE=∠BAF.
∵四边形ACBF 是圆内接四边形，∴∠ACE=∠F.
∴△ACE ∽△AFB.∴
AC AE
AF AB
=. ∵AC=5，AB=8，EF=14，设AE=x ，则AF=14－x ，则有
5x 14x 8
=-，整理，得x 2
-14x+40=0.
解得x 1=4,x 2=10，经检验是原方程的解.∴AE=4,AF=10或AE=10，AF=4. 【3】
.
O D A
F
C B