初高中衔接：方程与不等式
初高中数学衔接讲学稿 年级：新高一年级 学科：数学 执笔：罗老师 审核：张承辉 内容：方程与不等式 课型：讲练结合 课时：2 时间：2013年7月 学习目标：
1．掌握方程与不等式基础知识，能熟练解简单的方程与不等式。
2．会用相关知识进行有关应用问题的解决； 3．会解决简单的综合问题。 学习重点：一元二次方程，一元二次不等式解法 学习难点： 如何根据题目条件合理选择方法解决有关应用问题 学习过程： 一、知识总结： （一）基础知识： 1．用配方法可把一元二次方程2
ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）变为222
4()24b b ac x a a -+=① 2．对于一元二次方程2ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0），有
（1）当Δ＞0时，方程有两个不相2ax ＋b x ＋c ＝0不等的实数根2,1x
＝
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，1x ＝2x ＝－2b
a
； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。
3．如果2
ax ＋b x ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是1x ,2x ，那么1x +2x ＝b a
-， 21x x ?＝c
a
。 4.
（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和
(x 2，0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可
知 不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ＜x 1，或x ＞x 2；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为x 1＜
x ＜x 2。 （2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a ，由图2.3－2②可知
不等式ax 2
＋bx ＋c ＞0的解为x ≠－b 2a ； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解。
（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知 不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解。
．
5．体会如何根据题目已知条件寻找解决应用问题思路的方法 二、基础训练： 1.选择题：（1
）方程2230x k -+=的根的情况是（ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根（D ）没有
实数根
（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m
的取值范围是（ ）
（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－1
4，且m ≠0
2．填空:（1）若方程2x －3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则12
11
x x +＝ 。 （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 。 （3）以－3和1为根的一元二次方程是 。 3.
|1|0b -=，当k 取何值时，方程k 2x ＋a x ＋b ＝0有两个不相等实数根？
4．已知方程2x －3x －1＝0的两根为1x 和2x ，求(1x －3)( 2x －3)的值。
三、典例精讲：
例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。
（1）2x －3x ＋3＝0； （2）2x －ax －1＝0；
（1）
图2.3－2
②
③
①
（3）2x －ax ＋(a －1)＝0； （4）2x －2x ＋a ＝0。
分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题。
例2已知方程2
560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。
例3 已知关于x 的方程2x ＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数
根的平方和比两个根的积大21，求m 的值。
今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否
大于或大于零。因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。
例4 若1x 和2x 分别是一元二次方程22x ＋5x －3＝0的两根。
（1）求|1x －2x |的值； （2）求2212
11
x x +的值； 练习1.1.选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程22x －8x ＋7＝0的两根，则
这个直角三角形的斜边长等于（ ） （A
（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程22x －4x ＋1＝0的两个根，则1221
x x x x +的值为（ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32 （3）如果关于x 的方程2
x －2(1+m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12 （C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1 （4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程c 2x ＋(a ＋b )x ＋4c ＝0的根的情况是（ ） （A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2.填空：若方程2
x －8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ 。 3.已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4k 2
x －4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根。（1）
是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2x 2)＝－32
成立？若存在，求出k 的值；若不存在，
说明理由；（2）求使1221
x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12x
x λ=，
试求λ的值。
例5 解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0。
例6 解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数)。 练习2
1．解下列不等式： （1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0。 2.解关于x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2
≤0（a 为常数）。 四、学习体会： 1．本节课你的收获：
；
2．你的疑惑：
。
初高中衔接不等式
第四讲 不 等 式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识． 一、一元二次不等式及其解法 1．形如2 0(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 【例1】解不等式2 60x x +->． 分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组． 解：原不等式可以化为：(3)(2)0x x +->， 于是：3020x x +??->?33 3222x x x x x x <->-????<->??<>?? 或或 所以，原不等式的解是32x x <->或． 说明：当把一元二次不等式化为2 0(0)ax bx c ++><或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法． 【例2】解下列不等式： (1) (2)(3)6x x +-< (2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+ 分析：要先将不等式化为2 0(0)ax bx c ++><或的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：2 120x x --<，即(3)(4)0x x +-< 于是：3030 344040x x x x x +>+?? 或 所以原不等式的解是34x -<<． (2) 原不等式可化为：2 40x x -+≤，即240(4)0x x x x -≥?-≥ 于是：00 044040x x x x x x ≤≥???≤≥??-≤-≥?? 或或 所以原不等式的解是04x x ≤≥或． 2．一元二次不等式2 0(0)ax bx c ++><或与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠及
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1．222a b a b +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2．2a b a b +≥，其中[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 3．常考不等式： 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路： （1）积定和最小：若a b 是定值，那么当且仅当a b =时，()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2 m a x 2a b a b +??= ??? ，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ． 解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ，当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1m x n y +=上，则m n 的最大值为______。 解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=，明显，和为 定，根据和定积最大法则可得：2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ，当且仅当12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2 122 x x f x +=+ ，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________． 解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =，当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式：已知2x >-，则12 x x + +的最小值为 。 解析：由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +，明显，积为定，根据和定积最大法则可得： ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++，当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号，此时可得
初高中数学教材衔接练习题(一元二次不等式及二次函数)及答案
一元二次不等式及（含参数）二次函数 1.（1）不等式23100x x -++<的解集是___________ （2）不等式25311x x -<-+-<的解集是_________. （3）不等式 211x x <-的解集是____________________ 2. 已知不等式2(1)0x a x a -++<， （1）若不等式的解集为(1,3)，则实数a 的值是_______________； （2）若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是___________； （3）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 3. 解不等式－1 5.解关于x 的不等式：2 3(1)90()mx m x m R -++>∈ 6. 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈??? ?0，12成立，求 a 的取值范围。 7. 若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围。 8. 不等式04 9)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R ,求实数m 的取值范围。 9.函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 10. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。 11. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。 12. 已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]-41，上的最大值为5，求实数a 的值。 13. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最小值。 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0，解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a；若a<0，解集为?? ? ? ? ? x| x< b a；若a＝0，当b≥0时，解集为?，当b<0时，解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的根 有两相异实根 x＝x1或x＝x2 有两相同实根 x＝x1＝x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2＋bx＋ c>0(a>0) {x|x 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( (1) 第五部分方程与不等式 1二元二次方程组解法 方程 x 2 2xy y 2 x y 6 0 是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2的整式方程，这样的方程叫做 二元二次方 2 2 程?其中x , 2xy , y 叫做这个方程的 二次项，x , y 叫做一次项,6叫做常数项. 我们看下面的两个方程组： 2 2 x 4y x 3y 1 0, 2x y 1 0; x 2 y 2 20, x 2 5xy 6y 2 0. 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次 方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组. 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法. 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解. 例1解方程组 x 2 4y 2 4 0, ① x 2y 2 0. ② x 2 13, 练习 1.下列各组中的值是不是方程组的解 x (1) y 2, 3； 2 .解下列方程组： (2) x 3, y 2； (3) 1, 4 ； (4) 2, 3 ； 5, y 2 625; xy y 3, 10; 2 2 x 4y x 3y 1 0, 2x y 1 0; 2 2 x y 20, 2 2 x 5xy 6y 0. 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解. 例2 解方程组 x y 7, ① xy 12. ② 2 (3) x 2 1, (4) 2x, y x 3； 2 2 c x y 8. —2 v x v 3. 上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次 不等式的 解集. 那么，怎样解一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0( a * 0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数 y = ax 2+ bx + c ( a * 0)的图象来解一元二次不 等式 ax + bx + c >0(a *0). 为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a >0时的一元二次不等式的解. 我们知道，对于一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0(a >0)，设△= b 2— 4ac ,它的解的情形按照△> 0,A =0, △ v 0分别为下列三种情况一一有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛 物线y = ax 2+ bx + c (a >0)与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点 (如图2.3 — 2所示)， 因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0 (a > 0)与ax 2 + bx + c v 0 (a > 0)的解. 由对应值表及函数图象(如图2.3 — 1)可知 当 x = — 2,或 x = 3 时，y = 0, 即卩 x — x = 6= 0;( 1) 当 x v — 2,或 x >3 时，y >0,即卩 x 2 — x — 6>0; 当一2v x v 3 时，y v 0,即卩 x 2 — x — 6v 0. 这就是说，如果抛物线y= x 2— x — 6与x 轴的交点是(—2, 0)与(3 , 0)，那么 一元二次方程 x 2 — x — 6 = 0 的解就是 Xi = — 2, X2= 3; 同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式 x 2 — x — 6> 0 的解是 x v — 2,或 x >3; 一元二次不等式 2 x — x — 6v 0 的解是 (1 )当△> 0时，抛物线y = ax 2+ bx + c (a > 0)与x 轴有两个公共点(x i , + bx + c = 0有两个不相等的实数根 x i 和X 2(x i v X 2)，由图2.3 — 2①可知 不等式ax 2 + bx + c > 0的解为 x v X i ,或 x > X 2； 不等式ax 2 + bx + c v 0的解为 X i v x v X 2. (2) 当△ = 0时，抛物线y = ax 2+ bx + c (a >0)与x 轴有且仅有一个公共点， 有两个相等的实数根 X i = X 2= — =，由图2.3 一 2②可知 2a 不等式ax 2 + bx + c > 0的解为 b x *— ； 不等式ax 2 + bx + c v 0无解. (3) 如果△< 0,抛物线y = ax 2 + bx + c ( a > 0)与x 轴没有公共点，方程 ax 2 + bx + c = 0没有实数 根，由图2.3 — 2③可知 不等式ax 2 + bx + c > 0的解为一切实数； 不等式ax 2 + bx + c v 0无解. 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果 二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以- 1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用 2 一元二次不等式解法 二次函数y = x 2—x — 6的对应值表与图象如下: X —3 —2 —1 0 1 2 3 4 y 6 0 —4 —6 —6 —4 6 ① 0）和（x 2, 方程 0)，方程ax 2 ax 2 + bx + c = 0 高中数学-不等式的解法 若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0， n € N *， n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式， 分式不等式，高次不等式，指数、对数不等 式，三角不等式，含参不等式，函数不等式， 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 高中数学不等式的解法 复习目标 1．掌握一元一次不等式（组） ，一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的 无理不等式的解法． 2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力． 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b （1）当 a 0 时，解集为 { x | } （2）当 a 0时，解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解，具体见下表： 2 0 0 0 a 0 ， b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注：1．解一元二次不等式的步骤： （1）把二次项的系数a变为正的．（如果a 0，那么在不等式两边都乘以1，把系 数变为正） 1 （2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当a 0 且0 时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”． 三、含有绝对值的不等式的解法 1．绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2．含绝对值不等式的解： （1）| x | a(a 0) a x a （2）| x | a(a 0) x a或x a （3）| f (x) | a(a 0) a f (x) a （4）| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注：当a 0时，| x | a 无解，| x | a的解集为全体实数． 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0（或 f (x) 0），一般用数轴标根法求解，其步骤是： （1）将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数； （2）将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积； （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； （4）根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若a1 a2 3 ，则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图（即“数轴标根法”）： a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成 ' g ( x) g'( x) 1. 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 二．练习 3113x x +>-- 2112 x x ->-+ 2121x x x +≤+ 23234 x x -≤- 2206x x x x +<+- 211(3) x >- 2321 x x x x +>++ 2212(1)(1)x x x -<+- 25214x x +≤-- 1111 x x x x -+<+- 1230123 x x x +->--- 221421x x x ≥-- 2121 x x x +<- (23)(34)0(2)(21)x x x x -->-- 23 11x x +≥+ 229152x x x --<+ 22231 0372x x x x ++>-+ 2223712x x x x +-≥-- 2232 0712x x x x -+>-+ 22 1(1)(2)x x x -<+- 教学任务 教学过程设计 课后作业 一、选择： 1不等式038>-x 的解集是（ ） A ? B C 8{|}3x x ≠ D }3 8 { 2不等式04 1 2>+-x x 的解集是（ ） A R B 1{|}2x x < C 1{|}2x x > D 1 {|}2 x x ≠ 3设等于则B A x x B x x A I },11{},32{>-=<-= （ ） A }5201{<<<<-x x x 或 B }51{<<-x x C }01{<<-x x D }20{> 14设函数()4f x x b =-+，不等式|()|6f x <的解集为（－1，2） （1）求b 的值； （2）解不等式 40() x m f x +>． 答： 15、解关于x 的不等式 )0( 12 ) 1(>>--a x x a 答： 常见不等式的解法 【知识要点】 一、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式. 当0a >时，不等式的解集为b x x a ??> ????；当0a <时，不等式的解集为b x x a ? ? < ???? . 二、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法 1、二次不等式2 ()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合 的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答. 2、当二次不等式()f x =2 0(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的方法解答. 3、温馨提示 （1）不要把不等式2 0ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数. （2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论. （3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件. （4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性. 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件. ①当1a >时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? ②当01a <<时, ()() ()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0 ()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 1．立方和与差的公式 这部分内容在初中教材中已删去不讲，但进入高中后，它的运算公式却还在用。比如说： （1）立方和公式：(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3； （2）立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3； （3）三数和平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac； （4）两数和立方公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； （5）两数差立方公式：(a-b)=a3-3a2b+3ab2-b3。 2．因式分解 十字相乘法在初中已经不作要求了，同时三次或三次以上多项式因式分解也不作要求了，但是到了高中，教材中却多处要用到。 3．二次根式中对分子、分母有理化 这也是初中不作要求的内容，但是分子、分母有理化却是高中函数、不等式常用的解题技巧，特别是分子有理化。 4．二次函数 二次函数的图像和性质是初高中衔接中最重要的内容，二次函数知识的生长点在初中，而发展点在高中，是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容，经久不衰。 5．根与系数的关系（韦达定理） 在初中，我们一般会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程，而到了高中却不再学习，但是高考中又会出现这一类型的考题，因此王老师建议： （1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况； （2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含有两根之和、两根之积的代数式（这里指“对称式”）的值，能构造以实数p、q为根的一元二次方程。 6．图像的对称、平移变换 初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，对称轴、给定直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式 初中教材中同样不作要求，只作定量研究，而在高中，这部分内容被视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，圆幂定理等），初中生大都没有学习，而高中教材多常常要涉及。 2a ) x xx ≠- x 一元二次不等式的解法 教学过程 1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2、一元二次不等式的解法步骤 一元二次不等式 ax 2 + bx + c > 0或ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0)的解集： 设相应的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根为 x 、x 且 x ≤ x ， ? = b 2 - 4ac ，则不等式的解的各种情 1 2 1 2 况如下表： ?> 0 ?= 0 ?< 0 y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c 二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a > 0 ）的图象 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a > 0 的根 有两相异实根 有两相等实根 x , x ( x < x ) x = x =- b 1 2 1 2 1 2 无实根 ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集 { x < x 或x > x } 1 2 ? b ? ? ? ? 2a ? R ax 2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集 { x 1 < x < x 2 } ? ? 例 1 解不等式： （1）x 2＋2x －3≤0； （2）x － x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0． 例 2 解关于 x 的不等式 x 2 - x - a(a - 1) > 0 一、简单的一元高次不等式的解法：标根法： 其步骤是： （1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。（答：{}|12x x x ≥=-或）； （2）不等式(0x -的解集是____（答：{}|31x x x ≥=-或）； （3）设函数()()f x x ，g 的定义域都是R ，且()0f x ≥的解集为{}|12x x ≤<， ()0g x ≥的解集为?，则不等式()()0f x g x ?>的解集为______ （答：()[),12,-∞+∞； （4）要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<（解集非空）的每一个x 的值至少满足 不等式2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是______. （答：81[7,)8 ） 二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子 分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式 不 等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123x x x -<---（答：()()1,12,3-） ； （2）关于x 的不等式0ax b ->的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式 02ax b x +>-的 解集为____________（答：()(),12,-∞-+∞）. 三、绝对值不等式的解法： （1）零点分段讨论法（最后结果应取各段的并集）： 如解不等式312242 x x -++≥（答：x R ∈）； （2）利用绝对值的定义；（3）数形结合； 如解不等式13x x +->（答：()(),12,-∞-+∞） （4）两边平方：如若不等式322x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围 为______。（答：4 {}3 ） 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?-<<；||(0)x a a x a >>?<-或x a > 2 乘法公式： ⑴平方差公式：22 ()()a b a b a b -=+- ⑵立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ⑷完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+， 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ⑸完全立方公式：33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。 ⑶关于方程ax b =解的讨论 ①当0a ≠时，方程有唯一解b x a = ； ②当0a =，0b ≠时，方程无解 ③当0a =，0b =时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。 一、一元一次不等式 1. 2－5x≥8－2x 2.2 2 3125+<-+x x 3. 3[x －2(x －7)]≤4x 4..17) 10(2383+-≤--y y y 二、一元二次不等式 5．设集合S ＝{x |－5 衔接点20 二次函数与一元二次方程、不等式-2020年初高中衔接数 学（新人教版）(wd无答案) 一、单选题 (★★) 1. 若且则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D． (★) 2. 不等式的解集是（） A．B．C．D． (★★) 3. 若不等式的解集，则值是 A．0B．C．1D．2 (★★) 4. 若关于的不等式的解集是，则实数等于（） A．－1B．－2C．1D．2 (★★) 5. 已知不等式对任意正实数 x， y恒成立，则正实数 m的最小值是 A．2B．4C．6D．8 (★★★) 6. 不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（）A．B．C．D． (★★★) 7. 已知函数在，上是单调函数，则的取值范围是（）A．，B．， C．，，D． (★★) 8. 若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合（）A．B．C．D． (★★★) 9. 若正实数、满足，则的取值范围是（） A．B．C．D． (★★★) 10. 已知不等式的解集为，则不等式的解为（） A．B．或 C．D．或 (★★) 11. 已知函数，那么使成立时的取值范围是（） A．(－1，2)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2，1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) (★) 12. 关于 x的不等式的解集是（） A．B．C．D． (★★) 13. 若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． (★★★) 14. 对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）． A．B．C．D． (★★★) 15. 若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． (★★★) 16. 不等式对一切实数 x恒成立，则实数 a的取值范围为（）A．B．C．D． 二、填空题 (★★★) 17. 若对任意且，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ______. (★) 18. 一元二次不等式的解集是 _________ . (★★★) 19. 不等式的解集是______． (★★★) 20. 不等式的解集是______. (★★) 21. 已知不等式的解集为，则的取值范围是________. (★★★) 22. 设关于 x的不等式，只有有限个整数解，且0是 其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________ (★★) 23. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_____. (★★) 24. 关于的不等式的解集中恰有3个整数，则的取值范围是 _______. (★★★) 25. 不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围_________ 三、解答题 (★★★) 26. 解关于的不等式. (★★★) 27. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好 的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民 从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植 的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为高中数学精讲教案-不等式的解法
高中数学不等式解法15种典型例题
初高中衔接第五部分方程和不等式
高中数学精讲教案-不等式的解法
高中数学不等式的分类、解法讲解学习
高中数学不等式的解法
初高中衔接 分式不等式的解法
高中数学不等式的解法1
常见不等式的解法
初中衔接
初高中数学衔接 初高中衔接教材教案(5)一元二次不等式
高中数学 考前归纳总结 常见基本不等式的解法
黄冈中学初高中衔接教材含答案
高中数学不等式训练及解法(专项)
衔接点20 二次函数与一元二次方程、不等式-2020年初高中衔接数学(新人教版)(wd无答案)
- 初高中衔接第五部分方程和不等式
- 初高中衔接：分式不等式的解法
- 初高中数学衔接：第三讲含绝对值的不等式的解法.docx
- 史上最全的初高中数学知识点衔接归纳
- 初高中衔接基本不等式的解法
- (完整版)初高中数学衔接知识点总结,推荐文档
- 初高中衔接 分式不等式的解法
- 2017初高中数学衔接教材(已整理)-
- 初高中数学衔接教材第四讲 不等式
- 初高中数学衔接知识点总结
- 初高中衔接基本不等式的解法
- 初高中数学衔接 初高中衔接教材教案(5)一元二次不等式
- 不等式的提前与初高中的衔接
- (初高中知识点衔接)一元二次方不等式及其解法
- 初高中数学衔接读本
- 初高中衔接不等式的解法.pdf
- 衔接点20 二次函数与一元二次方程、不等式-2020年初高中衔接数学(新人教版)(wd无答案)
- 初高中数学衔接知识点总结
- 初高中数学衔接知识点专题一
- 初高中数学教材衔接练习题(一元二次不等式及二次函数)及答案