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高等数学2

高等数学II 期终试卷

一、选择题（每小题3分，共计 15 分）

1、函数?

???=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点 B 。

(A )．连续，偏导函数都存在； (B ) ．不连续，偏导函数都存在；

(C )．不连续，偏导函数都不存在； (D )．连续，偏导函数都不存在。

2、二重积分??D

xydxdy （其中D ：10,02≤≤≤≤x x y ）的值为 B 。

(A )．

； (B )．

1； (C )．

； (D )．

1。 3.设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=??+??y

b x z a A 。

(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。 4.设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则??

d xy σ =

C 。

(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24

R ； (D )．4R 。

5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分??D

y x f σd ),(表示

成极坐标系下的二次积分的形式为 D 。 (A )

2 0 0

d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ?

?； (B )．

cos sin 2 0

d (cos ,sin )d f r r r r π

θθ

θθθ+??； (C )

1cos 2

d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ-?

；(D )．

2cos sin 0

0d (cos ,sin )d f r r r r

θθθθθ+??

。

二、填空题（每小题4分，共计24 分）

1、设x y xy z )(=，则=z d dy x xy xy dx x xy y xy x y

)ln(1)())ln(1()(2

++- ，

在点)2,1( P 处的梯度=P

grad 。

2、设y

x y x y x f arcsin

)1(),(-+=，则='

)1,(x f x 1 。 3、D 由曲线1)1()1(22=-+-y x 所围成的闭区域，则

()D

x y dxdy +=?? 。

4、函数xyz u =在点)2,1,5( 处沿从点)2,1,5( 到点),,9( 14 4 所确定方向的方向导数是。

5、曲线??

??-=-=2252121x z x y 在点)2,1,1(--处的切线方程为，

法平面方程为。 6

、

改变

积分次序

0 1

arcsin 1

2arcsin 0

arcsin d (,)d d (,)d y

y f x y x y f x y x π

π---+=

。

三、计算题（每小题7分，共计49分）

1、求??1

10sin x

dy y x

y dx 。

2、求椭球面932222=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。

3、已知),(ηξf z =具有二阶连续偏导数，利用线性变换???+=+=by

x ay

x ηξ变换方程

032222

2=??+???+??y z y x z x

z 。问：当b a ,取何值时，方程化为02=???ηξz 。 4、f x y xf z y x ,)(222=++可微，求x z

??。

5、在经过点)3

1,2(P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。

6、求二元函数9422++=y x z 在区域422≤+y x 的最大值、最小值。

7、设区域121:≤+≤y x D ，证明：0)ln(22<+??D y x y x d d 。

四、每小题6分，共计12分

1、

设

2222, 0

(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?，用方向导数的定义证明：函数),(y x f 在

原点),(0 0沿任意方向的方向导数都存在。

2、设?

????=≠≥≥++-=??≤+000,0,0])(1[)(2222222t t y x y x y x y x f x t f t y x ,d d ，若)(t f 是连续可微的函数，求)(t f 。

高数II 试题

一、选择题（每题4分，共16分） 1．函数

22 0(,)0 0xy x y x y

f x y x y ?+≠?+=??+=?在(0, 0)点 B . (A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；

2．设f 为可微函数，(,)z f x y z xyz =++，则z x ?=

? C 。

(A )12121f yz f f x y f ''+''+-． (B )．12121f x y f f yz f ''--''+； (C )． 12121f yz f f x y f ''

+''--；

(D )．

1212f xzf f yzf ''+''

+。

3．设),(y x f 在()2

2:24D x y +-≤上连续，则二重积分??D

y x f σ

d ),(表示成

极坐标系下的二次积分的形式为 D 。 (A )． 22

0 0d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ??； (B )． 2

0 0d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ??；

(C )． 4cos 0

d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ??

；(D )． 4sin 0

d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ??

。

4．幂级数0(1)

n a x ∞

=+∑在3x =处条件收敛，则幂级数0

n a x

∞

=∑的收敛半径为

B 。

(A )．3； (B )．4；(C )．1； (D )．5。

二、填空题（每题4分，共20分）

1．设函数y z x =，则函数y

z x =的全微分。

2．函数222

u x y z =++在点)1,1,1(0P 处沿0OP

方向的方向导数为，其中O 为坐标原点。

3．曲面23z

z xy e +=-在点（1，2，0）处的切平面方程为。

4．曲线积分()22L I x y ds =+? （其中L 是圆周：922=+y x ）的值为。

5．设???≤≤≤≤=πx x x x f 1,110,)(的正弦级数展开式为∑+∞=1sin n n nx

b ，设1sin n n b nx +∞=∑

和函

数为()s x ，则

=)7(s , =)5(πs . 三、计算题（每题7分，共21分）

1．求方程323x

y y y xe -'''++=的通解。

2．交换二次积分(

)(

d ,d ,x x f x y dy x f x y dy

-+?

?的积分顺序。

3．计算曲面积分

z ds

∑

??，其中∑

为锥面

()04z z =≤≤。

四（9分）设函数22

(,)z f xy x y =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z

x x y ?????。

五、（10分）确定a 的值，使曲线积分()()4

124465B

a a A

I x

xy dx x y y dy

-=++-?

与

路径无关，并求,A B 分别为()0,0，()1,2时曲线积分的值。

六、（10分）化三重积分(,,)I f x y z dxdydz

=???为柱面坐标及球面坐标系

下的三次积分，其中Ω是由221y x z --≤和2

2y x z +≥，所围成的闭区域。

七、（10分）求

222

()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-??，其中∑为锥面

)z z h =

≤≤的外侧。

八、（4分）设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且0()

lim

0x f x x →=，

证明级数 11()n f n ∞

=∑绝对收敛。

高等数学II （A 卷）096

一、单项选择题（每小题4分，共16分）．

1．微分方程x e y y y -=+'+''23，其特解*

y 设法正确的是（）．

（A ）x Ae y -=*；（B ）x Axe y -=*；（C ）()x e B Ax y -+=*；（D ）x

e Ax y -=2*

2．设空间区域

02222≥≤++Ωz R z y x ，：；

00022221≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ，，，：，

则 ( ) ．

（A ）

d d d 4d d d x x y z x x y z

Ω=??????；（B ）1

d d d 4d d d y x y z y x y z

Ω=??????；（C ）

d d d 4d d d z x y z z x y z

Ω=??????；（D ）

d d d 4d d d xyz x y z xyz x y z

Ω=??????

3．设0(1,2,......)n a n >= ，且

n a

∞

=∑收敛，(0,)

πλ∈，则级数

21(1)(tan )n n n n a n λ

∞

=-∑（）．

（A ）条件收敛；（B ）绝对收敛；（C ）发散；（D ）收敛性与λ有关。

4．设二元函数(,)f x y 满足(0,0)1,(0,0)2x y f f ''

==，则（）．（A ）(,)f x y 在点(0,0)连续；（B ）(0,0)d (,)|d 2d f x y x y =+；

（C ）(0,0)|cos 2cos f

l αβ

?=+?，其中cos ,cos αβ为l 的方向余弦；（D ）(,)f x y 在点(0,0)沿x 轴负方向的方向导数为1-．

二、填空题（每小题4分，共16分）．

5. 设函数

y x

y x y x f arcsin

)1(),(-+=，则)1,(x f x '= ．

曲面z =被柱面

1x y +=所割下部分的面积为． 7. 设

2()(01)f x x x =≤≤，而1

()sin ()

n n S x b n x x π∞

==-∞<<+∞∑，其中

2()sin 1,2,......,

n b f x n xdx n π==?

则

1()2S -= ，(9)S = ．

8. 幂级数2

1(2)n

n x n ∞

=-∑的收敛域为．

三、解答下列各题（每小题7分，共28分）．

9. 设(,)z z x y =是由方程(,2)0F xy z x -=确定的隐函数，(,)F u v 可微,计算

z z x y x y ??-??．

在曲面xy z =上求一点，使该点处的法线垂直于平面093=+++z y x ．

10. 将函数

()32f x x x =

++展开为x 的幂级数．

11. 计算

d d d I z x y z

=???，Ω是由曲面

)(342

2y x z +-=及22y x z +=所围成的闭区域．

四、解答下列各题（每小题10分，共30分）

12. （10分）设()f x 具有二阶连续导数，(0)0,(0)1f f '==，曲线积分

[()()]d [()]d L

xy x y yf x x f x x y y '+-++?与路径无关．求()f x ．

13. （10分）计算积分22d d 4L x y y x

x y -+? ，其中L 为圆周222(1) (1)x y R R -+=≠（按

逆时针方向）．

14. （10分）计算

2d d d d d d I y y z x z x z x y

∑

=-+??，其中∑

为锥面z =被

1,2z z ==所截部分的外侧．

五、综合题（每小题5分，共10分）

15. 在椭球面222221x y z ++=上求一点，使函数222

(,,)f x y z x y z =++在该

点沿方向(1,1,0)l =-的方向导数最大，并求出最大值．

证明：设{}n U 是单调递增的有界正数列，判断级数1

1(1)

n n U U ∞

=+-

∑是否收敛，并

证明你的结论．

高等数学II 期中试卷

一、选择题（每小题3分，共计 15 分）

1、下列微分方程中，通解是

)sin cos (x C x C e y x

2221+=的方程是。 (A )．032=-'-''y y y ； (B )．052=+'-''y y y ；

(C )．02=-'+''y y y ； (D )．0136=+'+''y y y 。

2、微分方程x xe y y y 265=+'-''的特解形式是=*

y 。

(A )．x xe b ax 2)(+；(B )．x

e b ax 2)(+；(C )．b e ax x +22；(D )．b ae x

+2。

3、设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=

??+??y z

b x

z a

。 (A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。

4、设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则 d D

xy σ=?? 。

(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24

R ； (D )．4R 。

5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分??D

y x f σd ),(表示

成极坐标系下的二次积分的形式为。 (A

)．

2 0

d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ?

?；

(B )．

cos sin 2 0 0

d (cos ,sin )d f r r r r

θθ

θθθ+??

；

)

．

1cos 2 0

d (cos ,sin )d f r r r r

θθθ-?

；

(D )．1

cos sin 0 0d (cos ,sin )d f r r r r

θθθθθ+?

。

二、填空题（每小题4分，共计24 分）

1、设x

y xy z )(=，则=z d ，在点),(2 1P 处的梯度

=P z grad 。

2、已知x y =1，

x y 1

是微分方程02222

=-'+''y y x y x 的解，则此方程的通

解为。

3、D 由曲线1)1()1(2

2=-+-y x 所围成的闭区域，则

()D

x y dxdy +=?? 。

4、函数xyz u =在点),,( 2 1 5 处沿从点),,( 2 1 5 到点),,( 14 4 9 所确定方向的方向导数是。

5、曲线

???

??-=-=2252121x z x

y 在点),,(211--处的切线方程为，法平面方程为。 6

、

改变

积分次序

0 1

arcsin 1

2arcsin 0

arcsin d (,)d d (,)d y

y f x y x y f x y x π

π---+=

。

三、计算题（每小题7分，共计49分）

1、求微分方程??

?='==+''01 110

13)(,)(y y y y 的特解。

2、用两种方法求微分方程0d d 2=-+x y y x y )(的通解。

3、已知),(ηξf z =具有二阶连续偏导数，利用线性变换??

?+=+=by x ay x ηξ变换方程

032222

2=??+???+??y z y x z x z 。问：当b a ,取何值时，方程化为02=???ηξz 。

4、求椭球面9322

22=++z y x 的平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程。

5、在经过点

)

,,( 31

1 2 P 的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。

6、求

d sin

d x

x x y y y ?

?。

7、设区域

121≤+≤y x D :

，证明：0d d 22<+??D y x y x )ln(。

四、每小题6分，共计12分

1、

设

2222, 0

(,)0, 0x y f x y x y +≠=+=?，用方向导数的定义证明：函数),(y x f 在

原点),(0 0沿任意方向的方向导数都存在。

2、设???????=≠≥≥++-=??≤+00000 ,d d 12

222222t t y x y x y x y x f x t f t y x ,,])([)(，若)(t f 是连续可微的函数，求)(t f 。

2007－2008学年第(1)学期考试试卷

高等数学II （A 卷重修）

一、填空题（每小题4分，共20分）

设

4422

4u x y x y =+-,则. ()0,02

2x u

??=

0020x z x y ?? ???'.

,=和000y z x y ?? ???',=是可微函数()z z x y =,在点()

00x y ,处取得 (充分、必要、充要）条件.

3. 曲线

()2

2cos 2ln x t y t z t π=,=,=在对应于2t =点处的切线方程

为:

周期为

2π

的函数

()f x ，它在一个周期内的表达式为

()101

0x f x x ππ??

?--≤<=≤<,设它的傅里叶级数的和函数为()s x , 则S(0)= .

微分方程22

20d y dy y dx dx -+=的通解为 .

二、计算题（每小题8分，共40分）

设

ln tan y z x ?

?=,

???求 dz .

2. 求函数 u x y z =++ 在球面 222

1x y z ++= 上点 ()001,, 处，沿

球面在该点的外法线方向的方向导数。

交换积分次序

()2

dx f x y dy

-,?

。

4. 将已知正数a 分成两个正数 x y , 之和，问：x y ,为何值时使22

x y 最

大？

5. 求微分方程 24dy

xy x

dx += 的通解。

三、计算三重积分

xydV

???，其中Ω是由柱面

1x y += 与平面 100z z y =,=,=，x=0所围成的第一卦限内的区域。（9分）

四、计

算??，其中

∑

为球面

2222x y z a ++= 的外侧。

（9分）

五、计算曲线积分(ln )y

L y x dx xdy x +?，其中L ：自点A ＝1,22??

???沿曲线

1y x =到点B ＝2,12?? ?

?的一段有向曲线弧（9分）

六、求级数

()

n n x n ∞

-=-∑ 的收敛域与和函数。（9分）

七、求极限 22(1)201lim t x x y t t t dx e dy

t -+→+?? （4分）

高等数学II （A 卷重修）

一、填空题（每小题4分，共20分）

设

4422

4u x y x y =+-,则. ()0,02

2x u

??=

0020x z x y ?? ???'.

,=和000y z x y ?? ???',=是可微函数()z z x y =,在点()

00x y ,处取得 (充分、必要、充要）条件.

3. 曲线

()2

2cos 2ln x t y t z t π=,=,=在对应于2t =点处的切线方程

为:

周期为

2π

的函数

()f x ，它在一个周期内的表达式为

()101

0x f x x ππ??

?--≤<=≤<,设它的傅里叶级数的和函数为()s x , 则S(0)= .

微分方程22

20d y dy y dx dx -+=的通解为 .

二、计算题（每小题8分，共40分）

设

ln tan y z x ?

?=,

???求 dz .

2. 求函数 u x y z =++ 在球面 222

1x y z ++= 上点 ()001,, 处，沿

球面在该点的外法线方向的方向导数。

3. 交换积分次序

()2

dx f x y dy

-,?

。

4. 将已知正数a 分成两个正数

x y , 之和，问：x y ,为何值时使22x y 最

大？

5. 求微分方程 24dy

xy x

dx += 的通解。

三、计算三重积分

xydV

???，其中Ω是由柱面

1x y += 与平面 100z z y =,=,=，x=0所围成的第一卦限内的区域。（9分）

四、计

算??，其中

∑

为球面

2222x y z a ++= 的外侧。

（9分）

五、计算曲线积分(ln )y

L y x dx xdy x +?，其中L ：自点A ＝1,22??

???沿曲线

1y x =到点B ＝2,12?? ?

?的一段有向曲线弧（9分）

六、求级数

()

n n x n ∞

-=-∑ 的收敛域与和函数。（9分）

七、求极限 22(1)201lim t x x y t t t dx e dy

t -+→+?? （4分）

等数学试卷(下期04)

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的

括号中）( 每小题4分, 共8分) 1、二重积分

(其中D ：0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为

答 ( ) 2、设∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2在z ≥h 部分，0

答 ( ) 二、填空题（将正确答案填在横线上）( 本大题15分 )

1. 1. 设L 是 |y |=1－x 表示的围线的正向，则 =+?L xdy ydx 2___________

2. 设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，du=______________________________.

10,2:,2

≤≤==?x x y L ds y I L 为设. I=____________________________.

三、解答下列各题( 本大题8分 )

已知曲线积分[]?+-L y

x x x y

x x d )(d )(sin ??与路径无关，其中?()x 可导，且

?π()=1，求?()x

四、解答下列各题 ( 本大题8分 )

设),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++所确定，32z xy u =,求)

1,1,1(x u

??。

五、解答下列各题 ( 本大题8分 )

函数u xy yz =+2

在点（1，2，－1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。

六、解答下列各题 ( 本大题6分 )

在()-ππ,内把函数

()??????

<<-<<-≤=π

πππx x x x f 2

,2,02

,1展成Fourier 级数。

七、解答下列各题 ( 本大题8分 )

计算其中∑是z =1－x 2－y 2在xoy 面上方的部分

曲面的上侧。

八、解答下列各题 ( 本大题16分 )

1．求微分方程)1(822x

e y y y +=+'-''的通解。

2．设平面上有三个点)1,0(),0,1(),0,0(B A O ，在O A B ?的闭区域D 上，求出点M ，

使它到点O 、A 、B 的距离平方和为最大。九、解答下列各题 ( 本大题 8 分 )

求幂级数

()

n n

x n n ∑∞

=-2ln 1

的收敛域。当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明。

十、解答下列各题 ( 本大题16分 )

1.设Ω是由z =x 2+2y 2及z =3－2x 2－y 2所围的有界闭区域。试将分别

化成直角坐标与柱面坐柱下的三次积分式。

2.求正数λ，使曲面λ=xyz 与椭球面1

z b

y a x 在某点有相同的切平面，

并写出切点的坐标(,,)a b c >>>000。

第二学期高等数学试题(一)

一、一、填空题(每小题3分，共15分)

1． 1．设u=x 4+y 4-4x 2y 2 ，则u x x = 2． 2．设u=xy+y/x ，则u y =

3． 3．函数z=x 2+4xy-y 2+6x-8y+12的驻点是

4． 4．设幂级数∑∞

=0n n

n x

的收敛半径是4，则幂级数∑∞

=+01

2n n n

x a

的收敛半径是

5． 5．设Σ是柱面x 2+y 2

=4介于1≤z ≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz 轴的一侧，

则??

∑++dxdy

z y x 222=

二、二、单选(每小题2分，共8分)

1、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的： (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。答（） 2、微分方程y x y y ''=''+'满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是 (A) y=(x-1)2 (B) y=(x+1/2)2-21/4 (C) y=1/2(x-1)2+1/2 (D) y=(x-1/2)2-5/4

答（）

3、若方程0=+'+''qy y p y 的系数p+qx=0，则该方程有特解 (A) y=x (B) y=e x (C) y=e – x (D) y=sin x 答（）

4、微分方程x y y sin ='+'''的一个特解应具有形式答（） (A) Asin x (B) Acos x (C) Asin x +Bcos x (D) x(Asinx+Bcosx) 三、三、解答下列各题

1． 1． (本小题6分)

利用二重积分计算由曲面z=x 2+y 2，y=1，z=0，y=x 2所围成的曲顶柱体的体积。 2、(本小题7分)

证明极限3

200lim y x y x y x +→→不存在。 3、(本小题5分)

验证：y 1=cos ωx ，y=sin ωx 都是微分方程y’’+ω2

y=0的解，并写出该方程的通解。 4、(本小题5分)

设

?????≤≤-<<-+=00cos 1)(x x x x

x x f πππ若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier 级数之和函数，求S(-3π)。

四、四、解答下列各题：

1、(本小题6分)

更换积分次序：??--x

x dy

y x f dx 21

),(

2、(本小题6分)

求曲线

,1,1t z t t y t t x =+=+=

在t=1处的切线及法平面方程。

五、五、解答下列各题：

1、(本小题6分)

已知Σ是z=x 2+y 2上 z ≤1的部分曲面，试计算

∑

+ds

z 41

2、(本小题6分)

计算??∑

-+-+-dzdy z x dxdz x y dxdy y z )()()(，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为

V 。

六、六、解答下列各题

1、(本小题5分)

判别级数n n n sin

=∞

∑的敛散性。

2、(本小题5分) 级数

+-+-

2227151311是否收敛，是否绝对收敛？

3、(本小题5分)

试求幂级数()()∑∞

=12

!!3k n

x n n 的收敛半径

4、(本小题5分)

试将函数y=1/(4-x 4)展开为x 的幂级数七、(本大题10分) 已知上半平面内一曲线y=y(x) (x ≥0)过点(0,1)，且曲线上任一点M(x 0,y 0)处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，y 轴，直线x=x 0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

第二学期高等数学重修试题(一)

一、一、计算下列各题(每小题6分，共30分) 1. 设

dt dz

t y t x y x z 求

,sin ,3,322==+=。

2. 设()

x z cos ln =求:d z 。

3. 设

,4x z

z z y x ??=++求。 4. 设()xx u xyz y x f u

求,5+=。

5．

dz xyz e Z

求　,0=- 。二、二、解下列各题 (每小题6分，共24分)

1．更换积分次序：()??--x

x dy

y x f dx 212

,。

2. 求xyz z xy u -+=3

在点P （1,2,3）沿分别与坐标轴正向成30○ ，45○，60○

角的方向上的方向导数。

3. 求曲线

,1,1t z t t y t t x =+=+=

在t = 1处的切线及法平面方程。

4. 求曲面x 2 － 2 y 2 +2z 2 = 1上过点P （1,1,1）的切平面方程。

三、计算下列积分（每小题6分，共30分） 1. y xydxd D

??D ：y = x +1, y = x/2 , y = 0, y = 1 所围成。

???V

dxdydz

xy V ：1≤x ≤2 , -2≤y ≤1 , 0≤z ≤1/2 .

3. ?+)

2,1()0,0(ydy

xdx 。

??∑

ds xyz ∑：x+y+z = 1 第一卦限部分。

5. ??∑

++ydzdx xdydz zdxdy ∑：是柱面x 2

+ y 2

= 1被平面z=0,z=3所截得的在第

一卦限的部分的前侧。

四、（8分）求微分方程y y y x ln ='的通解。

五、（8分）求微分方程()()100,60;034='==+'-''y y y y y 的特解。

2001—2002学年高等数学第二学期试题

一、一、填空（每题4分）

1．1．设),,(w v u f z =具有连续的一阶偏导数，其中

y w e v x u y ln ,sin ,2===，则=

??y z

2．2．设D 域是,12

2≤+y x 在σ

d y x D

??++221与

d y x D

++441两者中比

较大的值是

3．3．设幂级数

n x a

)

1(0

+∑∞

的收敛域为（―4，2），则幂级数

∑∞

-0

)

3(n

x na 的收敛区间为

4．4．微分方程0

222=-y dx y

d 的通解是

二、二、试解下列各题（每题6分）

1．1．设

)

,(y x f 是连续函数，改变二次积分

???--+a

y x f dx dy y x f dx 0

02),(),()0(>a 的积分次序。

2．2．计算曲线积分xydy

dx y x L

2)(22++?

。式中L 由极坐标方程?

sin 2-=r 所表示的曲线上从0=?到2π

的一段。

3．3．计算

dxdy z dzdx y dydz x 3

33++??∑

，其中∑为球面12

22=++z y x 的外侧。

4．4．求微分方程x

e x y y y ++=-'-''1332的一个特解。

三、（8分）设曲面为),,(,z y x M xe z x

=是此曲面上一点，试证曲面在点M 处

的法线与向径垂直。

四、（10分）修建一座容积为V 的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁

每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。

五、（8分）函数),(y x z z =由方程1),(=++xz y yz x F 所确定，其中F 具有一

阶连续偏导数，求dz 。

六、（8分）设Ω是由2

2y x z +=及22y x z +=

所围的有界闭区域。试计算

dv y x e

I y x ???

++=2

2。

七、（6分）求函数2

2y x u -=在（1，1）点沿{}3,4-=α方向的方向导数。

八、（6分）设),(,),(y x v v y x u u ==都是具有二阶连续偏导数的二元函数，

且使曲线积分?+1

L vdy

udx 与?-2

L udy

vdx 都与积分路径无关。试证：对于函

数),(,),(y x v v y x u u ==，恒有0,022222222=??+??=??+??y v

x v y u x u 。九、（14分）

1．1．求幂级数n

x n n ∑

∞

12!的收敛区间及和函数。

周期为2的函数)(x f ，设它在一个周期[)1,1-上的表达式为x x f =)(，将)(x f 展成傅立叶级数。

2002—2003学年高等数学第二学期试题

一、一、选择题（12分，每题4分）

1．函数

??=+≠++=.00,

0),(22222

2y x y x y x xy y x f （）。

（A ）处处连续（B ）处处有极限，但不连续（C ）仅在（0，0）点连续（D ）除（0，0）点外处处连续

2．设∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分，则=++??∑ds y x z )342(（）

（A ）

-2

)

21(30

4x dy dx （B ）??-?20)21(30

4361x

dy dx

（C ）??-?)13(20304361y

dy dx （D ）???2030

4361

dy dx

2．1．若122),(,2),(221342+-='++=x x x x f x x x x x f ，则).(

),(2

2='x x f

（A ）1222

++x x （B ）

x x x 21322+

（C ）1222+-x x （D ）1322

++x x

二、二、填空题（25分，每题5分）

1．1．设函数),(y x z z =由方程z

e z y x =-+2sin 所确定，则=

??x z

2．2．设C 为正向圆周222a y x =+，则=-?ydx x dy xy C 22

3．3．设)(x f 在[]π,0内连续，为使它在区间[]ππ,-上的傅里叶展开式具有

∑∞

cos k k

形式，须将作何种延拓？，=k a

4．4．设x y x D 2:2

2≤+，由二重积分的几何意义知

--??

dxdy y x x D

222

5．5．设

y x

y x y x f tan

)1(),(22-+=，求=)1,(x f x

三、三、解答下列各题（每小题6分）

1．1．求函数2

222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中

O 为坐标原点。

2．2．在椭圆抛物面2

22y x z +=上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于

直线??

?=+=+030

2z y y x

四、四、解答下列各题（8分）

设),(y x f 为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积r 后积?的二次积分。

????

----+0

110

112

),(),(x

x dy

y x f dx dy y x f dx

五、五、解答下列各题（8分）

设空间Ω区域由曲面2

22y x a z --=和平面0=z 所围，∑为Ω的表面外侧，

求

dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x )1(2222++-??∑

六、六、解答下列各题（8分）

求微分方程x

xe y y y 223=+'-''的通解。

七、七、解答下列各题（10分）

在圆12

2=+y x 的0,0≥≥y x 部分上找点P ，使其到点M (2,1)的距离为最小。

八、八、解答下列各题（8分）

试求幂函数

∑∞

-+--1

)12(2)

1(n nx n n 的收敛域及和函数。

九、九、解答下列各题（9分）

1．1．设

)1()

1)((222222≠+++++=???

Ωp dv z y x z y x x

I R

R ，其中Ω是第一

卦限满足22222

R z y x R ≤++≤的有界闭区域)1(>R 。试讨论当+∞

→R 时R I 的极限及当极限存在时的极限值。

若数列{}n nu 收敛，级数∑∞

=--11)(n n n u u n 收敛，则级数∑∞

=1n n u 收敛。

高等数学试卷

第二学期 10T

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

( 本大题3分 )

设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分

的积分次序后的结果为

答 ( ) 二、解答下列各题

(本大题共15小题，总计90分)

1、(本小题3分)

设z ax bx y cxy dy =+++3223

，求

????z x z y ,。 2、(本小题3分) 设函数

z y

x =

，求x y x y ====-2101

02,,.,.??时的全微分。 3、(本小题3分)

求函数z xy x y =--()1的驻点。

4、(本小题3分) 计算二重积分

其中D ：0≤x ≤1,0≤y ≤2. 5、(本小题4分

)

6、(本小题5分)

求微分方程

20''+'-=y y y 的通解。 7、(本小题6分)

设z z x y =(,)由方程zy xz 23

2-=所确定，求????z x z y ,。

8、(本小题7分)

计算y

z z x z x x y y x y z d d )(d d )(d d )(-+-+-??∑

，其中光滑曲

面∑围成的Ω的体积为V 。 9、(本小题7分)

求数量场u (x ,y ,z )=ln (x 2+2y 2+3z 2)的梯度。 10、(本小题7分)

求微分方程xy y y '-=2

满足初始条件y x ==1

1的解。

11、(本小题7分)

求(ln )d (ln )d y x x x y x x x y -++-=0的通解。 12、(本小题7分) 计算

，其中Ω:1≤x ≤2,1≤y ≤2,1≤z ≤2.

13、(本小题7分)

计算积分

式中L 是从点O (0，0)沿曲线

y =sin x 到点A (π，0)的弧段。 14、(本小题9分) 求曲面22232y xyz yz +-=在点(,,)--214处的切平面和法线方程。

15、(本小题12分) Ω是由x =0,y =0,z =0,

及z 2=cos x ·cos y 所围z ≥0部分的区域。试计算I