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高三数学知识点汇编

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一.集合与简易逻辑

1.注意区分集合中元素的形式.如:{|lg }x y x =—函数的定义域;{|lg }y y x =—函数的值域; {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集.

2.集合的性质:

①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?. ②空集是任何集合的子集,记为A ??.

③空集是任何非空集合的真子集;注意:当A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况 如:}012|{2=--=x ax x A ,如果A R +=? ,求a 的取值.(答:0a ≤)

④含n 个元素的集合的子集个数为2n ;真子集(非空子集)个数为21n -;非空真子集个数为22n -.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如:已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答:3

2(3,)-)

4.原命题: p q ?;逆命题: q p ?;否命题: p q ???;逆否命题: q p ???;互为逆否的两个命题是等价的. 如:“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答:充分非必要条件)

5.若p q ?且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).

6.注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??;否命题是p q ???.命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”;“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. 如:“若a 和b 都是偶数,则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数”否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”.

7.常见结论的否定形式

1.①映射f :A B →是:⑴ “一对一或多对一”的对应;⑵集合A 中的元素必有象且A 中不 同元素在B 中可以有相同的象;集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ?).

②一一映射f :A B →: ⑴“一对一”的对应;⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象.

2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集!据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.

3.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.

4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0>且1≠;零指数幂的底数0≠);实际问题有意义;

5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类);②逆求法(反函数法);③换元法(特别注意新元的范围).

④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;

⑤不等式法⑥单调性法;⑦数形结合:根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域; ⑧判别式法(慎用):⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).

6.求函数解析式的常用方法:⑴待定系数法(已知所求函数的类型); ⑵代换(配凑)法; ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

7.函数的奇偶性和单调性

⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等;

⑵若()f x 是偶函数,那么()()(||)f x f x f x =-=;

定义域含零的奇函数必过原点((0)0f =);

⑶判断函数奇偶性可用定义的等价形式:()()0f x f x ±-=或

()()

1(()0)f x f x f x -=±≠;

注意:若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,先化简再判断;既奇又偶的函数有无数个

(如()0f x =定义域关于原点对称即可).

⑸奇函数在对称的单调区间内有相同单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反单调性; ⑹确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等. ⑺复合函数单调性由“同增异减”判定. (提醒:求单调区间时注意定义域) 8.函数图象的几种常见变换

⑴平移变换:左右平移---“左加右减”(注意是针对x 而言); 上下平移---“上加下减”(注意是针对()f x 而言). ⑵翻折变换:()|()|f x f x →;()(||)f x f x →. ⑶对称变换:

①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. ②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.

③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称;函数()y f x =与函数 ()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称;

④若函数()y f x =对x R ∈时,()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关于直线x a =对称;

9.函数的周期性:

⑴若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ;

⑵若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ; 10.对数:

⑴log log n n a a b b =(0,1,0,)a a b n R +>≠>∈;⑵对数恒等式log (0,1,0)a N a N a a N =>≠>; ⑶log ()log log ;log log log ;log log n a a a a

a a a a M N

M N M N M N M n M ?=+=-=;

1

log log a a n

M ;

⑷对数换底公式log log log b b a N a

N =

(0,1,0,1)a a b b >≠>≠;

(以上120,0,0,1,0,1,0,1,,,0n M N a a b b c c a a a >>>≠>≠>≠> ) 11.()a f x ≥恒成立[()]a f x ?≥最大值, ()a f x ≤恒成立[()]a f x ?≤最小值.

12.恒成立问题的处理方法:⑴分离参数法(最值法); ⑵转化为一元二次方程根的分布问题; 13.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:

一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

14.二次函数解析式的三种形式: ①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠;②顶点式:

2()()(0)f x a x h k a =-+≠; ③零点式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.

15.一元二次方程实根分布:先画图再研究0?>、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 16. 函数(0,0)b

x y ax a b =+>>

:增区间为(,)-∞+∞,

减区间为[-.

如:函数12

()ax x f x ++=在区间(2,)-+∞上为增函数,实数a 的取值范围是_____(答:1

2

(,)+∞).

三.数列

1.由n S 求n a ,1*

1(1)

(2,)n n

n S n a S S n n N -=??=?-≥∈?? 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要单独列出.如:数列{}n a 满足11153

4,n n n a S S a ++=+=,求n a (答:{

1

4(1)

34(2)n n n a n -==?≥). 2.等差数列(1)定义:成等差数列}{)2(1n n n a n d a a ?≥=--

(2)通项公式:B An d n a a n +=-+=)1(1 推广:d m n a a m n )(-+= (3)前n 项和公式:Bn An d n n na n a a S n n +=-+=?+=

2112

)

1(2 等差数列1{}n n n a a a d -?-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-?=+≥∈ 2112

2

(,)(,)n n d

d

a an

b a d b a d S An Bn A B a ?=+==-?=+==-;

3.等差数列的性质: ①()n m a a n m d =+-,m n a a m n

d --=

②m n l k m n l k a a a a +=+?+=+(反之不一定成立);当2m n p +=时,有2m n p a a a +=; ③等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即 232,,,m m m m m S S S S S -- 仍是等差

数列;

④首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n 项和的最大(或最小)问题,转化为解不

等式 100n n a a +≥??≤?(或100n n a a +≤??≥?).也可用2n S An Bn =+的二次函数关系来分析.

4.等比数列(1)定义:

成等比数列}{)0,0,2(1

n n n n

a q a n q a a ?≠≠≥=- (2)通项公式:11-=n n q a a (3)前n 项和??

???

≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n

n

等比数列12

1111{}(0)(2,*)n n

n n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+?

=≠?=≥∈?=.

5.等比数列的性质

① 若{}n a 、{}n b 是等比数列,则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列; ② 1111

11(1)1111(1)(1)(1)

(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==????==??-+≠=≠????

③ m n l k m n l k a a a a +=+?=(反之不一定成立);

④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S -- (注:各项均不为0)仍是等比数列. 7.数列的通项的求法:⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式.

⑵已知n S (即12()n a a a f n +++= )求n a 用作差法:11,(1)

,(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?.

⑶已知12()n a a a f n ???= 求n a 用作商法:()

(1)(1),(1)

,(2)n f n f n f n a n -=??=?≥??.

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用迭加法. ⑸已知1()n n

a a

f n +=,求n a 用迭乘法.

8.数列求和的方法:

①公式法:等差数列,等比数列求和公式;②分组求和法;③倒序相加;④错位相减; ⑤分裂通项法.公式:1

2123(1)n n n ++++=+ ; 常见裂项公式

111(1)

1

n n n

n ++=

-

9.“分期付款”、“森林木材”型应用问题

⑴这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手指”,细心计算“年限”. ⑵利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入本金p 元,每期利率为r ,则n 期后本利和为:(1)2

(1)(12)(1)()n n n S p r p r p nr p n r +=+++++=+

(等

差数列问题);②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模型:若贷款(向银行借款)p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分n 期还清.如果每期利率为r (按复利),那么每期等额还款x 元应满足:

12(1)(1)(1)(1)n n n p r x r x r x r x --+=+++++++ (等比数列问题). 四.三角函数

1.α终边与θ终边相同2()k k Z αθπ?=+∈;α终边与θ终边共线()k k Z αθπ?=+∈;α终边与θ终边关于x 轴对称()k k Z αθπ?=-+∈;

α终边与θ终边关于y 轴对称2()k k Z απθπ?=-+∈;α终边与θ终边关于原点对称2()k k Z απθπ?=++∈; α终边与θ终边关于角β终边对称22()k k Z αβθπ?=-+∈.

2.弧长公式:||l r θ=;扇形面积公式:2112

2

||S lr r θ==扇形;1弧度(1rad )≈57.3?.

3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀:“一全二正弦,三切四余弦”.

4. 对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括;(注意:公式中始终视...α.为锐角...).

5. 角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角 与其倍角或半角、两角与其和差角等变换.

如:()ααββ=+-;2()()ααβαβ=++-;2()()αβαβα=+--;2

2αβ

αβ++=?

2

2

2

()()αββααβ+=---等;“1”的变换:221sin cos tan cot 2sin30tan 45x x x x =+=?=?=? 6.

辅助角公式:sin cos )a x b x x ?++其中tan b

a ?=);

7.降幂公式2

2cos 1sin 2αα-=;2cos α=

1cos 22

α

+;

8. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于180?,一般用正、余弦定理实施边角互化; 正弦定理:

sin sin sin 2a b c A

B

C

R =

=

=;

余弦定理:2

2

2

2

2

222

()222cos ,cos 1b c a

b c a

bc

bc

a b c bc A A +-+-=+-==

-;

面积公式:1

24sin abc R

S ab C ?==

10.ABC ?中,易得:A B C π++=,

①sin sin()A B C =+,cos cos()A B C =-+,tan tan()A B C =-+. ②2

2

sin

cos

A B C +=,2

2

cos

sin

A B C +=.

③sin sin a b A B A B >?>?>

11.角的范围:异面直线所成角2

(0,]π

;直线与平面所成角2

[0,]π

;二面角和两向量的夹角[0,]π;

直线的倾斜角[0,)π; 1l 与2l 的夹角2

(0,]π

.

12.

五.平面向量

1.设11(,)a x y = ,22(,)b x y =

.

(1)1221//0a b x y x y ?-= ; (2)121200a b a b x x y y ⊥??=?+=

.

2.平面向量基本定理:如果1e 和2e

是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一

向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+ .

3.设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212||||cos a b a b x x y y θ?==+

;其几何意义是a b ? 等于a 的长

度与b 在a 的方向上的投影的乘积;a 在b

的方向上的投影||cos ||a b a b θ?=

4.三点A 、B 、C 共线AB ? 与AC 共线;与AB 共线的单位向量||AB

AB ±

.

5.平面向量数量积性质:设11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,

则cos ||||a b

a b θ?==

注意:

,a b ?? 为锐角0a b ??> ,,a b 不同向; ,a b ??

为钝角0a b ??< ,,a b 不反向.

6. 平面向量数量积的坐标表示: ⑴若11(,)a x y = ,22(,)b x y = ,则1212a b x x y y ?=+

||AB

⑵若(,)a x y = ,则222a a a x y =?=+ .

7. 1P ,P ,2P 三点共线?存在实数λ、μ使得12OP OP OP λμ=+

且1λμ+=.

8. 13()0PG PA PB PC GA GB GC G =++?++=?

为ABC ?的重心;

9. PA PB PB PC PA PC P ?=?=??

为ABC ?的垂心;

||||||0BC PA CA PB AB PC P ++=?

为ABC ?的内心; ||

||

()(0)AB AC

AB AC λλ+≠ 所在直线过ABC ?内心.

六.不等式

1.掌握课本上的几个不等式性质,注意使用条件,另外需要特别注意: ①若0ab >,b a >,则

11

a

b

>.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.

2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法.

3.掌握重要不等式,(1)若0,>b

a ,

22

11a b a b

++≥(当且仅当b a =时取等号)

使用条件:“一正二定三相等 ” 常用的方法为:拆、凑、平方等; (2)公式注意变形如:

2

2

22

2

(

)a b a b ++≥, 22

(

)a b ab +≤;

4. 证明不等式常用方法:⑴比较法:作差比较:0A B A B -≤?≤.注意:若两个正数作差比较有困 难,可以通过它们的平方差来比较大小;⑵综合法:由因导果;⑶分析法:执果索因.基本步骤:要证… 需证…,只需证…; ⑷反证法:正难则反;⑸放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有:①添加或舍去一些项,

||a

n >.②将分子或分母放大(或缩小) ⑹换元法:

换元的目的就是减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.如:知222x y a +=,可设

cos ,sin x a y a θθ==;知22

1x y +≤,可设cos x r θ=,sin y r θ=(01r ≤≤);知

221x y a

b

+

=,

可设c o s

,s i n x a y b θθ==;已知222

2

1x y a

b

-

=,可设s e c ,t a n x a y b θθ==.⑺最值法,如:

()a f x >最大值,则()a f x >恒成立.()a f x <最小值,则()a f x <恒成立.

七.直线和圆的方程

1.直线的倾斜角α的范围是[0,π);

2.直线的倾斜角与斜率的变化关系2

tan ()k π

αα=≠(如右图):

3.直线方程五种形式:⑴点斜式:已知直线过点00(,)x y 斜率为k 方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.⑵斜截式:已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线. ⑶两点式:已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为

1121

21

y y x x y y x x ----=

,它不包括垂直于坐标轴的直

线. ⑷截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1x

y a

b

+

=,它不包括垂直

于坐标轴的直线和过原点的直线.⑸一般式:任何直线均可写成0Ax By C ++=(,A B 不同时为0)的形式.

提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢?)⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为1-或直线过原点;直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点.⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.

4.直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系: ⑴平行?12210A B A B -=(斜率)且12210B C B C -≠(在y 轴上截距); ⑵相交?12210A B A B -≠;(3)重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=.

5.直线系方程:①过两直线1l :1110A x B y C ++=,2l :2220A x B y C ++=.交点的直线系方程可设为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=;②与直线:0l Ax By C ++=平行的直线系方程可设为0()Ax By m m c ++=≠;③与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线系方程可设为0Bx Ay n -+=.

6.夹角公式:1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角2

,(0,π

θθ∈且2112

121tan |

|(1)k k k k k k θ-+=≠-.

7.点00(,)P x y 到直线0Ax By C +

+=的距离公式d =

两条平行线10Ax By C ++=与20Ax By C

++=的距离是d .

8.设三角形ABC ?三顶点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则重心123123

(,33

x x x y y y G ++++;

9. ⑴圆的标准方程:222()()x a y b r -+-=.

⑵圆的一般方程:22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->.

特别提醒:只有当2240D E F +->时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为

2

2

(,)D

E --,(二元二次方程

220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示

圆0A C ?=≠,且220,40B D E AF =+->).

10. 点和圆的位置关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点00(,)P x y 及圆的方程 222()()x a y b r -+-=.①22200()()x a y b r -+->?点P 在圆外;

②22200()()x a y b r -+-?相离 ②d r =?相切 ③d r

12. 圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为,r R :d R r >+?两圆相离;d R r =+?两圆相外切; ||R r d R r -<<+?两圆相交;||d R r =-?两圆相内切; ||d R r <-?两圆内含;0d =?两圆同心.

13. 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=,2C :222220x y D x E y F ++++=交点的圆(相交弦)

系方程为2222

111222()()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.

1λ=-时为两圆相交弦所在直线方程.

14. 解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等). 八.圆锥曲线方程 一 、椭圆

定义Ⅰ:若F 1,F 2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ (a 为常数)则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ:若F 1为定点,l 为定直线,动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e (0

标准方程:122

22=+b

y a x )0(>>b a

定义域:}{a x a x ≤≤-值域:}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2,短轴长=2b

焦距:2c

准线方程:c

a x 2

±

=

注意:(1)图中线段的几何特征:=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ,222122b a B A B A +=

=等等。顶点与

准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。

(2)21F PF ?中经常利用余弦定理....、三角形面积公式.......

将有关线段1PF 、2PF 、2c ,有关角21PF F ∠结合起来,建立1PF +2PF 、1PF ?2PF 等关系

(3)椭圆上的点有时常用到三角换元:?

??θ=θ

=sin cos b y a x ;

(4)注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上,请补充当焦点在y 轴上时,其相

应的性质。

二、双曲线

(一)定义:Ⅰ若F 1,F 2是两定点,21212F F a PF PF <=-(a 为常数),则动点P 的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e (e>1),则动点P 的轨迹是双曲线。

(二)图形:

(三)性质

方程:12222=-b y a x )0,0(>>b a 122

22=-b

x a y )0,0(>>b a

定义域:}{a x a x x ≤≥或; 值域为R ; 实轴长=a 2,虚轴长=2b

焦距:2c

准线方程:c

a x 2

±

=

注意:(1)图中线段的几何特征:=1AF a c BF -=2,=2AF c a BF +=1

顶点到准线的距离:c a a c a a 22+-或;焦点到准线的距离:c

a c c a c 2

2+-或 两准线间的距离=c

a 2

2

(2)若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:?=-02222b y a x x a b

y ±=

若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

22

b

y a x

若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22

22b

y a x

(0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上)

(3)特别地当?=时b a 离心率2=

e ?两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此

时双曲线为等轴双曲线,可设为λ=-22y x ;

(4)注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线

段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来。

(5)完成当焦点在y 轴上时,标准方程及相应性质。

三、抛物线

(一)定义:到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。

即:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e (e=1)。

(二)图形:

(三)性质:方程:焦参数-->=p p px y ),0(,22;

焦点: )0,2

(

p

,通径p AB 2=; 准线: 2

p

x -=;

注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=2

p

;焦点到准线的距离=p ;通径长=p 2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

(2)抛物线px y 22=上的动点设为P ),2(2

y p

y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2

=其中

九.直线、平面、简单几何体

1. 异面直线所成角的求法:⑴平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线. ⑵补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系;

2. 直线与平面所成角:过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.

3. 空间距离的求法:⑴两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解. ⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面是关

键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解. 4. 正四面体(设棱长为a )的性质:

①全面积2S ;②体积312

V =;③对棱间的距离2

d =

;④外接球半径4

R =

⑤内切球半径12

r =

;⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3

h =

.

5. 正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长;

6. 球的体积公式343

V R π=,表面积公式24S R π=;掌握球面上两点A 、B 间的距离求法: ⑴计算线段AB 的长;⑵计算球心角AOB ∠的弧度数;⑶用弧长公式计算劣弧AB 的长. 7.

十.导数

1.导数的定义:()f x 在点0x 处的导数记作0

0000

()()

()lim

x x x f x x f x x

y f x =?→+?-?'

'==.

2. 函数()f x 在点0x 处有导数,则()f x 的曲线在该点处必有切线,且导数值是该切线的斜率.

但函数()f x 的曲线在点0x 处有切线,则()f x 在该点处不一定可导.如()f x 在0x =有切线,但不可导.

3. 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是指:曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率,即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率是0()f x ',切线方程为

000()()()y f x f x x x '-=-.

4. 常见函数的导数公式:0C '=(C 为常数);1()()n n x nx n Q -'=∈.(sin )cos x x '=;

(cos )sin x x '=-; ()ln x x a a a '=;()x x e e '=;1(log )log a a x

x e '=.1

(ln )x x '=

5. 导数的四则运算法则:()u v u v '''±=±;()uv u v uv '''=+;2

()u

u v uv v

v

''

-'=

.

6. 复合函数的导数:x u x y y u '''=?

7. 导数的应用:

(1)利用导数判断函数的单调性:设函数()y f x =在某个区间内可导,如果()0f x '>,那么()f x 为增函数;如果()0f x '<,那么()f x 为减函数;如果在某个区间内恒有()0f x '=,那么

()f x 为常数;

(2)求可导函数极值的步骤:①求导数)(x f ';②求方程0)(='x f 的根;③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数()y f x =在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数()y f x =在这个根处取得最小值;

(3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求()y f x =在(,)a b 内的极值;②将()y f x =各极值与()f a 、()f b 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 十一.复数

1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示.

2.熟练掌握与灵活运用以下结论:⑴a bi c di a c +=+?=且(,,,)c d a b c d R =∈;⑵复数是

实数的条件:①0(,)z a bi R b a b R =+∈?=∈;②z R z z ∈?=;③20z R z ∈?≥. 3.复数是纯虚数的条件: ①z a bi =+是纯虚数0a ?=且0(,)b a b R ≠∈; ②z 是纯虚数 0(0)z z z ?+=≠;③z 是纯虚数20z ?<. 4.⑴复数的代数形式:z a bi =+;

⑵复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设1z a bi =+, 2(,,,)z c di a b c d R =+∈,

则12()()z z a c b d i +=+++,12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++, 122222

2(0)z ac bd bc ad i z z c d c d +-=+≠++. 5.几个重要的结论:

⑴2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+;⑵22||||z z z z ?==;⑶若z 为虚数,则22||z z ≠. 6.运算律仍然成立:(1) ⑴m n m n z z z +?=; ⑵()m n mn z z =;⑶1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈. 7.注意以下结论:⑴2(1)2i i ±=±;⑵11i i

i +-=,

11i i

i -+=-;⑶1230()n n n n i i i i n N ++++++=∈;

⑷1||11z

z zz z =?=?=.

高三数学知识点总结

高中数学知识点总结 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为 B A a ? (答:,,)-? ?? ???1013 3. 注意下列性质: {}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ??== (3)德摩根定律: ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==, 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30 555 5015392522 ∈--

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:A→B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()(答:,,,)022334 10. 如何求复合函数的定义域? [] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] (答:,)a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? ( ) 如:,求f x e x f x x +=+1(). 令,则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x ;②互换x 、y;③注明定义域) () () 如:求函数的反函数f x x x x x ()=+≥---

[全国通用]高中数学高考知识点总结

高一数学必修1知识网络 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?()元素与集合的关系:属于()和不属于()()集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性集合与元素()集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集()集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法子集:若 ,则,即是的子集。、若集合中有个元素,则集合的子集有个, 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集,即 、对于集合如果,且那么、空集是任何集合的(真)子集。 真子集:若且(即至少存在但),则是的真子集。集合相等:且 定义:且交集性质:,,,运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?,定义:或并集性质:,,,,, 定义:且补集性质:,,,, ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

新人教版高中数学必修知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母,如五棱柱' AD 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等

高三数学总复习知识点

1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质: ①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; 如果B A ?,同时A B ?,那么A = B. 如果C A C B B A ???,那么,. [注]:①Z = {整数}(√) Z ={全体整数} (×) ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集.(×)(例:S=N ; A=+N ,则C s A= {0}) ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ,则C B A = ?, C A B = ? C S (C A B )= D ( 注 :C A B = ?). 3. ①{(x ,y )|xy =0,x ∈R ,y ∈R }坐标轴上的点集. ②{(x ,y )|xy <0,x ∈R ,y ∈R }二、四象限的点集. ③{(x ,y )|xy >0,x ∈R ,y ∈R } 一、三象限的点集. [注]:①对方程组解的集合应是点集. 例: ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2,1)}. ②点集与数集的交集是φ. (例:A ={(x ,y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?) 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n -1个. ③n 个元素的非空真子集有2n -2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例:①若325≠≠≠+b a b a 或,则应是真命题.

人教版 高中数学知识点汇总

高中数学主要知识点 必修1数学知识 第一章、集合与函数概念 §、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合:Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?,则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定:空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子集. §、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A Y . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A I . 3、全集、补集{|,}U C A x x U x U =∈?且 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于A 且属于B 的元素所组成 的集合,叫做A,B 的交集.记作A I B (读作‘A 交B ’),即A I B={x|x ∈A ,且x ∈B }. 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的并集.记作: A Y B (读作‘A 并 B ’),即A Y B ={x|x ∈A ,或x ∈B}). 设S 是一个集合,A 是S 的一个子集,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集(或余集) 记作A C S ,即 C S A=},|{A x S x x ?∈且 韦 恩 图 示 A B 图1 A B 图2 S A

高三数学知识点总结材料大全

高三数学知识点总结大全 高中数学重难点 高中数学(文)包含5本必修、2本选修,(理)包含5本必修、3本选修,每学期学**两本书。 必修一:1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象,较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象,较难理解) 必修二:1、立体几何(1)、证明:垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解:主要是夹角问题,包括线面角和面面角 这部分知识是高一学生的难点,比如:一个角实际上是一个锐角,但是在图中显示的钝角等等一些问题,需要学生的立体意识较强。这部分知识高考占22---27分 2、直线方程:高考时不单独命题,易和圆锥曲线结合命题 3、圆方程: 必修三:1、算法初步:高考必考内容,5分(选择或填空)2、统计:3、概率:高考必考内容,09年理科占到15分,文科数学占到5分 必修四:1、三角函数:(图像、性质、高中重难点,)必考大题:15---20分,并且经常和其他函数混合起来考查 2、平面向量:高考不单独命题,易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年理科占到5分,文科占到13分

必修五:1、解三角形:(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右,文科数学占到13分左右2、数列:高考必考,17---22分3、不等式:(线性规划,听课时易理解,但做题较复杂,应掌握技巧。高考必考5分)不等式不单独命题,一般和函数结合求最值、解集。 文科:选修1—1、1—2 选修1--1:重点:高考占30分 1、逻辑用语:一般不考,若考也是和集合放一块考 2、圆锥曲线: 3、导数、导数的应用(高考必考) 选修1--2:1、统计:2、推理证明:一般不考,若考会是填空题3、复数:(新课标比老课本难的多,高考必考内容) 理科:选修2—1、2—2、2—3 选修2--1:1、逻辑用语 2、圆锥曲线3、空间向量:(利用空间向量可以把立体几何做题简便化) 选修2--2:1、导数与微积分2、推理证明:一般不考3、复数 选修2--3:1、计数原理:(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律,无技巧。高考必考,10分2、随机变量及其分布:不单独命题3、统计: 高考的知识板块 集合与简单逻辑:5分或不考 函数:高考60分:①、指数函数②对数函数③二次函数④

高考数学高考必备知识点总结

高考数学高考必备知识点 总结 Jenny was compiled in January 2021

高考前重点知识回顾 第一章-集合 (一)、集合:集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ ; ③空集是任何非空集合的真子集; ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n -1个. n 个元素的非空真子集有2n -2个. [注]①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算:交、并、补. {|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交:且并:或补:且C (三)简易逻辑 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。 ③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。

若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为pq. 第二章-函数 一、函数的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)奇偶性:(在整个定义域内考虑) ①定义:偶函数: )()(x f x f =-,奇函数:)()(x f x f -=- ②判断方法步骤:a.求出定义域;b.判断定义域是否关于原点对称;c.求 )(x f -;d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 x 且对数函数y=log a x (a>0且a ≠1)的图象和性质:

人教版高中数学知识点汇总(全册版)

人教版高中数学知识点(必修+选修) 高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ?,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 (7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子 集,它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 B {x A A = ?=? B A ? B B ? B {x A A A = A A ?= A B A ? B B ? A {|x x ()U A =? e 2()U A A U =e 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 (2)一元二次不等式的解法 0) ()()()U U A B A B =痧?()()() U U A B A B =痧?

高三数学专题复习知识点

高三数学专题复习知识点 【篇一】 1.进行集合的交、并、补运算时,不要忘了全集和空集的特殊情况,不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时,易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时,易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增,则一定存在反函数,且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数,此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性,易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时,你是否注意到:当时,“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程,二次函数或二次不等式,你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时,你是否注意到:“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提,函数的单调性为基础,分类讨论是关键”,注意解完之后要写上:“综上,原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时,其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0,a24.解决一些等比数列的前项和问题,你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知,求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时,应有)需要验证,有些题目通项是分段函数。 26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数,但其定义域中的值不是连续的。) 28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全,二要注意从到过程中,先假设时成立,再结合一些数学方法用来证明时也成立。

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合: Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?, 则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子 集,21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A Y . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A I . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格式:解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则: ()()21x f x f -=… (2)导数法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数; 若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义: 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=;②1 ' )(-=n n nx x ;

新人教版高中数学必修4知识点

新人教版高中数学必修4知识点总结经典

新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

最新高三数学知识点归纳五篇精选

最新高三数学知识点归纳五篇精选 学任何一门功课,都不能只有三分钟热度,而要一鼓作气,天天坚持,久而久之,不论是状元还是伊人,都会向你招手。下面就是我给大家带来的高三数学知识点,希望大能帮助到大家! 高三数学知识点1 1、三类角的求法: ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义,并指出所求作的角。 ③计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。 2、正棱柱——底面为正多边形的直棱柱 正棱锥——底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心。 正棱锥的计算集中在四个直角三角形中: 3、怎样判断直线l与圆C的位置关系? 圆心到直线的距离与圆的半径比较。 直线与圆相交时,注意利用圆的“垂径定理”。 4、对线性规划问题:作出可行域,作出以目标函数为截距的直线,在可行域内平移直线,求出目标函数的最值。 不看后悔!清华名师揭秘学好高中数学的方法 培养兴趣是关键。学生对数学产生了兴趣,自然有动力去钻研。如何培养兴趣呢?

(1)欣赏数学的美感 比如几何图形中的对称、变换前后的不变量、概念的严谨、逻辑的严密…… 通过对旋转变换及其不变量的讨论,我们可以证明反比例函数、“对勾函数”的图象都是双曲线——平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值(小于两个定点之间的距离)的点的集合。 (2)注意到数学在实际生活中的应用。 例如和日常生活息息相关的等额本金、等额本息两种不同的还款方式,用数列的知识就可以理解. 学好数学,是现代公民的基本素养之一啊. (3)采用灵活的教学手段,与时俱进。 利用多种技术手段,声、光、电多管齐下,老师可以借此把一些知识讲得更具体形象,学生也更容易接受,理解更深。 (4)适当看一些科普类的书籍和文章。 比如:学圆锥曲线的时候,可以看看一些建筑物的外形,它们被平面所截出的曲线往往就是各种圆锥曲线,很多文章对此都有介绍;还有圆锥曲线光学性质的应用,这方面的文章也不少。 高三数学知识点2 1、圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 2、圆锥体: 表面积:πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,

2020年人教版高中数学必修四知识点归纳总结

人教版高中数学必修四知识点归纳总结 1.1.1 任意角 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外) 在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 1.定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫 做弧度制.在弧度制下, 1弧度记做1rad .在实际运算中,常常将rad 单位省略. 弧度制的性质: ①半圆所对的圆心角为;ππ=r r ②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r ③正角的弧度数是一个正数. ④负角的弧度数是一个负数. ⑤零角的弧度数是零. ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l 4.角度与弧度之间的转换: ①将角度化为弧度: π2360=?; π=?180;rad 01745.01801≈=?π;rad n n 180 π=?. ②将弧度化为角度: ?=3602π;?=180π;815730.57)180(1'?=?≈?=πrad ;?=) 180 (π n n . 5.常规写法: ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数. ② 弧度与角度不能混用. 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360 ° 弧度 0 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积. 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

高三数学必考知识点汇总

高三数学必考知识点汇总 一 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+n-1d. 3.等差中项 如果A=a+b/2,那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 1通项公式的推广:an=am+n-mdn,m∈N_. 2若{an}为等差数列,且m+n=p+q, 则am+an=ap+aqm,n,p,q∈N_. 3若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…k,m∈N_是公差为md的等差数列. 4数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. 5S2n-1=2n-1an. 6若n为偶数,则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数,则S奇-S偶=a中中间项. 注意: 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式: Sn=a1+a2+a3+…+an,① Sn=an+an-1+…+a1,② ①+②得:Sn=na1+an/2

两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元. 1若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…. 2若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 1定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数; 2等差中项法:验证2an-1=an+an-2n≥3,n∈N_都成立; 3通项公式法:验证an=pn+q; 4前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn. 注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列. 二 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的, 有a-b>0?;a-b=0?;a-b<0?. 另外,若b>0,则有>1?;=1?;<1?. 概括为:作差法,作商法,中间量法等. 3.不等式的性质 1对称性:a>b?; 2传递性:a>b,b>c?; 3可加性:a>b?a+cb+c,a>b,c>d?a+cb+d;

高考数学高考必备知识点总结

高考前重点知识回顾 第一章-集合 (一)、集合:集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 1、集合的性质:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ?; ②空集是任何集合的子集,记为A ?φ; ③空集是任何非空集合的真子集; ①n 个元素的子集有2n 个. n 个元素的真子集有2n -1个. n 个元素的非空真子集有2n -2个. [注]①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题?逆命题. ②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 2、集合运算:交、并、补.{|,}{|} {,} A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ?∈∈?∈∈?∈?U 交:且并:或补:且C (三)简易逻辑 构成复合命题的形式:p 或q(记作“p ∨q ” );p 且q(记作“p ∧q ” );非p(记作“┑q ” ) 。 1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断 4、四种命题的形式及相互关系: 原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ; 否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p 。 ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真。 ②、原命题为真,它的否命题不一定为真。

③、原命题为真,它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p ?q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件,记为p ?q. 第二章-函数 一、函数的性质 (1)定义域: (2)值域: (3)奇偶性:(在整个定义域内考虑) ①定义:①偶函数:)()(x f x f =-,②奇函数:)()(x f x f -=- ②判断方法步骤:a.求出定义域;b.判断定义域是否关于原点 对称;c.求)(x f -;d.比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系。 (4)函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数. 二、指数函数与对数函数 指数函数)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质

最新高三数学知识点总结

最新高三数学知识点总结 精品学习高中频道为各位同学整理了高三数学知识点总结,供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的确定性、互异性、无序性。 中元素各表示什么? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性质: (3)德摩根定律: 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 的取值范围。 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗?映射f:AB,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B中有元素无原象。) 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型? 10. 如何求复合函数的定义域? 义域是_____________。 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗? 12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗? (①反解x;②互换x、y;③注明定义域) 13. 反函数的性质有哪些? ①互为反函数的图象关于直线y=x对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; 14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性? 15. 如何利用导数判断函数的单调性? 值是( ) A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值为3) 16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称) 注意如下结论:

人教版高三数学知识点总结

人教版高三数学知识点总结 人教版高三数学知识点总结(一) 随机抽样 简介 (抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它的主要特征是从总体中逐个抽取; 优点:操作简便易行 缺点:总体过大不易实行 方法 (1)抽签法 一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本。 (抽签法简单易行,适用于总体中的个数不多时。当总体中的个体数较多时,将总体“搅拌均匀”就比较困难,用抽签法产生的样本代表性差的可能性很大) (2)随机数法 随机抽样中,另一个经常被采用的方法是随机数法,即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。 分层抽样 简介 分层抽样主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中的个体有明显差异。共同点:每个个体被抽到的概率都相等N/M。 定义

一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样。 整群抽样 定义 什么是整群抽样 整群抽样又称聚类抽样。是将总体中各单位归并成若干个互不交叉、互不重复的集合,称之为群;然后以群为抽样单位抽取样本的一种抽样方式。 应用整群抽样时,要求各群有较好的代表性,即群内各单位的差异要大,群间差异要小。 优缺点 整群抽样的优点是实施方便、节省经费; 整群抽样的缺点是往往由于不同群之间的差异较大,由此而引起的抽样误差往往大于简单随机抽样。 实施步骤 先将总体分为i个群,然后从i个群钟随即抽取若干个群,对这些群内所有个体或单 元均进行调查。抽样过程可分为以下几个步骤: 一、确定分群的标注 二、总体(N)分成若干个互不重叠的部分,每个部分为一群。 三、据各样本量,确定应该抽取的群数。 四、采用简单随机抽样或系统抽样方法,从i群中抽取确定的群数。 例如,调查中学生患近视眼的情况,抽某一个班做统计;进行产品检验;每隔8h抽1h 生产的全部产品进行检验等。 与分层抽样的区别 整群抽样与分层抽样在形式上有相似之处,但实际上差别很大。

高中数学教材人教版知识点总结

高中数学教材人教版知识点总结 必修1 第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互 异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合:Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,则称 集合A 是集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?,则称集合A 是集合B 的 真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定:空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B 的并集.记作: B A . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为A 与B 的交集.记作: B A . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且

§1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且 对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 单调性的定义:见书P28 1、 注意函数单调性证明的一般格式: 解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则:()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f =-,那么就称函 数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ,都有()()x f x f -=-,那么就称 函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时,a a n n =; 当n 为偶数时,a a n n =. 3、 我们规定: ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ; ⑵()01 >= -n a a n n ;

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