九年级数学上册旋转几何综合单元测试题(Word版 含解析)

九年级数学上册旋转几何综合单元测试题（Word版含解析）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．如图，四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G 为FC的中点，连接GD，ED．

（1）如图①，E在AB上，直接写出ED，GD的数量关系．

（2）将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由．

（3）若AB＝5，AE＝1，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转一周，当E，F，C三点共线时，直接写出ED的长．

【答案】（1）DE＝2DG；（2）成立，理由见解析；（3）DE的长为42或32．【解析】

【分析】

（1）根据题意结论：DE=2DG，如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM，证明△CMG≌△FEG（AAS），推出EF=CM，GM=GE，再证明△DCM≌△DAE （SAS）即可解决问题；

（2）如图2中，结论成立．连接EG，延长EG到M，使得GM=GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R，其证明方法类似；

（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E，F，C共线时．②如图3-3中，当E，F，C 共线时，分别求解即可．

【详解】

解：（1）结论：DE＝2DG．

理由：如图1中，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，

∵∠AEF＝∠B＝90°，

∴EF∥CM，

∴∠CMG＝∠FEG，

∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，

∴△CMG≌△FEG（AAS），

∴EF＝CM，GM＝GE，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DCM≌△DAE（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，

∴△EGD是等腰直角三角形，

∴DE＝2DG．

（2）如图2中，结论成立．

理由：连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．

∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，

∴△CGM≌△FGE（SAS），

∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，

∴CM∥ER，

∴∠DCM＝∠ERC，

∵∠AER+∠ADR＝180°，

∴∠EAD+∠ERD＝180°，

∵∠ERD+∠ERC＝180°，

∴∠DCM＝∠EAD，

∵AE＝EF，

∴AE＝CM，

∴△DAE≌△DCM（SAS），

∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，

∴∠EDM＝∠ADC＝90°，

∵EG＝GM，

∴DG＝EG＝GM，

∴△EDG是等腰直角三角形，

∴DE ＝2DG ．

（3）①如图3﹣1中，当E ，F ，C 共线时，

在Rt △ADC 中，AC ＝

22AD CD +＝

2255+＝52，

在Rt △AEC 中，EC ＝22A AE C -＝22(52)1-＝7， ∴CF ＝CE ﹣EF ＝6，

∴CG ＝

1

2

CF ＝3， ∵∠DGC ＝90°，

∴DG ＝22CD CG -＝2253-＝4， ∴DE ＝2DG ＝42．

②如图3﹣3中，当E ，F ，C 共线时，同法可得DE ＝32．

综上所述，DE 的长为2或2． 【点睛】

本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

2．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2

y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与

OAB ?的边分别交于M ，N 两点，将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '?． 设点P 的纵坐标为m ．

①当A MN '?在OAB ?内部时，求m 的取值范围；

②是否存在点P ，使'

5

6

A MN OA

B S S ?'?=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理

由．

【答案】()2

1y x 22x =-++；（2）①433

m <<；②存在，满足m 的值为619-或

639

-． 【解析】 【分析】

（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；

②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】

解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，

∴∠ADO=∠BEO=90°，

∵将OA 绕点O 逆时针旋转90?后得到OB ， ∴OA=OB ，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°， ∴∠AOD=∠BOE ， ∴△AOD ≌△BOE ， ∴AD=BE ，OD=OE ， ∵顶点A 为（1，3）， ∴AD=BE=1，OD=OE=3， ∴点B 的坐标为（3，1-）， 设抛物线的解析式为2

(1)3=-+y a x ， 把点B 代入，得

2(31)31a -+=-，

∴1a =-，

∴抛物线的解析式为2

(1)3y x =--+， 即222y x x =-++；

（2）①∵P 是线段AC 上一动点， ∴3m <，

∵当A MN '?在OAB ?内部时， 当点'A 恰好与点C 重合时，如图：

∵点B 为（3，1-）， ∴直线OB 的解析式为1

3

y x =-， 令1x =，则13

y =-

， ∴点C 的坐标为（1，13

-）， ∴AC=1103()33

--=

， ∵P 为AC 的中点， ∴AP=

1105233

?=， ∴54333

m =-

=， ∴m 的取值范围是

4

33

m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：

∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），

∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3）， ∴'3A P m =-，18'(23)233

A C m m =-+

=-， 设直接OA 为y ax =，直线AB 为y kx b =+， 分别把点A ，点B 代入计算，得

直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+， 令y m =， 则点M 的横坐标为3m

，点N 的横坐标为52

m --， ∴555

2326

m m MN m -=

-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224

A MN S MN A P m m m m ?=

?=?-?-=-+；

'138

'3(2)34223

OA B S A C m m ?=

??=?-=-； 又∵'5

6A MN OA B

S S ?'?=， ∴

255155

(34)12246

m m m -+=?-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）； 当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：

把y m =代入1

3

y x =-，则3x m ，

∴5553222m MN m m -=

+=+-，18

'(23)233A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424

A MN S MN A P m m m m ?=

?=?+?-=-++， '138

'3(2)43223OA B S A C m m ?=

??=?-=-， ∵'5

6A MN OA B

S S ?'?=， ∴255155

(43)4246

m m m -

++=?-， 解得：639m -=

或639

m +=（舍去）； 综合上述，m 的值为：619m =-639

3

m -=． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．

3．小明研究了这样一道几何题：如图1，在△ABC中，把AB点A顺时针旋转α (0°＜α＜180°)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，请问

△AB′C′边B′C′上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：

特例验证：

(1)①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=BC；

②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为．

猜想论证：

(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

(3)如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠A+∠B=120°，BC=12，CD=6，DA=63，在四边形内部是否存在点P，使△PDC与△PAB之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置(保留作图痕迹，不需要说明)并直接写出△PDC的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．

【答案】(1)①1

2

；②4

(2) AD=1

2

BC，理由见解析

(3)存在，13

【解析】

【分析】

(1)①由已知条件可得AD⊥B′C′，由α+β=180°可得∠BAC+∠B′AC′=180°，已知∠BAC=60°，可

求得∠B′AC′=120°继而∠B′=∠C′=30°，可得AD=1

2

AB′=

1

2

BC

②当∠BAC=90°时，可得∠B′AC′=∠BAC=90°，△B′AC′是直角三角形，可证得

△BAC≌△B′AC′，推出对应边相等，已知BC=8求出AD的长.

（2）先做辅助线，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：

因为B′D=DC′，AD=DM，对角线相互平分，可得四边形AC′MB′是平行四边形，得出对应边相等，由∠BAB′+∠CAC′=180°推得∠BAC=∠AB′M，可证明△BAC≌△AB′M，所以BC=AM，

AD=1

2 BC；

(3)先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O

假设P点存在，再证明理由.

根据已知角可得出△DCM是直角三角形，∠MDC=30°，可得出CM3DM3

在；

∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∠M=90°﹣∠MDC=60°，可求得EM=1

2

BM3

DE=EM﹣DM3﹣33

由已知DA3AE=DE

且BE⊥AD，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得PA=PD

因为PB=PC，PF∥CD，可求得CF=1

2

BC3，利用线段长度可求得∠CDF=60°

利用全等三角形判定定理可证得△FCP≌△CFD(AAS)，进而证得四边形CDPF是矩形，

得∠CDP=90°，∠ADP =60°，可得△ADP是等边三角形，求出DQ、DP，在Rt△PDQ中可求得PQ长度.

【详解】

(1)①∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC=AB′=AC′，∠BAC=60°

∵DB′=DC′

∴AD⊥B′C′

∵∠BAB′+∠CAC′=180°

∴∠BAC+∠B′AC′=180°

∴∠B′AC′=180°﹣∠BAC=180°﹣60°=120°

∴∠B′=∠C′=30°

∴AD=1

2

AB′=

1

2

BC

故答案：1 2

②∵∠BAB′+∠CAC′=180°

∵∠BAC=90°

∴∠B′AC′=∠BAC=90°

在△BAC和△B′AC′中，

'

'"90

"

AB AB

BAC B AC

AC AC

=

?

?

∠=∠=??

?=

?

∴△BAC≌△B′AC′(SAS)∴BC=B′C′

∵B′D=DC′

∴AD=1

2

B′C′=

1

2

BC=4

故答案：4

(2)AD与BC的数量关系：AD=1

2

BC；理由如下：

延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M、C′M，如图1所示：∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四边形AC′MB′是平行四边形，

∴∠B′AC′+∠AB′M=180°，AC′=B′M=AC，

∵∠BAB′+∠CAC′=180°，

∴∠BAC+∠B′AC′=180°，

∴∠BAC=∠AB′M，

在△BAC和△AB′M中，

'

'

'

AC B M

BAC AB M

AB AB

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△BAC≌△AB′M(SAS)，∴BC=AM，

∴AD=1

2 BC；

(3)存在；作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：

延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PDC的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：

∴∠ADC=150°，

∴∠MDC=30°，

在Rt△DCM中，∵CD=6，∠DCM=90°，∠MDC=30°，

∴CM

DM

，∠M=90°﹣∠MDC=60°，

在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=BC+CM

，∠MBE=90°﹣∠M=30°，

∴EM=1

2 BM

∴DE=EM﹣DM

∵DA

∴AE=DE，

∵BE⊥AD，

∴PA=PD，

∵PF是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，PF∥CD，

在Rt△CDF中，∵CD=6，CF=1

2 BC

∴tan∠CDF=CF

CD

=

6

，

∴∠CDF=60°，

∴∠MDF=∠MDC+∠CDF=30°+60°=90°，∴∠ADF=90°=∠AEB，

∴∠CBE=∠CFD，

∵∠CBE=∠PCF，

∴∠CFD=∠PCF=30°，

∵∠CFD+∠CDF=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∴∠CPF=∠CDF=60°，

在△FCP和△CFD中，

CPF CDF

PCF CFD CF CF

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△FCP≌△CFD(AAS)，

∴CD=PF，

∵CD∥PF，

∴四边形CDPF是矩形，

∴∠CDP=90°，

∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，∴△ADP是等边三角形，

∴∠APD=60°，

∵∠BPF =∠CPF =90°﹣30°=60°， ∴∠BPC =120°， ∴∠APD +∠BPC =180°，

∴△PDC 与△PAB 之间满足小明探究的问题中的边角关系； 在Rt △PDQ 中，∵∠PDQ =90°，PD =DA =63，DN =1

2

CD =3， ∴PQ =22DQ DP +=223(63)+=313．

【点睛】

本题考查了三角形的边旋转的问题，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系.在证明某点知否存在时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性.

4．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：

()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B

顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为2

1.(2

a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE

()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺

时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由．

()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针

旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．

【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为

2

12

a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为

2

14a ． 【解析】

【分析】

()1如图1，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出ABC≌BDE ，就有DE BC a.

==进而由三角形的面积公式得出结论；

()2如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC≌BDE，就有DE BC a.

==进而由三角形的面积公式得出结论；

()3如图3，过点A作AF BC

⊥与F，过点D作DE BC

⊥的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出

1

BF BC

2

=，由条件可以得出AFB≌BED就可以得出BF DE

=，由三角形的面积公式就可以得出结论．

【详解】

()1如图1，过点D作DE CB

⊥交CB的延长线于E，

BED ACB 90

∠∠

∴==，

由旋转知，AB AD

=，ABD90

∠=，

ABC DBE90

∠∠

∴+=，

A ABC90

∠∠

+=，

A DBE

∠∠

∴=，

在ABC和BDE中，

ACB BED

A DBE

AB BD

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

ABC

∴≌()

BDE AAS

BC DE a

∴==，

BCD

1

S BC DE

2

=?，

2

BCD

1

S a

2

∴=；

()2BCD的面积为2

1

a

2

，

理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，

BED ACB90

∠∠

∴==，

线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE，

AB BD

∴=，ABD90

∠=，

ABC DBE90

∠∠

∴+=，

A ABC90

∠∠

+=，

A DBE

∠∠

∴=，

在ABC和BDE中，

ACB BED

A DBE

AB BD

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

ABC

∴≌()

BDE AAS，

BC DE a

∴==，

BCD

1

S BC DE

2

=?，

2

BCD

1

S a

2

∴=；

()3如图3，过点A作AF BC

⊥与F，过点D作DE BC

⊥的延长线于点E，AFB E90

∠∠

∴==，

11

BF BC a

22

==，

FAB ABF90

∠∠

∴+=，

ABD90

∠=，

ABF DBE90

∠∠

∴+=，

FAB EBD

∠∠

∴=，

线段BD是由线段AB旋转得到的，

AB BD

∴=，

在AFB和BED中，

AFB E FAB EBD

AB BD

∠

=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

AFB

∴≌()

BED AAS，

1

BF DE a

2

∴==，

2

BCD

1111

S BC DE a a a

2224

=?=??=，

BCD

∴的面积为2

1

a

4

．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.

5．已知，如图：正方形ABCD，将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在正方形的AB边上，Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点F重合），如图1所示：

（1）求证：EP2+GQ2=PQ2；

（2）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由；

（3）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边所在的直线分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点，并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）．

【答案】（1）见解析；（2）PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．

【解析】

【分析】

（1）过点E作EH∥FG，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到

EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，由此可以得到EP2+GQ2=PQ2；

（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，由此可证

△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，即EP2+GQ2=PH2，在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，故PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PE2+GQ2=PF2+FQ2，证明方法同上．【详解】

（1）过点E作EH∥FG，连接AH、FH，如图所示：

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，

∴△EAH≌△GAQ，

∴EH=QG，HA=AQ，

∵FA⊥AD，

∴PQ=PH．

在Rt△EPH中，

∵EP2+EH2=PH2，

∴EP2+GQ2=PQ2；

（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，

∴△EAH≌△GAQ，

∴EH=QG，HA=AQ，

∵PA⊥AD，

∴PQ=PH．

在Rt△EPH中，

∵EP2+EH2=PH2，

∴EP2+GQ2=PH2．

在Rt△PFQ中，

∵PF2+FQ2=PQ2，

∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．

（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．

【点睛】

本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.

6．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．

（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；

（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；

（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）61

2

；（3）△FGH的周长最大值为

3

2

（a+b），最小值为3

2

（a﹣b）．

【解析】

试题分析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：根据三角形中位线定理证明FG=FH，再想办法证明∠GFH=60°即可解决问题；、

（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；

（3）首先证明△GFH的周长=3GF=3

2

BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；

试题解析：解：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：

如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．

∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=

∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=1

2

BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=

1

2

EC，FH∥EC

，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°

∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．

（2）如图2中，连接AF、EC．

易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF22

21

-3，在Rt△ABF中，

BF22

AB AF

-6，∴BD=CE=BF﹣DF61，∴FH=1

2

EC

61

-．

（3）存在．理由如下．

由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=1

2

BD，∴△GFH的周长=3GF=

3

2

BD，在△ABD

中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为

3 2（a+b），最小值为3

2

（a﹣b）．

点睛：本题考查等边三角形的性质．全等三角形的判定和性质、解直角三角形、三角形的三边关系、三角形的中位线的宽等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题．

7．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；

猜想与发现：

（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．

结论1：DM、MN的数量关系是；

结论2：DM、MN的位置关系是；

拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出

MN∥AE，MN=1

2

AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=

1

2

AF，从而得到DM，MN数量

相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，

AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，

∴MN∥AE，MN=1

2

AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又

∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的

中点，∴DM=1

2

AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，

同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，

∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的两个结论还成立.

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．

8．（操作发现）

（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接

AF，EF．

①求∠EAF的度数；

②DE与EF相等吗？请说明理由；

（类比探究）

（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：

①∠EAF的度数；

②线段AE，ED，DB之间的数量关系．

旋转测试题及答案

旋转测试题 一、填空题（每题2分，共32分） 1．如图，把?OAB 绕着O 点按逆时针方向旋转到?OCD 的位置，那么OA= ， ∠B= ，旋转角度是 ． 2．如图，?ADE 是由?ABC 绕A 点旋转180度后得到的．那么，?ABC 与?ADE 关于A 点 对称，A 点叫做 ． 3．如图15-22所示，ABC ?绕点A 旋转了0 50后到了'''C B A ?的位置，若0 '33=∠B ， 056=∠C ，则________'=∠AC B ． 4．如图，四边形OACB 绕点O 旋转到四边形DOEF ，在这个旋转过程中，?旋转中心是________，旋转角是_______，AO 与DO 的关系是________，∠AOD 与∠BOE 的关系是___________． 5．如图，AC ⊥BE ，AC=EC ，CB=CF ，则△EFC 可以看作是△ABC ?绕点________按_________方向旋转了________度而得到的． 6．如图所示，ABC ?中，0 90=∠BAC ，cm AC AB 5==，ABC ?按逆时针方向旋转一定角度后得到ACD ?，则图中的________是旋转中心，旋转角度为_______度． 7．正六边形至少旋转______度后与自身重合． 8．图形在平移、旋转过程中，图形的______和_______不变． A B D C O E A B D C 图15-22 C'B'C B A 第1题图 第2题图 第3题图 图 图 图15-23 E A B C D D C B A 第4题图 第5题图 第6题图

9．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ． 10．已知ABC ?经过旋转得到DEF ?，4=AB ，5=AC ，则EF 的取值范围是 _______． 11．国旗上的五角星是旋转对称图形，它的旋转角度是______（填最小的度数），请你 再举一个旋转角度与五角星相同的正多边形是_______． 12．在26个大写英文字母中，写出既是轴对称，?也是中心对称的字母______?、?_____、 _____．（写3个） 13．小明把如图所示的扑克牌放在一张桌子上，?请一位同学避开他任意将其中一张牌 倒过来，?然后小明很快辨认为被倒过来的那张扑克牌是________． 颠倒前 颠倒后 14．如下左图，等边△ABC 经过平移后成为△BDE ，则其平移的方向是_____；平移 的距离是_____；△ABC ?经过旋转后成为△BDE ，则其旋转中心是_____；旋转角度是_____． 15．如图，一块等边三角形木板ABC 的边长为1 ，现将木板沿水平线翻转（绕一个点 A ． B ． C ． D ． 第14题图 第15题图 第16题图 P'P D C B A 图15-28

九年级旋转几何综合单元测试卷 (word版,含解析)

九年级旋转几何综合单元测试卷 （word 版，含解析） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=?，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________； （2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ， CE ，判断PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出 PMN 面积的最大值． 【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492 【解析】 【分析】 （1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直； （2）由旋转可推出BAD CAE ??≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可； （3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】 （1）PM PN =，PM PN ⊥； 已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC = ，1 2 PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，AD AE = 可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=? 即得PM PN =，PM PN ⊥

九年级旋转单元测试题及答案.doc

旋转（90分钟，120分） 一、选择题（） 1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的（） A. 位置 B.大小 C.形状 D.性质 2. 9点钟时，钟表的时针与分针的夹角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 3. 将□ABCD旋转到□A′B′C′D′的位置，下面结论错误的是（） A. AB=A′B′ B. A B∥A′B′ C.∠A=∠A′ D.△ABC≌△A′B′C′ 4.在下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（） 5.如图，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（） A. 30° B. 60° C.90° D. 120° 6.如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点 A B C D F E D C B A O F E D C B A 第5题图第6题图第8题图

C 顺时针旋转90°得到△DCF ，连接EF ，若∠BEC=60°,则∠EF D 的 度数为（） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 7.把一个正方形绕它的中心旋转一周和原来的图形重合（） A. 1次 B. 2次 C. 3次 D. 4次 8.如图，△ABC 和△DEF 关于点O 中心对称，要得到△DEF ，需要将△ABC A.. 30° B. 90° C. 180° D. 360° 二、填空题（） 9.钟表上的时针随时间的变化而转动，这可以看做的数学上的 . 10.菱形ABCD 绕点O 沿逆时针方向旋转得到四边形A ′B ′C ′D ′，则四边形A ′B ′C ′D ′是 . 11.钟表的分针经过20分钟，旋转了 ° . 12.等边三角形至少旋转 °才能与自身重合. 13.如图，△ABC 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转60°，得到的△A B 1B 是 三角形。 14.如图，△ABC 绕着点C 顺时针旋转35°得到△1A 1B C ，若1A 1B ⊥AC ，则∠A 的度数是 。 15.如图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBF 的位 置 ，若∠A=15°，∠C=10°，E ，B ，C 在同一直线上，则∠ABC= ， 13题图 C 1 B 1 C B A 14题图 A 1 B 1 C B A 15题图 F E C B A 16题图 D C B A

九年级数学上册 旋转几何综合综合测试卷(word含答案)

九年级数学上册旋转几何综合综合测试卷（word含答案） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上， AP＝1 3 AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E， 连接PC，且ABE为等边三角形． （1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是． （2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为 93，求线段AC的长． 【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3） 7 7 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论； （3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE， ∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP， ∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS），

数学旋转的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为 （4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝16 x （x＞0）的图象交边AB于点D． （1）用m的代数式表示BD的长； （2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD ①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值； ②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值． 【答案】（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝5 【解析】 【分析】 （1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论； （2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣1 2 （m﹣8）2+24，即可 得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．【详解】 解：（1）∵四边形OABC是矩形， ∴AB⊥x轴上， ∵点B（4，m）， ∴点D的横坐标为4， ∵点D在反比例函数y＝16 x 上， ∴D（4，4）， ∴BD＝m﹣4； （2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m）， ∴S矩形OABC＝4m， 由（1）知，D（4，4）， ∴S△PBD＝1 2（m﹣4）（m﹣4）＝ 1 2 （m﹣4）2，

∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣1 2（m﹣4）2＝﹣ 1 2 （m﹣8）2+24， ∴抛物线的对称轴为m＝8， ∵a＜0，5≤m≤7， ∴m＝7时，S取到最大值； ②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G， ∴∠DGP＝∠PFE＝90°， ∴∠DPG+∠PDG＝90°， 由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°， ∴∠DPG+∠EPF＝90°， ∴∠PDG＝∠EPF， ∴△PDG≌△EPF（AAS）， ∴DG＝PF， ∵DG＝AF＝m﹣4， ∴P（m，m﹣4）， ∵点P在反比例函数y＝16 x ， ∴m（m﹣4）＝16， ∴m＝2+25或m＝2﹣25（舍）． 【点睛】 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定，构造出全等三角形是解本题的关键． 2．在等边△AOB中，将扇形COD按图1摆放，使扇形的半径OC、OD分别与OA、OB重合，OA＝OB＝2，OC＝OD＝1，固定等边△AOB不动，让扇形COD绕点O逆时针旋转，线段AC、BD也随之变化，设旋转角为α．（0＜α≤360°）

九年级数学旋转几何综合单元练习(Word版 含答案)

九年级数学旋转几何综合单元练习（Word版含答案） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +，

初三数学旋转单元测试题

初三数学旋转综合知识点检测题 一、选择题 1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( ) 2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（） °°°° 3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A 点落在位置，若，则的度数是( ) °°°° 4.在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得 到OA′，则点A′的坐标是( ) A.(-4，3) B.(-3，4) C.(3，-4) D.(4，-3) 5.在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为( ) A.(-2，1) B.(1，1) C.(-1，1) D.(5，1) 6.如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换： ①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°. 其中，能将△ABC变换成△PQR的是( )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 7.在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) 8.如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形， 图中阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.写出两个你熟悉的中心对称的几何图形名称，它们是____________. 10.如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 _____________. 11.△ABC是等边三角形，点O是三条中线的交点，△ABC以点O为旋转中心，旋转____________度后能与原来的图形重合 12.如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′，则A点 的对应点A′点的坐标是 _____________. 13.在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得 点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1，再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐 标是__________.

最新人教版九年级上册数学测试卷初三数学__旋转练习题

初三数学 旋转练习题 1、如图，在△ABC 中，∠B=900，∠C=300，AB=1，将△ABC 绕顶点 A 旋转1800，点C 落在C 1处，则C C 1的长为（ ） A ．24 B ．4 C ．32 D ．52 2、如图，△ABC 中，∠ACB=1200，将它绕着点C 旋转300 后得到△DC E ，则∠ACE= ∠A+∠E= 3、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=35°，以直角顶点C?为旋转中心，将△ABC 旋转到 △A ′B ′C 的位置，其中A ′、B ′分别是A 、B 的对应点，且点B 在斜边A ′B ′上，直角边CA ′交AB 于D ，求∠BDC 的度数． 4，如图，正方形ABCD 中，E 在BC 上，F 在AB 上且∠FDE=45°， ?△DEC 按顺时针方向转动一个角度后成为△DGA ． （1）图中哪一个点是旋转中心？（2）旋转了多少度？ （3）指出图中的对应点，对应线段和对应角； （4）求∠GDF 的度数． 5、已知如图，正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 边上一点，CE=CF: (1)EBC FDC ∠∠与相等吗？（2）△DCF 能与△BCE 重合吗？（3）试判断BE 与DF 的位置 ,6．如图所示，四边形ABCD 中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD ，AE ⊥BC 于E ，△BEA 旋转后能与△DFA 重合． （1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若AE=5cm ，求四边形ABCD 的面积． E D C B A A B C B C C F E D B A

7，如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连结BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． ,8，.如图所示，等边△ABC中，D是AB边上的动点(不与A、B重合)，以CD为一边，向上作等边△EDC。连结AE。⑴图中是否存在旋转关系的三角形，若有，请说出其旋转中心与旋转角，若没有，请说明理由。 ⑵求证： AE∥BC； ,9、如图，△ABC的直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长． 10，如图所示，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形 ⑴图中是否存在旋转关系的三角形，若有，请说出其旋转中心与旋转角，若没有，请说明理由。 ⑵AE与BD的大小关系如何，并说明理由 ⑶图中还存在是旋转关系的三角形吗？ 学习方法指导 同学们只要能做到以下几点你的学习一定能有突飞孟进的提高：上好每堂课，用好每一秒。

九年级上册数学 旋转几何综合检测题(Word版 含答案)

九年级上册数学 旋转几何综合检测题（Word 版 含答案） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB ＝5，20 3 AD =，AE ⊥BD ，垂足是E ．点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ． （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）．当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，求出相应的m 的值； （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的 ABF 为A BF ''，在旋转过程中，设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ，若△DPQ 为等腰三角形，请直接写出此时DQ 的长． 【答案】（1）4；3 （2）3或163 （3）2512525310103243 -、、103 【解析】 【分析】 （1）由矩形的性质，利用勾股定理求解BD 的长，由等面积法求解AE ，由勾股定理求解 BE 即可， （2）利用对称与平移的性质得到：AB ∥A′B′，∠4＝∠1，BF ＝B′F′＝3．当点F′落在AB 上时，证明BB′＝B′F′即可得到答案，当点F′落在AD 上时，证明△B′F′D 为等腰三角形，从而可得答案， （3）分4种情况讨论：①如答图3﹣1所示，点Q 落在BD 延长线上，证明A′Q ＝A′B ，利用勾股定理求解' ,,F Q BQ 从而求解DQ ，②如答图3﹣2所示，点Q 落在BD 上，证明点A′落在BC 边上，利用勾股定理求解,BQ 从而可得答案，③如答图3﹣3所示，点Q 落在BD 上，证明∠A′QB ＝∠A′BQ ，利用勾股定理求解,BQ ，从而可得答案，④如答图3﹣4所示，点Q 落在BD 上，证明BQ ＝BA ′，从而可得答案． 【详解】 解：（1）在Rt △ABD 中，AB ＝5，20 3 AD = ， 由勾股定理得：2 22025 533BD ??=+= ???． 11 ,22 ABD S BD AE AB AD = ?=?．

数学旋转测试题附答案

第3题图E D C B A 第4题图D C B A 第5题A B 旋转测试题 一、 选择题： 1.一个图形经过旋转变化后，发生改变的是 . A.旋转中心 B.旋转角度 C.图形的形状 D.图形的位置 2.下列图形中绕某个旋转180°后能与自身重合的有 . ①正方形； ②长方形； ③等边三角形； ④线段； ⑤角； ⑥平行四边形 A. 5个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如图所示，△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，△EDC 是由△ADB 旋转180°所得，则AB 边的取值范围是 . A. 1＜AB ＜29 B. 4＜AB ＜24 C. 5＜AB ＜19 D. 9＜AB ＜19 4.如图，已知△OAB 绕点O 沿逆时针方向旋转80°到△OCD 的位置，且∠A ＝110°，∠D ＝40°，则∠AOD 的度数为 . A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5.将方格纸中的图形（如图所示）绕点O 沿顺时针方向旋转90°后，得到的图形是 6.下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是 . A.等边三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 7.点A （－3，2）关于x 轴的对称点为点B ，点B 关于原点的对称点为C ，则点C 的坐标是 . A.（3，2） B.（－3，2） C.（3，－2） D.（－2，3） 8.已知点A 的坐标为（a ，b ），O 为原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得OA 1，则点A 1的坐标为 . A.（－a ，b ） B.（a ，－b ） C.（－b ，a ） D.（b ，－a ） 9.如图，△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∠A ＝38°，现将△ABC 绕点旋转，使BC 的对应边落在AC 上，则其旋转角为 . A. 38° B. 52° C. 71° D. 81° 10.如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，将△ABC 绕点B 旋

九年级数学上册旋转几何综合单元测试卷(解析版)

九年级数学上册旋转几何综合单元测试卷（解析版） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2 y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与 OAB ?的边分别交于M ，N 两点，将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '?． 设点P 的纵坐标为m ． ①当A MN '?在OAB ?内部时，求m 的取值范围； ②是否存在点P ，使' 5 6 A MN OA B S S ?'?=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理 由． 【答案】()2 1y x 22x =-++；（2）①433 m <<；②存在，满足m 的值为619-或 639 -． 【解析】 【分析】 （1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式； （2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案； ②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】

九年级数学上册 旋转几何综合单元试卷(word版含答案)

九年级数学上册旋转几何综合单元试卷（word版含答案） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图1和图2，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在BC、CD上，∠EAF＝45°． （1）①如图1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系； ②如图2，若∠B、∠D都不是直角，但满足∠B+∠D＝180°，线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （2）拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝22．点D、E均在边BC边上，且∠DAE＝45°，若BD＝1，求DE的长． 【答案】（1）①EF＝BE+DF；②成立，理由详见解析；（2）DE＝5 3 ． 【解析】 【分析】 （1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案； ②根据旋转的性质作辅助线，得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G 在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案； （2）如图3，同理作旋转三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD ＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，根据全等得出DF＝DE，设DE＝x，则DF＝x，BF＝CE＝3﹣x，根据勾股定理得出方程，求出x即可． 【详解】 解：（1）∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，∠B＝∠ADG＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADC+∠ADG＝90° ∴F、D、G共线， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠DAG+∠DAF＝45°， 即∠EAF＝∠GAF＝45°，

(完整版)九年级数学《旋转》练习题

图2 旋转检测 姓名 得分 1.下列运动是属于旋转的是 ( ) A.滾动过程中篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动 C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折过程 2.我们知道，国旗上的五角星是旋转对称图形，它旋转与自身重合时，至少需要旋转（ ） A.36° B.60° C.45° D.72° 3.时钟上的分针经过10分，则分针旋转了 （ ） A.100 B.300 C.450 D.600 4.已知点P （b -，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是 （ ） A.-1，3 B.1，-3 C.-1，-3 D.1，3 5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ） A B C D 6.如图1，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△B O A ''，若?=∠15AOB ，则 B AO '∠的度数是 ( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 7.如图2，四边形ABCD 是正方形，ADE ?绕着点A 旋转900 后到达ABF ?的位置，连接EF ，则AEF ?的形状是 （ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 8.如图,将正方形图案绕中心O 旋转180°后,得到的图案是 ( ) 9.如图3，点A ，B ，C ，D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转的角度为 ( ) A.30° B.45° C.90° D.135° 10.如图4，△ABO 的顶点坐标分别为A （1，4），B （2，1），O （0，0），如果将△ABO 绕点O 按逆时针方向旋转90°得到O B A ''?，那么点A '、B '的坐标分别为 ( ) A.(-4,2)A '，(-1,1)B ' B.(-4,1)A '，(-1,2)B ' C.(-4,1)A '，(-1,1)B ' D.(-4,2)A '，(-1,2)B ' 11.图形的旋转是由 、 和 决定的． 12.图形的旋转只改变图形的 ，而不改变图形的 . 13.经过旋转，对应点到旋转中心的距离___________． 14.边长为4 cm 的正方形ABCD 绕它的顶点A 旋转180°，顶点B 所经过的路线长为______cm ． 15.如图5，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转900后，得到矩形D C B A '''，如果22==DA CD ，那么C C '=_________． 图5 图6 图7 16.如图6，ABC ?按顺时针方向旋转一个角后成为ADE ?.已知?=∠93B ，?=∠48AED ，则旋转角等于 度. 17.如图7，矩形ABCD 的长和宽分别为4和2，以D 为圆心，AD 为半径作弧AE ，再以AB F E D C B A B ' D ' C ' D C B A E D C B A 图1 图3 图4

最新初三数学旋转单元测试题及答案

旋转 一、选择题 1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是() 2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针 方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（） A.60° B.105° C.120° D.135° 3.(南平)如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点 落在位置，A点落在位置，若，则的度数 是() A.50° B.60° C.70° D.80° 4.(安徽)在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是() A.(-4，3) B.(-3，4) C.(3，-4) D.(4，-3) 5.(济宁)在平面直角坐标系中，将点A1(6，1)向左平移4个单位到达点A2的位置，再向上平移3个单位到达点A3的位置，△A1A2A3绕点A2逆时针方向旋转900，则旋转后A3的坐标为() A.(-2，1) B.(1，1) C.(-1，1) D.(5，1) 6.(嘉兴)如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O，对△ABC分别作下列变换： ①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为中心作中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°； ③先以直线MN为轴作轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.

其中，能将△ABC变换成△PQR的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 7.(黑龙江)在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 8.(潍坊)如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为() A. B. C. D. 二、填空题 9.(盐城)写出两个你熟悉的中心对称的几何图形名称，它们是____________. 10.(衡阳)如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_____________. 11.(吉林)如图，直线与双曲线交于A、C两点，将直线绕点O顺时针旋转度角(0°＜≤45°)，与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是_________. 12.(邵阳)如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′点的坐标是 _____________.

人教版九年级上册数学 第23章《旋转》单元测试(含答案)

第23章《旋转》单元测试 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1.下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 2.下列图形中，是中心对称图形的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3.在平面直角坐标系 中，已知点 ，若将 绕原点逆时针旋转 得到 ， 则点在平面直角坐标系中的位置是在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知0a <，则点(2 ,1a a --+)关于原点的对称点 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5.已知点、点关于原点对称，则的值为（ ） A.1 B.3 C.－1 D.－3 6.下列命题中是真命题的是( ) A.全等的两个图形是中心对称图形 B.关于中心对称的两个图形全等 C.中心对称图形都是轴对称图形 D.轴对称图形都是中心对称图形 7.四边形ABCD 的对角线相交于O ，且AO BO CO DO ===，则这个四边形（ ） Ａ.仅是轴对称图形 Ｂ.仅是中心对称图形 Ｃ.既是轴对称图形又是中心对称图形 Ｄ.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 8.如图所示，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处.若将△绕着点A 逆时针旋转到如图位置，得到△ ，使 三点共线，则 的值为( ) A. 1 B. 223 C.3 10 D. 2 9.如图所示，在正方形中， ，点在 上，且 ，点是 上一动点，连 接 ，将线段 绕点逆时针旋转90°得到线段 .要使点 恰好落在 上， 则 的长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

10.如图，在正方形网格中，将△绕点旋转后得到△， 则下列旋转方式中，符合题意的是（ ） A.顺时针旋转90° B.逆时针旋转90° C.顺时针旋转45° D.逆时针旋转45° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图所示，把一个直角三角尺绕着 角的顶点顺时针旋转，使得点落在 的延 长线上的点处，则∠ 的度数为_____ ． 12.正方形是中心对称图形，它绕它的中心旋转一周和原来的图形重合________次． 13.如图所示，ABC △与DEF △关于O 点成中心对称． 则AB _______DE ， ∥______，AC =________． 14.边长为的正方形绕它的顶点旋转，顶点所经过的路线长为______. 15.等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少______度，能够与本身重合. 16. 点(34)P -，关于原点对称的点的坐标为________. 17.已知点 与点 关于原点对称，则 的值是_______. 18.直线3y x =+上有一点，则点 关于原点的对称点为________. 三、解答题（共46分） 19．（8分）如图所示，在△ 中，90OAB ∠=?，6OA AB ==，将OAB ? 绕点O 沿逆时针方向旋转90?得到11OA B ?． （1）线段1OA 的长是 ，1AOB ∠的度数是 ； （2）连接1AA ，求证：四边形11OAA B 是平行四边形. 20．（8分）找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形． 21.（8分）如图所示，网格中有一个四边形和两个三角形． （1）请你画出三个图形关于点的中心对称图形； （2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请你写出这个整体图形对称轴的条数； 这个整体图形至少旋转多少度与自身重合？ 22.（6分）如图所示，已知是△的中线，画出以点为对称中心，与△?成中心对称的三角形． 23.（8分）图①②均为76?的正方形网格，点A B C 、、 在格点上． （1）在图①中确定格点D ，并画出以 为顶点的四边形，使其为轴对称图形．（画出一个即可） （2）在图②中确定格点E ，并画出以为顶点的四边形，使其为中心对称图形．（画出一个即可）

九年级数学：-旋转基础知识及专题练习(含答案)

旋转及综合专题 一、旋转相关定义 * 1、定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转 动的角叫做旋转角。 2、如果图形上的点P经过旋转变为P，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； } （3）旋转前、后图形全等。 4、把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。 5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。 / 6、把一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 二、旋转相关结论如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转角到 ABC。点B和点B为对应点，点C 和C为对应 点。 结论1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段BB的垂直平分 线l、线段CC的垂直平分线l都经过旋转中心 点A。利用这个结论我们可以利用对应点坐标 求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。 结论2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角。

如图，ABB和ACC均为等腰三角形，BAB CAC。

八年级数学上旋转练习题及答案

《旋转》训练题 1、经过旋转，图形上的每一点都绕沿相同方向转动了，任意一对对应点与的连线所成的角都是旋转角，对应点到的距离相等． 2、下列说法不正确的是（） A、图形旋转后对应线段，对应角相等； B、旋转不改变图形的形状和大小； C、旋转后对应点的连线的垂直平分线经过旋转中心； D、旋转形成的图形是由旋转中心和旋转方向决定的． 3、要使正十二边形旋转后能与自身重合，至少应将它绕中心逆时针方向旋转（） A、30° B、45° C、60° D、75° 4、如图1所示的五角星旋转多少度能与自身重合？ 5、如图2所示，若正方形ABCD可由正方形CDEF旋转后得到，则图形所在平面上可以作为旋转 中心的共有几个？ 6、（2010年天津市）如图3，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，1 DE=．以点A 为中心，把△ADE顺时针旋转90?，得△ABE'，连接EE'，则EE'的长等于. 7、图4中的两个正方形的边长相等，请你指出图 中可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明 旋转的角度. 8、如图5，△ACE、△ABF都是等腰三角形，∠ BAF=∠CAE=90°，那么△AFC是以点为旋 转中心，旋转度之后能与另三角形 重合，点F的对应点是． 9、如图6，把一个直角三角尺ACB绕着30°角 的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的 延长线上的点E重合．则（1）三角尺 旋转了度；（2）连接CD，可 判断△CDB的形状是三角形； （3）∠BDC的度数是度． 10、如图7，四边形A/B/C/D/是四边形ABCD绕点 O顺时针旋转90°后得到的，请你作出旋转前 的图形ABCD． 11、如图8所示，四边形ABCD绕某点旋转后成四边形A/B/C/D/，请你帮助找出它们的旋转中心． 12、如图9，∠AOB=90°，∠B=25°，△A/OB/可以看做是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的，若点A/在AB上，则旋转角α的大小可以是（） A、25° B、30° C、45° D、50° 13、如图10，在△ABC中，∠CAB=70°．在同一平 面内，将△ABC绕点A旋转到△AB/C/的位置，使得 CC/∥AB，则∠BAB/=( ) A、30° B、35° C、40° D、50°

人教版数学九年级上册 旋转几何综合单元测试与练习(word解析版)

人教版数学九年级上册 旋转几何综合单元测试与练习（word 解析 版） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知如图1，在ABC 中，90ABC ∠=?，BC AB =，点D 在AC 上，DF AC ⊥交BC 于F ，点E 是AF 的中点． （1）写出线段ED 与线段EB 的关系并证明； （2）如图2，将CDF 绕点C 逆时针旋转( ) 090a α? <

∵AB=BC， ∴∠DAB=45° ∴在四边形ABFD中，∠DFB=360°－90°－45°－90°=135° ∠DEB=∠DEF+∠FEB=180°－2∠EFD+180°－2∠EFB=360°－2(∠EFD+∠EFB) =360°－2×135°=90° ∴DE⊥EB （2）如下图，延长BE至点M处，使得ME=EB，连接MA、ME、MF、MD、FB、DB，延长MF交CB于点H ∵ME=EB，点E是AF的中点 ∴四边形MFBA是平行四边形 ∴MF∥AB，MF=AB ∴∠MHB=180°－∠ABC=90° ∵∠DCA=∠FCB=a ∴∠DCB=45°+a，∠CFH=90°－a ∵∠DCF=45°，∠CDF=90° ∴∠DFC=45°，△DCF是等腰直角三角形 ∴∠DFM=180°－∠DFC－∠CFH=45°+a ∴∠DCB=∠DFM ∵△ABC和△CDF都是等腰直角三角形 ∴DC=DF，BC=AB=MF ∴△DCB≌△DFM(SAS) ∴∠MDF=∠BDC，DB=DM ∴∠MDF+∠FDB=∠BDC+∠FDB=90° ∴△DMB是等腰直角三角形 ∵点E是MB的中点 ∴DE=EB，DE⊥EB （3）当点F在AC上时，CF有最大值，图形如下：