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【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】

【丘先生关于庞加莱猜想证明的简介】庞加莱(Poincare)：思想仅是漫漫长夜中的一个闪光，但这闪光意味着所有一切。丘成桐：庞加莱猜想的破解，是一件令我们中国人很骄傲的事情。因为在中国本土上，我们第一次完成了一个伟大数学猜想的最后一步，震动了全球数学界!我觉得特别骄傲，因为从1979年那次回国开始，我一直期望中国本土能做出一流的工作。相信我们年轻的朋友、学生也因庞加莱猜想的破解而受到鼓舞。

三维空间的结构

丘成桐

哈佛大学数学系

请到http：//https://www.wendangku.net/doc/7914588802.html,/Active/20060626_005.ppt看原文及极漂亮的图片。

(所有图形取自顾险峰，王雅琳，丘成桐的合作文章，由顾险峰提供)

先生们，女士们：

今天我将会告诉你们数学上的一页篇章是如何结束和新的篇章正在开始。

请允许我先从一些基本的观察开始。

(1)几何结构

几何学的主要目的是描述与分类有趣的几何结构。我们在日常生活中看到许多有趣的几何结构。我举几个例子：

(2)连通和

构造曲面的一个抽象和主要的方法是作曲面的连通和。

(3)曲面结构定理

定理(曲面分类定理)

任意闭的可定向的曲面是如下曲面之一：球面，环面或有限多个环面的连通和。

(4)共形几何

为了更深入理解曲面，庞加莱建议理解这些2维对象上的共形几何。

例子：在地球上我们利用经线和纬线来确定方位。它们互相垂直。当我们将方形的地图映到球面上的时候，距离产生了扭曲。比如，北极附近很小的区域在方形地图上是很大的区域。不过，经线与纬线的正交性在映照下保持不变。所以，如果一艘船在海上航行，我们可以用地图精确地指引它的航向。

(5)共形结构：庞加莱(Poincare)发现，我们可以在任何曲面上绘制经线(篮色曲线)与纬线(红色曲线)。我们可以沿着曲面上某些特殊的曲线切割，然后把曲面在平面或

圆盘上展开。在这个过程中，经线与纬线保持不变。

曲面上共形结构的例子：

定理(庞加莱单值化定理)：任意2维封闭空间必与一常高斯

曲率空间共形等价。

(6)曲面上的Hamilton方程：我们可以通过曲率变动任意曲面。这种形变就是曲面的Hamilton的Ricci流。这种形变最后得到常曲率空间。这一方法是Hamilton发明的，可用来改变任意维空间。

(7)三维流形：目前为止，我们所讨论的空间只有两个自由度。与束缚于曲面上的虫子所看到的2维空间不一样，我们所生存的空间有3个自由度。虽然我们的三维空间看起来是平坦的，但还有许多自然而不平坦的三维空间。

例子：相空间

20世纪初，庞加莱研究粒子动力学的相空间。相空间由，即粒子的位臵与速度组成。例如，如果一个粒子在2维曲面上以单位速度自由移动，那么这个粒子就有3个自由度。这就产生了一个三维空间M。

纤维丛：如果我们对M上每个点，赋以点，我们得到一个从M到的映像。当我们固定点x，v可以取任意单位向量，因此v 可以在单位圆上自由移动。我们称M是上的纤维丛而它的纤维是单位圆。

(8)庞加莱猜想：

高维拓扑学可以说是从庞加莱的问题开始：

庞加莱猜测：一个闭的三维空间，若其上的每条闭曲线都可以连续收缩到一个点，那么从拓扑上来看，这个空间是否就是球

面？这个问题不仅是一个著名的难题，而且是三维拓扑理论的中心问题。

(9)拓扑手术：拓扑学家研究这个问题已经有一百多年历史了。主要的工具是切割与粘合，或称手术，来简化一个空间的拓扑。在70年代以前，主要的工具有Dehn引理，提供了将自相交叉的曲面简化为无交叉曲面的工具。

定理(Dehn引理)：如果存在从圆盘到三维空间的一个映像，且不在圆盘边界上自相交叉，那么存在另一个到三维空间的没有自交叉的映像，且限制在边界上与原来的映像相等。Dehn引理的一种基于极小曲面理论的版本是Meeks-丘成桐发现的，对以后的发展很有帮助。第2个工具是Haken引入的不可压缩曲面的构造。它被用来将三维流形切割成片。Walhausen用这一方法证明了重要的定理。(不可压缩曲面是一种嵌入曲面，且具有如下性质：如果一条闭环路不能在曲面上收缩到一个点，那么它也不能在三维空间中收缩到一个点。)

(10)特殊曲面：有几个重要的一维和2维空间在理解三维空间的过程中起了重要的作用。

圆周：Seifert构造了许多三维空间，可以写成圆周的连续族。上面提到的相空间是Seifert空间的一个例子。

2维球面：

环面：我们可以通过在两个三维空间上的各挖去一个实心球，然后沿着球面粘合起来。相反，Kneser和Milnor证明每个三维

空间可以通过球面唯一分解成不可约分支。一个空间称为是不可约的，如果每个嵌入球面都是这个空间中的一个三维球的边界。Jaco-Shalen，Johannson的一个定理说，我们可以通过沿环面切割作进一步分解。

(11)三维空间的结构

几何化猜测(Thurston)：三维空间的结构是由如下的基本空间所合成的：

(11.1)(庞加莱猜测)如果三维空间上每条闭环路都可以收缩到一个点，那么这个空间就是三维球面。(11.2)(空间形式问题)将三维球面上的点等同起来得到的空间。这由线性等距的一个有限群所支配，类似于晶体的对称。

(11.3)Seifert空间及其类似于(2)用有限群得出的空间。

(11.4).(Thurston猜测：双曲空间)边界由环面构成的三维空间，空间中每个2维球面都是某个球的边界，每个不可压缩的环面可以用适当的方法形变到边界；这种空间被猜测为带有常负曲率的空间，并且可以通过双曲球的一个离散对称群得到。

Thurston猜测将三维空间的分类简化为群论问题，发展出了许多工具。他和一些后来的学者证明了当三维空间足够大时(这是Haken和Walhausen所研究的空间)，猜想成立。(一个空间里如果有非平凡和不可压缩的嵌入曲面，我们称它为足够大的。) 可惜Thurston的证明方法很难用到最一般的流形上。

(12)几何分析：另一方面，从70年代开始，一群几何分析学

家应用非线性偏微分方程来构造空间的几何结构。Yamabe考虑了将一个空间共形地变为为常数量曲率空间。可是这种方法不能用来区分空间的拓扑。

一个重要的发现是76年凯勒-爱因斯坦空间的构造。事实上，我用这个方法证明了复情形的庞加莱猜测。在复几何中被称为Severi猜测，即每个同伦等价于复射影平面的复曲面必是复射影平面。将几何与分析的想法结合起来理解几何与拓扑的学科称为几何分析。而这一学科可以追溯到50年代，在过去30年中有了长足的发展。

这一学科有两大支柱：非线性分析与几何。由于许多学者的努力，这两个学科在70年代都变得很成熟。(见我的综述文章Perspectiveson Geometric Analysis in Survey in Differential Geometry，Vol10，2006)。

(13)爱因斯坦空间：我现在介绍一下几何分析的想法如何用来解决庞加莱猜测。

在三维空间情形，我们需要构造爱因斯坦结构，这是受到了重力理论中的爱因斯坦方程启发。对任何一个三维空间结构，我们找一种方法将它形变到一个满足爱因斯坦方程的空间结构。这种形变必须依赖于空间的曲率。

(14)爱因斯坦方程：爱因斯坦的相对论告诉我们，在重力影响下，时空具有曲率。空间不断地改变。空间的整体拓扑随着曲率(重力)的分布而变化。相反的，整体拓扑非常重要，它提供了

重力分布的限制条件，也可以看作重力的源头。

(15)爱因斯坦结构：假设我们假设三维空间是紧致无边的(也就是闭的)。

(16)Ricci曲率

Ricci张量：在三维空间中，空间的曲率从不同方向测量会不一样。这种测量受Ricci张量支配。这本质上是空间的物质张量。

数量曲率：与方向无关的一个重要的量是数量曲率R。它是的迹，可以用来测量测地球的扩张或收缩：

(17)爱因斯坦方程动力学

粗略的说，质量密度由空间的数量曲率加上动量密度组成。爱因斯坦动力方程迫使黑洞的形成，将空间分为两部分：数量曲率为正的部分空间和可能具有黑洞的部分空间。一般来说，在黑洞视界以内，拓扑趋向于容许负曲率结构。

重力理论中有两个量支配空间的动力学：度量与动量。动量很难控制。所以目前很难用广义相对论的爱因斯坦方程来研究空间的拓扑。

(18)Hamilton方程：1979年，Hamilton发展了新的方程来研究空间的变动。Hamilton的方程是如下的：与重力驱动空间不同，他用Ricci曲率来驱动，这类似于热扩散。热传导方程具有使空间光滑的性质。它能够将热源瞬间传递到空间上的任何一点。

这个方程也被物理学家在同一时期考虑(首先出现在Friedan的论文里)。不过观点有很大不同。

(18)奇点：另一方面，整体拓扑与方程中由于曲率产生的非线性项确实将空间部分区域变为点，出现空间的拓扑塌陷。我们称这种点为空间的奇点。

1982年时，Hamilton在这个方程的研究方面发表了第一篇文章。从正曲率空间开始，他证明了，在他的方程支配下，在作保持体积不变的膨胀以后，空间不会遇到任何奇点，这就导致曲率在每个方向都是常数的空间。这种空间可以是三维球面，也可以是球面在有限等距群作用下的商。

看到Hamilton的定理后，我确信Hamilton的方程正是完成几何化纲领所需要的方程。(在Hamilton的文章发表以后不久，出现了Huisken用平均曲率形变凸曲面的文章。平均曲率流方程是理解Hamilton方程的一个很好的模型。)

我们建议用他的方程不断地改变三维空间，最后会将空间分解。这将会导致Kneser，Jacob-Shalen，Johannson的拓扑分解定理。我们希望哈密尔顿方程的渐近状态会分解成几个部分，或者塌陷，或者产生满足爱因斯坦方程的结构。

在三维空间中，爱因斯坦结构是常曲率的。可是，形变会产生奇点。主要的问题是找到描述所有奇点的办法。以下我们将介绍这个重要的发展。

(19)Hamilton纲领：Hamilton的想法是通过拓扑手术把奇点

除去，在手术以后继续他的方程。如果再次发展出奇点，则重复手术，继续前进。

如果我们可以证明在任意有限时间段内，只需做有限次手术，并且Hamilton方程的解的长时间行为得到了很好的了解，那么我们就能够识别出初始流形的拓扑结构。所以，Hamilton的纲领如果能够成功实施，将会导致庞加莱猜想与Thurston猜想的证明。

Hamilton的贡献的重要性与创造性永远不会被高估。这个领域里的任何专家都会认可Hamilton是整个理论最主要的贡献者。

2002年12月，Perelman说：遵循Hamilton纲领将会推出闭三维流形的几何化猜想。

在这篇文章中，我们完成Hamilton纲领中的一些细节。现在我们将根据年代发展，描述Hamilton的纲领。分成几个阶段：

(19.1)I.先验估计：早在90年代，Hamilton系统地发展理论，来理解奇点的结构。在我的建议下，他证明了当曲率为非负时，他的流的李伟光-丘成桐型估计(李伟光-丘成桐-Hamilton 估计)。这一估计提供了Hamilton方程行为的先验控制。

先验估计是证明非线性微分方程存在性定理的关键。一个直观的例子可以解释如下：一位导弹工程师设计导弹的轨线，他可能需要知道发射十分钟后导弹的位臵与速度。由于风速的改变，他的估计可能很不相同。可是只要这个估计在一定的精度范围

内，他就可以知道如何去设计导弹。如何决定这个精度范围，这就叫作先验估计。

I.1.李伟光-丘成桐-Hamilton估计：在证明非线性微分方程的过程中，我们需要找到一些量的先验估计，来控制这个方程。基于解释李伟光-丘成桐不等式，Hamilton发现了一个通过扩张孤立子导出精细估计的原理.对于具有非负曲率Hamilton方程，这是李伟光-丘成桐-Hamilton估计给出的：

I.2.拼挤估计：在应用这种估计研究奇点结构的过程中，Hamilton发现(Ivey也独立得到)三维空间上他的方程的一个曲率拼挤估计。这使得他发现，奇点的一个邻域与非负曲率空间相似。于是在附加了非塌陷条件下，Hamilton得到了最可能出现的奇点的结构。只有一类奇点他无法确定其存在性。(他将这类奇点称为雪茄型)。

(19.2)II.Hamilton关于几何化的工作：1995年，他发展了用常平均曲率曲面叶化的几何手术的方法来研究具有正迷向曲率4维流形的拓扑。1996年，Hamilton继续分析在合适正则性条件(他称之为非奇异解)下的时空结构。特别的，他证明容许非奇异解的三维空间满足几何化猜想。这些惊人的工作是建立在对几何与非线性微分方程的深刻分析基础上的。这两篇文章令人深信，几何化纲领可以用Hamilton的方法在可期待的一段时间内加以破解。

Hamilton工作中的主要组成部分

在他深刻的分析中，需要如下几个主要部分：

1、他自己在郑绍远-李伟光-丘成桐1981年得到的单射半径估计工作基础上证明的关于空间收敛性的紧性定理。

2、Mostow刚性定理的量化改进，刚性定理说具有有限体积的三维空间上至多只有一个常负曲率度量。

3、用环面分解空间的过程中，他需要证明环面是不可压缩的。他的证明依赖于Meeks-丘成桐和Schoen-丘成桐发展的极小曲面理论。Meeks-丘成桐的工作得到了三维拓扑的Smith猜测证明中需要的一个等变Dehn引理。Schoen-丘成桐的工作与他们证明广义相对论中正质量猜测有关。

(19.3)III.Perelman的突破：在前面提到的这些工作出来以后，Hamilton的方法给庞加莱猜测与几何化猜测的证明带来了一片光明。主要的困难在于如何利用局部曲率的界来对单射半径进行某种控制，以理解奇点的结构与奇点手术的过程。

02年11月，Perelman推出预印本The entropy xxxxula for the Ricciflow and its geometric applications。在引言中，他说他的主要目的是执行Hamilton的纲领。与1986年李伟光-丘成桐的工作相平行的，Perelman用路径积分引入了一个时空距离函数，用来验证一般的非塌陷条件。令是任意链接p到q的时空道路，我们定义作用在所有p与q之间的道路取极小值，我们定义了时空距离函数。

Perelman定义他的约化体积并注意到在Hamilton方程下，

约化体积是递减的。Perelman说：李伟光-丘成桐对一个线性抛物方程赋以‘长度’，与我们的情况几乎完全一样。

比例尺论证方法：Perelman进一步发展了一个重要的，改进的比例尺论证方法，来完成Hamilton对于奇点的分类，得到了一致并整体的奇点结构定理。

Hamilton的几何手术：现在我们需要一个施行几何手术的办法。在1995年，Hamilton已经对4维空间开创了一种手术过程，给出了施行这种手术的具体方法。我们可以检验，Hamilton的几何手术对三维空间也成立。手术的步骤介绍如下：手术时间的离散性：真正的挑战在与证明每个有限时间段内只进行有限次手术。问题在于，当我们在进行每次手术时，可能会引入误差，积累到一定程度手术就会越来越频繁。03年3月，Perelman推出了另一篇预印本，题为Ricciflow with surgery on three manifolds，其中他改进了Hamilton的几何手术过程，随着时间演进，手术的精度也不断提高。Perelman引入了比例尺论证方法来研究手术时间离散性问题。

手术时间的离散性，比例尺论证：当对Hamilton方程的手术解采用比例尺论证，我们遇到如何应用Hamilton紧性定理的困难，因为这个紧性定理只对光滑解有效。

克服这个困难的想法由两部分组成：1、(Perelman)：选择截断半径充分小，将手术区域远推。2、(曹怀东-朱熹平)：建立了3个关于手术解的时间延展的结果，使得Hamilton的紧性定理

仍然可用。为了达到这个目的，他们需要对手术区域的延伸有深刻的了解，这用到陈兵龙-朱熹平关于非紧流形上Hamilton方程解的唯一性定理。

总结庞加莱猜测证明：一旦知道手术相对于时间是离散的，我们可以完成正数量曲率三维空间的分类，这是Schoen-丘成桐最早研究的问题。更重要的，对单连通三维空间，结合Colding-Minicozzi(2005)的有限时间消亡性结果，这就提供了庞加莱猜测的完整证明。

(19.4)IV.几何化猜测的证明：粗细分解

为了研究一般空间的结构，我们仍然需要分析Hamilton方程的手术解的长时间行为。正如我们在II中所提到的，Hamilton 在1996年研究了一些特殊光滑解的行为。

粗细分解：Hamilton证明任意三维非奇异解容许一种粗细分解，其中粗的部分由有限多个双曲空间组成，而细的部分塌陷。通过改进Schoen-丘成桐的极小曲面理论，Hamilton进一步证明双曲片的边界是不可压缩环面。所以，任何非奇异解都是可以几何化的。虽然非奇异的假设的有局限性，但Hamilton的想法与论证在Perelman的工作中起了很关键的作用，特别用来分析一般手术解的长时间行为。这样，Perelman宣称可以用粗细分解来给出Thurston几何化猜测的证明。

对于粗的部分，基于李伟光-丘成桐-Hamilton的估计，Perelman建立了一个关键的椭圆型估计，使得他可以证明粗的

部分由双曲片组成。对细的部分，由于他只能得到截面曲率的一个(局部)下界，他宣布了一个新的塌陷结果。假设这个新的塌陷结果成立，Perelman认为手术解与Hamilton工作中的非奇异解具有相同的长时间行为，这个结论可以推出Thurston几何化猜想的证明。虽然Perelman期望的这个新的塌陷结果还未见诸文献，Shioya-Yamaguchi在闭空间的特殊情形发表了一个塌陷结果的证明。最近，曹怀东-朱熹平在前面工作的基础上给出了Thurston几何化猜想的一个完全证明。

(20)后记：在Perelman的工作中，许多关键的证明思想只是作了勾画或略述，而经常缺少完全的细节。最近曹怀东-朱熹平2005年提交给《亚洲数学杂志》(Asian Journalof Mathematics)的文章给出了庞加莱与Thurston几何化猜想的第一个完整与详细的描述。他们在自己工作基础上，给出了Perelman工作的几个步骤的新证明。

过去3年中，许多数学家试图探究：Hamilton与Perelman 的想法是否可以结合起来？Kleiner与Lott(2004)在网上公布了关于Perelman部分工作的注记。不过这些注记与完整的证明相差甚远。在曹怀东-朱熹平的工作在2006年4月宣布以后，Kleiner与Lott在5月底公布了一篇比他们在2004年完整的笔记。他们的方法与曹怀东-朱熹平的方法有所不同。要完全理解他们的笔记还需要一些时间，因为在其中几个关键的地方仍然非常粗略。Hamilton纲领的成功是过去30年中几何分析学家集体

努力的成果。这应该被看作几何分析学科伟大的成就，它的奇妙之处在于只用几何与分析就能够证明极度困难的拓扑学定理。Hamilton方程是一个复杂的非线性偏微分方程组。这是数学家们第一次能够理解复杂的偏微分方程组的奇点和演化。

类似的方程组在自然现象中比比皆是。解决Hamilton方程的方法将给这些自然的方程，如Navier-Stokes方程和爱因斯坦方程，的研究带来曙光。

Hamilton方程的数值计算应当在计算机图形中有用的，在2维图形的研究中已由顾险峰-王雅琳-丘成桐所证实。庞加莱(Poincare)：思想仅是漫漫长夜中的一个闪光，但这闪光意味着所有一切。庞加莱在1904年的闪光已照明了20世纪拓扑学主要部分。庞加莱还开创了黎曼(Riemann)曲面的几何与分析理论。这个理论是廿世纪所有数学发展的主要支柱之一。我相信三维空间的完全理解将在廿一世纪中起到类似的作用。

哥德巴赫庞加莱猜想

哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可分为两个猜想（前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想，后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想）：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。其实，后一个命题就是前一个命题的推论。哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数(就是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。" 欧拉回信说：―这个命题看来是正确的‖。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想貌似简单，要证明它却着实不易，成为数学中一个著名的难题。18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质性的推进，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫（и．M．Bиногралов,1891-1983），用他创造的"三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍相距甚远。关于偶数可表示为a个质数的乘积与b个质数的乘积之和(简称―a + b‖问题)进展如下: 1920年，挪威的布朗证明了―9 + 9‖。1924年，德国的拉特马赫证明了―7 + 7‖。

庞加莱猜想

庞加莱猜想百科名片庞加莱猜想电脑三维模型庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想，是悬赏的（七个千年大奖问题）之一。2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明，但将解题方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。目录展开庞加莱猜想图示令人头疼的世纪难题缘起如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，已经知道，球面本质上可由单连通性来刻画，他

提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。一位史家曾经如此形容1854年出生的（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的：在一个中，假如每一条封闭的都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n 维球面的n维封闭流形必定于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。猜想的简单比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。

数学猜想

数学猜想四色猜想（三大数学难题之三）世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。

庞加莱猜想应用篇

（一）庞加莱是法国数学家，1904年他在一组论文中提出有关空间几何结构的猜想，但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，这就是“庞加莱猜想”：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。丘成桐院士认为，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。庞加莱猜想证明对用数学语言描述宇宙空间产生重要影响，我们可举在超弦理论上的应用来说明。首先我们要对庞加莱猜想的“点”作一个约定：庞加莱猜想中的“点”可以指数轴、坐标、直线、曲线、平面、曲面等等数学空间的数值点、标点、原点、奇点、焦点、鞍点、结点、中心点......而不能指我们说的“曲点”和“点内空间”的点，不然就会产生矛盾。因为我们说的“曲点”，是指环圈面、圆环面收缩成的一点，以及“环绕数”收缩成的一点---如圈是“绳”一致分布中间没有打结的封闭线；在这种纽结理论定义中，两个圈套圈的纽结，有一个交点；如果这种圈套圈有两次纽合，圈套圈的纽结“点”就包含了“环绕数”，把有一个以上“环绕数”的圈套圈，紧致化到一个交点，就是一个“曲点”。即“曲点”最直观的数学模型，是指包含“环绕数”的点。而我们说的“点内空间”的点，是指虚数一类虚拟空间内的“点”。如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“曲点”和“点内空间”正是来源于庞加莱猜想之外还有的一个庞加莱猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。庞加莱猜想至少有两个来源---一个是函数论，一个是代数拓扑学。即有人认为，19世纪是函数论的世纪，庞加莱因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的。所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数。自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广。自守函数今天已包括那些在变换群或这个群的某些子群作用下的不变函数。此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的。庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群。对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数。此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分。自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线。代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射。其次，庞加莱是代数拓扑学(组合拓扑学)的奠基人，最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论。现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造---其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂)数的方法。籍助这些方法，庞加莱发现关于流形的同调的著名的对偶定理；定义了基本群(第一个同伦群)，并证明它与一维贝蒂数的关系，还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，以及欧拉多面体定理的推广---现称之为欧拉—庞加莱公式： x（D）=F－E+V （1）这个式子的右边是和三角剖分的方式有关，但实际上x（D）和剖分的方式无关，它是曲面的一个拓扑不变量。对于紧致曲面，边界曲线不出现，仍然可以作三角剖分，因可求得：

几何化猜想----庞加莱猜想的推广

几何化猜想编辑威廉·瑟斯顿（Thurston）的几何化猜想（geometrization conjecture）指的是，任取一个紧致(可能带边)的三维流形尽量作连通和以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开得到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。八种标准几何结构均为完备的黎曼度量，这些几何结构在某种意义上是比较“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。 1.标准球面S ，具有常曲率+l 2.欧氏空间R ，具有常曲率0 3.双曲空间H ，具有常曲率-1 4.S ×S 5.H ×S 6.特殊线性群(2，R)上左不变黎曼度量 7.幂零几何 8.可解几何威廉·瑟斯顿

编辑威廉·瑟斯顿Thurston，William）1946年10月30日出生于美国，1982年获菲尔兹奖，获奖前后的工作地点是普林斯顿大学。他讨论了三维流形上的叶状结构，并对一般流形上叶状结构的存在、性质及其分类得出了普遍的结果；基本完成了三维闭流形的拓扑分类。目录 1获奖情况 2主要成就 3几何化猜想

3几何化猜想美国康奈尔大学的数学家威廉·瑟斯顿(William Thurston)，他说：“数学是真正的人类思维，它涉及人类如何能有效地思考,这就是为什么好奇心是一个好向导的道理。”他认为好奇心与人类直觉紧密相连。 1970年,瑟斯顿提出几何化猜想,指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。几何化猜想是一个有关三维空间几何化的更强大、更普遍的猜想,认为任何空间都可还原成少数几个基本的图形。《美国数学会会志》的文章认为,瑟斯顿的伟大之处在于他深刻认识到如何用几何学的方法来认识三维流形的拓扑学。 “瑟斯顿的猜想列出了一个清单,如果它是正确的,那么庞加莱猜想的证明则迎刃而解。”瑟斯顿因几何化猜想而获得了1982年的菲尔茨奖。拓扑学家们努力发展一系列精致的工具来研究和分析形状,但一直没有进展。[1] 参考资料

黎曼假设

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。1730年，欧拉在研究调和级数： Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1) 时，发现： Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...... =Π(1-1/p)^-1。(2) 其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确： Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3) 证明了上式，即证明了黎曼猜想。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。

哥德巴赫猜想的证明思路

哥德巴赫猜想的证明方法引言数论之位数运算，一个新的的概念，一个新的方向，一个新的课题。希望广大数学爱好者能参加到这个课题的研究中，从中发现更多的理论，解决更多的问题。目录一、哥德巴赫猜想的证明思路 1、哥德巴赫猜想证明引入的一些符号代表含义 2、素数定理代数表达式 3、哥德巴赫猜想的证明第一章哥德巴赫猜想的证明思路通过证明一任意大偶数可拆分2素数之和的数量呈增长趋势来证明哥德巴赫猜想成立一、哥德巴赫猜想证明引入的一些符号代表含义 1、n，（n≥1;n∈自然数） 2、Pn≈π（x）任意正整数n包含的素数数量 3、Pn1，（0，m）区间内素数数量 4、Pn2，（m，2m）区间内素数数量 5、Pm，任意正整数n包含的素数类型数量 5、（γ，γ=-0.0674243197727122）素数分布系数 6、（λ，λ=0.615885*********）素数类型中素数与伪素数等差比例

系数。 7、logn，以n为底的对数 8、H，小于等于n的所有素数类型的组合数量 9、H1，小于等于n的素数类型组合数量 10、Hn，取值为n时可拆分素数对数量 11、HAL，偶数类型1 12、HBL，偶数类型2 13、HCL，偶数类型3 14、HDL，偶数类型4 15、（m,2m 2m=n）相对区间 16、Hnx=Pn2*(Pn2*2+1)*H1/H,相对区间内两素数组合下限 17、HALx，偶数类型1组合下限 18、HBLx，偶数类型2组合下限 19、HCLx，偶数类型3组合下限 20、HDLx，偶数类型4组合下限 21、Hns=Pn1*(Pn1*2+1)*H1/H,相对区间内两素数组合上限 22、HALs，偶数类型1组合上限 23、HBLs，偶数类型2组合上限 24、HCLs，偶数类型3组合上限 25、HDLs，偶数类型4组合上限二、素数定理代数表达式 1、Pn=π（x）≈(0.8n/3)/{γ+λ*（logn-2）+1}

盘点我国古今伟大的数学家

盘点我国古今伟大的数学家 1、祖冲之，字文远［公元429-500年］祖籍范阳郡道县［今河北省涞水县北］人。他生活在南北朝时代，出身于天文、历算世家，是刘宋王朝奉朝请祖朔之的儿子。他历任徐州从事吏、公府参军、娄县令、竭者仆射、长水校尉等职。祖日桓，祖冲之的儿子，字景烁，生卒年代无可考。祖冲之的杰出成就主要在数学、天文历法和机械三方面，他研究过《九章算术》及刘徽注。在天文历法方面，祖之创制了《大明历》，最早把岁差引进历法。后经其子祖日桓向梁武帝两次提出修改历法，说可以纠正何承天元嘉历法的疏远，政府终于公元510年起，用大明历法推算历书。祖冲之父子的数学成就十分丰富，《缀术》是他们的代表作，唐初被列入《算经十书》之一，可惜，现在已失传。在其它的著作中，我们可知他们的数学成就有圆周率、球体积和开带从立方等三个方面。祖之提出了3.1415926<π<3.1415927，更得出了圆周率的密率——355/113［现称祖率］比西方早1000年。祖日桓亦解决了魏晋时期刘徽未解决的问题——计算球体的体积，其中运用到「幂势既同，则积不容异」的原理［现称刘祖原理或祖日桓原理］该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利［bonaventuracavalieri 公元1598-1647年］发现，比祖日桓晚一千一百多年。

祖冲之亦曾造指南车、欹器、千里船、水碓磨等机械，经过试验都有成效。 2、张衡［公元78-139年］字平子，东汉南阳西鄂［今河南南召］人。历任郎中、太史令、尚书郎。富文采、善机巧、尤精天文历算。创制水运浑象和地动仪，着有《灵宪》、《算罔论》等。在他的《灵宪》中取用π=730/232［3.1466］，又在他的球体积公式中取用π= ［3.162］，又曾应用重差术于他的宇宙模型之中。 3、刘徽［约公元3世纪］刘徽注《九章算术》，同时又撰有《重差》一卷，《重差》后来印成单行本改称为《海岛算经》，在注文中，刘徽用语言来讲清道理，用图形来解释问题［析理以辞，解体用图］。他不是只停留在对《九章》的注释上，而是更上一层楼，在注释的同时提出了许多创造性见解，例如为阐述几何命题，证明几何定理，创造了「以盈补虚法」，更为计算圆周率提出了「割圆术」：刘徽从最简单的正六边形开始，由正192边形的面积得到π=151/50或3.14。不过他更进一步算出3.14 <π<3.14 ，后来在另一个地方，刘徽用他的方法，继续演算到3072边形，并且得到他的最佳值——一个相当于3.14159的数。「割圆术」是我国数学史上首次将极限概念用于近似计算。此外，刘徽的「齐同术」和「方程新术」等，是对《九章算术》方法的进一步阐述与补充。在注释《九章》的同时，刘徽深感有创立新的测量方法的必要，于是提出了重差术，撰《重差》一卷。

庞加莱猜想浅谈

庞加莱猜想浅谈庞加莱猜想，故名思意，最早是由法国数学家庞加莱提出的，这是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由俄罗斯数学家格里戈里?佩雷尔曼（俄语：ГригорийЯковлевичПерельман，1966年6月13日出生）完成了最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但可以，佩雷尔曼在颁奖典礼上并未现身领奖。猜想是庞加莱在1904年发表的一组论文中提出，猜想本身并不复杂：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。解释来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻以下，如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而防真轮胎面不是。该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。对于猜想的破解，前后经历了近100年的时间： 20世纪这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海（J. H. C. Whitehead）首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。 1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括R·H·宾（R. H. Bing）、沃夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）、爱德华·摩斯（Edwin E. Moise）和Christos Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家麦克·傅利曼（Michael Freedman）证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。 1982年，理查德·哈密顿引入了“瑞奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。 21世纪在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在https://www.wendangku.net/doc/7914588802.html,发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的

验证哥德巴赫猜想

例7-3 验证“哥德巴赫猜想” ?“哥德巴赫猜想”是数论中的一个著名难题，200多年来无数数学家为其呕心沥血，却始终无人能够证明或伪证这个猜想。 ? ?“哥德巴赫猜想”表述为：任何一个大于等于4的偶数均可以表示为两个素数之和。 ? ?1742年法国数学爱好者哥德巴赫在给著名数学家欧拉的信中提出“哥德巴赫猜想”问题。问题的分解求解第一步提出问题：验证哥德巴赫猜想 ?第二步设一上限数M，验证从4到M的所有偶数是否能被分解为两个素数之和。 1. 定义一个变量X，初值为4。 2. 每次令其加2，并验证X能否被分解为两个素数之和，直到 X不小于M为止。

验证哥德巴赫猜想（续一）第三步如何验证X是否能被分解为两个素数之和。 1.从P=2开始； 2.判别X—P是否仍为素数： 3.若是，打印该偶数的分解式。 4.否则，换更大的素数，再继续执行2.。

如此循环，直到用于检测的素数大X/2且X 与其之差仍不是素数，则打印“哥德巴赫猜想”不成立。验证哥德巴赫猜想（续二）第四步生成下一个素数。（1）当前素数P加1 （2）判别P是否是素数；（3）若是素数，返回P；

（4）否则，P加1，继续执行（ 2）。验证哥德巴赫猜想（续三） ?经过四步分解精化，将“验证哥德巴赫猜想”这个命题已经分解为计算机可以求解的数学模型了。 ? ?剩下的问题就是编程求解了。如何编程是程序设计课程要解决的问题。哥德巴赫猜想算法分析

1) 用“筛选”法生成素数表PrimeList[M]。先在素数表中产生０到Ｍ-1的所有自然数，然后将已确定的所有素数的倍数置０(求模取余为０）。 2,3,5,7,11,13,17,19,21,23,29,31... 2) 这样一来，素数表中有许多0，为找下一个素数，要跳过这些0。 3) 分解0到M-1之间的所有偶数； ①循环(x

奥赛学习心得体会

奥赛学习心得体会苗玉莲首先非常感谢学校领导给我们提供的这次外出学习的机会，这次培训使我受益匪浅，感触很多。作为一名教师，我深知自己在数学教学上是不成熟的，教学工作中还有很多不足，我感觉在以前的工作过程中，自己进入了一个不能自拔旳瓶颈中，虽然工作勤勤恳恳，但教学成绩一直很差，每天心情很是纠结，工作的激情越来越低。通过这次学习使我进一步了解教师这一职业的责任，我充分认识到数学教学不是简单的知识教学和技能培养，数学教学还要注重培养学生的数学思维，教会学生用数学的思维去发现问题，分析问题和解决问题。数学还要注重培养学生的态度与价值观，这一点我一直觉得很迷茫，于凤军老师的一句话对我启示很大：“学生的态度和价值观主要体现在学生是不是喜欢数学上”。在过去的教学实践活动中，我只满足于在其中扮演“教材的执行者”的角色，这和教师本身的教学观有关，也和课改以前我国的大教育体制环境以及其对教师的相应要求有关。但在新的课程改革的要求下，再走老路，在教学中按照课程的严格规定亦步亦趋地进行操作，而很少发挥教师的自主性，那就很难再适应新课改的要求了。教师是一种发展学生、完善自我的职业，能以服务社会为自己的职业理想，并从服务社会的高度赋予自己发展、完善的实践意义，明确自身发展与学生发展的互动关系，在发展学生中发展自己，在发展自己中服务社会。教师是以一种高度的责任感从专业角度来审视自己的教学，反思自己的情感，净化自己的品德，完善自己的智慧。能够自觉地注重教育行为的科学和教育情感的理性，并不断地追求着学生发展和自我发展的更高效益。通过培训，我认为新课程要求教师努力和学生建立平等互动的师生关系，教学过程首先是师生交往互动的过程，这种交往主要表现为以语言为中介进行沟通，教师与学生凭借自己已有的经验，用各自独特的精神表现方式，在教学过程中通过心灵的对话、意见的交换、思想的碰撞、合作的探讨，实现知识的共同拥有与个性的全面发展。它要求教师不仅有教学策略和教学方法的改变，而且要有角色的转化——从传授者、管理者变为引导者和促进者，同时还有个性的自我完善—民主的精神、平等的作风、宽容的态度、真挚的爱心和悦纳学生的情怀。此外，在这个过程中教师也会受到很多启发，对学生有的了解，这些无疑对教师的专业化发展也是十分有益的。我从事教育工作才有五年多，是一位有冲劲但没有丰富经验的教师，面对当今的形式，时代要求教师不断进步，吸取营养，为教育事业能够有突飞猛进的发展贡献自己为薄力量。在这次学习中名师们为我们总结了数学的思想方法和活动经验，这让我在数学理念上有了更深刻的认识。我在实际教学中缺乏高度和深度。这需要在日常教学中每天细心备课，认真钻研教材，利用课余时间常翻翻高等数学，数学分析，数论的大学教材，研究自主招生数学试题及应试策略。除了教师自身要具备较高的随机应变的能力外，更重要汲取丰富理念，这样才能真正具备驾驭课堂的能力。空谈理论不切实际，屏弃理论也不合逻辑。我们应理论结合实际，在日常工作中根据自身工作量在学期初为自己制定好工作目标，如细致备多少节课，进行多少节课堂教学研究等。简单的说，就是有选择性

研究性学习内容

1.华罗庚自学成材的天才数学家,中国近代数学的开创人！！在众多数学家里华罗庚无疑是天分最为突出的一位!! 华罗庚通过自学而成为世界级的数学家,他是解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分等广泛数学领域的中都作出卓越贡献。在这些数学领域他或是创始人或是开拓者! 从某种意义上他也是位传奇数学家,一生最高文凭是初中,早年在美国取得巨大成就后,闻知新中国成立后,发出"粱园随好,非久居之处"呼吁在国外的科学家学成回去报效祖国,跟他同时代在闻讯回国的科学家,许多都为中国做出了巨大贡献,其中最著名的有: 导弹之父钱学森：为中国火箭，导弹做出贡献两弹元勋邓稼先：为中国创立了原子弹,氢弹等; 回国后华罗庚开创了中国的近代数学,并建立了中科院数学研究所,培养了大批数学家如陈景润,王元等号称华学派,后来致力于应用数学，将数学应用于工业生产,推广"优选法"和"统筹法"! 由于华罗庚的重大贡献，有许多用他的名字命名的定理,如华引理、华不等式、华算子与华方法。另外华罗庚还被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。美国著名数学家贝特曼著文称：“华罗庚是中国的爱因斯坦，足够成为全世界所有著名科学院院士”。 2.陈省身----微分几何之父陈省身，汉族，美籍华人，国际数学大师、著名教育家、中国科学院外籍院士，“走进美妙的数学花园”创始人，20世纪世界级的几何学家。少年时代即显露数学才华，在其数学生涯中，几经抉择，努力攀登，终成辉煌。他在整体微分几何上的卓越贡献，影响了整个数学的发展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物。曾先后主持、创办了三大数学研究所，造就了一批世界知名的数学家。美国国家科学院院士(1961年)，第三世界科学院创始成员(1983年)，英国皇家学会国外会员(1985年)，意大利国家科学院外籍院士(1988年)，法国科学院外籍院士(1989年)。 1994年当选为中国科学院首批外籍院士。现代微分几何的开拓者,曾获数学界终身成就奖----沃尔夫奖! 他对整体微分几何的卓越贡献，影响着半个多世纪的数学发展。他创办主持的三大数学研究所，造就了一批承前启后的数学家。在微分几何领域有诸多贡献,如以他命名的"陈空间","陈示性类","陈纤维从" 一位数学家说道“陈省身就是现代微分几何。”这也许是对他的最好评价!! 3.中国现代数学家——苏步青苏步青，浙江平阳人，出生于1902年9月，中国现代杰出的数学家。从小的时候起，苏步青就立下大志。中学毕业后赴日本深造。先入东京高等工业学校，后转入日本东北帝国大学数学系，1927年毕业之后进入该校研究生院，1931年获理学博士学位。

黎曼猜想简介

黎曼猜想简介数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。 -----K.F.Gauss 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。让我们从1858 年讲起吧。 1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在6 个兄弟姐妹中排行老二。黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。 14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大 4 开本《数论》，并用 6 天时间

4、现代物理学对于统一场论研究的基本思路

4、现代物理学对于统一场论研究的基本思路 1968 年，一个重大的历史时刻提前一个世纪到来了，意大利物理学家维尼基亚诺随手翻阅了一本数学书，找到了数学家欧拉于1771 年研究过的一条函数，他把它应用到“雷吉轨迹”的问题做了计算，结果发现它能很好地描述核子中许多强相对作用力的效应。不久，南部阳一郎、萨思金和尼尔森三人分别证明了维尼基亚诺模型在描述粒子的时候，它等效于描述一根一维的“弦”。这是量子研究的一个重大突破。量子向来只被看成是粒或点，现在却被描述成为一根“弦”了。这个偶然的发现把量子的研究步伐推进了一个世纪。因按正常的科研步伐，这个问题要到21 世纪中叶才可能发现。到了1984年，施瓦茨和格林取得了一个伟大的突破，也是第一次超弦革命。他们对量子弦的描述图像是：任何粒子其实都不是传统意义上的点，而是开放或闭合（头尾相接而成环）的弦，它有十维，其中六维蜷缩在大一点的另一头，人类只能感知四维，这四维就是我们的生活时空。1995 年爱德华·威顿完善了超弦的理论。这时，爱因斯坦的统一场论又出现新的转机。如果人们能找出控制超弦的那种最终的力，统一场论就能成立。最近20年来统一场论的研究主要有四条道路：第一条道路即所谓的“弦论”。大约在公元前387年，希腊哲学家柏拉图认为，几何学研究是通向认识宇宙本质的道路。卡拉比猜想是在1954年召开的国际数学家大会上，意大利几何学家卡拉比提出：在封闭的空间中，有无可能存在没有物质分布的引力场。这就是著名的卡拉比猜想。卡拉比认为自己的猜想是正确的，但是，包括他自己在内，没有人能证实。然而，几乎所有的数学家都认为，卡拉比是错的，包括年轻的丘成桐在内。在1973年初，丘成桐花了相当多的时间，证明卡拉比猜想是错的；几个月后丘成桐认为自己最终得出了卡拉比猜想是错误的证明时，一个有顶级几何学家参加的大型会议1973年8月在斯坦福大学召开，丘成桐就将自己的想法告诉了卡拉比。当天晚上7点卡拉比带来了几个来自宾夕法尼亚州的同事。丘成桐讲了大约一个小时，大家也认为可以停止一相情愿地认为卡拉比是正确的想法。但在当年10月，卡拉比和丘成桐都发现其证明思想有一些问题。于是，丘成桐开始寻找别的例子来证明卡拉比是错的。两个星期后，仍发现证明总会在最后崩溃……这时，丘成桐才对卡拉比猜想有更深刻的理解，认为它应该是正确的；也开始发明新工具，来理解卡拉比猜想。1975年丘成桐最终解决了整个问题，然后到宾夕法尼亚大学去见卡拉比。他们又一起再到纽约大学找数学家路易斯·尼伦伯格讨论这个问题。之后几个月里，丘成桐写了证明卡拉比猜想的论文。这一年，丘成桐27岁。卡拉比猜想的证明，让丘成桐一举

黎曼猜想被证明

一、什么是黎曼猜想黎曼猜想——最重要的数学猜想早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数黎曼猜想（Riemann Hypothesis）由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。可见黎曼猜想多么吸引人黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。黎曼Zeta函数长这个样子：黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。 “所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。黎曼猜想还跟幂律分布有关。我们都知道幂律分布是指其中x如果只能取1,2,3,...,n的整数，c为归一化常数，满足：而这里面的

就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。黎曼猜想真的会被证明吗？质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。有上千个数学命题都建立在黎曼猜想为真的基础上。多数数学家认为这个猜想是正确的，如果黎曼猜想被证伪，数学体系将失去重要根基。二、黎曼猜想被证明了吗？如果这是真的，Atiyah爵士将不仅获得由克雷数学研究所悬赏的一百万美金奖励，更是他个人的至高荣誉和整个数学界的狂欢。然而，根据我们目前的了解，Atiyah爵士极有可能是在自娱自乐逗大家玩…… 黎曼函数和黎曼猜想简介大家这几天应该被动恶补了不少黎曼函数和黎曼猜想的介绍了，这里还是不厌其烦地再简单说下。首先有无穷级数ζ(s) ：当s取1时，它就是调和级数1+1/2+1/3+1/4+...，算数意义上不收敛。s=2时，级数收敛于π2/6。等等。当s的取值为复数s=x+iy时，它会把复平面上的点s(x,iy)映射到另一点s'(x',iy')。我们注意到这个级数要求s的实部大于1（x>1），否则这个级数不收敛，也就没有我们熟悉的数值和结果。 ζ(s)在复平面上的图像，Re(s)>1，此时图像全部分布在Re(ρ)=1/2线的右侧。图源3blue1brown 黎曼函数是ζ(s)在整个复平面的解析延拓，将s的定义域扩展到整个复平面。（值得说明的是，解析延拓是一种非常强的约束。如果一个函数存在解析延拓，那么解析延拓的结果是唯

庞加莱猜想与超弦革命

庞加莱猜想与超弦革命有些弦理论家提出，彻底认识全息原理和它在弦理论中的应用，将会第三次导致超弦革命。此话怎讲？量子引力理论有近十种，如半量子引力、欧几里德量子引力、超引力、扭量理论、非对易几何、离散引力、圈量子引力、拓扑场论、超弦和M理论等，难道全息原理都能统一起来吗？其实，在我们宇宙中，场和粒子何者是原初的或派生的？对这个深奥的问题能给出肯定的解答的，至今还只有庞加莱猜想。因为物质进化，可以出现千姿百态的复杂的和特殊的事物，何者是原初或何者是进化，正是要从庞加莱猜想出发，才能分清各种层次的位置，例如，平面几何和非欧几何都是成立的，但我们要把它们分成两个层次，一般说来平面几何比非欧几何更初等些。同理，一般拓扑学和轨形拓扑学都是成立的，但在近十种的量子引力理论中，并没有分清它们的层次位置，这使得在它们的动力学作用量方程中，使用的类似

规范场代数式、非对应几何代数式等作解，需要庞加莱猜想来作再认识。一、庞加莱猜想与唯象规范场我们知道，如果黒洞内部有一个奇点，转动黒洞的内部就有一个奇环。奇点和奇环的存在与坐标的选取无关，这反映了时空的内禀性质，也为超弦理论的“开弦”和“闭弦”提供了先验的几何图像。 1、奇异超弦论中的庞加莱猜想熵流代数与几何相比，图形比代数式要直观一些，即唯象些。规范场分阿贝尔规范场和非阿贝尔规范场，它们都有整体对称和定域对称两种区别，只是在定域对称上，非阿贝尔规范场比阿贝尔规范场要求有更严格的条件，代数式也更复杂化些。把整体对称和定域对称联系庞加莱猜想，庞加莱猜想熵流有三种趋向： A、庞加莱猜想正定理：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是等价于一个三维的