圆锥曲线单元复习题
一、选择题:在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、F 1、F 1是定点,|F 1F 2|=6,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6,则点M 的轨迹是 ( )
A 椭圆
B 直线 C
线段 D 圆
2、已知M (-2,0),N (2,0),|PM|-|PN|=4,则
动点P 的轨迹是: ( )
A 、双曲线
B 、双曲线左支
C 、
一条射线 D 、双曲线右支
3、已知抛物线C :y 2=4x 的焦点F ,x=1与x 轴的交点
K ,点A 在C 上且|AK|=
2|AF|,则△AFK 的面积为( )
A 8
B 4
C 2
D 1
4、抛物线y=x 2上到直线2x —y=4距离最近的点的坐标是( ) A )45
,23( B (1,1) C )4
9,23( D (2,4) 5、设12F F ,分别是双曲线2
2
19y x -=的左、右焦点.若点P 在双曲线上,且120PF PF ?=,则12PF PF +=(
A B . C D .6.已知椭圆的焦点)1,0(),1,0(21F F -,P 为椭圆上一点,且2121PF PF F F 2+=,则椭圆的方程为( )
A.13422=+y x
B.14322=+y x
C.1322=+y x
D.13
22=+y x
7.过椭圆22a x +22b y =1(0
A .ab
B .ac
C .bc
D .b 2
8、过定点P(0,2)作直线l ,使l 与曲线y 2=4x 有且仅有1个公共点,这样的直线l 共有( )
A .1条
B .2条
C .3条
D .4条
9. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线AA 1和BC 的距离相等,则动点P 的轨迹是 ( )
A.线段
B.抛物线的一部分 C .双曲线的一部分 D.椭圆的一部分
10,. 若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
162x y k k +=--的右焦点重合,则p 的值为( ) A.2- B.2 C.4- D.4
11、 已知椭圆)0,0(1)0(122
222222>>=->>=+n m n
y m x b a b y a x 与双曲线有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a 、m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是( )
A.33
B.22
C.41
D.2
1 12. θ是任意实数,则方程x 2+y 2sin θ=4的曲线不可能是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
13、 的取值范围是则有两个不同的交点与曲线若直线 ,112k y x kx y +=+=( ) 22D.k 2k C.1 12-B. 22.A ><<<-<<<<-k k k 或
15、某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线,若其中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点A )32,2(-,B )5,2
3(-,则( )
A.曲线C 可为椭圆也可为双曲线
B.曲线C 一定是双曲线有
C.曲线C 一定是椭圆
D.这样的曲线C 不存在 16、设椭圆12622=+y x 和双曲线13
22
=-y x 的公共焦点为21,F F ,P 是两曲线的一个公共点,则cos 21PF F ∠的值等于( )
A.41
B.31
C.91
D.5
3
17、 1cos sin ,2
1cos sin ,22=-=+αααα?αy x ABC 则方程且的一个内角是已知表示的曲线方程是( )
A.焦点在x 轴上的双曲线
B.焦点在x 轴上的椭圆
C.焦点在y 轴上的双曲线
D.焦点在y 轴上的椭圆.
18、. 则的离心率和分别为圆锥曲线已知, 1x 1,,022
22222221=-=+>>b
y a b y a x e e b a lge 1+lge 2的值( )
A.一定是正数
B.一定是零
C.一定是负数
D.以上答案均不对
19、 设动点P 在直线x =1上,O 为坐标原点,以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰直角OPQ ?,则动点Q 的轨迹是( )
A.两条直线
B.圆
C.抛物线
D.双曲线的一支
20、 已知点A(t 2,2t )(t ∈R)、B(3,0),则|AB |的最小值为 ( )
A.2 22.B C.3 D.8
21、 已知定点A 、B 且|AB|=4,动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是 ( )
A.21
B.23
C.2
7 D.5 22、 关于方程x 2sinα+y 2cosα=tanα(α是常数且α≠kπ2
,k ∈Z ),以下结论中不正确的是( ) A .可以表示双曲线 B .可以表示椭圆 C .可以表示圆 D .可以表示直线
23、 抛物线x y 42
-=上有一点P ,P 到椭圆115162
2=+y x 的左顶点的距离的最小值为( )
A.32
B.2+3
C.3
D.32-
25、 设21,e e 分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=?PF PF ,则2212221)
(e e e e +的值为( ) A.1 B.2
1 C.
2 D.不确定 26、 二次曲线142
2=+m
y x ,当m ∈[-2,-1]时,该曲线的离心率e 的取值范围是( )
A.[2
,
27、直线2y k =与曲线2222918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
28、 若关于x 、y 的二次方程1|
|252
2=-+-k y k x 的轨迹存在,则它一定表示( ) A. 椭圆与圆 B. 椭圆或双曲线 C. 抛物线 D. 双曲线
30、 函数()a f x ax x
=+
(0a >)的图像具有的特征:①原点是它的对称中心;②最低点是(1,2)a ;③y 轴是它的一条渐近线。其中正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
二、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1、.在抛物线2
4y x =上求一点,使这点到直线45y x =-的距离最短。
2、.双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程。
3、.若动点(,)P x y 在曲线22
21(0)4x y b b
+=>上变化,则22x y +的最大值为多少?
4、(1)求中心在原点,焦点在x 轴上,焦距等于4,且经过点P (3,-26)的椭圆方程;
(2)求
3
6=e ,并且过点(3,0)的椭圆的标准方程.
4、 已知顶点在原点,对称轴为x 轴的抛物线,焦点F 在直线0432=-+y x 上。
(1)求抛物线的方程
(2)过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,求弦AB 的中点M 的轨迹方程。
5、已知双曲线与椭圆15
92
2=+y x 有共同焦点,实轴长为32。 (1)求双曲线方程;
(2)直线042=-+y x 与双曲线交于A 、B 两点,求|AB|长
6、已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率2e =,(,0),(0,)A a B b -的直线到原点的距离是55
4. (1)求椭圆的方程;
(2)已知直线1(0)y kx k =+≠交椭圆于不同的两点,E F 且,E F 都在以B 为圆心的圆上 ,求k 的值.
7、求F 1、F 2分别是椭圆2
214
x y +=的左、右焦点. (Ⅰ)若r 是第一象限内该数轴上的一点,221254PF PF +=-
,求点P 的作标; (Ⅱ)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ,且∠ADB 为锐角(其中O
为作标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.
8、如图所示,F 1、F 2分别为椭圆C : )0(122
22>>=+b a b y a x 的左、右两个焦点,A 、B 为两个顶点,已知椭圆C 上的点)23
,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程和焦点坐标;
(Ⅱ)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点,求△F 1PQ 的面积.
试题解析:(Ⅰ)椭圆C 的标准方程为2 213x y +=.所以3a =,1b =,2c =.所以椭圆C 的 离心率6 3 c e a = = . (Ⅱ)因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴,所以可设1(1,)A y ,1(1,)B y -. 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =,得1(3,2)M y -. 所以直线BM 的斜率11 2131 BM y y k -+= =-. 17.(2015年安徽文)设椭圆E 的方程为22 221(0),x y a b a b +=>>点O 为坐标原点,点A 的坐标 为(,0)a ,点B 的坐标为(0,b ),点M 在线段AB 上,满足2,BM MA =直线OM 的斜率为510 。 (1)求E 的离心率e; (2)设点C 的坐标为(0,-b ),N 为线段AC 的中点,证明:MN ⊥AB 。 ∴a b 3 231=5525451511052 222222=?=?=-?=?e a c a c a a b (Ⅱ)由题意可知N 点的坐标为(2,2b a -)∴a b a b a a b b K MN 56 65232213 1==-+=
a b K AB -= ∴1522-=-=?a b K K AB MN ∴MN ⊥AB 18.(2015年福建文)已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线 :340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点.若4AF BF +=,点M 到直线l 的距离不小于 4 5 ,则椭圆E 的离心率的取值范围是( A ) A . 3(0, ]2 B .3(0,]4 C .3[,1)2 D .3[,1)4 1 19.(2015年新课标2文)已知双曲线过点() 4,3,且渐近线方程为1 2 y x =±,则该双曲线的标 准方程为 .2 214 x y -= 20.(2015年陕西文)已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-,则抛物线焦点坐标为( B ) A .(1,0)- B .(1,0) C .(0,1)- D .(0,1) 【解析】试题分析:由抛物线22(0)y px p =>得准线2 p x =- ,因为准线经过点(1,1)-,所以2p =, 所以抛物线焦点坐标为(1,0),故答案选B 考点:抛物线方程. 21.(2015年陕西文科)如图,椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -,且离心率为22. (I)求椭圆E 的方程;2 212 x y +=
圆锥曲线单元复习题 一、选择题:在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、F1、F1是定点,1F26,动点M满足126,则点M的轨迹是() A 椭圆 B 直线 C 线段 D 圆 2、已知M(-2,0),N(2,0),-4,则动点P的轨迹是:() A、双曲线 B、双曲线左支 C、一条射线 D、双曲线右支 3、已知抛物线C:y2=4x的焦点F,1与x轴的交点K,点A在C 上且,则△的面积为() A 8 B 4 C 2 D 1 4、抛物线2上到直线2x—4距离最近的点的坐标是() A B (1,1) C D (2, 4) 5、设分别是双曲线的左、右焦点.若点在双曲线上,且,则( A.B.C.D. 6.已知椭圆的焦点,为椭圆上一点,且 ,则椭圆的方程为()
A. B. C. D. 7.过椭圆1(0
是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是() A. B. C. D. 12.θ是任意实数,则方程x22=4的曲线不可能是() A.椭圆B.双曲线C.抛物线 D.圆 13、() 15、某圆锥曲线C是椭圆或双曲线,若其中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,且过点,则() A.曲线C可为椭圆也可为双曲线 B.曲线C一定是双曲线有 C.曲线C一定是椭圆 D.这样的曲线C不存在 16、设椭圆和双曲线的公共焦点为,是两曲线的一个公共点,则的值等于() A. B. C. D. 17、表示 的曲线方程是() A.焦点在x轴上的双曲线 B.焦点在x轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的椭圆. 18、. 12的 值() A.一定是正数 B.一定是零 C.一定是负数 D.以上答案均不对 19、设动点P在直线1上,O为坐标原点,以为直角边、点O
圆锥曲线大题专题训练 1.如图,曲线G 的方程为22(0)y x y =≥.以原点为圆心.以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B .直线AB 与x 轴相交于点C . (Ⅰ)求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 (Ⅱ)设曲线G 上点D 的横坐标为2a +, 求证:直线CD 的斜率为定值. 1.解: (Ⅰ)由题意知,(A a . 因为OA t =,所以2 2 2a a t +=.由于0t > 由点(0)(0)B t C c ,,,的坐标知,直线BC 的方程为 1c t +=. 又因点A 在直线BC 上,故有 1a c +=,将(1)代入上式,得1a c =, 解得2c a =+ (Ⅱ)因为(2D a +,所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-. 所以直线CD 的斜率为定值. 2.设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点. (I )过点(04)P -,作抛物线G 的切线,求切线方程; (II )设A B ,为抛物线G 上异于原点的两点,且满足0FA FB =u u u r u u u r g ,延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ,,求 四边形ABCD 面积的最小值. 2.解:(I )设切点2 004x Q x ?? ???,.由2x y '=,知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ,故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-. 即2 04 24x x y x =-. 因为点(0)P -4,在切线上. 所以2 044 x -=-,2 016x =,04x =±.所求切线方程为24y x =±-. (II )设11()A x y ,,22()C x y ,. 由题意知,直线AC 的斜率k 存在,由对称性,不妨设0k >.
1. (新课标I 文数) 在直角坐标系xOy 中,直线l:y t t 0 交y 轴于点M ,交抛物线 (II )除H 以外,直线 MH 与C 是否有其它公共点说明理由 2. (新课标n 文数) 2 2 已知A 是椭圆E — 1的左顶点,斜率为k k >0的直线交E 于A , M 两点, 4 3 点 N 在 E 上, MA NA. (I) 当AM AN 时,求 AMN 的面积 (II) 当 2 AM AN 时,证明:V3 k 2. c :y 2 2px p 0 于点 P , H . OH (I )求- ■; ONI M 关于点P 的对称点为N 连结ON 并延长交C 于点
3.(新课标川文数) 已知抛物线C:y2 2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线h, *分别交C于B 两点,交C的准线于P,Q两点? (I)若F在线段AB上, R是PQ的中点,证明ARPFQ ; (n)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程? 4. (2016年北京文数) 2 2 已知椭圆C:笃与1过点A(2,0) , B 0,1)两点? a b (I)求椭圆C的方程及离心率; (II)设P为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA与y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值
2 2 已知椭圆C:笃爲 1 a b 0的长轴长为4,焦距为2三. a b (n )过动点M(0, m) m 0的直线交x 轴与点N ,交C 于点A, P (P 在第一象限), 且M 是线段PN 的中点?过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长线QM 交C 于点 B . k' (i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k',证明 为定值. k (ii)求直线AB 的斜率的最小值
圆锥曲线文科基础练习题 姓名: 班别: 一、选择题: 1. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为 ( ) A . B . C . D . 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为,焦距为,则椭圆的 方程为 ( ) A . B . C .或 D .以上都不对 3.动点到点及点的距离之差为,则点的轨迹是 ( ) A .双曲线 B .双曲线的一支 C .两条射线 D .一条 射线 4.到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 ( ) A .椭圆 B .线段 C .双曲线 D .两条射线 5.方程11122=-++k y k x 表示双曲线,则k 的取值范围是 ( ) A .11<<-k B .0>k C .0≥k D .1>k 或1- 2018年高考圆锥曲线大题 一.解答题(共13小题) 1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差. 2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2||=||+||. 3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为圆心且过原点的圆. (1)求C的轨迹方程; (2)动点P在C上运动,M满足=2,求M的轨迹方程. 4.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)若k=1,求|AB|的最大值; (Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(﹣,)共线,求k. 6.设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离; (2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积; (3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由. 文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,12PF F ?是底角为30的等腰三 角形,则E 的离心率为( ) () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想,是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形, ∴322c a = ,∴e =3 4 , ∴0260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF =c , 2.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =;则C 的实轴长为( ) ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:4x =,设等轴双曲线方程为:222x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2, ∴C 的实轴长为4,故选C. 3.已知双曲线1C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2,则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a ,b ,c 的关系可知a b 3=,此题应注意C2的焦点在y 轴上,即(0,p/2)到直线x y 3=的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 (A ) 2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==,所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= 2017年高考试题分类汇编之解析几何(文) 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2017课表I 文)已知F 是双曲线:C 13 2 2 =-y x 的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点 A 的坐标是)3,1(,则APF ?的面积为( ) .A 13 .B 1 2 .C 2 3 .D 3 2 【解答】解:由双曲线C :x 2﹣=1的右焦点F (2,0), PF 与x 轴垂直,设(2,y ),y >0,则y=3, 则P (2,3), ∴AP ⊥PF ,则丨AP 丨=1,丨PF 丨=3, ∴△APF 的面积S=×丨AP 丨×丨PF 丨=, 同理当y <0时,则△APF 的面积S=, 故选D . 【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,考查数形结合思想,属于基础题. 2.(2017课标II 文)若1a >,则双曲线2 221x y a -=的离心率的取值范围是( ) .A 2,)+∞ .B 2,2) .C 2) .D (1,2) 【分析】利用双曲线方程,求出a ,c 然后求解双曲线的离心率的范围即可. 【解答】解:a >1,则双曲线﹣y 2=1的离心率为:==∈(1,). 故选:C . 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力. 3.(2017浙江)椭圆22 194 x y +=的离心率是( ) . A 13 3 . B 53 . C 23 . D 59 【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可. 【解答】解:椭圆 + =1,可得a=3,b=2,则c= = , 所以椭圆的离心率为:=. 故选:B . 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力. 4.(2017课标II 文)过抛物线2:4C y x =的焦点F ,且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为( ) .A 5 .B 22 .C 23 .D 33 【分析】利用已知条件求出M 的坐标,求出N 的坐标,利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答】解:抛物线C :y 2=4x 的焦点F (1,0),且斜率为的直线:y= (x ﹣1), 过抛物线C :y 2=4x 的焦点F ,且斜率为的直线交C 于点M (M 在x 轴上方),l 可知:,解得M (3,2 ). 可得N (﹣1,2 ),NF 的方程为:y=﹣ (x ﹣1),即, 则M 到直线NF 的距离为:=2 . 故选:C . 已知椭圆=1(a>b>0),点P ( a 5 5 ,)在椭圆上。 (I )求椭圆的离心率。 (II )设A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。 22.【2012高考安徽文20】(本小题满分13分) 如图,21,F F 分别是椭圆C :22a x +22 b y =1(0>>b a )的左、右 焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点, 1F ∠A 2F =60°. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)已知△A B F 1的面积为403,求a, b 的值. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆1C :22 221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为1(1,0)F -,且点(0,1) P 在1C 上. (1)求椭圆1C 的方程; (2)设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C :2 4y x =相切,求直线l 的方程. 24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C :22x a +2 2y b =1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0),离心率为2, 直线y=k(x-1)与椭圆C 交与 不同的两点M,N (Ⅰ)求椭圆C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为3 时,求k 的值 如图,椭圆 22 22 :1(0) x y M a b a b +=>>的离心率为 3 ,直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD的面积 为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程; (Ⅱ) 设直线:() l y x m m =+∈R与椭圆M有两个不同的交点,, P Q l与矩形ABCD有两个不同的交点,S T. 求|| || PQ ST 的最大值及取得最大值时m的值. 26.【2102高考福建文21】(本小题满分12分) 如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上。(1)求抛物线E的方程; (2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相较于点Q。证明 以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 圆锥曲线方程 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义: ⑴①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在x 轴上: . ii. ii. 中心在原点,焦点在轴上: . ②一般方程:.⑵①顶点:或.②轴:对称轴:x 轴,轴;长轴长,短轴长.③焦点:或 .④焦距:.⑤准线:或.⑥离心 率:. ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:和 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义: 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ)0(12 22 2φφb a b y a x =+ y ) 0(12 22 2φφb a b x a y =+ )0,0(122φφB A By Ax =+),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2 2 2 1,2b a c c F F -==c a x 2 ± =c a y 2 ± =)10(ππe a c e =),(22 2 2a b c a b d -= ),(2a b c ⑴①双曲线标准方程: . 一般方程: . ⑵①i. 焦点在x 轴上: 顶点: 焦点: 准线方程 渐近线方程: 或 ②轴为对称轴,实轴长为2a , 虚轴长为2b ,焦距2c. ③离心率. ④通径 . ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式:对于双曲线 方程 (分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下 焦点) ⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为, 离心率. 三、抛物线方程. 3. 设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质: 的一个端点的一条射线 以无轨迹 方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-φπ)0,(1), 0,(12 22 22 22 2φφb a b x a y b a b y a x =- =- )0(122πAC Cy Ax =+)0,(),0,(a a -)0,(),0,(c c -c a x 2 ± =0=±b y a x 02222=-b y a x y x ,a c e =a b 2 2a c e b a c =+=,22212 22 2=- b y a x 21,F F 222a y x ±=-x y ±=2= e 0φp 高三数学文科圆锥曲线大题训练(含详细解答) 1.已知椭圆2 2 :416C x y +=. (1)求椭圆C 的离心率; (2)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆 221 2 x y += 的位置关系. 1.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为 22 1164 x y +=, 所以2 2 2 2 2 16,4,12从而a b c a b ===-=, 因此4,a c ==故椭圆C 的离心率2 c e a = =............4分 (II)由22 1, 416 y kx x y =+??+=?得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0?>. ..............5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,122 1 214M y y y k +==+......................7分 因为BEF ?是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥, 因此BM 的斜率1 BM k k =-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以2 221 2 2381440414M BM M y k k k k x k k ++++===- --+,..........10分 即()238104k k k k +-=-≠,亦即21 8 k =, 所以4k =±,....................12分 故EF 的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分 又圆221 2x y += 的圆心()0,0O 到直线EF 的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离.....................14分 2.已知椭圆的中心在坐标原点O ,长轴长为 离心率e = F 的直线l 交 07 圆锥曲线 一、选择题 1.(北京3)“双曲线的方程为22 1916 x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的( A ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 2.(福建12)双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PE 2|,则双曲线离心率的取值范围为( B ) A.(1,3) B.(1,3) C.(3,+∞) D. [3,+∞] 3.(宁夏2)双曲线22 1102 x y -=的焦距为( D ) A .32 B .42 C .33 D .43 4.(湖南10).双曲线)0,0(12222 >>=-b a b y a x 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是( C ) A .(1,2] B .[2,)+∞ C .(1,21]+ D .[21,)++∞ 5.(江西7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( C ) A .(0,1) B .1(0,]2 C .2(0, )2 D .2[,1)2 6.(辽宁11)已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 15,则m =( D ) A .1 B .2 C .3 D .4 7.(全国Ⅱ11)设ABC △是等腰三角形,120ABC ∠=,则以A B ,为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( B ) A .221+ B . 231+ C . 21+ D .31+ 8.(上海12)设p 是椭圆22 12516 x y +=上的点.若12F F ,是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于( D ) 在直角坐标系xOy 中,直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ,交抛物线 C :()220y px p =>于点P M ,关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点 H . (I )求 OH ON ; (II )除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点说明理由. 2. (新课标Ⅱ文数) 已知A 是椭圆E :22 143 x y +=的左顶点,斜率为()0k k >的直线交E 于A ,M 两点, 点N 在E 上,MA NA ⊥. (I )当AM AN =时,求AMN ?的面积 (II)当2AM AN =2k <<. 已知抛物线2 2C y x =:的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12l l ,分别交C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点. (Ⅰ)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ P ; (Ⅱ)若PQF ?的面积是ABF ?的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 4. (2016年北京文数) 已知椭圆C :22 221x y a b +=过点2,00,1A B (),() 两点. (I )求椭圆C 的方程及离心率; (II )设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积为定值. 已知椭圆:C ()22 2210x y a b a b +=>>的长轴长为4,焦距为22. (I )求椭圆C 的方程; (Ⅱ)过动点()(0)0M m m >,的直线交x 轴与点N ,交C 于点A P , (P 在第一象限),且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ,延长线QM 交C 于点 B . (i)设直线PM QM 、的斜率分别为'k k 、,证明' k k 为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值. 1.【2018浙江21】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 (1) 设AB 中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴; (2) 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点,求PAB ?面积的取值范围。 解析:(1)设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足:2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足:2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根,所以 12 02 y y y +=,故PM 垂直于y 轴。 (2)由(1)可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= -,12||y y -= 因此,3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<,所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此,PAB ?面积的取值范围是 1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点,线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > (1)证明:1 2 k <- ; (2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r r ,证明:,,FP FA FB u u u r u u u r u u u r 为 等差数列,并求出该数列的公差。 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳: 名 称 椭圆 双曲线 图 象 x O y x O y 定 义 平面内到两定点21,F F 的距离的和为 常数(大于21F F )的动点的轨迹叫椭圆 即a MF MF 221=+ 当2a ﹥2c 时, 轨迹是椭圆, 当2a =2c 时, 轨迹是一条线段21F F 当2a ﹤2c 时, 轨迹不存在 平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝 对值为常数(小于21F F )的动点的轨迹 叫双曲线即122MF MF a -= 当2a ﹤2c 时, 轨迹是双曲线 当2a =2c 时, 轨迹是两条射线 当2a ﹥2c 时, 轨迹不存在 标准方 程 焦点在x 轴上时: 122 22=+b y a x 焦点在y 轴上时:122 22=+b x a y 注:根据分母的大小来判断焦点在哪一坐 标轴上 焦点在x 轴上时:122 22=-b y a x 焦点在y 轴上时:122 22=-b x a y 常 数 c b a ,,的关 系 222b c a +=, 0>>b a , a 最大, b c b c b c ><=,, 222b a c +=, 0>>a c c 最大, 可以b a b a b a ><=,, 渐近线 焦点在x 轴上时: 0x y a b ±= 焦点在y 轴上时:0y x a b ±= 抛物线: 图形 x y O F l x y O F l 方程 )0(22 >=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 焦 点 )0,2 (p )0,2(p - )2,0(p )2,0(p - 准 线 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = (一)椭圆 1. 椭圆的性质:由椭圆方程)0(122 22>>=+b a b y a x (1)范围:a x b -a ,x a ≤≤≤≤-, 椭圆落在b y ±=±=a ,x 组成的矩形中。 (2)对称性:图象关于y 轴对称。图象关于x 轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心, 简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称的截距。 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点:)0,(),0,(2a A a A -, ),0(),,0(2b B b B -。加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。21A A 叫椭圆的长轴, 21B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。a c e = ?2)(1a b e -=。10< 1.椭圆)0(,112:222 >=+m m y x C 的离心率21=e ,则m 的值为: 2.若双曲线C 的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列,则双曲线C 的离心率=e 3.P 是抛物线:C x y 42=上的一动点,则P 到抛物线C 的准线距离与到点)2,0(A 距离之和的最小值为: 4.过点)1,1(P 作直线l 交抛物线:C x y 42=于B A ,两点,若P 恰是B A ,的中点, 则直线l 的方程为: 5.双曲线C 的中心在坐标原点,焦点21,F F 在x 轴上,过右焦点2F 作x 轴的垂线, 交双曲线C 的渐近线于B A ,两点,若 1201=∠B AF ,则双曲线C 的离心率=e 6.P 是椭圆142 2=+y x 上的动点,给定点)0,1(A ,则||PA 的最小值为 7.已知双曲线1C 与椭圆11216:2 22=+y x C 有共同的焦点,且在一象限的公共点的横 坐标为2 (1)试求:双曲线1C 的标准方程及离心率 (2)P 是双曲线1C 上的动点,试证明:P 到双曲线1C 的两渐近线距离之积是一 个定值. 8.如图动圆圆P 与圆9)4(:22=+-y x F 相外切,且圆P 与直线:l 1-=x 相切,动 圆P 的圆心P 的轨迹为C (1)试求:轨迹C 的标准方程 (2)过圆F 的圆心F 作直线1l 与轨迹C 相交于B A ,两点,若B A ,的中点Q 在圆F 外,试求直线1l 斜率的取值范围。 9.中心在坐标原点的椭圆C 过两定点)3,32(),3,2(B A -,21,F F 是椭圆的两焦点 (1)试求:椭圆C 的标准方程和离心率 (2)过点2F 作直线l 交椭圆C 于N M ,两点,若N MF 1∠为锐角,试求l 斜率的取 值范围. 2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一) 1.设F 1,F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点,动点P 的坐标为(-1,m ),过点F 2的直线与 椭圆交于A ,B 两点. (1)求F 1,F 2的坐标; (2)若直线P A ,PF 2,PB 的斜率之和为0,求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=,P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆于另一点A ,设点A 关于原点的对称点为B . (1)求△P AB 面积的最大值; (2)设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ,若点N 在椭圆内部,求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5,定点()2,0M ,椭圆短轴的端点是 1B ,2B ,且21MB MB ⊥. (1)求椭圆C 的方程; (2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点,试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分APB ∠?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由. 4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=,点(0,1)E . (1)经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,求||AB . (2)问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =,若存在,求出直线p 斜率的取值范围;若不存在说明理由. 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点,焦点分别在x 轴与y 轴上,它们有相同的离心率2 e =,并且2C 的短轴为1C 的长轴,1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程; (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点,P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ,B 的连线PA ,PB 分别与椭圆1C 交于E ,F 点. (i)求证:直线PA ,PB 斜率之积为常数; (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由. 高三文科数学专题复习之圆锥曲线 名 称 椭圆 双曲线 图 象 x O y x O y 定 义 平面内到两定点 的距离的和为 常数(大于)的动点的轨迹叫椭 圆即 当2﹥2时,轨迹是椭圆, 当2=2时,轨迹是一条线段 当2﹤2时,轨迹不存在 平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数(小于 )的动点的轨 迹叫双曲线即 当2﹤2时,轨迹是双曲线 当2=2时,轨迹是两条射线 当2﹥2时,轨迹不存在 标准 方 程 焦点在轴上时: 焦点在 轴上时: 注:根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时: 焦点在 轴上时: 常数 的关 系 , , 最大, , 最大,可以 渐近线 焦点在轴上时: 焦点在 轴上时: 抛物线: 图 形 方 程 焦 点 准 线 (一)椭圆 1. 椭圆的性质:由椭圆方程 (1)范围:,椭圆落在组成的矩形中。 (2)对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心,简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围,对称的截距。 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点:,。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴,叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半 轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。 (4)离心率:椭圆焦距与长轴长之比。。。 椭圆形状与的关系:,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁,直至成为极限位置线段,此时也可认为是椭圆在时的特例。 2. 椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这 个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率。 椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 3. 椭圆的准线方程 对于,左准线;右准线 对于,下准线;上准线 文科圆锥曲线 一、选择题 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32 a x =上一点,12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形,则E 的离心率为( ) () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形, ∴322c a = ,∴e =34 , ∴0 260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF =c , 2.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点,43AB =;则C 的实轴长为( ) ()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:4x =,设等轴双曲线方程为:2 2 2 x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =216a ±-,∵||AB =43,∴2216a -=43,解得a =2, ∴C 的实轴长为4,故选C. 3.已知双曲线1C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2,则抛物线2C 的方程为 (A) 283x y = (B) 2163x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a ,b ,c 的关系可知a b 3=,此题应注意C2的焦点在y 轴上,即(0,p/2) 到直线x y 3= 的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 (A ) 2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==,所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=(完整word版)2018年高考圆锥曲线大题
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