文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 第11讲 非负数及其应用w

第11讲 非负数及其应用w

第11讲 非负数及其应用

还会有什么科学比数学更高贵、更杰出、更有用……呢? ——富兰克林

知识方法扫描

所谓非负数,是指零和正实数.常见的非负数有绝对值和平方式。 非负数有如下的性质:

(1)数轴上,原点和原点右边的点表示的数都是非负数.

(2)有限个非负数的和仍为非负数,即若a 1,a 2,…,a n 为非负数,则a 1+a 2+…+a n ≥0.

(3)有限个非负数的和为零,那么每一个加数也必为零,即若a 1,a 2,…,a n 为非负数,且a 1+a 2+…+a n =0,则必有a 1=a 2=…=a n =0. 在利用非负数解决问题的过程中,这条性质使用得较多.

(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数. (5)最小非负数为零,没有最大的非负数.

应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数,正确运用非负数的有关概念及其性质,巧妙地进行相应关系的转化,从而使问题得到解决。其中,配方是一种重要的恒等变形技巧。

经典例题解析

例 1 (1993年郑州市初中数学团体赛题)已知x 2+3|y-1|=x-4

1

, 求代数式4x 2-3y+1之值。

解 将已知等式变形得:3|y-1|=x-24

1

x -=-21()2x -

因为-2)2

1(-x ≤0,即|y-1|≤0,① 根据绝对值的意义|y-1|≥0 ②

由①、②得,y-1=0,∴y=1。此时,x=2

1,∴4x 2-3y+1=42)2

1(-3×11+1=-1 评注 1.实数的偶次方和实数的绝对值是常见的非负数.

2.配完全平方是一种极为重要的恒等变形的技巧;由此得到的完全平方数是非负数,从而可用非负数的性质来解题。

3.若a≥0, 又a ≤0, 那么a=0. 这种方法通常称为夹逼法。这样由不等关系可以得到等量关系。

例2.(1994年浙江省初中数学竞赛试题)已知a ,b ,c 为整数,且a 2 + b 2 +

c 2 + 48<4a + 6b + 12c ,求 111

()abc a b c

++ 的值。

[解] 由 a 2 + b 2 + c 2

+ 48<4a + 6b + 12c ,可得 (a-2)2+(b-3)2+(c-6)2<1, 显然(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2≥0,又由a ,b ,c 为整数,得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2为整数,于是(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2=0。

所以 a=2, b=3,c=6.

111()abc a b c ++= 111

()236abc ++=1 . 例3.(1986年北京市中学生数学竞赛初二年级试题)已知a ,b ,c 为实数,

设222A a b π

=-+

,2

23

B b c π

=-+

,2

26

C c a π

=-+

。证明:A ,B ,C 中至少有

一个值大于零.

证明 由题设有

A+B+C=(2

22a b π

-+

)+(2

23b c π

-+

)+(2

26

c a π

-+

=(a 2-2a+1)+(b 2-2b+1)+(c 2-2c+1)+π-3 =(a -1)2+(b -1)2+(c -1)2+(π-3).

因为(a -1)2≥0,(b -1)2≥0,(c -1)2≥0,π-3>0,所以A+B+C >0.

若A ≤0,B ≤0,C ≤0,则A+B+C ≤0与A+B+C >0不符,所以A ,B ,C 中至少有一个大于零.

例4.(2002年全国初中数学联赛试题) 求实数x,y, 使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2 达到最小值

解 原式 = 5x 2+6xy+3y 2-30x-20y+46 = 5x 2+(6y-30)x +3y 2-20y+46

=5(x+35y-3)2+5(35y-3)2+3y 2-20y+46=5(x+35y-3)2+6

5y 2-2y+1

=5(x+35y-3)2+65(y-56)2+16

当 x+35y-3=0,y-56时,即x=52,y=56时有最小值16

例5.(2004年第二届创新杯数学邀请赛试题)已知,,,(1,2,,2004)

i i a b p q i =是不等于零的实数,且满足:

222

2

21232004

1122332004200422

22

21232004

;;.

a a a a p a

b a b a b a b pq b b b b q +++

+=+++

+=+++

+=

求证:

3

200412123

2004a a a a p

b b b b q

====

=. 证明 由已知条件变形得:

2

21p a +222p a +223p

a +…+22004

2a p =1 (1) 2

pq b a 11+2pq b a 22+2pq

b a 33+…+220042004a b

pq =2 (2)

2

21q b +222q b +223q

b +…+2

2004

2b q =1 (3)

(1)-(2)+(3)得: (

q b p a 11-)2+(q

b p a 22-)2+…+(20042004a b

p q -)2=0,

故有

q b p a 11-=q

b p a 22-=…=20042004a b

p q -=0,

所以

q p b a =11, q

p b a =22, …, 20042004a p

b q =。

例6.(2006年第一届“南方杯”数学邀请赛试题)求所有的有理数x,y,z ,使

得5x 2+2y 2+2z 2+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=0

解:由已知等式可化为

[(4x 2-4xz+z 2)+(4x-2z)+1]+[(x 2+2xy+y 2)-(4x+4y)+1]+[(y 2+2yz+z 2)+(2y+2z)+1]=0 [(2x-z)2+2(2x-z)+1]+[(x+y)2-4(x+y)+4]+[(y+z)2-2(y+z)+1]=0 (2x-y+1)2+(x+y-2)2+(y+z-1)2=0

所以2102010x z x y y z -+=??+-=??+-=? 解得243x y z =-??

=??=-?

例7.1(1992年北京中学生数学竞赛初中试题)设x, y, a 都是实数,并且|x|=1-a, |y|= (1-a) (a-1-a 2).试求|x|+y+a 3+1的值等于多少?

解 ∵|x|=1-a≥0,a 2≥0, (1-a)2≥0 ∴|y|= (1-a) (a-1-a 2) =- (1-a)2- (1-a)·a 2= -[(1-a)2+ (1-a)·a 2]≤0 又由绝对值的意义得:|y|≥0

既要满足①又要满足②,只有y=0, 即:1-a) (a-1-a 2)=0

∵a-1-a 2=-[(a-2

1

)2+4

3]≠0, ∴1-a=0, a=1.

故:|x|+y+a 3+1=1-1+0+13+1=2.

例8 (2004年第9届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题)已知 13223a a a +≥,24323a a a +≥,35423a a a +≥,…,810923a a a +≥,,911023a a a +≥,

102123a a a +≥和a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+ a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=100,求a 1,a 2,a 3,a 4,a 5, a 6,a 7,a 8,a 9,a 10的值。

解 将已知的10个式子整理得,

1232349101

1012320320320

320

a a a a a a a a a a a a -+≥??-+≥??

?

?-+≥?-+≥?

第11讲 非负数及其应用w

? 再将上述10个式子的左边相加,其和为0。因为这10个式子的左边都是非负数,所以这10个式子的左边都等于0。即

12323491011012320320320320a a a a a a a a a a a a -+=??-+=???

?-+=?-+=?

第11讲 非负数及其应用w

?于是12232334910101101122()2()2()2()a a a a a a a a a a a a a a a a -=-??-=-??

??-=-?-=-?

第11讲 非负数及其应用w

? 所以a 1-a 2=2(a 2-a 3)=22 (a 3-a 4)=…=29(a 10-a 1)=210(a 1-a 2), 于是(210-1)(a 1-a 2)=0, a 1=a 2

同理可证: a 1=a 2=a 3=a 4=…=a 10。 所以a 1=a 2=a 3=…=a 10=10.

同步训练

一 选择题

1. (2007年“创新杯”数学邀请赛初一试题)已知a,b,c 都是负数,并且|x-a|+|y-b|+|z-b|=0,则xyz 是( )

(A )负数 (B )非负数 (C ) 正数 (D ) 非正数 2.(第六届“希望杯”数学邀请赛初二试题)已知实数a 、b 满足条件a 2+b 2+a 2b 2=4ab-1, 则 (A )??

?==11b a (B )???-=-=???==1111b a b a 或(C )???=-=1

1b a 或???-==11b a (D )??

?-==11

b a 3.(2004年全国数学竞赛天津地区初赛试题)已知m 2+n 2+mn+m-n+1=0, 则

n

m 1

1+的值等于( )

(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4.(1999年“五羊杯”初中数学竞赛题)a ,b ,c ,d 都是正数,则在以下命题中,错误的是( )

(A )若a 2+b 2+c 2=ab+bc+ca, 则a=b=c (B )若a 3+b 3+c 3=3abc, 则a=b=c (C )若a 4+b 4+c 4+d 4=2 (a 2+b 2+c 2+d 2) 则a=b=c=d (D )若a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd, 则a=b=c=d 5.(1994年河南初中数学竞赛题)已知a 、b 、c 是实数,x=a 2-b, y=b 2-c, z=c 2-a+1. 则下列说法正确的是

(A )x ,y ,z 三个数中至少有一个是零 (B )x ,y ,z 三个数中至少有一个是正数

(C )x ,y ,z 三个数中至少有一个是负数

(D )x ,y ,z 三个数中必为两正一负,或者必为两负一正 二 填空题

6.(第15届“迎春杯”数学竞赛试题) 已知2(98)|89|0a a b -++=, 那么, 代数式

22a ab b ++的值为 .

7.(2000年“我爱数学”夏令营数学竞赛试题)满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x-12y+6=0的实数解(x, y )的个数等于 8.(2000年天津市初中数学竞赛试题)已知a, b 满足a 3-3a 5+5a=1, b 3-3b 2+5b=5, 则a+b= . 9.(2000年全国初中数学联赛试题)实数x 、y 满足x≥y≥1和2x 2-xy-5x+y+4=0, 则x+y= . 10.(2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题)已知实数a,b,c 满足a-b+c=7,

ab+bc+b+c 2=16, 则b

a

的值等于 .

三 解答题 11.(第14届江苏省初中数学竞赛试题)如果三个非负数a,b,c 满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1,若m=3a+b-7c,求m 的最大值和最小值。

12(重庆市初中数学竞赛题)设z ,y ,z 为实数,且

=-+-+-222)()()(x z y x z y .)2()2()2(222z y x y x z x z y -++-++-+ 求

)

1)(1)(1()

1)(1)(1(2

22++++++z y x x zx yz 的值。 13.设a,b,c 都是正实数,p,q,r 都是实数。p,q,r 满足何种关系时,等式 (a+b+c)(ap 2+bq 2+cr 2) = (ap+bq+cr)2成立?

14.(四川省初中数学联赛试题)解关于实数x 、y 、z 的方程:

(8zx 2-27y 2+9yz 2)2+(3y 2-yz +2z 2-8x)2+9=6x -x 2 15.(1994年山东荷泽市初中数学竞赛试题)已知12,,

,n x x x 为实数,且

2

222121

2

()n n

x x x x x x n

+++++

+=。求证:12.n x x x ==

=