第11讲 非负数及其应用w
第11讲 非负数及其应用
还会有什么科学比数学更高贵、更杰出、更有用……呢？ ——富兰克林
知识方法扫描
所谓非负数，是指零和正实数．常见的非负数有绝对值和平方式。 非负数有如下的性质：
(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．
(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a 1，a 2，…，a n 为非负数，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥0．
(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a 1，a 2，…，a n 为非负数，且a 1＋a 2＋…＋a n =0，则必有a 1＝a 2＝…＝a n ＝0． 在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用得较多．
(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数． (5)最小非负数为零，没有最大的非负数．
应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决。其中，配方是一种重要的恒等变形技巧。
经典例题解析
例 1 （1993年郑州市初中数学团体赛题）已知x 2+3|y-1|=x-4
1
, 求代数式4x 2-3y+1之值。
解 将已知等式变形得：3|y-1|=x-24
1
x -=-21()2x -
因为-2)2
1(-x ≤0，即|y-1|≤0，① 根据绝对值的意义|y-1|≥0 ②
由①、②得，y-1=0，∴y=1。此时，x=2
1,∴4x 2-3y+1=42)2
1(-3×11+1=-1 评注 1．实数的偶次方和实数的绝对值是常见的非负数．
2．配完全平方是一种极为重要的恒等变形的技巧;由此得到的完全平方数是非负数，从而可用非负数的性质来解题。
3．若a≥0, 又a ≤0, 那么a=0. 这种方法通常称为夹逼法。这样由不等关系可以得到等量关系。
例2．（1994年浙江省初中数学竞赛试题）已知a ，b ，c 为整数，且a 2 + b 2 +
c 2 + 48＜4a + 6b + 12c ，求 111
()abc a b c
++ 的值。
[解] 由 a 2 + b 2 + c 2
+ 48＜4a + 6b + 12c ，可得 (a-2)2+(b-3)2+(c-6)2<1, 显然(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2≥0，又由a ，b ，c 为整数，得(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2为整数，于是(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2=0。
所以 a=2, b=3,c=6.
111()abc a b c ++= 111
()236abc ++=1 . 例3．（1986年北京市中学生数学竞赛初二年级试题）已知a ，b ，c 为实数，
设222A a b π
=-+
，2
23
B b c π
=-+
，2
26
C c a π
=-+
。证明：A ，B ，C 中至少有
一个值大于零．
证明 由题设有
A+B+C=（2
22a b π
-+
）+（2
23b c π
-+
）+（2
26
c a π
-+
）
=(a 2-2a+1)+(b 2-2b+1)+(c 2-2c+1)+π-3 =(a -1)2+(b -1)2+(c -1)2+(π-3)．
因为(a -1)2≥0，(b -1)2≥0，(c -1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C ＞0．
若A ≤0，B ≤0，C ≤0，则A+B+C ≤0与A+B+C ＞0不符，所以A ，B ，C 中至少有一个大于零．
例4．(2002年全国初中数学联赛试题) 求实数x,y, 使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2 达到最小值
解 原式 = 5x 2+6xy+3y 2-30x-20y+46 = 5x 2+(6y-30)x +3y 2-20y+46
=5(x+35y-3)2+5(35y-3)2+3y 2-20y+46=5(x+35y-3)2+6
5y 2-2y+1
=5(x+35y-3)2+65(y-56)2+16
当 x+35y-3=0，y-56时，即x=52,y=56时有最小值16
。
例5．（2004年第二届创新杯数学邀请赛试题）已知,,,(1,2,,2004)
i i a b p q i =是不等于零的实数，且满足：
222
2
21232004
1122332004200422
22
21232004
;;.
a a a a p a
b a b a b a b pq b b b b q +++
+=+++
+=+++
+=
求证：
3
200412123
2004a a a a p
b b b b q
====
=. 证明 由已知条件变形得：
2
21p a ＋222p a ＋223p
a ＋…＋22004
2a p ＝1 (1) 2
pq b a 11＋2pq b a 22＋2pq
b a 33＋…＋220042004a b
pq ＝2 (2)
2
21q b ＋222q b ＋223q
b ＋…＋2
2004
2b q ＝1 (3)
(1)－(2)＋(3)得： (
q b p a 11-)2＋(q
b p a 22-)2＋…＋(20042004a b
p q -)2＝0，
故有
q b p a 11-＝q
b p a 22-＝…＝20042004a b
p q -＝0，
所以
q p b a =11, q
p b a =22, …, 20042004a p
b q =。
例6．(2006年第一届“南方杯”数学邀请赛试题)求所有的有理数x,y,z ，使
得5x 2+2y 2+2z 2+2xy+2yz-4xz-6y-4z+6=0
解：由已知等式可化为
[(4x 2-4xz+z 2)+(4x-2z)+1]+[(x 2+2xy+y 2)-(4x+4y)+1]+[(y 2+2yz+z 2)+(2y+2z)+1]=0 [(2x-z)2+2(2x-z)+1]+[(x+y)2-4(x+y)+4]+[(y+z)2-2(y+z)+1]=0 (2x-y+1)2+(x+y-2)2+(y+z-1)2=0
所以2102010x z x y y z -+=??+-=??+-=? 解得243x y z =-??
=??=-?
例7．1（1992年北京中学生数学竞赛初中试题）设x, y, a 都是实数，并且|x|=1-a, |y|= (1-a) (a-1-a 2).试求|x|+y+a 3+1的值等于多少？
解 ∵|x|=1-a≥0，a 2≥0, (1-a)2≥0 ∴|y|= (1-a) (a-1-a 2) =- (1-a)2- (1-a)·a 2= -[(1-a)2+ (1-a)·a 2]≤0 又由绝对值的意义得：|y|≥0
既要满足①又要满足②，只有y=0， 即：1-a) (a-1-a 2)=0
∵a-1-a 2=-[(a-2
1
)2+4
3]≠0， ∴1-a=0, a=1.
故：|x|+y+a 3+1=1-1+0+13+1=2.
例8 (2004年第9届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛试题)已知 13223a a a +≥，24323a a a +≥，35423a a a +≥，…,810923a a a +≥，，911023a a a +≥，
102123a a a +≥和a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+ a 6+a 7+a 8+a 9+a 10=100，求a 1，a 2，a 3，a 4，a 5， a 6，a 7，a 8，a 9，a 10的值。
解 将已知的10个式子整理得，
1232349101
1012320320320
320
a a a a a a a a a a a a -+≥??-+≥??
?
?-+≥?-+≥?
? 再将上述10个式子的左边相加，其和为0。因为这10个式子的左边都是非负数，所以这10个式子的左边都等于0。即
12323491011012320320320320a a a a a a a a a a a a -+=??-+=???
?-+=?-+=?
?于是12232334910101101122()2()2()2()a a a a a a a a a a a a a a a a -=-??-=-??
??-=-?-=-?
? 所以a 1-a 2=2(a 2-a 3)=22 (a 3-a 4)=…=29(a 10-a 1)=210(a 1-a 2), 于是(210-1)(a 1-a 2)=0, a 1=a 2
同理可证： a 1=a 2=a 3=a 4=…=a 10。 所以a 1=a 2=a 3=…=a 10=10.
同步训练
一 选择题
1． （2007年“创新杯”数学邀请赛初一试题）已知a,b,c 都是负数，并且|x-a|+|y-b|+|z-b|=0，则xyz 是（ ）
（A ）负数 （B ）非负数 （C ） 正数 （D ） 非正数 2．（第六届“希望杯”数学邀请赛初二试题）已知实数a 、b 满足条件a 2+b 2+a 2b 2=4ab-1, 则 （A ）??
?==11b a （B ）???-=-=???==1111b a b a 或（C ）???=-=1
1b a 或???-==11b a （D ）??
?-==11
b a 3．(2004年全国数学竞赛天津地区初赛试题)已知m 2+n 2+mn+m-n+1=0, 则
n
m 1
1+的值等于( )
(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4．（1999年“五羊杯”初中数学竞赛题）a ，b ，c ，d 都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ）
（A ）若a 2+b 2+c 2=ab+bc+ca, 则a=b=c （B ）若a 3+b 3+c 3=3abc, 则a=b=c （C ）若a 4+b 4+c 4+d 4=2 (a 2+b 2+c 2+d 2) 则a=b=c=d （D ）若a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd, 则a=b=c=d 5．（1994年河南初中数学竞赛题）已知a 、b 、c 是实数，x=a 2-b, y=b 2-c, z=c 2-a+1. 则下列说法正确的是
（A ）x ，y ，z 三个数中至少有一个是零 （B ）x ，y ，z 三个数中至少有一个是正数
（C ）x ，y ，z 三个数中至少有一个是负数
（D ）x ，y ，z 三个数中必为两正一负，或者必为两负一正 二 填空题
6．（第15届“迎春杯”数学竞赛试题） 已知2(98)|89|0a a b -++=, 那么, 代数式
22a ab b ++的值为 .
7．（2000年“我爱数学”夏令营数学竞赛试题）满足方程11x 2+2xy+9y 2+8x-12y+6=0的实数解（x, y ）的个数等于 8．（2000年天津市初中数学竞赛试题）已知a, b 满足a 3-3a 5+5a=1, b 3-3b 2+5b=5, 则a+b= . 9．（2000年全国初中数学联赛试题）实数x 、y 满足x≥y≥1和2x 2-xy-5x+y+4=0, 则x+y= . 10．（2007年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题）已知实数a,b,c 满足a-b+c=7,
ab+bc+b+c 2=16, 则b
a
的值等于 .
三 解答题 11．（第14届江苏省初中数学竞赛试题）如果三个非负数a,b,c 满足3a+2b+c=5和2a+b-3c=1，若m=3a+b-7c,求m 的最大值和最小值。
12（重庆市初中数学竞赛题）设z ，y ，z 为实数，且
=-+-+-222)()()(x z y x z y .)2()2()2(222z y x y x z x z y -++-++-+ 求
)
1)(1)(1()
1)(1)(1(2
22++++++z y x x zx yz 的值。 13．设a,b,c 都是正实数，p,q,r 都是实数。p,q,r 满足何种关系时，等式 (a+b+c)(ap 2+bq 2+cr 2) = (ap+bq+cr)2成立？
14．(四川省初中数学联赛试题)解关于实数x 、y 、z 的方程：
(8zx 2－27y 2＋9yz 2)2＋(3y 2－yz ＋2z 2－8x)2＋9＝6x －x 2 15．（1994年山东荷泽市初中数学竞赛试题）已知12,,
,n x x x 为实数，且
2
222121
2
()n n
x x x x x x n
+++++
+=。求证：12.n x x x ==
=
专项训练1 非负数应用的常见题型
专项训练1非负数应用的常见题型 方法指导：1.常见的非负数有：算术平方根、偶次方、绝对值等，且一个数的算术平方根具有双重非负性． 2．根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于0”构建方程，可求字母或式子的值． 绝对值的非负性 1．如果一个数的绝对值为a，那么数a在数轴上(如图)对应的点不可能是() (第1题) A．点M B．点O C．点P D．点N 2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值分别为() A．1，1 B．－1，3 C．2，0 D．0，2 3．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足|a－5|＋|3－b|＝0，则该三角形的周长是________． 偶次方的非负性 4．若(x＋3)2＝a－2，则a的值可以是() A．－1B．0C．1D．2 5．若x2＋(y－4)4＝0，求x y的值．
算术平方根的非负性 类型1a中被开方数a≥0的应用 6．如果1－a＝b，那么a的取值范围是() A．a＞1B．a＜1C．a＝1D．a≤1 7．若式子 1 x－1 有意义，化简：|1－x|＋|x＋2|. 8．已知x，y都是有理数，且y＝x－3＋3－x＋8，求x＋3y的立方根．9．已知a为有理数，求式子a＋2－2－4a＋－a2的值．
类型2 a ≥0的应用 10．已知x ，y 是有理数，且3x ＋4＋|y －3|＝0，则xy 的值是( ) A ．4 B ．－4 C .94 D ．－94 11．已知x ＋3＋2y －4＝0，求(x ＋y)2 018的值． 12．当x 为何值时，2x ＋1＋6 有最小值？最小值为多少？ 类型3 算术平方根的双重非负性的应用 13．若a ＋a －2＝2，求a ＋2的值．
初一数学下册知识点《非负数的性质：算术平方根》150题及解析
初一数学下册知识点《非负数的性质：算术平方根》150 题及解析 副标题 一、选择题（本大题共36小题，共108.0分） 1.若与互为相反数,则的值为( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式的值，完全平方公式，相反数. 根据相反数的定义得到|x2-4x+4|+=0，再根据非负数的性质得x2-4x+4=0， 2x-y-3=0，然后利用完全平方公式变形得到（x-2）2=0，求出x，再求出y，最后计算它们的和即可. 【解答】 解：根据题意得|x2-4x+4|+=0， ∴|x2-4x+4|=0，=0， 即（x-2）2=0，2x-y-3=0， ∴x=2，y=1， ∴x+y=3. 故选A. 2.若|3x-2y-1|+=0，则x，y的值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：由题意可知： 解得： 故选：D． 根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案． 本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型． 3.若|3-a|+=0，则a+b的值是（） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】解：由题意得，3-a=0，2+b=0， 解得，a=3，b=-2， a+b=1， 故选：B．
根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式求出a、b的值，计算即可．本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 4.若＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2015＝( ) A. －1 B. 1 C. 52015 D. －52015 【答案】A 【解析】解：∵+|2a-b+1|=0， ∴， 解得：， 则（b-a）2015=（-3+2）2015=-1． 故选：A． 利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出原式的值．此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5.已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足 ，则此等腰三角形的周长为( ) A. 7或8 B. 6或10 C. 6或7 D. 7或10 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长． 【解答】 解：∵， ∴， 解得， 当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8； 当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7； 综上所述此等腰三角形的周长为7或8． 故选A． 6.已知+|b+3|=0，则P（—a，—b）的坐标为（） A. （2，3） B. （2，—3） C. （—2，3） D. （—2，—3）【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了点的坐标，非负数的性质，正确求出a，b的值是解题的关键.先由 +|b+3|=0，根据非负数的性质求出a=2，b=-3，进而求解即可. 【解答】 解：∵+|b+3|=0， ∴a-2=0，b+3=0， ∴a=2，b=-3， ∴P（-a，-b）的坐标为（-2，3），故C正确.
实数-非负数性质
实数-非负数专题 【典型例题】 # 例1 已知y x ,满足 ,04232=--+-+y x y x 532--y x 求的值. 例2 已知在实数范围内x 23-有意义，化简7296-+-x x . # 例3 在实数范围内解方程28.6322=-+-+-y x x ππ. # 例4 已知()02352,,2 =-+-+-c b a c b a 满足 （1）求c b a ,,的值； （2） 试问以c b a ,,为边能否构成三角形？如果能构成三角形，求它的周长；如果不能构成三角形，请说明理由. * 例5 已知()333423,0312,4z y x x x y z ++=-++-=求且的值。 1.已知实数a 满足a a a =-+-19931992，那么2 1992-a 的值是（ ） A. 1991 B. 1992 C. 1993 D. 1994 2.在Rt △ABC 中，∠C =90°,c 为斜边，a 、b 为直角边，则化简2)(c b a +-－2|c －a －b |的结果为（ ） A. 3a +b －c B. －a －3b +3c C. a +3b －3c D. 2a # 3．若03831=-+-b a ，则3ab = .
# 4．若32110x y x --++=,则1452x y += # 5．若02|3|=-++y x ，则y x = 6．若a a -=-2)2(2 ，则a 的取值范围是 # 7．若2 1707x y ?? -++= ?? ?，则（xy ）2003= 8．已知==??? ? ? +++b a ,b a 则041122 . # 例1.已知y x ,是有理数，且25.2)12 3 41()2331(--++ y x 0345.1=-，求y x ,的值． # 例3.已知y x ,为实数，且2)(y x -与1635--y x 互为相反数，求2 23y x +的值. # 1、下列说法中，正确的有（ ） ①一个数的平方根一定有两个； ②一个正数的平方根一定是它的算术平方根； ③负数没有立方根； ④对于2-=x y ，当2≥x 时，y 有平方根。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 # 2、81的平方根是（ ） A 、9 B 、±9 C 、3 D 、±3 # 3、下列等式正确的是（ ） A 、39-=- B 、12144±= C 、 ()552 -=- D 、() 33 2 =- # 4、下列语句，写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±=； B 、±7是49的平方根，即749=±； C 、7是()2 7-的算术平方根，即 ()772 =-；D 、7是7的算术平方根，即77=. # 5、8 1 - 的平方的立方根是（ ）
非负数的性质：绝对值
默认标题-2012年2月14日
一、选择题（共18小题） 1、若a，b，c均为整数，且|a﹣b|2001+|c﹣a|2000=1，则|a﹣c|+|c﹣b|+|b﹣a|的值为（） A、1 B、2 C、3 D、2001 2、已知a、b都是有理数，且|a﹣1|+|b+2|=0，则a+b=（） A、﹣1 B、1 C、3 D、5 3、若|x﹣3|+|y+2|=0，则|x|+|y|的值是（） A、5 B、1 C、2 D、0 4、若|a|+|b|=0，则a与b的大小关系是（） A、a=b=0 B、a与b互为相反数 C、a与b异号 D、a与b不相等 5、如果|a﹣|+|b﹣1|=0，那么a+b等于（） A、﹣ B、 C、D、1 6、已知a、b、c都是负数，且|x﹣a|+|y﹣b|+|z﹣c|=0，则xyz是（） A、负数 B、非负数 C、正数 D、非正数 7、对任意有理数a，在式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣1|+a，|a|+1中，取值不为0的是（） A、|a|+1 B、1﹣|a| C、|a+1| D、|﹣1|+a 8、在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是（） A、1 B、2 C、3 D、4 9、任意有理数a，式子1﹣|a|，|a+1|，|﹣a|+a，|a|+1中，值不为0的是（） A、1﹣|a| B、|a+1| C、|﹣a|+a D、|a|+1 10、设y=|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（） A、y没有最小值 B、只有一个x使y取最小值 C、有限个x（不止一个）y取最小值 D、有无穷多个x使y取最小值 11、如果a、b表示的是有理数，并且|a|+|b|=0，那么（） A、b互为相反数 B、a=b=0 C、a和b符号相反 D、a，b的值不存在 12、如果|a3﹣b3|=﹣|a|3+b3，那么下列不等式中成立的是（） A、a＞b B、a＜b C、a≥b D、a≤b 13、已知x为实数，且|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|+…+|17x﹣1|的值是一个确定的常数，则这个常数是（） A、5 B、10 C、15 D、75 14、若x表示有理数，则|x|+x的值为（） A、正数 B、非正数 C、负数 D、非负数 15、任何一个有理数的绝对值一定（）
非负数的性质
非负数的性质（两小时） 【知识要点】 1．二次根式的基本性质（式子a （a ≥0），叫做二次根式）。 2 对于非负数a ，有（a ）2 =a （1） 对于任意实数，则==a a 2 2、非负数即正数和0。如果a 是实数，那么a ，)0(,2≥a a a 都是非负数，非负数主要的性质有： （1）非负数的和或积仍是非负数； （2）如果非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0。 【典型例题】 例1、已知：25250x y x y +-+--=， （1）求x 与y 的值； （2）求y x +的平方根。 例2、若()2 120a ab -+-=， 求()() ()() 111 1119901990ab a b a b +++ ++++的值。 例3、若u,v 满足22343432 u v v u v u v u v --=++++，求22 u uv v -+的值。 a (a ﹥0) 0 (a ﹦0) ﹣a (a ﹤0)
例4、已知a 、b 为实数，且2 2 4250a b a b +--+=，求1ab -的值。 例5、若m 适合关系式y x y x m y x m y x --?+-=-++--+19919932253。 试确定m 的值。 思考题：设a 、b 为实数，求207241617822 2 +--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 取得最小值时a 、b 的取值。 【练习与拓展】 1、m -是有理数时，一定有（ ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 2、计算2-a +a -2等于（ ） A ．0． B ．4-2a C ．4 D ．2a-4 3、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为（ ） A.0. B.1. C.-1. D.-4. 4、a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c ++-----+-+-的结果是（ ） A 、0 B 、222a b c ++ C 、4a D 、22b c -
人教版七年级数学下册专题训练04-初识非负数试题(含答案)
4 初识非负数 阅读与思考 绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1.去绝对值符号法则 ()()() 0000 <=>?????-=a a a a a a 2.绝对值的几何意义 从数轴上看，a 即表示数a 的点到原点的距离，即a 代表的是一个长度，故a 表示一个非负数，b a -表示数轴上数a 、数b 的两点间的距离. 3.绝对值常用的性质 ①0≥a ②2 22a a a == ③b a ab ?= ④()0≠=b b a b a ⑤b a b a +≤+ ⑥b a b a -≥- 例题与求解 【例1】已知3,5==b a ，且a b b a -=-，那么=+b a . （祖冲之杯邀请赛试题） 解题思路：由已知求出a 、b 的值，但要注意条件a b b a -=-的制约，这是解本题的关键. 【例2】已知a 、b 、c 均为整数，且满足11010=-+-c a b a ，则=-+-+-a c c b b a （ ） A.1 B.2 C.3 D.4
（全国初中数学联赛试题） 解题思路：10b a -≥0，10c a -≥0，又根据题中条件可推出 b a -， c a -中一个为0，一个为1. 【例3】已知11-x ＋22-x ＋33-x ＋…＋20022002-x ＋20032003-x ＝0，求代数式---321222x x x …－2003200222x x +的值. 解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出,,,321x x x …，20032002,x x 的值，注意n n 221-+的化简规律. 【例4】设a 、b 、c 是非零有理数，求abc abc bc bc ac ac ab ab c c b b a a ++++++的值. 解题思路：根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键. （希望杯邀请赛试题） 【例5】设654321,,,,,x x x x x x 是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6.
专题二 利用非负数性质解题
专题二 利用非负数的性质解题 一．考点知识： 1．初中学过的几种非负数： ⑴实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则0a ≥. ⑵实数的偶数次幂是非负数. 若0a ≥是实数，则20n a ≥（n 是正整数）. ⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a 0;0.a ≥≥ ⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立. 若二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根， 则240b ac -≥. 若2 40(0)b ac a -≥≠， 则二次方程20ax bx c ++=有两个实数根. ⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数. 2．非负数的性质： ⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零. ⑶有限个非负数的和或积仍是非负数. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零. 【例1】已知320x y -+-=，求x y +的值 分析：由于a o ≥所以已知条件可以分成四种情况（分类讨论思想）。 讨论：① 00+= × ②0+= × ③00+ = × ④000+= √ 解：由题意得 {30 20x y -=-= ∴{3020x y -=-= 3x =，2y =；
答: x y +的值为5. 【例2】已知()()22 24130x y ++-=，求2x y +的值 分析：因为20a ≥；所以本题变成了两个非负数相加的形式，和例1的解题思路相同了。 解：由题意得 240x +=；130y -=； 答: 2x y +的值为53 -. 【例3 0=，求,x y 的值 0≥；由例1解题思路可解。 解：由题意得 答：x 的值为32；y 的值为34 -。 结论：由前面三个例子可得到几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零。 也就是若()2 0b c +=；则有0a b c ===。 【例4】 若( )2130a b -++=； 则??? ????=+=+=-0120)3(012c b a 即?????=+=+=-0120301c b a ∴?????-=-==5.031c b a . 【例5】求证：方程42 3260x x x +++=没有实数根 证明：把方程左边分组配方，得 即222(1)(1)4;x x +++=- ∵22(1)0x +>，2(1)0x +≥， ∴222(1)(1)0x x +++≥. 但右边是－4. ∴不论x 取什么实数值， 等式都不能成立. ∴方程423260x x x +++=没有实数根. 【例6】a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(a a a a --+--有意义 解：∵二次根式的被开方数(2)(1)a a --与(2)(1)a a --都是非负数，
应用非负数的性质解题
应用非负数的性质解题 长安中学 王尊丰 大于或等于零的实数统称非负数，非负数的类型有：（1）实数的绝对值是非负数；（2）非负数的算术平方根是非负数； （3）实数的偶次方是非负数。 常用的非负数的性质有： （1）有限个非负数之和，仍为非负数； （2）若有限个非负数之和等于零，则每一个非负数必为零。 例1：已知0|72|)1(2=+++--y x y x ，求2x-3y 的值。 分析：有限个非负数的和等于零，则每个非负数都为零。 解：由题意得：? ??=++=--07201y x y x 解方程组得：?? ?-=-=3 2y x 故2x-3y=5 例2：0|2|12=-+-b a ，则a 2+b 2= 解：∵12-a 与|2|-b 均为非负数。 ∴???=-=-02012b a 解得 ?????==221b a ∴4 142)21(2222=+=+b a
例3：0||2)1(2=+-++++-c b a b a a ，求代数式ab-c 2的值。 解：∵2)1(2++-b a 、a 与|a-b+c|均为非负数。 ∴?????=+-=++=-0020 12c b a b a x 解得?? ???-=-==431c b a ∴19)4()3(122-=---?=-c ab 例4：若x 、y 、z 均为实数，且x 、y 、z 满足关系0)522(3 134|73|212=+-+-+++-z x z y y x ，求（y-x ）xz 的值。 解：由题意得?? ???=+-=-+=+-05220340 73z x z y y x 解得??? ????==-=2112z y x ∴3 13)21()(121 2==+=--?-xz x y 例5：求方程145222-=++-y y xy x 的实数解。 分析：应用常规的方法不可能求出方程的实数解，因此，必须将方程变形：0)144()2(222=++++-y y y xy x ，因此，222)(2y x y xy x -=+-，22)12(144+=++y y y ，则0)12()(22=++-y y x ，至此，可应用非负数的性质求解。 解：将原方程变形：0)144()2(222=++++-y y y xy x 0)12()(22=++-y y x 根据非负数性质可得???=+=-0 120y y x
人教版七年级下知识点试题精选-非负数的性质：算术平方根
非负数的性质：算术平方根 一．选择题（共20小题） 1．已知非零实数a，b 满足，则a﹣b等于（）A．3 B．﹣2 C．1 D．5 2．已知，那么x﹣y=（） A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6 3．若（x+y）2++|z﹣2y|=0，则x﹣y+z的值（） A．0 B．1 C．2 D．4 4．若与|b+1|互为相反数，则a﹣b的值为（） A．B．+1 C．﹣1 D．1﹣ 5．若|x﹣2|+=0，则x2+y2=（） A．10 B．12 C．13 D．不能确定 6．，那么（a+b）2012的值为（） A．﹣1 B．1 C．﹣52012D．52012 7．若a，b为实数，且|a+1|+=0，则（ab）2013的值是（） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 8．若实数x、y满足+（y﹣3）2=0，则等于（） A．0 B．5 C．4 D．±4 9．已知+=0，则x﹣y的值为（） A．2 B．6 C．2或﹣2 D．6或﹣6 10．若+（y+2）2=0，则（x+y）2015等于（） A．﹣1 B．1 C．32014 D．﹣32014 11．若（m﹣3）2+=0，则m+n的平方根是（） A．1 B．±1 C．D．± 12．若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足（a﹣6）2++|c﹣10|=0，则△ABC的周长为（） A．48 B．80 C．24 D．40
13．+|x﹣3|=0，则x y=（） A．81 B．64 C．27 D．63 14．若x，y为实数，且|x+1|+=0，则xy的值是（） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 15．已知x、y是实数，+（y2﹣6y+9）=0，若axy﹣3x=y，则实数a的值是（） A．B．﹣ C．D．﹣ 16．若（x﹣2）2+=0，则（x+y）2等于（） A．2 B．﹣1 C．1 D．25 17．若（x+3）2+=0，则（x﹣y）的相反数的值为（） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 18．若+（y+3）2=0，则x﹣y的值为（） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣7 19．若，则x2015+y2016的值（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 20．若x，y为实数，且|x+3|+=0，则（）2017的值为（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 二．填空题（共20小题） 21．若（a+）2与互为相反数，则a b=． 22．已知实数a，b满足，则ab=． 23．已知，那么（xy）2005=． 24．若+|3﹣y|=0，则2xy=． 25．在下列6个等式中，①ab=0；②a+b=0；③；④a2=0；⑤a2+b2=0；⑥ 中，a一定是零的等式编号是． 26．若|x﹣2|和互为相反数，则xy的算术平方根是． 27．若实数x，y满足，则xy﹣x2的平方根为．
精品试题--新人教版七年级数学下册第六章：非负数的性质：算术平方根
最新人教版七年级数学一课一练试题（2018.3） 非负数的性质：算术平方根 一．选择题（共20小题） 1．已知非零实数a，b 满足，则a﹣b等于（）A．3 B．﹣2 C．1 D．5 2．已知，那么x﹣y=（） A．3 B．﹣3 C．﹣6 D．6 3．若（x+y）2++|z﹣2y|=0，则x﹣y+z的值（） A．0 B．1 C．2 D．4 4．若与|b+1|互为相反数，则a﹣b的值为（） A．B．+1 C．﹣1 D．1﹣ 5．若|x﹣2|+=0，则x2+y2=（） A．10 B．12 C．13 D．不能确定 6．，那么（a+b）2012的值为（） A．﹣1 B．1 C．﹣52012D．52012 7．若a，b为实数，且|a+1|+=0，则（ab）2013的值是（） A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 8．若实数x、y满足+（y﹣3）2=0，则等于（） A．0 B．5 C．4 D．±4 9．已知+=0，则x﹣y的值为（） A．2 B．6 C．2或﹣2 D．6或﹣6 10．若+（y+2）2=0，则（x+y）2015等于（） A．﹣1 B．1 C．32014 D．﹣32014 11．若（m﹣3）2+=0，则m+n的平方根是（） A．1 B．±1 C．D．± 12．若a、b、c为△ABC的三边，且a、b、c满足（a﹣6）2++|c﹣10|=0，则△ABC的周长为（）
A．48 B．80 C．24 D．40 13．+|x﹣3|=0，则x y=（） A．81 B．64 C．27 D．63 14．若x，y为实数，且|x+1|+=0，则xy的值是（） A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2 15．已知x、y是实数，+（y2﹣6y+9）=0，若axy﹣3x=y，则实数a的值是（） A．B．﹣ C．D．﹣ 16．若（x﹣2）2+=0，则（x+y）2等于（） A．2 B．﹣1 C．1 D．25 17．若（x+3）2+=0，则（x﹣y）的相反数的值为（） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5 18．若+（y+3）2=0，则x﹣y的值为（） A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣7 19．若，则x2015+y2016的值（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 20．若x，y为实数，且|x+3|+=0，则（）2017的值为（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 二．填空题（共20小题） 21．若（a+）2与互为相反数，则a b=． 22．已知实数a，b满足，则ab=． 23．已知，那么（xy）2005=． 24．若+|3﹣y|=0，则2xy=． 25．在下列6个等式中，①ab=0；②a+b=0；③；④a2=0；⑤a2+b2=0；⑥ 中，a一定是零的等式编号是． 26．若|x﹣2|和互为相反数，则xy的算术平方根是． 27．若实数x，y满足，则xy﹣x2的平方根为．
初中数学：利用非负数的性质求值
初中数学 2015-2-5 利用非负数的性质求值 第 1 页 共 1 页 利用非负数的性质求值 若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 例1 若x 2-4x+|3x-y|=-4，求y x 的值． 分析与解： x ，y 的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解． 因为x 2-4x+|3x-y|=-4，所以 x 2-4x ＋4＋|3x-y|=0， 即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以(x-2)2 =0，且|3x-y|=0，解得x=2,y=6, 所以 y x =62=36． 例2 未知数x ，y 满足 (x 2＋y 2)m 2-2y(x+n)m+y 2+n 2=0， 其中m ，n 表示非零已知数，求x ，y 的值． 分析与解：两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式． 将已知等式变形为 m 2x 2+m 2y 2-2mxy-2mny+y 2+n 2=0， (m 2x 2-2mxy+y 2)+(m 2y 2-2mny+n 2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0． ∴(mx-y)2=0,(my-n)2=0,∴ mx-y=0, my-n=0, 其中m ，n 表示非零已知数， 解得2,n n x y m m ==。 1. 已知非零实数a 、b 满足a b a b a 24)3(|2||42|2=+-+++-，则b a +等于（ C ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 2.已知 0)3(|9|322=+-+-x x y x ，求1 1++y x 的值。答案：2 3. 已知0172822=+--+b a b a ，求 a b a b a -++2)(的值。答案：1（配成完全平方） 4. 已知R b a ∈,，且2222 2+-+-=a a a b ，求2)22a b a b ---+-（的值。 答案：224-（根式有意义）
非负数的性质(含答案)
非负数的性质专题训练 1 │1+y│=0，则x2+y2=_______． 2．若（ ）2 =0，试解关于x的方程（a+2）x+b2=a-1． 3．若2│x-y│ 2-z+ 1 4 =0，求x+y+z的值． 4 x+y+1）2 5．若a2+b2-2a-4b+5=0 ． 数学中国https://www.wendangku.net/doc/7010966701.html,，lhnen整理- 1 -
6．若 的值． 7．若2 =x+y+z，求x、y、z的值． 8．已知a、b、c为实数，且ax2+bx+c=0． │a-2│ （c+3）2=0，求4x2-10x的值． 9 2+ 2 1 b +2=4，求：a+ 1 a +b+ 1 b 的值． 答案: 数学中国https://www.wendangku.net/doc/7010966701.html,，lhnen整理- 2 -
1．10 9 点拨：由于非负数都不小于0． 所以:若n个非负数的和为0，则这n?个非负数均为0， 初中阶段常见的非负数形式有：a2n，│a （a≥0）． 0，│1+y│≥0 +│1+y│=0， 所以3x-1=0，且1+y=0，即x=1 3 ，y=-1． 所以x2+y2=（1 3 ）2+（-1）2= 1 9 +1= 10 9 ． 2．解：（ 2≥0 ≥0，且（ ）2 =0． 所以 ，2a+6=0，即 ，a=-3． 原方程可化为：（-3+2）x+ ）2=-3-1，-x+2=-4，x=6． 3．解：原等式可变形为：2│x-y│ （z- 1 2 ）2=0． 因为│x-y│≥0 0，（z- 1 2 ）2≥0． 所以 0, 20, 1 0. 2 x y y z z ? ?-= ? += ? ? ?-= ? 解得x=- 1 4 ，y=- 1 4 ，z= 1 2 ． 所以x+y+z=-1 4 - 1 4 + 1 2 =0． 点拨：题目把非负数的性质与解方程联系起来，利用非负数的性质求出x、y、?z的值，进而求代数式的值． 4 +（x+y+1）2=0， 即│x-y+2│+（x+y+1）2=0． 因为│x-y+2│，（x+y+1）2≥0， 所以x+y+1=0，且x-y+2=0，解得x=- 3 2 ，y= 1 2 ． 数学中国https://www.wendangku.net/doc/7010966701.html,，lhnen整理- 3 -
初中数学非负数
七年级数学中的非负数问题 在实数范围内，“非负数”是一个非常重要的数学概念，也是一个使一部分学生头疼的难点之一。如果能够灵活地运用非负数的有关性质进行变形，那就可以开拓思路，发现解题途径。其实，非负数并没有想象中的那么可怕，可怕的是有些同学概念不清，也记不住非负数的性质，导致看到题的以后做的一塌糊涂。 一、非负数的概念： 正数和零总称为非负数。在这里我们要用的最多的也是学生们最容易忘的就是非负数中的“零”。 二、非负数定理： 非负数大于等于0。 非负数的和为零，则每个非负数必等于零。（有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零） 非负数的积为零，则至少有一个非负数为零。 非负数的绝对值等于本身。 任何一个非负数乘于-1都会得到一个非正数。 非负数中有有理数也有无理数。 非负数的和或积仍是非负数。 在非负数的性质中我们用的最多的就是：如果有限个非负数的和等于零，则必有每个非负数都同时为零。 三、三种非负数： 实数的绝对值、实数的偶次幂、算术根等都是常见的非负数。 四、表达形式： 非负数的表达形式通常是│a│、a2n等。 那么在我们的初中学习中，所学的哪些数或式子是非负的呢？我们在解题中该注意哪些问 b）。题呢？在初一时，我们学过的非负数有两个，一个是绝对值，一个是数的偶次方（||a和2n
出现的形式也是非常单一的，共有三种情况：222||||0||00a b a b a b +=??+=??+=? 。在这三种情况中不管出现哪一种，则都会有00a b =??=? ，当然，我们这里的a 和b 往往不是一个单独的字母，而是一个代数式。例如：2|3|(2)0a b -+-=，这时就有23a b =?? =?。这就是我们初一学的非负数，只要牢记出现的形式，就不难得到答案。 例： (a-3)2+(b+2)2=0，求a 、b 的值？ 未完待八年级需增加平方根内容。
非负数的性质--算术平方根
默认标题-2012年2月16日? 2012 菁优网
一、选择题（共20小题） 1、设P是质数，若有整数对（a，b）满足|a+b|+（a﹣b）2=P，则这样的整数对（a，b）共有（） A、3对 B、4对 C、5对 D、6对 2、已知x、y为实数，且，则x﹣y的值是（） A、﹣3 B、﹣1 C、1 D、3 3、（2011?襄阳）若x，y为实数，且|x+1|+=0，则（）2011的值是（） A、0 B、1 C、﹣1 D、﹣2011 4、（2010?荆门）若a、b为实数，且满足|a﹣2|+=0，则b﹣a的值为（） A、2 B、0 C、﹣2 D、以上都不对 5、（2010?济宁）若，则x﹣y的值为（） A、1 B、﹣1 C、7 D、﹣7 6、（2010?广安）若|x﹣2y|+=0，则xy的值为（） A、8 B、2 C、5 D、﹣6 7、（2009?天津）若x，y为实数，且|x+2|+=0，则（）2009的值为（） A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2 8、（2009?黔东南州）方程|4x﹣8|+=0，当y＞0时，m的取值范围是（） A、0＜m＜1 B、m≥2 C、m＜2 D、m≤2 9、（2008?青海）若|x﹣2y|+=0，则（﹣xy）2的值为（） A、64 B、﹣64 C、16 D、﹣16 10、（2008?眉山）已知+|b﹣1|=0，那么（a+b）2007的值为（） A、﹣1 B、1 C、32007 D、﹣32007 11、（2008?北京）若|x+2|+，则xy的值为（） A、﹣8 B、﹣6 C、5 D、6 12、（2007?黑龙江）若|x+y﹣3|+=0，则x﹣y的值为（） A、﹣1 B、1 C、3 D、﹣3 13、（2005?黄冈）已知x，y为实数，且+3（y﹣2）2=0，则x﹣y的值为（）
八下数学每日一练：非负数的性质：算术平方根练习题及答案_2020年综合题版
八下数学每日一练：非负数的性质：算术平方根练习题及答案_2020年综合题版 答案答案2020年八下数学：数与式_二次根式_非负数的性质：算术平方根练习题 ~~第1题~~ (2019江苏.八下期中) 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为a.直线y ＝bx+c 交x 轴于E ，交y 轴于F ，且a 、b 、 c 分别满足﹣（a ﹣4）≥0，c ＝ +8. （1） 求直线y ＝bx+c 的解析式并直接写出正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标； （2） 直线y ＝bx+c 沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t 秒，问是否存在t 的值，使直线E F 平分正方形OABC 的面积？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由； （3） 点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外），PM ⊥PO ，交直线AB 于M ，求 的值.考点： 偶次幂的非负性;非负数的性质：算术平方根;全等三角形的判定与性质;正方形的判定与性质;~~第2题~~ (2019卢龙.八下期中) 如图，在长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，点A 坐标为（a ，0），点C 的坐标为（0，b ），且a 、b 满足 +|b ﹣6|=0，点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣C ﹣B ﹣A ﹣O 的线路移动． （1） a=，b=，点B 的坐标为； （2） 当点P 移动4秒时，请指出点P 的位置，并求出点P 的坐标； （3） 在移动过程中，当点P 到x 轴的距离为5个单位长度时，求点P 移动的时间． 考点： 绝对值的非负性;非负数的性质：算术平方根;坐标与图形性质;~~第3题~~ (2019梁子湖 .八下期中) 如图，在平面直角坐标系中，已知A （0，5）， B （a ，b ），且a ，b 满足b ＝ ＋ －1.（1） 如图，求线段AB 的长； 2