与圆相关的证明和计算 -
F
E O Q P D C B A 与圆相关的证明和计算
1. 如图, ⊙O 直径CD⊥AB 于E, AF⊥B D 于F, 交CD 的延长线于H, 连AC.
(1) 求证：AC ＝AH ；
(2) 若AB
＝＝5, 求⊙O 的半径.
2．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦CD ⊥AB 于点H ，E 为AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ；
⑴求证：BF 平分∠DFE ；
⑵若DF=EF ，BE=5，CH=3，求⊙O 的半径；
3.已知：如图，ABC ?内接于O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于E ，C 是弧AD 的中点，连结BD ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．
（1）求证：P 是AQ 的中点；
（2）若3tan ,84ABC CF ∠=
=,求CQ 的长；
H
A
圆中的证明与计算
圆中的证明与计算及圆与三角形、四边形 知识点圆中的重要知识点 【知识梳理】 1、圆中的重要概念 2、圆中的重要定理 3、易与圆结合的其他知识 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。
（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。
【课堂练习】 1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。
【例题精讲二】圆周角定理 例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。
中考《圆》有关的证明和计算
半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切. 例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径， ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线， ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线
中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版
专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵
圆的证明与计算
以圆为背景的证明、动态探究题 1. 如图，在Rt△ABC中，ZABC=90 °，点M是AC的中点，以AB为直径作O O 分别交AC, BM于点D , E. (1) 求证：MD=ME (2) _______________________________________________ 填空：①若 AB=6，当AD=2DM 时，DE= __________________________ ； ②连接0D，OE，当/A的度数为_____________ 时，四边形ODME是菱形. 2. 如图，CD是GO的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作GO的切线PA，PB，切点分别为点A，B. (1)连接AC，若GAPO=30。，试证明CACP是等腰三角形; (2)填空： ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP= _______ cm时，四边形AOBP是正方形.
3?如图，AB是半圆0的直径，点P是半圆上不与点A, B重合的一个动点，延长BP到点C,使PC= PB, D是AC的中点，连接PD, P0. (1)求证：△CDP^△OB; (2)填空： ①若AB = 4，则四边形AOPD的最大面积为__________________ ； ②连接0D，当Z PBA的度数为_______ 时，四边形BPDO是菱形. 4. 如图，在。0中，AB是。0的直径，AC是。0的弦，过点C作。0的切线
交BA 的延长线于点P ,连接BC. (1)求证：/ PCA= ZB; (2)已知Z P=40 °,AB=12cm,点Q 在优弧AC 上，从点A 开始以n cm/s 的速度 逆时针运动到点C 停止(点Q 与点A 、C 不重合)，设运动时间为ts. 5. 如图，在 Rt △ABC 中，Z ACB=90 °以AC 为直径的。O 与AB 边交于点D,过 点D 作。O 的切线交BC 于点E 连接OE,。O 的半径为 3 。 (1)求证:OE//AB; ① 当t= ② 当t= 时，以点A 、Q 、B 、C 为顶点的四边形面积最大 时，△ABQ 与A ABC 全等。 (2)①当BC= ________ 时, ②当BC= _______ 时, 四边形ODEC 是正方形 AD=3DE.
九年级数学圆中的证明与计算(二)
1、如图，AB是⊙O的直径，D为弧AC的中点，DE⊥AB于E，交AC于F，AC、BD交于点G。 （1）求证：①AC＝2DE；②OF∥BD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AF的长。 【例题精讲一】切线的性质 例1.1、如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于E，F为弧AD上一点，BF交CD于G，FH切⊙O于点F，交CD的延长线于H。 （1）求证：FH＝GH；（2）若AB＝2FH，GF＝3 2，求AG的长。
2、如图，已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB 。 （1）如图1，求证：AC ＝AD ； （2）如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF 。若⊙O 的半径为 2 5 ，CD ＝4，求EF 的长。 3、如图，正方形ABCD ，以BC 为直径在正方形内作半圆O ，过D 作DE 与半圆O 相切于点E ，连OE 交AB 于F 。 （1）如图1，连OD 、DF ，求证：∠ODF ＝45°； （2）如图2，过B 作BM ∥DF 交OF 于G ，交⊙O 于点M 。若AD ＝6，求BM 的长。
【课堂练习】 1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC、AB分别相交于点E、F。 （1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，∠B＝2∠AFH，⊙O的半径为5，求FH的长。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于G，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F。 （1）求证：BE＝BF；（2）若⊙O的半径为R，AG＝R＋1，CE＝R－1，求弦AG的长。
中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
圆的证明和计算
圆的证明和计算 题型一：图形主要以圆和三角形（多为等腰三角形或直角三角形）组成； 依据所给条件判定圆的切线或已知圆的切线，求图中线段长度或角的度数； 主要考查知识有切线的判定、切线的性质、勾股定理、等腰三角形性质、直角三角形性质（斜边中线等于斜边一半、30°所对直角边等于斜边一半等）及解决圆的问题中常加辅助线（已知切线连半径、见直径想直角等）等等。 教材原型题：（基本图形为圆和等腰三角形） 1、（P45页例1）已知：如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB 。 求证：直线AB 是⊙O 的切线。 2、（P73页第4题）如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA=OB ，⊙O 的直径为8cm ，AB=10cm ，求OA 长． 3、（P45页练习1）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ， 求证：AT 是⊙O 的切线。 配套练习：（1、2、3、4题针对原型题1、2； 5、6、7、8针对原型题3） 1、（2009新疆乌鲁木齐市）如图5，在ABC △中，AB AC =，以AB 为直径的O ⊙交BC 于点M ，MN AC ⊥ 于点N ． （1）求证MN 是O ⊙的切线； （2）若1202BAC AB ∠==° ，，求图中阴影部分的面积． 2、（2009年漳州）如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°， （1）求证：CD 是O ⊙的切线； （2）若O ⊙的半径为3，求BC 的长．（结果保留π） 3、(08福建厦门23题)已知：如图，ABC △中，AB AC =，以AB 为直 径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ． （1）求证：PD 是O 的切线； （2）若1202CAB AB ∠==，，求BC 的值． O B A B
2018届中考数学复习专题题型(七)--圆的有关计算与证明
（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K] （1）求证：△COD ∽△CBE ； （2）求半圆O 的半径r 的长 ： 试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ， ∴CD ⊥OD ， ∴∠CDO=90°， ∵BE ⊥CD ， ∴∠E=90°=∠CDO ， 又∵∠C=∠C ， ∴△COD ∽△CBE ． （2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9， ∴22CE BE +=15， ∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC =，即15915r r -=， 解得：r= 458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质. 2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E. （1）求证：DE 是圆O 的切线. (2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.
(1)如图所示，连接OE，CE ∵AC是圆O的直径 ∴∠AEC=∠BEC=90° ∵D是BC的中点 ∴ED＝1 2 BC＝DC ∴∠1=∠2 ∵OE=OC ∴∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90° ∴∠OED=90°,即OE⊥DE 又∵E是圆O上的一点 ∴DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形 3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ． （1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标； （2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线． （1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2）， ∴AN=4， ∵∠ABN=30°，∠ANB=90°， ∴AB=2AN=8， ∴由勾股定理可知：223AB AN -=， ∴B （32）． （2）连接MC ，NC ∵AN 是⊙M 的直径， ∴∠ACN=90°， ∴∠NCB=90°，
圆的证明与计算 专 题
2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。 （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
圆的证明与计算
以圆为背景的证明、动态探究题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O 分别交AC，BM于点D，E. （1）求证：MD=ME （2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE=___________； ②连接OD，OE，当∠A的度数为____________时，四边形ODME是菱形. 2.如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P 作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B． （1）连接AC，若⊙APO=30°，试证明⊙ACP是等腰三角形； （2）填空： ①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP=________cm时，四边形AOBP是正方形．
3.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO． （1）求证：△CDP≌△POB; （2）填空： ①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________________; ②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形． 4.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线
交BA的延长线于点P，连接BC. （1）求证：∠PCA=∠B; （2）已知∠P=40°,AB=12cm,点Q在优弧AC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点A、C不重合），设运动时间为ts. ①当t=________时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大。 ②当t=________时，△ABQ与△ABC全等。 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O与AB边交于点D,过点D作⊙O的切线交BC于点E,连接OE,⊙O的半径为3。 （1）求证：OE∥AB; （2）①当BC=_________时，四边形ODEC是正方形。 ②当BC=_________时，AD=3DE.
与圆有关的证明与计算
与圆有关的证明与计算 1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点D 、E 、F 分别在AC 、BC 、AB 的边上，以AF 为直径的⊙O 恰好经过点D 、E ，且DE ＝EF . (1)求证：BC 是⊙O 的切线； (2)若∠B ＝30°，求CE CD 的值． 第1题图 (1)证明：如解图，连接OD ，OE ，DF ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴DF ∥BC ， ∵DE ＝EF ， ∴DE ︵＝EF ︵， ∴OE ⊥DF ， ∴OE ⊥BC ， ∵OE 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线； 第1题解图 (2)解：∵∠B ＝30°，且OE ⊥BC ， ∴∠BOE ＝60°， ∵OE ＝OF ， ∴△OEF 是等边三角形， ∴∠OEF ＝60°， 又∵DE ＝EF ，OE ⊥DF ， ∴∠OED ＝∠OEF ＝60°， ∴∠CED ＝30°， ∴∠CDE ＝60°， 在Rt △CDE 中， ∵tan ∠CDE ＝tan60°＝CE CD ＝3，
∴ CE CD ＝ 3. 2．如图，在Rt △BGF 中，∠F ＝90°，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BF 于点E ，交GF 于点D ，AE ⊥OD 于点C ，连接BD . (1)求证：GF 是⊙O 的切线； (2)若OC ＝2，AE ＝43，求∠DBF 的度数． 第2题图 (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又∵∠F ＝90°， ∴∠AEB ＝∠F ，∴AE ∥GF ， ∵AE ⊥OD ，∴OD ⊥GF ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴GF 是⊙O 的切线； (2)解：∵OD ⊥AE ， ∴AC ＝CE ＝1 2AE ＝23， ∵OA ＝OB ， ∴OC 是△ABE 的中位线， ∴BE ＝2OC ＝4， ∴在Rt △AOC 中，OA ＝OC 2＋AC 2＝22＋（23）2＝4， ∵∠CEF ＝∠DCE ＝∠F ＝90°， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ＝CE ＝23，EF ＝CD ＝OD －OC ＝4－2＝2， ∴BF ＝BE ＋EF ＝4＋2＝6， ∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝236＝3 3， ∴∠DBF ＝30°. 3．如图，点C 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，点D 在⊙O 上，且∠DAC ＝30°，∠BDC ＝1 2∠ABD . (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若OF ∥AD 分别交BD 、CD 于点E 、F ，BD ＝2，求OE 、CF 的长．
《圆的证明与计算》专题讲解
《圆的证明与计算》专题讲解 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 例2 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延
中考数学压轴题专项练习：圆的证明与计算题及答案
题库:圆的证明与计算题 1.如图，AB是⊙O的直径，点D是?AE上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE 交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若P A＝AO，DE＝2，求PD的长． 第1题图 (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE， ∴∠EAB＝∠CBE， ∴∠ABE＋∠CBE＝90°， ∴CB⊥AB， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线； (2)解：∵BD平分∠ABE， ∴∠ABD＝∠DBE， 如解图，连接DO，
第1题解图∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∵∠EBD＝∠OBD， ∴∠EBD＝∠ODB， ∴OD∥BE， ∴PD PE ＝PO PB ， ∵P A＝AO， ∴P A＝AO＝OB， ∴PO PB ＝2 3 ， ∴PD PE ＝2 3 ， ∴ PD PD＋DE ＝2 3 ， ∵DE＝2， ∴PD＝4. 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，cos A ＝2 5 ，求DF的长． 第2题图 （1）证明：如解图，连接OD， 第2题解图∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径， G
∴DF 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ， ∴AG ＝1 2AE ＝2. ∵cos A ＝AG OA ＝2OA ＝2 5， ∴OA ＝5， ∴OG ＝OA 2－AG 2＝21， ∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°， ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21. 3如图，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E ，AM ⊥BC 于点M ，交CD 于点N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN ； (2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径． 第3题图 (1)证明：∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAD ＝∠BCD ， ∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，
与圆的切线有关的计算与证明(2)
与圆的切线有关的计算与证明(1) 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 . 图Z12- 1 经典母题答图 【解析】如答图，连结0C. ??PC 为O O 的切线，.?./PC0 = 90 在RtSCP 中，??OC= 1,/P = 30°, ??0P= 20C= 2, ??PB= OP- 0B= 2- 1= 1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017天津]已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D. (1) 如图Z12-2①，求/ T和/CDB的大小； (2) 如图②，当BE= BC时，求/ CD0的大小.
解：⑴如答图①，连结AC , ??AT 是。O 的切线，AB 是。O 的直径, ??AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, ? 50°,?d 90°-/ ABT = 40 由AB 是O O 的直径，得/ ACB = 90° ? Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°; ⑵如答图②，连结AD , 在厶 BCE 中，BE = BC ,/ EBC = 50 ? / BCE =/BEC = 65°, ?/ BAD = /BCD = 65 ? OA = OD ，?/ ODA =/ OAD = 65 ? / ADC =/ ABC = 50°, ? / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15 【中考预测】 [2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。O 相切于点B , BC 为。O 的弦，OC 丄OA , OA 与BC 相交于点 P. 图 Z12- 2 中考变形答图① 中考变形答图②
圆的计算与证明
圆的计算与证明 1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积． 2．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．（1）求证：∠ACD＝∠ACF； （2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长． 3．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D 作DE⊥MN于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DP A＝45°． （1）求⊙O的半径； （2）求图中阴影部分及△PBF的面积． 6．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
7．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE． （1）求证：AP＝AO； （2）若弦AB＝24，求OP的长． 8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC 于D、E、F、G． （1）求证：CD＝EF； （2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长． 9．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E． （1）求线段DE的长； （2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．
(完整版)圆的证明与计算(精编版)
《圆的证明与计算》专题讲解 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 圆的有关证明 一、圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周
角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 知识点一：判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例： 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需
中考数学专题训练圆的证明与计算
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA ＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D. （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若PA＝4 5 PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长. 第1题图(1)证明：如解图，连接OA、OB， 第1题解图∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP(SSS)， ∴∠OAP＝∠OBP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径，
(2)解：∵PA ＝4 5PO ，⊙O 的半径为10， ∴在Rt △AOP 中，OA ＝PO 2－（45 PO ）2＝10， 解得PO ＝ 503 ， ∴cos ∠AOP ＝AO OP ＝OD AO ， ∴OD ＝6， ∴PD ＝PO －OD ＝32 3 . 2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE . （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若cos C ＝3 5 ，AC ＝24，求直径AE 的长. 第2题图 (1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ， ∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠B ， 又∵∠E ＝∠B ， ∴∠DAC ＝∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠E ＋∠EAD ＝90°， ∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，
∴AE ⊥AC ， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ， 第2题解图 ∵DA ＝DC ， ∴CF ＝1 2 AC ＝12， 在Rt △CDF 中，∵cos C ＝CF CD ＝3 5 ， ∴DC ＝20， ∴AD ＝20， 在Rt △CDF 中，由勾股定理得1622==CF CD DF －， ∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ， ∴△ADE ∽△DFC ， ∴AE DC ＝AD DF ， 即 AE 20＝16 20 ，解得AE ＝25， 即⊙O 的直径AE 为25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF ⊥BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求⊙O 的半径．
初三数学圆中的证明与计算专题
B 圆中的证明与计算复习题 一.近五年广州中考题回顾 1.(2005改编题)如图8，CD 是⊙0的切线，切点为A,AB 是⊙0的直径.E,F ⊙0上的点, (1)求证：∠DAE=∠FDE//A B. (2)若EF //CD,求证:△AEF 是等腰三角形 2．(本小题满分12分2006) 如图7⊙0的半径为1，过点A(2，0)的直线切 ⊙0于点B ，交y 轴于点C. (1)求线段AB 的长； (2)求以直线AC 为图象的一次函数的解析式． 3、（12分2007）在△ABC 中，AB=AC ，内切圆O 与边BC 、AC 、AB 分别切于D 、E 、F. （1 ）求证：BF=CE ； （2）若∠C=30°，C E =，求AC. 4、（2008广州）（12分）如图9，射线AM 交一圆于点B 、C ，射线AN 交该圆于点D 、E ， 且??BC D E = （1）求证：AC=AE （2）利用尺规作图，分别作线段CE 的垂直平分线 与∠MCE 的平分线，两线交于点F （保留作图痕迹 ，不写作法）求证：EF 平分∠CEN
5.（本小题满分10分2009） 如图10，在⊙O 中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=cm 32， （1）求∠BAC 的度数； （2）求⊙O 的周长 二.各地中考题精选 1. 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是弦，OC 垂直AD 于F 交⊙O 于E ，连结DE 、BE ， 且∠C =∠BED ． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若OA =10，AD =16，求AC 的长． 2. 如图，M P 切O ⊙于点M ，直线P O 交O ⊙于点A 、B ，弦A C M P ∥， (1)求证：M O B C ∥． (2补充)连结CM,当四边形BCMO 为菱形时,求∠P 的度数 或反过来问:当30P ∠=°时,判断四边形BCMO 的形状,并说明理由. 3. 如图，O ⊙的半径为2，直径C D 经过弦A B 的中点G ，若弧AB 的长等于圆周长的16 ． （1）填空：cos A C B ∠＝____________； （2）求G D G B 的值． C E D A F O B P
九年级数学圆中的证明与计算(一)
圆中的证明与计算之垂径定理、圆周角定理 1、如图，如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠BAD＝60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是_________。 2、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线⊙A于M、N两点。若点M的坐标是（－4，－2），则弦MN的长为_________。 【例题精讲一】垂径定理 例1.1、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，点G在直径DF的延长线上，∠D＝∠G＝30°。（1）求证：弧CF＝弧BC；（2）若CD＝6，分别求BE、GF的长。 2、如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD。
（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝2 4，ON＝1，求⊙O的半径。 3、如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝13，AC＝5。 （1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求PA的长。【课堂练习】
1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为AB延长线上一点，CE交⊙O于F，连接BF。 （1）求证：BF平分∠DFE；（2）若EF＝DF，BE＝5，CH＝3，求⊙O半径。 2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF。 （1）求证：∠BAD＝∠F；（2）若EF＝25，AC＝4，求⊙O的半径。 【例题精讲二】圆周角定理
例2.1、如图，CD为⊙O的直径，AB、AC为弦，且∠ADC＝∠DAB＋∠ACD，AB交CD于E。 （1）求证：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝10，求AC的长。 2、在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在AD上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。 （1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC＝45°，AC＝10，BD＝8，求CE的长。 3、如图，⊙O为△ABD的外接圆，E为△ABD的内心，DE的延长线交⊙O于C。 （1）如图1，求证：CE＝AC；
圆的相关证明与计算
圆的相关证明与计算（7） 1、如图，正方形ABCD 内接于⊙0，M 为弧AD 中点，连接BM ，CM. （1）求证：BM=CM ； （2）当⊙0的半径为2时，求弧BM 的长。 M 2、如图，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°AP ，CB 的延长线相交于点D. （1）求证；△ABC 是等边三角形； （2）若∠PAC=90°,AB=2√3，求PD 的长。 D 3、（相似）已知△ABC ，以AB 为直径的⊙0分别交AC 于D ，BC 于E ，连接ED.若ED=EC. （1）求证：AB=AC ； （2）若AB=4，BC=2√3,求CD 的长。 E
4、（相似）如图，AB 为△ABC 外接圆⊙0的直径，点P 是线段CA 延长线上一点，点E 在圆上且满足PE 2=PA ·PC ，连接CE ，AE ，OE ，OE 交CA 于点D. （1）求证：△PAE ∽△PEC ； （2）求证：PE 为⊙0的切线； 5、如图，在矩形ABCD 中，点0在对角线AC 上，以0A 的长半径的⊙0与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB=∠DCE. （1）判断直线CE 与⊙0的位置关系，并证明你的结论； （2）（相似）若tan ∠ACB=√22 .BC=2，求⊙0的半径。 D C 6、如图，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB=∠DCO=90°，0为AB 的中点。 （1）求证：∠B=∠ACD ； （2）已知点E 在AB 上，且BC 2=AB ·BE. （相似）（i ）若tan ∠ACD=34，BC=10，求CE 的长； （i i ）试判定CD 与以A 为圆心，AE 为半径的⊙A 的位置关系，并说明理由。