北师大版中考复习二次函数总结及典型题

北师大版中考复习二次函数总结及典型题

Jenny was compiled in January 2021

二次函数

一、二次函数的定义

例1、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。

若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。

二、五点作图法的应用

例2. 已知抛物线y x x

=-+

1

2

3

5

2

2，

（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．

1、抛物线1

8

22-

+

-

=x

x

y的顶点坐标为（）

（A）（-2，7）（B）（-2，-25）（C）（2，7）（D）（2，-9）

2、抛物线(1)(3)(0)

y a x x a

=+-≠的对称轴是直线（）

A．1

x=B．1

x=-C．3

x=-D．3

x=

3、把二次函数3

4

1

2+

-

-

=x

x

y用配方法化成()k

h

x

a

y+

-

=2的形式

三、a b c

，，及b ac

24

-的符号确定

例3. 已知抛物线y ax bx c

=++

2如图，试确定：

（1）a b c

，，及b ac

24

-的符号；（2）a b c

++与a b c

-+的符号。

1、已知二次函数2

y ax bx c

=++（0

a≠）的图象如图所示，有下列四个结论：

2

0040

b c b ac

<>->

①②③④0

a b c

-+<，其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2、已知二次函数2

y ax bx c

=++的图象如图所示，有以下结论：①0

a b c

++<；②1

a b c

-+>；③0

abc>；④420

a b c

-+<；⑤1

c a

->其中所有正确结论的序号是（）

1

1

1-

O x

y

A ．①②

B ． ①③④

C ．①②③⑤

D ．①②③④⑤

3、二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示，则下列关系式中错误．．

的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0

C ．ac b 42-＞0

D ．c b a ++＞0

4、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：

①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．

其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）

5、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2

B 3

C 、4

D 、5

四、二次函数解析式的确定 例4. 求二次函数解析式：

（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；

（3）已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

练习：根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式

（1） 当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）

（2） 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=3

2

（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）

五、二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

x

O

1 －

例5、已知抛物线y＝x2-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积

1、二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为

2、如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C，则△

ABC的面积为( )

B.4

3、若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是

六、直线与二次函数的问题

例6已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐

标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴

交抛物线于另一点B，当S

△AOB

=4时，求此二次函数的解析式．

1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。

2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。

例7 已知关于x的二次函数y=x2－mx+

21

2

m+

与y=x2－mx－

22

2

m+

，这两个二次函数的图

像中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．

（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B两点；

（2）若A点坐标为（－1，0），试求B点坐标；

（3）在（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x?值的增大而减小

练习如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是(－1，2)．（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；

（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S

△ABP ＝S

△ABO

．

例8 已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC?把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．

七、用二次函数解决最值问题

例9 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：

x （元）152030…

y（件）252010…

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元

例3.你知道吗平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)

( )

A．1．5 m B．1．625 m

C．1．66 m D．1．67 m

八、二次函数应用 (一）经济策略性

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X 的一次函数.(1)试求y 与x 的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少（总利润=总收入－总成本）

2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。 （1）设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元，写出P 关于X 的函数关系式。

（2）如果放养X 天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q 元，写出Q 关于X 的函数关系式。

（2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少

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一. 选择题。

1. 用配方法将12

322x x ++化成()a x b c ++2

的形式（ ）

A. ()123522x +-

B. 1232542

x +?? ???

- C. ()12322

x ++ D.

()1

2

372x +- 2. 对于函数y ax a =<20()，下面说法正确的是（ ）

A. 在定义域内，y 随x 增大而增大

B. 在定义域内，y 随x 增大而减小

C. 在()-∞，0内，y 随x 增大而增大

D. 在()0，+∞内，y 随x 增大而增大 3. 已知a b c <<>000，，，那么y ax bx c =++2的图象（ ）

4. 已知点（-1，3）（3，3）在抛物线y ax bx c =++2上，则抛物线的对称轴是（ ）

A. x a b

=-

B. x =2

C. x =3

D. x =1

5. 一次函数y ax b =+和二次函数y ax bx c =++2在同一坐标系内的图象（ ）

6. 函数y x x =-++33322的最大值为（ ） A. 94

B. -3

2

C. 32

D. 不存在

二. 填空题。

7. ()()y m x m x m =++-++1132

1是二次函数，则m =____________。

8. 抛物线y x x =

--5

2

222的开口向_____，对称轴是________，顶点坐标是_______。 9. 抛物线y ax bx c =++2的顶点是（2，3），且过点（3，1），则a =___，b =___，

c =______。

10. 函数y x x =---12352

2图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数________的图象。 三. 解答题。

抛物线()()y x m x m m =-++-+-222243，m 为非负整数，它的图象与x 轴交于A 和B ，A 在原点左边，B 在原点右边。 （1）求这个抛物线解析式。

（2）一次函数y kx b =+的图象过A 点与这个抛物线交于C ，且

S ABC ?=10，求一次函数解析式。

◆强化训练 一、填空题

1．右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像，?观察图像写出y 2≥y 1时，x

的取值范围_______．

2．已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），?则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．

3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴没有交点，其中c为整数，?则c=_______（只要求写出一个）．

5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c?的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水

平距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－

1

12

s2+

2

3

s+

3

2

．如下左图所

示，?已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为9

4

m，设乙的起

跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m?的取值范围是______．

7．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______．

8．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，?房子的价格y（元/m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）?都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2．

二、选择题

9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，?则下列关系式不正确的是（）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0

(第9题) (第12题) (第15题) 10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M

（－2，y

1），N（－1，y

2

），K（8，y

3

）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列

结论中正确的是（）

A．y

1

2

3

B．y

2

1

3

C．y

3

1

2

D．y

1

3

2

11．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）

A．－1 B．0 C．1 D．2

12．如图所示，抛物线的函数表达式是（）

A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2

13．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（）

A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

14．已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）

A．（1

2

，0） B．（1，0） C．（2，0） D．（3，0）

16．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，?且m≠0）的图像可能是（）

三、解答题

17．如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP?是什么四边形并证明你的结论；

（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．

18．如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC?把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标．

19．某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，?其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，?机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．?为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，?建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC．

20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点．

（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于x轴的直线L的解析式为y=25

4

，抛物线与x轴

交于A，B两点．?在抛物线的对称轴上找点P，使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．

21．如图5－76所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x?轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．

22．如图所示，过y轴上一点A（0，1）作AC平行于x轴，交抛物线y=x2（x≥0）于点

B，交抛物线y=1

2

x2（x≥0）于点C；过点C作CD平行于y轴，交抛物线y=x2于点

D；过点D作DE平行于x轴，交抛物线y=1

4

x2于点E．

（1）求AB：BC；

（2）判断O，B，E三点是否在同一直线上如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明理由．