双等边三角形

B

O

D

C

E

图8

一、 双等边三角形模型

1.如图，点C 在线段BD 上，△ABD 与 △ACE 都为等边三角形，求∠

BDE 的度数．

2.如图，已知△ABC 和△ADE 都是等边三角形， 连接CD 、BE ．求证：CD=BE ．

1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边

三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；

（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

C

B

O D 图7

A

E

3.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 向外 作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ， 线段BE 与CD 相交于点O ，连接OA ． （1）求证：BE=DC ； （2）求∠BOD 的度数； （3）求证：OA 平分∠DOE ．

2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O. ① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。（湘潭·中考题）

4.如图，△ABC 是等边三角形，D 是

AB 边上的一点，以CD 为边作等边三 角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，

A B C M

N O

P

Q

连接AE ．求证：AE ∥BC ．

同类变式： 如图a ，△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE.

(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；

(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.

3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证：

CD BE =，△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立？若成立,请证

明；若不成立，请说明理由；

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请

给出证明，若不是，请说明理由．

同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =

，

图9 图10 图11

BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD

，的中点．

（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；

（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

24．如图，线段

BE 上有一点C ，以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．

（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外），并说明你的理由． （2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，问△CMN 是否是等边三角形？若是请你说明理由；若不是，请给出你的正确结论，不必证明．

24．如图，等边三角形ABD 和等边三角形CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ．

(1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)E 点在何处时，△BEF 面积的最小值．

图①

E 图②

16．如图，已知等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD=AE ，作等边三角形PCD ，QAE 和RAB ，求证：P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点．

4、 如图甲，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F ．

(1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 是等边三角形；

(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小属结论是否仍然成立(不要求证明)．

8、如图所示，△ABC 和△CDE 是等边三角形，E 是AC

延长线上一点，

M 是AD 的中点，N 是BE 的中点，试说明：△CMN 是等边三角形。

1.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ； （2）试证明：EM-PM=AM.

2、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。求证：

（1）AN=MB.（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件

不变，（

1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

①

图②

5.已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；

（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

6.如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和

正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：

① AD=BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP=BQ ；

④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60° ⑥CP=CQ ⑦△CPQ 为等边三角形． ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO 平分∠AOP ⑩CO 平分∠BCD 22题P B

E

A B A

B A

B C

E

D O

P

Q

图①

E 图②

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

10.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；

（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．

11、如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．

9如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：

① AD=BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP=BQ ； ④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°．

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A 、B 、D 三点共线．下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°，⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个

1、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<

°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两

点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC

有怎样的数量关系？并证明你的

B D （图１）

C

G

A

E

D

B

F

A

B

C

E D

O P Q

结论；

2. 如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．

3.如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F.

⑴ 如图14―1，当点E 在AB 边的中点位置时：

① 通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ； ② 连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ； ③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图14―2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N, 使得NE=BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系

并证明

已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==?，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°， EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证1

2

DEF CEF ABC S S S +=△△△．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A

D

B

E

C

F 1A

1C

A

D

B

E

C

F 1A

1C

A B

C D

E F A E

C

F B D 图1 图3

A

D

F

E

C

B

A D

B

C E

图2

F

高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案

解斜三角形（复习）公开课教案 [教学目标] 一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。 二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。 [教学重点] 正弦、余弦、面积公式的应用。 [教学难点] 选择适当的方法解斜三角形。 [教学过程] 一：基本知识回顾： 1.1、正弦定理及其变形； 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 是三角形外接圆的半径） 变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2c C R = 变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c = 1.2、余弦定理及其变形； 余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-，变式：222 cos 2b c a A bc +-= 2 2 2 2cos b a c ac B =+-， 222 cos 2a c b B ac +-= 2 2 2 2cos c a b ab C =+-。 222 cos 2a b c C ab +-= 1.3、面积公式 二：例题分析： 1、正弦定理 （1）在△ABC 中，已知 ，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =0 30A = , 则B 等于60?或120? 111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===4,303 a b A ===?

2、余弦定理 （1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60° （2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 A ．4 1 - B ．41 C ．3 2 - D ． 3 2 3、三角形解的个数 （1）在△ABC 中，已知 , 这个三角形解的情况是:（ C ） A.一解 B.两解 C.无解 D.不能确定 （2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6== b a ，那么 满 足条件的△ABC （ ） A ．有一个解 B ．有两个解 C ．无解 D ．不能确定 4、判断三角形形状 （1）若c C b B a A cos cos sin = =则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．有一个内角为30°的直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形 （2）关于x 的方程02 cos cos cos 2 2=-??-C B A x x 有一个根为1，则△AB C 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 5、正余弦定理的实际应用 （1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要 伸长（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （2） 10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。设艇舰在处与渔船相遇，求方向的方位角的正弦值 18,20,150a b A ===?222a b c bc =+-

北师大版三角形的证明(全章节复习题)

等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图. 3．理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程．通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 １.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,AB＝AＣ,△AＢＣ是等腰三角形，其中AB、ＡC为腰,BＣ为底边,∠Ａ是顶角，∠B、∠Ｃ是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a，b(如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使ＡB=AＣ=ｂ,BC=ａ． 作法：１．作线段BＣ=a; 2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC． △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (１)等腰三角形是轴对称图形； （2）∠B＝∠C； （3)BD=ＣD，AD为底边上的中线.

（4)∠ＡDB＝∠ADＣ=90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴． 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释:（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角），但顶角可为钝 角(或直角)．∠Ａ=180°-2∠B,∠B=∠Ｃ=180 2 A ?-∠ . (2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中，等边对等角”. 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质２:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等. 要点诠释:这条性质,还可以推广到一下结论： (1)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等． (3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等,到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 １.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释:(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. (２)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形. ２.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有3０°角的直角三角形

例谈等边三角形问题的证明

例谈等边三角形问题的证明 等边三角形是特殊的三角形，它三边相等、三个角均为60?，为我们提供了丰富的自然条件．在竞赛中，以等边三角形为题材的问题很多，在此列举几种证明方法． 一、旋转法 当题目出现有公共顶点的两个等边三角形时，我们常常从旋 转图形中得到解题的途径． 例1 如图1，已知ABC △是等边三角形，E 是AC 延长 线上一点，选择一点D ，使得CDE △是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点． 求证：CMN △是等边三角形． 分析：把CAD △绕点C 逆时针旋转60?，便转到了CBE △的位置，相应的中线CM 转到了CN 的位置，所以CM CN =，由于旋转了60?，所以CM 与CN 的夹角为60?，由此可知CMN △是等边三角形． 简证：易证ACD BCE ∠=∠，从而CAD CBE △≌△，于是可得 CAD CBE AD BE ∠=∠=，，再由M N ，分别是AD BE ，的中点，可得AM BN =，所以CAM CBN △≌△，所以CM CN ACM BCN =∠=∠，，同时减去BCM ∠，便得到60MCN ACB ∠=∠=?，所以CMN △是等边三角形． 说明：用旋转法分析的问题，一般在证明时用SAS 证明． 二、直角三角形法 由于60?的余角是30?，所以问题中出现直角时，往往利用“在直角三角形中，30?的角所对的直角边等于斜边的一半”来解决问题． 例 2 如图2，ABC △中，AB BC CA AE CD ===，， AD BE ，相交于P ，BQ AD ⊥于Q ． 求证：2BP PQ =． 分析：由图形可知，欲证2BP PQ =，只须证明30PBQ ∠=?，也就是60BPQ ∠=?，而BPQ ABP BAP ∠=∠+∠，只要证明 ABP CAD ∠=∠即可．可以利用SAS 判断ABE CAD △≌△．问题得证． 证明（略） 三、拼接法 在证明线段和差问题时，往往采用拼接的方法，利用等边 三角形的特点进行证明． 例3 如图3， ABC △是边长为1的等边三角形，BDC △是顶角120BDC ∠=?的等腰三角形，以D 为顶点做一个角A 图1 图2 E B C D M N A 图3

解斜三角形应用举例(第一课时) 教案

解斜三角形应用举例（一） ●教学目标 （一）知识目标 1.实际应用问题中的专用名词； 2.解斜三角形问题的类型. （二）能力目标 1.会在各种应用问题中,抽象或构造出三角形,标出已知量、未知量,确定解三角形的方法； 2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力. （三）德育目标 通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用. ●教学重点 1.实际问题向数学问题的转化； 2.解斜三角形的方法. ●教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定. ●教学方法 启发式 在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理. ●教具准备 投影仪、三角板、幻灯片 第一张：例1、例2（记作§5.10.1 A） ［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95 m，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40 m，计算BC的长（保留三个有效数字）. ［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 第二张：例3、例4（记作§5.10.1 B） ［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. ［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.

《等边三角形》练习题(附答案)

《等边三角形》练习题 1．（2012?深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△ 2．（2012?凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠ 2 5．（2010?随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q =S1=2S2 cm

9．（2006?天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③ 10．（2006?南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是 12．（2006?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰 DF=DE，则∠E=_________度． 14．（2008?日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________．（把你认为正确的序号都填上） 15．（2005?扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________． 16．（2004?茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则： （1）△A3B3C3的边长a3=_________； （2）△A n B n C n的边长a n=_________（其中n为正整数）． 17．（2006?嘉峪关）△ABC为等边三角形， D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 AE=CD=BF，则△DEF为_________三角形．

(完整版)解斜三角形

解斜三角形 一、基本知识 1. 正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 是△AB C 外接圆半径） 2.余弦定理 A bc c b a cos 22 2 2 -+= B ac c a b cos 22 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+= bc a c b A 2cos 2 22-+= ac b c a B 2cos 2 22-+= ab c b a C 2cos 2 22-+= 3. C ab S ABC sin 21 =? r c b a S ABC )(2 1 ++=?（r 是△ABC 内接圆半径） 4. 重要结论 （1） C B A sin )sin(=+ C B A cos )cos(-=+ C B A tan )tan(-=+ （2） 2cos 2sin C B A =+ 2 sin 2cos C B A =+ （3） =++C B A tan tan tan C B A tan tan tan ?? 5. 考题分类 题型一: 求解斜三角形中的基本元素 题型二：判断三角形的形状 题型三：解决与面积有关问题 题型四：三角形中求值问题

题型五：实际应用 二、例题解析 【例1】已知△ABC 中，,sin )()sin (sin 222 2B b a C A -=-外接圆半径为2，求 角C 。 分析： 由,sin )()sin (sin 222 2B b a C A -=-得 R b b a R c R a 2)()44(222222-=- 由于，2= R ，代入并整理，得 ab c b a =-+2 2 2 所以，2 1 22cos 222==-+= ab ab ab c b a C 所以，3 π =C 。 【例2】设ABC ?的内角..A B C 所对的边分别为..a b c ，已知11. 2.cos .4 a b C === （Ⅰ）求ABC ?的周长 （Ⅱ）求()cos A C -的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力 解析：（Ⅰ）∵44 1 441cos 22 2 2 =?-+=-+=C ab b a c ∴2=c ∴ABC ?的周长为5221=++=++c b a . （Ⅱ）∵41cos =C ，∴415411cos 1sin 2 2 =?? ? ??-=-=C C ， ∴8 15 2415 sin sin ===c C a A ∵b a <，∴B A <,故A 为锐角， ∴878151sin 1cos 2 2 =??? ? ??-=-=A A

等边三角形的证明例题

F E D C B A F E D C B A 1：如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且DE ⊥BC 、EF ⊥AC 、FD ⊥AB ，则△DEF 是等边三角形.请说明理由. 变式1：已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF 是等边三角形. 变式2：△ABC 为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF 为等边三角形吗？说明理由.

A C B A ′ C ′ B ′ https://www.wendangku.net/doc/7919019698.html,.c B A D C E 变式3：如图,△ABC 是等边三角形.分别延长CA 、AB 、 BC 到A ′、B ′、C ′，使AA ′=BB ′=CC ′，则△A ′B ′C ′是等边三角形.请说明理由. 2：如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ． 1：如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ． (1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)当E 、F 运动到什么位置时，△BEF 面积的最

小？ 2：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F ． (1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 是等边三角形； 1.如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接EF ，若BE =DF ，点P 是EF 的中点． (1) 求证：AE = AF ； (2) 若75AEB ∠=?, 求CPD ∠的度数． 2． 如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF ⊥AE 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ， (1)求证： DH =AG+BE ； P G F D A

解斜三角形教案

第11章 解三角形 课时1 §11.1正弦定理(一) 教学目标 掌握正弦定理的推导过程,并利用正弦定理，解决以下两类解斜三角形的问题： （１）已知两角与任一边，求其他两边和一角； （２）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． 教学重点 三角形的各边和它所对角的正弦之比相等，即正弦定理（ｓｉｎｅｔｈｅｏｒｅｍ）： C c B b A a sin sin sin = = 教学难点 已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角时解的个数的讨论. 教学过程: 通过下面的途径尝试证明正弦定理： （１）转化为直角三角形中的边角关系； （２）建立直角坐标系，利用三角函数的定义； （３）通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题； （４）利用向量的投影或向量的数量积（产生三角函数）． 举一反三 1. 在 中，三个内角之比 ，那么相对应的三边之比等于 （ ）．A ． B ． C ． D ． 2. 在△ABC 中，B=1350，C=150，a=5，则此三角形的最大边长为 . 3.在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．

举一反三 1.、 不确定 　二解 一解 无解 是 （　），此三角形的解的情况，中，在D .C .B .A 45A ,32b 22a ABC 0 ===? 2、根据下列情况，解三角形时，有两组解的是 （ ） A. A ＝300，c ＝20 a=10 B. A ＝300，c ＝20 a=28 C. A ＝300，c ＝20 a=12 D. A ＝300，c ＝20 a=3 11

旋转的证明与计算(等边三角形)

旋转的证明与计算 模块一：旋转应用之等边旋转 类型二：正方形中的旋转 例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于 考点：旋转的性质；正方形的性质 分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以2 11121=??=?APE S ；2 93321=??=?CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422 121=??=??=?EF EP S PEF 最后利用S 正方形 A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．

跟踪训练： 2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3 少度？ 考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理 分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转 60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°， 2 AP′=AP=2，P′C=PB=3 ，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC． 2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）． （1）当0°＜α＜60°时，求AM?CN的值； （2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域； （3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．

高考解斜三角形题型归纳

1.（福建卷文7）已知锐角ABC ? 的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为 A. 75° B. 60° B. 45° D.30° 2.（广东卷文7）已知ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为a ,b,c 若a =c=26+且75A ∠=o ，则b= A.2 B ．4 ＋ C ．4 — D A 3.（湖南卷文7）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120 °，c =,则 A 、a>b B 、a

八年级数学三角形的证明知识点复习

八年级数学三角形的证明知识点复习 八年级下册数学《三角形的证明》知识点复习 第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等等边对等角. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形等角对等边. 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合即“三 线合一”. 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°;等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：1有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形; 2三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就 是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N;作直线MN就是线段AB的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点 叫内心 通用篇 1.真命题与假命题 真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。 假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题， 命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分;逆命题是将原命题的已知和结论交换; 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这 两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它 的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。 2、证明命题的一般步骤: 1理解题意:分清命题的条件已知,结论求证; 2根据题意,画出图形;

高中数学_解斜三角形教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计 本节课是人教B版必修五第一章第二节的内容。我的总体思路是让学生进一步掌握正弦定理，余弦定理的应用，体会这两个定理在实际中的应用，从而激发学生的兴趣，调动学生学习的积极性。 一：复习引入 以问题的形式提问正弦定理、余弦定理的内容以及他们各自的应用类型，并给出两个小题加以训练。然后以一个实际问题出发，引出新课。二：新课讲授 我准备了一个引例，引导学生构造三角形解决问题。后面准备了三个例题，第一个例题测量高度问题，引导学生积极发言，选择最优方案，并寻找边角关系，合理选择定理解题，特别是出现直角三角形的时候，利用直角三角形的特点去求。 例2是一个四边形的问题，这个问题在解决的时候需要同学去选择三角形，不同的选择方法有不同的做法，应用定理不同，计算量不同，这个例题比例1的难度大些，给学生思考的时间，然后让学生展示，并板书，让学生体会正弦定理、余弦定理的应用，和边角关系的处理。例3是一个文字性的应用题，这种问题是学生的薄弱地方，为了降低难度，我用多媒体给出了图形，学生通过读题，看图理解题意，列出函数关系式，转化为数学问题，最后解答的时候再回归到实际问题。以上三个例题，三种题型，由易到难，每个问题都给学生充分思考的时间，引导学生积极发言，相互补充，寻找最佳方案。培养学生观察分析的能力，进一步培养学生利用所学知识解决问题的能力，进一步

调动学生的参与。 三：小结 引导学生回顾总结问题的解决过程，体会运用数学知识解决实际问题的基本思路。分析题意→画图→数学问题→解三角形→检验并回答问题。 学情分析 本节课是人教B版必修五第一章第二节的内容。学生在第一节中学习了正弦定理，余弦定理，初步掌握了利用正弦定理、余弦定理解决三角形的边、角问题，能进行边角的转化，并能根据所给出的条件求边长，或求角度。另一方面，高中的学生思维活跃，具有较强的数学抽象能力，能解决比较简单的一些实际应用问题。 效果分析 这节课在设计上采取的是问题串的形式，从复习到例题的解决，都给学生设置了台阶，采用小步快跑的形式，使大部分学生都能跟的上，都能积极动脑，主动发言。本节课重点是对实际问题的抽象分析，转化数学问题，解三角形，利用正弦定理，余弦定理解决三角形中的边角关系。从学生的课堂反应来看，大部分学生都能达到预期目标，对有关角的概念都能理解掌握，进一步巩固了正弦定理，弦定理的应用。 教材分析

解斜三角形-教师

解斜三角形 【知识精要】 1. 正弦定理：正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 是三角形外接圆半径。 2. 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=,bc a c b A 2cos 2 22-+=. 3.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21=== ?,Sr c S b S a S S S =---=?))()(((2 c b a S ++=,r 为内切圆半径）=R abc 4 （R 为外接圆半径）。 4. 在三角形中大边对大角，反之亦然.。 5. 三角形内角的诱导公式： (1)C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,)tan(tan B A C +-=, 2s i n 2c o s B A C +=,2 cos 2sin B A C += 在ABC ?中，熟记并会证明A C B A tan tan tan tan =++C B tan tan ??； (2) A 、B 、C 成等差数列的充要条件是 60=B ； (3)ABC ?是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列 6.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及 C c B b A a sin sin sin ==，可求出角C ，再求出b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由A bc c b a cos 2222-+=，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理 B b A a sin sin =，求出另一边b 的对角B ，由)(B A C +-=π，求出 c ，再由C c A a sin sin =求出C ，而通过B b A a si n si n =求B 时，可能出一解，两解或无解的情况。

解斜三角形(含答案)

考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角 例1.如下图所示，在四边形ABCD 中，已知,10,14,60AD CD AD AB BDA ⊥==∠=，135BCD ∠=，求 BD BC 及的长. 题型2：三角形面积 例2．在?ABC 中，sin cos A A += 2 2 ，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和?ABC 的面积。 解法一：先解三角方程，求出角A 的值。 .2 1)45cos(,22)45cos(2cos sin = -∴= -=+ A A A A 又0180 <<=-另解

2 3cos sin 21)cos (sin 2 = -=-A A A A , ∴-= sin cos A A 6 2 ② ①+②得sin A = +26 4 。 ①－②得cos A = -26 4 。 从而sin tan 2 cos 4A A A = ==- 以下解法略去。 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 题型3：三角形中的三角恒等变换问题 例3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2 －c 2 =ac －bc ， 求∠A 的大小及 c B b sin 的值。 分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理。由b 2 =ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c B b sin 的值。 解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2 =ac 。 又a 2 －c 2 =ac －bc ，∴b 2 +c 2 －a 2 =bc 。 在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=2 1， ∴∠A =6在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a A b sin ，∵b 2 =ac ， ∠A =60°， ∴ac b c B b ?=60sin sin 2=sin60°=23 。 解法二：在△ABC 中， 由面积公式得 21bc sin A =2 1 ac sin B 。 ∵b 2 =ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2 sin B 。

高一教案解斜三角形应用举例(1)

课题：解斜三角形应用举例（1） 教学目的： 1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法； 2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系； 3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力 教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪

教学方法：启发式 在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理教学过程： 一、复习引入： 1．正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=?bc a c b A 2cos 222-+= ,cos 22 22B ca a c b -+=?ca b a c B 2cos 2 22-+= C ab b a c cos 22 22-+=，?ab c b a C 2cos 222-+= 3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力

中的一些应用 二、讲解范例： 例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构， 设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知 车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字) 分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40ｍ，AB＝1．95 ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A ＝1．952＋1．402－2×1．95×1．40×cos66°20′＝3．571

等边三角形的证明例题

1：如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则△DEF是等边三角形.请说明理由. 变式1：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF是等边三角形. 变式2：△ABC为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF为等边三角形吗？说明理由.

A C B A ′ C ′ B ′ 变式3：如图,△ABC 是等边三角形.分别延长CA 、AB 、 BC 到A ′、B ′、C ′，使AA ′=BB ′=CC ′，则△A ′B ′C ′是等边三角形.请说明理由. 2：如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ． 1：如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ． (1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)当E 、F 运动到什么位 置时，△BEF 面积的最 小？

2：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F． (1)求证：AN=BM； (2)求证：△CEF是等边三角形； 1.如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点． (1) 求证：AE = AF； (2) 若75 ∠的度数． ∠=?, 求CPD AEB 2．如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥A E于F，直线PF分别交AB、CD于G、H， (1)求证： DH =AG+BE； (2)若BE=1，AB=3，求PE的长． 3．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、

初中几何证明题库：等边三角形

如图，等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，CE 和AC 重合，CE=2 3AB, (1)求证：AD=BE ； (2)若CE 绕点C 顺时针旋转30度，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG ，求证：BE=2FG ； (3)在(2)的条件下AB=2，则AG= ______．（直接写出结果） 在等边△ABC 中，D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD=CE=nAC ，连AE 、BD 相交于P ，过B 作BQ ⊥AE 于点Q ，连CP. (1)∠BPQ=______, =____ (2)若BP ⊥CP ，求； (3)当n=_____时，BP ⊥CP? 已知等边△ABC 和等边△ADE 摆放如图１，点D 、E 分别在边AB ，AC 上，以AB ，AE 为边作平D B D B D B BP PQ BP AP B

行四边形ABFE,连接CF，FD，DC. 图1 （１）证明△CFD 为等边三角形； （２）将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，如图２，其它条件不变，证明△CFD为等边三角形. 图2 例2.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD． 【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。 ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。 ∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。

（2）连接BE。 ∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。 ∴EB=EF，∠EBF=60°。 ∵DC=EF，∴EB=DC。 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。 ∴∠EBF=∠ACB。∴△AEB≌△ADC（SAS）。∴AE=AD。 【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。【分析】（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形； （2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，由SAS即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD。 3.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为【】 不确定 例3.如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD的长为【】

高中数学解斜三角形知识要点

第一章 解斜三角形知识要点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：①12S =??底高；②111sin sin sin 222C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． ③1()42abc S r a b c R ==++。 ④海伦公式：S 2 a b c p ++=） 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，222 2cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222 a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 二、例题讲解： 例1、在△ABC 中，若)sin()()sin()(2 222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。 例2、已知ABC ?中，内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且22a b c ab -=2+。 （Ⅰ）求C ∠的大小； （Ⅱ）若c =ABC ?周长的取值范围。