第一章 曲线论
第一章 曲线论 §2 向量函数
5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r
= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e
为单
位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e
具有固
定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e
的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r
具
有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r
=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×
e
）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e
求微商得'r ='λe +λ'e ，于
是r ×'r =2
λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=2
2'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e
为
常向量。所以，)(t r
具有固定方向。
6．向量函数)(t r
平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n
，
使)(t r
·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
证 若)(t r
平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为
常向量，且)(t r
·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量
r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n
，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。
反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0
，由
上题知)(t r
具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'r ≠0 ，则存在数
量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ+μ'r ①
令n =r ×'r
，则n
≠0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入
得'n =r ×''r
=μ
（r ×'r
）=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，
而)(t r
⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念
1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r
(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1
1
1z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r =
在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2
000ct bt a t r = ，切线为2
3
0020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-， 法平面为 0)(3)(2)(3
0202000=-+-+-ct z ct bt y bt at x a 。
3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } (+∞∞- θ)的切线和z 轴作固定角。
证明 'r = {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为?,则?cos =
22||||'b
a b
e r k r +=? 为常数，故?为定角（其中k 为z 轴的单位向量）。 4. 求悬链线r ={t ，a t
a cosh }（-∞∞ t ）从t =0起计算的弧长。 解 'r = {1，a t sinh }，|'r
| =a t 2sinh 1+ = a t cosh ， ｓ＝
a t
t
a t a dt sinh cosh
=? 。
９．求曲线2
232,3a
xz y a x ==在平面3a
y =
与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2
23x
a a x x ，曲面与两平面3a y = 与y = 9a
的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x
a a x -，｜'r ｜＝44
4441x a a x ++＝
22222x
a a x +，所求弧长为a dx x a a x s a a 9)2(22
322
=+=? 。 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }化为自然参数表示。
解 'r
= { -a t sin ,a t cos ,b}，s = t b a dt r t 220
|'|+=? ，所以2
2
b
a s t +=
，
代入原方程得 r ={a cos
2
2
b
a s +, a sin
2
2
b
a s +,
2
2
b
a bs +}
11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式。
解 由θθρcos )(=x ，θθρsin )(=y 知'r ={)('θρθcos -θθρsin )(，)
('θρθsin +θθρcos )(}，|'r
| = )(')(22θρθρ+，从0θ到θ的曲线的弧长是s=
?θ
θ
)(')(22θρθρ+d θ 。
§4 空间曲线
1．求圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 在任意点的密切平面的方程。 解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r
={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为
sin cos cos sin sin cos t
a t
a b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ，即(b t sin )x-(b t cos )y+az-abt=0 .
2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , 'r
(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0
}=t ={0,1,1}，
=)0(''r
{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，
所以切线方程是
1
10z
y x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2
02110z
y x =0 ，即x+y-z=0 ，
主法线的方程是???=+=-+00z y z y x 即112z
y x =-=
； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1
11-==z
y x 。
3．证明圆柱螺线x =a t cos ，y =a t sin ，z = b t 的主法线和z 轴垂直相交。
证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，由'r ⊥''r 知'
'r 为主法线的方向向量，而''r
0=?k 所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是
sin sin cos cos bt
z t t a y t t a x -=-=-
与z 轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交。
4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r
={ -cos αcost,- cos αsint , 0 }
=??=|'''|'
''r r r r γ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }
新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ，cos αsint- sin αcost ，tsin α + cos α }
对于新曲线'r
={-cos αsint+ sin αcost ，cos αcost+ sin αsint ，sin
α }={sin(α-t), cos(α-t), sin α} , ''r
={ -cos(α-t), sin(α-t),0} ,其密切平面的方程是
00
)
sin()
cos(sin )cos()sin(sin sin cos cos cos =--------t a t a a t a t a a t z t a y t a x
即 sin α sin(t-α) x –sin α cos(t-α) y + z – tsin α – cos α = 0 .
5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。 证 方法一：
?设一曲线为一球面曲线，取球心为坐标原点，则曲线的向径)(t r
具有
固定长，所以r ·'r
= 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径，也就通过其始点球心。
?
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r ·'r = 0，)(t r 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：
()r r t =是球面曲线?存在定点0r （是球面中心的径矢）和常数R （是球面
的半径）使220()r r R -=?02()0r r r '-?= ，即0()0r r r '-?= （﹡） 而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-?= 。可知法平面过
球面中心?（﹡）成立。
所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。
6.证明过原点平行于圆柱螺线r ={a t cos ，a t sin ，b t }的副法线的直线轨迹是锥面2222)(bz y x a =+.
证 'r ={ -a t sin ,a t cos , }, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ，'r ×''r
=},cos ,sin {a t b t b a ---为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程
是
a
z t b y t b x =-=cos sin ，消去参数t 得2222)(bz y x a =+。 7．求以下曲面的曲率和挠率
⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =
,
⑵ )0)}(3(,3),3({323
a t t a at t t a r +-=。
解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r =
，}0,cosh ,{sinh '''t t a r = ，}1,cosh ,sinh {'''--=?t t a r r
，所以
t a t a t a r r r k 23
23cosh 21
)
cosh 2(cosh 2|'||'''|==?= t
a t a a r r r r r 2
2422cosh 21
cosh 2)'''()''','','(==?= τ 。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r
，
'r ×''r =}1,2,1{182
22+--t t t a ，223
22223)1(31)1(2227)1(218|'||'''|+=++=?=t a t a t a r r r k
2
2224232)1(31
)1(2182618)'''()''','','(+=+???=?=t a t a a r r r r r
τ 。
8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 33t t t r = ，⑴求基本向量γβα
,,；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解 ⑴ }4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22--=--=t t t t t t t t t r
，
,cos sin 5|)('|t t t r dt ds ==
（设sintcost>0）， 则}5
4,sin 53,cos 53{|'|'--==t t r r α， }0,cos 5
3,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ==?
αα
， }0,cos ,{sin |
|t t ==??
ααβ
，
}5
3,sin 54,cos 54{--=?=t t βαγ
，
⑵ t t k cos sin 253||==?
α
，}0,cos ,sin {cos sin 254
t t t
t --=
?γ ，由于?γ 与β 方向相反，所以 t
t cos sin 254
||=
=?γτ ⑶ 显然以上所得 τγβα,,,??
k 满足 βτγβα
-==??,k ，而
γτακβ
+-=-=
?
}0,sin ,{cos cos sin 51
t t t
t 也满足伏雷内公式 。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则
曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t r
λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以
)(')(t r t r λ=，可见r ∥'r ，所以r 具有固定方向，故r ＝)(t r 是直线。 方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线
在任意点的切线方程是)(')(t r t r
λρ=-，由条件切线都过坐标原点，所以
)(')(t r t r
λ=，于是'r ＝λ''r ，从而'r ×''r ＝0 ，所以由曲率的计算公式知曲率k ＝０，所以曲线为直线。
方法二：设定点为0r ，曲线的方程为r ＝()r s ，则曲线在任意点的切线方程是()()r s s ρλα-=，由条件切线都过定点0r ，所以0()()r r s s λα-=，两端求导得:
()()s s αλαλκβ'-=+, 即(1)()0s λαλκβ'++= ，而(),()s s αβ无关，所以10λ'+=，
可知0,()0s λκ≠∴=，因此曲线是直线。
10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则
曲线在任意点的密切平面的方程是0))('')('())((=??-t r t r t r
ρ，由条件
0))('')('()(=??-t r t r t r
，即（r 'r ''r ）=0，所以r 平行于一固定平面，即r ＝)(t r
是平面曲线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(s r
，则曲线
在任意点的密切平面方程是0))((=?-γρ s r ，由条件0)(=?γ
s r ，两边微分并
用伏雷内公式得 τ-0)(=?β s r 。若0)(=?β
s r ,又由0)(=?γ s r 可知)(s r ∥
)(s r ?=
α,所以r ＝)(s r 平行于固定方向，这时r ＝)(s r
表示直线,结论成立。否则0=τ，从而知曲线是平面曲线。
方法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r ＝)(t r
，则曲线
在任意点的密切平面方程是0))('')('())((=??-t r t r t r
ρ，由条件
0))('')('()(=??-t r t r t r
，即（r 'r ''r ）=0，所以r ，'r ，''r 共面，若r ∥'r ，
则r ＝)(t r
是直线，否则可设''',''''''r r r r r r λμλμ=+∴=+，所以','','''r r r 共面，所以0=τ，从而知曲线是平面曲线。
11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e
，那么曲线是直线或平面曲线。
证 方法一：根据已知0=?e α，若α 是常向量，则k=||?α
=0 ，这时曲线是
直线。否则在0=?e α两边微分得?α
·e =０，即 k β ·e =０,所以β ·e =０，
又因0=?e α，所以γ ∥e ，而γ 为单位向量，所以可知γ
为常向量，于是
0||||==?γτ
，即0=τ，此曲线为平面曲线。
方法二：曲线的方程设为r ＝)(t r
，由条件'r ·e ＝０，两边微分得''r ·e ＝０，'''r ·e ＝０，所以'r ， ''r ，'''r
共面，所以（'r ''r '''r ）＝０。
由挠率的计算公式可知0=τ，故曲线为平面曲线。当'r ×''r
＝0 时是直线。
方法三：曲线的方程设为r ＝)(t r
，由条件'r ·e ＝０，两边积分得（p
是常数）。因r e p ?=是平面的方程，说明曲线r ＝)(t r
在平面上，即曲线是平
面曲线，当'r 有固定方向时为直线。
12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。
证明 设曲线（C ）：r ＝)(s r
的曲率k 为常数,其曲率中心的轨迹（C ）的
方程为：)(1)(s k
s r βρ
+= ，（β 为曲线（C ）的主法向量），对于曲线（C ）
两边微分得 γτγτααρ k
k k s =+-+=)(1
)(' ，（α ，γ ，τ分别为曲线（C ）的
单位切向量，副法向量和挠率），βτγτρ
k
k
2''-=?
，k
|||'|τρ= ，23'''k
τρρ=? α
，
曲线（C ）的曲率为k k k k ==?=-3
323
3|||||
'||
'''|ττρρρ 为常数。 13.证明曲线x=1+3t+22t ,y=2-2t+52t ,z=1-2t 为平面曲线，并求出它所在的平面方程 。
证 'r ={3+4t, -２+10t,-2t}， ''r
={4，10，-２}， '''r
＝｛０，0，0｝
曲线的挠率是0)
'''()
''','','(2=?=r r r r r τ，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线
在任一点的密切平面。对于ｔ=０,r =｛１,２,１｝，'r ={3, -２,０}， '
'r
={4，10，-２}， '''r
＝｛０，0，0｝。所以曲线的密切平面，即曲线所在平
面是021040231
21=-----z y x ，即2x+3y+19z –27＝０．
14．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。
证 设曲线Γ：r =)(s r
与Γ：)(s r r =点s 与s 一一对应，且对应点的切线
平行，则)(s α =)(s α ±, 两端对s 求微商得ds s d αα ±=, 即ds s d s k s k )()(ββ ±= ，
(这里k ≠0，若k=||α
=0，则β 无定义)，所以β ∥β ，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。
15．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的切线作固定角。
证 设α ,α
分别为曲线Γ、Γ的切向量,β ,β 分别为曲线Γ、Γ的主法向
量,则由已知)()(s s ββ ±=．．．．．① ，而ds
s d ds d αααααα ?+?=?)(＝
ds s d s k k )(βααβ ?+? 将①式代入 0)
(=?±?±ds
s d k βααβ 。所以α · ＝常数，故量曲线的切线作固定角。
16.若曲线Γ的主法线是曲线Γ的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为τκ,。求证k=0λ(2κ+2τ) ,其中0λ为常数。
证 设Γ的向量表示为r =)(s r
，则Γ可表示为ρ =)(s r +)(s λ)(s β ， Γ的切
向量'ρ =α +λ β +λ（－k α +τγ ）与β 垂直，即'ρ ·β ＝λ ＝０，所以λ为常数，设为0λ，则'ρ ＝（１－0λk ）α +0λτγ 。再求微商有''ρ
＝－0λk α ＋
（１－0λk ）k β ＋0λτ γ －0λ2τβ ，''ρ
·β ＝（１－0λk ）k －0λ2τ＝０，所以有k=0λ(2κ+2τ)。
17．曲线r ={a(t-sint),a(1-cost),4acos
2
t
}在那点的曲率半径最大。
解 'r
= a{1-cost,sint,-2sin
2t } , ''r = a{sint,cost,-cos 2
t
}, |2
sin |22|'|t r = ,
'r ×''r =}1,2
cos ,2
{sin 2
sin 2}2
cos 4,2
cos 2
sin 2,2
sin 2{22232t
t t a t a t t t a -=--,
|'r ×''r |=22sin 22
2t a , |2
sin
|81|
||
'''|3t
a r r r k =?= ,|2
sin
|8t
a R = ,所以在t=(2k+1)π，k 为整数处曲率半径最大。
18． 已知曲线)(:)(3s r r C C
=∈上一点)(0s r 的邻近一点)(0s s r ?+ ，求)(0s s r ?+ 点到)(0s r 点的密切平面、法平面、从切平面的距离（设点)(0s r
的曲率、挠率分别为00,τκ）。
解 )(0s s r ?+ －)(0s r ＝30
200])([!
31)(21)(s s r s s r s s r ?++?+?ε ＝300021s s ?+?βκα ＋300000020)(6
1s k k ?+++-εγτκβα ，设030201γεβεαεε ++=，其中0lim 0
=→?ε s 。则)(0s s r ?+ －)(0s r
＝0330003
202003120])(6
1[])(6121[])(61[γετκβεκκαεκ s s s s s ?++?++?+?+-+?
上式中的三个系数的绝对值分别是点)(0s s r ?+ 到)(0s r
的法平面、从切平面、密切平面的距离。
§5 一般螺线
5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.
证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量γ
是常向量.即γ =0 。曲线的挠率的绝对值等于|γ
|为零，所以曲线为平面曲线。
证法二：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，积分得r ·n
=p ,说明曲线在以n
为法向量的一个平面上,因而为平面直线。
证法三：设n 是固定直线一向量，则'r ·n =0 ，再微分得''r ·n
=0 ，
'''r ·n =0 。所以'r 、''r 、'''r
三向量共面，于是（'r ''r '''r ）= 0 ，由挠率的计算公式知τ=0，因此曲线为平面曲线。
7．如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。
证 设一曲线为Γ：r ＝)(s r
，则另一曲线Γ的表达式为：+=)(s r ρ)(s λ)(s γ ，)(s γ
为曲线Γ在点s 的主法向量，也应为Γ在对应点的副法线的方向向量。
'ρ ＝α ＋λ γ －λτβ 与γ 正交，即'ρ ·γ ＝０，于是λ ＝０，λ为常数。'ρ
＝
α －λτβ ，''ρ ＝k β －λτ β －λτ（－k α ＋τγ ）也与γ 正交，即''ρ ·γ ＝
-λ2τ=0,而λ≠０,所以有τ＝０，曲线Γ为平面曲线。同理曲线Γ为平面曲线。
8. 如果曲线Γ：r ＝)(s r
为一般螺线, α、β 为Γ的切向量和主法向量，
R 为Γ的曲率半径。证明Γ：ρ
=R α－?ds β 也是一般螺线。
证 因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量e 使α与e
成固定角,对于
曲线Γ,其切向量'ρ =αββκα R R R =-+与α共线,因此也与非零常向量e 成固
定角, 所以Γ也为一般螺线。
9．证明曲线r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为0),,(....=r r r
证 βκ =r ，
γτκτκβκτκκακκγκτβκ
ακ )2()(3,23....2++-+-+-=++-=r r 2
5333....)(3)2(),,(κτκτκκτκτκκτκκτκτκ -=-=-+=k r r r ＝)(5κ
τκ，其中k ≠0. 曲线r ＝)(s r
为一般螺线的充要条件为κ
τ 为常数,即?)(κτ=0,也就是
0),,(....=r r r 。
方法二： 0),,(....=r r r ，即0),,(=ααα 。曲线r ＝)(s r 为一般螺线，则存在
常向量e ，使α·e =常数，所以,0,0,0=?=?=?e e e ααα所以ααα
,,共面，从而（ααα
,,）=0。反之，若（ααα ,,）=0，则α 平行于固定平面，设固定平面的法矢为e ，则有0=?e α，从而α·e = p (常数)，所以r ＝)(s r 为一般螺线。
方法三：曲线r ＝)(s r
为一般螺线?存在常向量e 使e β⊥，即
0e ββ?=?平行于固定平面（以e 为法向量的平面）r ?平行于一固定平面
(,,)0r r r ?= 。
方法四：""?设r ＝)(s r
为一般螺线，存在常向量e 使e α?=常数，即
r e ?=常数，连续三次求微商得0,0r e r e ?=?=，0r e ?= ，所以0),,(....=r r r 。
""?因为0),,(....=r r r ，所以r 平行于固定平面，设固定平面的法矢为n （常向
量），则r n ⊥，而,r n ββ∴⊥，所以曲线为一般螺线。
10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。
证 设曲线Γ与Γ在对应点有公共的切线，且Γ的表达式为：r ＝)(s r
，则Γ：
+=)(s r ρ)(s λ)(s α ，λ≠０，其切向量为'ρ ＝α＋λ α＋λk β 应与α平行，
所以k ＝０，从而曲线Γ为直线。同理曲线Γ为直线，而且是与Γ重合的直线。所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线。
11．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行，且它们的挠率和曲率都成比例，因此如果Γ为一般螺线, 则Γ也为一般螺线。
证 设曲线Γ：r =)(s r
与Γ：)(s r r =点建立了一一对应，使它们对应点
的切线平行，则适当选择参数可使)(s α =)(s α , 两端对s 求微商得ds
s d αα =,
即ds s d s k s k )()(ββ = ，这里
0 ds
s
d ，所以有β =β ，即主法线平行，从而)(s γ =)(s γ ，即两曲线的副法线也平行。且,ds s d κκ= 或ds
s d =κκ。)(s γ =)(s γ
两边对s 求微商得ds s d s s )()(βτβτ -=-，于是 ,ds s d ττ=或ds s d =ττ，所以，τ
τ
κκ= 或
τ
κτκ=。
微分几何习题解答 曲线论
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函 数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e 求微商得'r =' e + 'e ，于是r × 'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r =0 可与任意 方向平行；当 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量， 且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一 非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r 0 。若r ×'r =0 ，由上题知) (t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ，则存在数量函数)(t 、)(t ， 使''r = r r + 'r ① 令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×
知识讲解_微积分基本定理
微积分基本定理 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。 2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 （1）导数和定积分的直观关系： 如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？ 一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。 另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有： ()d b a v t t =? s （b ）－s （a ） （2）导数和定积分的直观关系的推证： 上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下： 如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间： [t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图，可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的分划就越细，1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），那么v （t ）=s ＇（t ）在 区间[a ，b]上的定积分就是物体的位移s （b ）―s （a ）。 一般地，如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理： 一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便，我们常把()()F b F a -记作()b a F x ，即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
微分学的基本定理
微分学的基本定理 【费马（Fermat）定理】 若(i)函数)(x f 在0x 点得某一邻域),(0δx O 内有定义，并且在此邻域内恒有 )(x f )(0x f ≤， 或者)(x f )(0x f ≥； （ii）函数)(x f 在0x 点可导， 则有 0)(0='x f 证明我们对)(x f 的情形给出假设证明.由于假设)(0x f '存在，按定义，也就是 +'f （0x ）=-'f （0x ）=f '(0x ), 另一方面，由于)(x f )(0x f ≤，所以对（δ+00,x x ）内的各点x ，有 ≤--0 0)()(x f x f 0；而对（00,x x δ-）内的各点x ，有 0)()(0 0≥--x f x f .再由极限性质得 )(0x f '=+'f （0x ）=lim 0+→o x x ≤--00)()(x x x f x f 0，)(0x f '=-'f （0x ）=lim 0 -→o x x 0)()(00≥--x x x f x f .而)(0x f '是一个定数，因此它必须等于零，即)(0x f '=0. 对于)(x f )(0x f ≥的情形，也可相仿证明. 这个定理的几何意义是：如果曲线)(x f y =在0x 点具有极大值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不小于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值）或者曲线)(x f y =在0x 点具有极小值（也就是函数)(x f 在0x 点的值不大于)(x f 在0x 点近旁的其他点上的值），并且曲线
)(x f y =在0x 点具有切线l ,那么，费马定理就表明了切线l 必为水平线. 【拉格朗日（Lagrange）中值定理】 这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理. 若函数)(x f 满足 （i） 在[]b a ,连续；（ii）在（b a ,）可导， 则在（b a ,）内至少存在一点ξ，使 )(ξf '=a b a f b f --)()(.这个定理从几何图形上看是很明显的.画出[]b a ,上的一条曲线)(x f y =，连接A,B 两点，作弦AB，它的斜率是 = ?tan a b a f b f --)()(.下面对此定理给以证明. 证明不妨假设)(x f 在[]b a ,上不恒为常数.因为如果)(x f 恒为常数，则0)(='x f 在(b a ,)上处处成立，这时定理的结论是明显的. 由于)(x f 在[]b a ,连续，由闭区间连续函数的性质，)(x f 必在[]b a ,上达到其最大值M 和最小值m，我们分两种情形来证明. (1)考虑特殊情形，)()(b f a f =.由于)(x f 不恒为常数，所以此时必有M >m,且M 和m 中至少有一个不等式.这时根据闭区间上连续函数的性质，在（b a ,）内至少有一点ξ，使得))(()(m f M f ==ξξ或者，于是对（b a ,）内任一点x ，必有 )) ()()(()(ξξf x f f x f ≥≤或于是由费马定理，即得 0)(='ξf . 而此时0)()(=-a f b f ，这就证明了定理成立. 对于这样特殊情况的中值定理，也叫【罗尔（Rolle）定理】. (2)考虑一般情形，)()(b f a f ≠.此时，作辅助函数[] 1
微分几何(第三版)梅向明黄敬之编[]
第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么 )('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=2 2'e e - -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠ 0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于 一固定平面，若r ×' r ≠0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ +μ'r ① 令n =r ×'r ，则n ≠ 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r ）=μn ， 于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。 §3 曲线的概念 1． 求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。 解 令t cos =1,t sin =0, t =0 得 t =0, 'r (0)={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1 101z y x ==- ，法平面为 y + z = 0 。
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲 课程名称：《微分几何》 课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科） 课程总学时：72学时 课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质 微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务： 本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。 二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求 第一章曲线论 教学要点： 本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对
空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：22学时。 教学内容： 第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分 第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数 第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线 考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能
微分几何习题解答(曲线论)
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2 'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
曲线论(三)
§3曲线的概念 曲线是微分几何所研究的主要对象，因此先弄清曲线的概念。 一 曲线的概念 1 有关映射的知识 映射：给出两个集合E ，E '。若对每个x E x E ''∈∈，有与x 对应， 则称给定了从E 到E '的一个映射，记作f 。x '称为x 的像，x 称为x '的原像。也记为x '=f(x). 单射：若1212x x E x x ∈≠ ≠12，，时有f(x )f(x ), 则称 f 是单射。 满射：若对每个,(),(),x E x E x f x f E E ''''∈∈==都存在使或则称f 是到上的映射，也叫满射。 一一映射：单且满的映射叫做一一映射。 连续映射： 设E ，E '为欧氏空间的两个集合，0,x E ∈若对任意小 的0((),())d f x f x εδδε?<0>0，>0使当d(x ,x)<时有，则称f 在0x 连续。 对于E 中每一点x ，f 在x 连续，则称映射f 是连续的。 逆映射：若f 是E 到E '的一一映射，则这个映射也确定了一个 从E '到E 的一个一一映射x E ''∈-1 f : 使对对任意的，如果x '=f(x)， x E ∈，则'-1-1 f (x )=x,映射f 叫做f 的逆映射。 拓扑映射或同胚：一一的、双方连续（即f, -1 f 都连续）的映 射称为同胚或拓扑映射。 2 简单曲线段 ① 定义 称开线段到三维空间中的拓扑映射的像为简单曲线段。 注：有的教材中把自身不相交的曲线称为简单曲线段。
例 开线段弯成开圆弧，从开线段到开圆弧有一个拓扑映射，因 此圆弧是简单曲线段。 在一张长方形的纸上画一条斜的 直线，把这张纸卷成圆柱面，则直线 成为圆柱螺线。从直线到圆柱螺线的 映射是拓扑映射，因此螺线是简单曲 线段。 说明：对任何曲线“小范围”的研究总可以作为简单曲线段来研究。因此，以后讨论曲线时都指简单曲线段。 ② 曲线的方程 在直线上引入坐标t(a 第五章曲面论基本定理 §2曲面论基本定理 关于曲面如何依赖于其第一和第二基本形式，本节将要做出回答．一方面，关于唯一性，需要确定具有相同的第一和第二基本形式的曲面是否合同；另一方面，关于存在性，需要确定什么样的函数组能够成为正则曲面第一和第二基本形式的系数函数组．利用自然标架场的运动公式，以下的理论证明建立在相应的微分方程组的解的存在唯一性定理——Darboux 定理的基础之上． 曲面论基本定理给定 (u1, u2) 平面上的单连通区域U．给定U上 C2函数?g ij和 C1函数?Ωij，使?g= (?g ij)2?2正定、?Ω= (?Ωij)2?2对称，并且?g 和?Ω满足Gauss-Codazzi方程．则在E3中 ①存在正则曲面S: r=r(u1, u2) , (u1, u2)∈U，使其第一和第二基本形式的系数函数组g ij=?g ij，Ωij=?Ωij； ②上述曲面S在合同意义下是唯一的． 一．相关方程及其解的性质 首先建立并考察一阶齐次线性偏微分方程组 (2.1)?r ?u i =r i , ?r i ?u j =?Γi k j r k+?Ωij n ,?n ?u i =-?Ωil?g lk r k ; 其中 (?g ij)2?2=?g-1，?Γi k j=1 2 [(?g lj)i+ (?g li)j- (?g ij)l]?g lk，i, j, k, l= 1, 2 ． 任意取定一点 (u01, u02)∈U，任意取定右手标架 {r0; (r1)0, (r2)0, n0} ，考虑微分方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2)r(u01, u02) =r0 , r i(u01, u02) = (r i)0 , n(u01, u02) =n0 , i= 1, 2 之下的解，并且满足适定条件 微分几何的基本概念： 一、一些重要的基本概念： 1. 平面上的测地线是： 曲线上的测地曲率恒等于零的曲线称为测地线。这样，平面曲线的测地曲率就是它的相对曲率，所以，平面上的测地线就是直线。实际上，测地线的概念是平面上的直线的概念的推广。我们可以从以下几个定理来理解这个推广： 定理1 曲面上的一条曲线是测地线，当且仅当它是直线，或者它的主法向量失曲面的法向量。 定理2 对于曲面上的任意一点P 以及在店P 的任意一个单位切向量V ，在曲面上必存在唯一的一条测地线通过点P ，并且以V 为它在点P 的切向量。 平面上的直线具有这个性质。 2. 确定一个直纹面的要素有： 所谓的直纹面是指单参数直线族所构成的曲面。 正螺旋面就是一个直纹面，圆柱面也是一个直纹面。 确定一个直纹面要有两个要素：一条曲面r=a(u)，以及沿这条曲线定义的一个非零向量场l(u). 经过每一点a(u)、沿方向l(u)可以做唯一的一条直线，它们所构成的曲面是 r=r(u,v)=a(u)+vl(u) 曲线a(u)称为直纹面的准线，而v_曲线称为直纹面的直母线。 3. 曲线的曲率公式为||r , 空间曲线的基本公式是 . ?? ???-=+-==βτγγτακββ κα )()()()(s s s s ；这是著名的伏雷内公式 如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是 一一的 、双方连续的和在上映射，则称三维欧氏空间中的象为简单曲面． 平面上的点满足的条件为v u r r ?在),(00v u 点不等于零． 4、 切平面方程为0)),(),,(),,((000000=-v u r v u r v u r R v u ． 坐标曲线正交的条件为0=?=y x r r F ． du ：dv=1：2和（-1）：（-2）表示的两切方向之间关系为平行． 球面第一类基本量F=0，其意义是坐标曲线正交, 旋转面的坐标曲线网正交． 5. 两个曲面之间的一个变换是等距的，则对应的面积关系为相等, 如果n r c n q b n p a ?=?=?=,,，那么c b a ,,位置关系是共面, )(s r 具有固定方向与 r r ?=0 的关系是充分条件 。 6. 一次函数b t a t r +=)(（t 为参数 ,a §1.4曲线论的基本公式—Frenet公式 1.4.1Frenet公式 由§1.2我们已经知道,在曲线C:r=r(s)上任一点P(s)处,有三个两两互相垂直的单位矢量α(s),β(s),γ(s),它们组成曲线的基本三棱形,或称Frenet标架,记为{P(s);α(s),β(s),γ(s)}. 因为α,β,γ是三个线性无关的向量,所以P(s)点处的任意一个向量都可以写成它们的线性组合,特别基本向量α,β,γ关于弧长的导矢量˙α,˙β,˙γ也可以用它们线性表示.由曲率和挠率的定义,我们已经知道 ˙α=kβ,˙γ=?τβ, 其中k和τ是曲线在P点处的曲率和挠率. 现在对式β=γ×α两边关于弧长s求导,并利用上面两式便得 ˙β=?kα+τγ, 于是我们得到下述公式 ˙α=kβ, ˙β=?kα+τγ,˙γ=?τβ, 这组公式是由法国数学家Frenet于1847年发现的,通常称为Frenet公式,同一组公式也被法国数学家Serret于1851年所独立发现,所以也有Frenet-Serret公式的说法.随着时间的推移,人们越来越认识到这组公式是曲线论的灵魂,它是研究曲线的几何性质的强有力的工具. 1.4.2Frenet公式的初步应用 【例1】已知曲线C:r=r(t)(t为一般参数)的副法矢量 γ= 1 √ 2 {?sin t,cos t,1}, 求它的切矢量α和主法矢量β,并求它的曲率和挠率之比. 25 【解】设曲线C的曲率和挠率分别为k和τ,s为弧长参数,首先求γ关于s的导矢 量,结合Frenet公式得 ?τβ= 1 √ 2 {?cos t,?sin t,0} dt ds , 显然τ=0,否则,dt ds =0,不合理,故β与矢量{cos t,sin t,0}平行,但后者为单位矢量,于是 β=±{cos t,sin t,0}, α=β×γ=± 1 √ 2 {sin t,?cos t,1}, τ=± 1 √ 2 dt ds , 为求曲率和挠率之比,注意到, ˙α=± 1 √ 2 {cos t,sin t,0} dt ds , 而˙α=kβ,比较两式得 k= 1 √ 2 dt ds , 因此,k τ =±1. 【例2】证明：如果曲率处处不为零的曲线的所有密切平面都经过一定点,则此曲线为平面曲线. 【证明Ⅰ】设曲线的一般参数方程为r=r(t),并设密切平面上流动点的径矢为R,则密切平面方程为 (R?r(t),r (t),r (t))=0. 利用密切平面过定点的条件,不失一般性设定点为坐标原点,则 (r(t),r (t),r (t))=0,(1)上式两边关于参数t求导,得 (r(t),r (t),r (t))=0,(2)若存在某个参数值t0,使得τ(t0)=0,则由τ的连续性,必存在某个开区间(t0?ε,t0+ε),在这个开区间上有τ(t)=0,或(r (t),r (t),r (t))=0,由题设,曲率处处不为0,即r (t),r (t)线性无关,这时由(1)式,r(t)可有如下线性表示 r(t)=λ(t)r (t)+μ(t)r (t), 26 第二章曲线的局部微分几何 §6曲线论基本定理 从前面所讨论的内容已经知道，弧长和曲率、挠率是刻划曲线的重要的几何量；同时，按照局部规范形式 (5.3) 式来看，可以感觉到它们能够在很大程度上确定曲线的局部几何性质．本节的中心，就是要证明它们通常能够构成曲线的完全的几何不变量系统并且在合同意义下确定曲线本身． 一．一般结果 曲线论基本定理给定区间I= (a, b) 上的连续可微函数?κ(s) > 0 和连续函数?τ(s) ，则在E3中 ①存在弧长s参数化曲线C: r=r(s) ，使其曲率函数κ(s) =?κ(s) ，并且其挠率函数τ(s) =?τ(s) ； ②上述曲线C在合同意义下是唯一的． 曲线论基本定理的考虑对象实际上是无逗留点的正则曲线；其含义明显分为存在性和唯一性两个方面；其证明将分成若干步骤进行．考虑到曲率、挠率和弧长微元与位置向量微分运算的关系，并注意到Frenet公式(4.5) 式，可以看到，曲线论基本定理证明的过程中在本质上需要用到适当的微分方程组求解的存在唯一性结果．因此，下面将不加证明地引用关于齐次线性常微分方程组的解的存在唯一性定理． 围绕着存在性，首先建立并考察联立的两个齐次线性常微分方程组 (6.1)d r d s=e1； (6.2) d d s? ? ? ? ?e1 e2 e3 = ? ? ? ? ? 0 ?κ 0 -?κ 0 ?τ 0 -?τ 0? ? ? ? ?e1 e2 e3 ． 联立方程组中所包含的未知向量函数组{r(s); e1(s), e2(s), e3(s)} 可以理解成由12个普通未知函数而构成．联立方程组在给定的初值条件下有满足初始条件的唯一解（且在整个区间上延拓有定义）． 引理１给定单位正交右手标架{r0; T0, N0, B0} ，在曲线论基本定理条件下任取一点s0∈I，则联立方程组 (6.1)-(6.2) 的满足初始条件 《微分几何》教学大纲 课程名称：微分几何 课程编号：0641010 课程类别：专业必修课程 适用对象：数学与应用数学专业（4年制普通本科） 总学时数：54 学分：3 一、课程性质和教学目标 1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课程； 2．教学目标：学习和掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的基本知识、培养学生直观能力，以及运用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力，熟悉三维欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状；掌握三维欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算；理解三维欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法；了解曲面内蕴微分几何的意义、基本概念和理论。 二、教学要求和教学内容 第一章曲线论（12学时） 【教学要求】 1. 掌握向量的运算法则及其性质：加法、减法、数乘、数量积、向量积； 2. 理解向量分析的基本内容； 3. 掌握曲线的概念及其参数表示、曲线的切线、法面和密切平面、弧长公式和弧长参数。 4. 掌握曲线的曲率、曲线的单位切向量、主法向量、副法向量、Frenet标架和曲线的挠率。 5. 能计算 Frenet公式、一般参数下的曲率、挠率和Frenet公式。 6. 掌握曲线论的基本定理。 7. 了解曲线在一点邻近的结构。 【教学内容】 ●讲授内容 1. 向量分析的基本内容； 2. 曲线的概念及其参数表示、曲线的切线和法面、弧长公式和弧长参数； ※3. 曲线的曲率、单位切向量、主法向量，副法向量、Frenet标架、挠率、Frenet公式；※4. 曲线论的基本定理； 5．曲线在一点邻近的结构。 第二章曲面的第一基本形式 (10学时) 【教学要求】 1．掌握曲面的参数表示、曲纹坐标网、曲面在一点的切方向、曲面的切平面和法线； 2. 理解曲面上的曲线族和曲线网； 3．能计算曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积； 4．掌握曲面间的保长变换和保角变换； 5. 了解可展曲面的例子、直纹面可展的条件、可展曲面的分类、可展曲面和平面间的保长变换。 【教学内容】 ●讲授内容 1. 曲面的概念和参数表示、曲面的切平面和法线； ※2. 曲面的第一基本形式、曲面上两个切方向的夹角、曲面域的面积； ※3. 曲面间的保长变换和保角变换； 4．直纹面可展的条件、可展曲面和平面间的保长变换。 5．直纹面、可展曲面、可展曲面的分类。 第三章曲面的第二基本形式 (12学时) 【教学要求】 1. 能计算曲面的第二基本形式、曲面上曲线的曲率； 2. 掌握曲面上沿切方向的法曲率、Dupin指标线； 3. 理解曲面的渐近方向和共轭方向； 4. 理解曲面的主方向和曲率线、主方向的判别定理； 5. 能计算曲面的主曲率、平均曲率和Guass曲率； 6. 了解曲面在一点邻近的结构； 7. 了解Gauss曲率的几何意义。 【教学内容】 ●讲授内容 第一章 曲线论 一、单项选择题 1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为 A 、 00 =-?r a r B 、0)(0 =?-r a r C 、0)(0=?-a r r D 、0)(0 =?-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有 ； A 、 0 =?b a B 、 b a λ= C 、0 =?b a D 、 0=?b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是 ； A 、s r s r ?'='?)( B 、s r s r s r '?+?'='? )( C 、s r s r ?'='?)( D 、r s r s s r '?+?'='? )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是 A 、0)(0=?-n r r B 、 0)(0 =?-n r r C 、n v r r =-0 D 、0)(0=?-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '?? )( B 、u s r '?? )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+' 6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于 A 、)('t r B 、)(''t r C 、)('t r D 、 )(''t r 7、向量函数)(t r r =具有固定方向的充要条件是 ； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =?t r t r D 、 o t r t r =?)(')( 8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是 ； A 、0)(')(=?t r t r B 、0)()(' =?t r t r C 、1)(=t r D 、1)('=t r 9、星形线t a y t a x 3 3sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于 ； A 、a B 、a 2 C 、a 3 D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有 ； A 、 0 =?b a B 、 b a λ= C 、0 =?b a D 、 0=?b a 11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的 ； A 、法平面 B 、切平面 C 、密切平面 D 、从切平面 12、平面曲线的曲率或挠率特征是 ； A 、曲率0≡κ B 、曲率∞≡κ C 、挠率)0(≠=c c τ D 、挠率0≡τ 13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是 ； A 、0 B 、1 C 、R D 、R 1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是 ； A 、平面曲线 B 、挠曲线 C 、一般螺线 D 、直线 15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是 ； 学习曲线理论及其应用研究 袁蕊，刘列励 北京航空航天大学经济管理学院，北京100083 摘要：学习曲线理论产生于航空工业，发展到现在已经有70多年的历史了。该理论从产生到发展一直受到理论界的广泛关注。国际上对学习曲线的研究已经有丰富的成果，且该理论在企业中得到了很好的应用。文中详细阐述了学习曲线理论和学习效应的概念，介绍了如何建立学习曲线的数学模型，对学习率进行了研究，分析了学习曲线的意义和应用领域，并且提出了学习曲线的局限性及应用时应遵循的基本原则。最后总结了各个不同的企业努力建立符合自身特性的学习曲线的重要意义, 以及将给企业带来的巨大好处。 关键词：学习曲线；学习效应；学习率；设备速率；人的速率 The Study of Learning Curve Theory and Its Application YUAN Rui , LIU Lie-li School of Economics and Management, Beihang University , Beijing 100083, China Abstract : The theory of learning curve originated in the Aircraft Industry, and now it has a history of development for more than 70 years. Since its origination, as well as its development , it has enjoyed a lot of attention in the theory area. Internationally, the study of learning curve has achieved a lot of great achievements, and the theory enjoys a well application in many industries. This paper particularly explains the theory of learning curve and the concept of learning effect, introduces how to build the mathematical model of learning curve, does some research about learning rate, analyzes the significance and application areas of the learning curve. Also, the limitation of the theory and the baisc principles it should follow during application are proposed. Finally, summarizes the important signification of varied industries making great efforts to build a learning curve which fits themselves well and will bring great benefits to themselves. Key word : learning curve; learning effect; learning rate; machine-paced; worker-paced １引言 学习曲线（learning curve）又称熟练曲线，是一种动态的生产函数,其最早产生于飞机制造业。它表示在产品的生产过程中，随着累积产量的增加，产品单位工时会逐渐下降，但当累积产量达到一定数量后，产品的单位工时将趋于稳定。这种累积平均工时与累积产量之间的关系称为学习曲线，并把产量加倍后与加倍前累积平均工时之比称为学习率。通常把学习曲线反映出的这一生产规律称为学习效应[1]。 所谓学习效应，是指当一个人或一个组织重复地完成某一项产品生产（任务）时，完成单位产品所需的时间会随着产品生产数量的增加而逐渐减少，然后会趋于稳定[2]。根据统计分析，生产单位产品消耗的时间和累积产量的关系呈指数关系，如图1所示。此曲线包含两个阶段:一是学习阶段，该阶段单位产品的生产时间随产品数量的增加而逐渐减少；二是标准阶段，该阶段单位产品的生产时间基本稳定，学习效应可以忽略不计，可用标准时间进行生产。 图1中所示的曲线就是学习曲线，它表示的是单位产品的直接劳动时间和累积产量之间的关系。类似的表示学习效应的概念还有“经验曲线”（experience curve）和“制造进步函数”（manufacturing progress function），但它们所描述的不是单位产品直接劳动力时间与累积产量之间的关系，而是单位产品的附加成本与累积产量之间的关系。但这两种曲线的原理与学习曲线的原理是相同的[3]。 微笑曲线理论(Smiling Curve) 目录 [隐藏] ? 1 微笑曲线的来由 ? 2 微笑曲线的定义 ? 3 微笑曲线的孕育 o 3.1 结论 ? 4 微笑曲线的应用启示 ? 5 微笑曲线案例解析 [编辑] 微笑曲线的来由 重要科技业者宏碁集团创办人施振荣先生，在1992年为「再造宏碁」提出了有名的“微笑曲线”（Smiling Curve）理论，以作为宏碁的策略方向。经历了十年多以迄今日，施振荣先生将"微笑曲线"加以修正，推出了所谓施氏“产业微笑曲线”，以作为台湾各种产业的中长期发展策略之方向。 微笑曲线理论虽然简单，却很务实的指出台湾产业未来努力的策略方向。在附加价值的观念指导下，企业体只有不断往附加价值高的区块移动与定位，才能持续发展与永续经营。营建业虽是火车头产业之一，但在产业成熟化、市场饱和，及传统只重视工程施工制造的低附加价值领域里，已经历了十多年的景气低迷。微笑曲线的理论提供一个了新的思考方向。 [编辑] 微笑曲线的定义 微笑嘴型的一条曲线,两端朝上，在产业链中，附加值更多体现在两端，设计和销售，处于中间环节的制造附加值最低。 微笑曲线中间是制造；左边是研发，属于全球性的竞争；右边是营销，主要是当地性的竞争。当前制造产生的利润低，全球制造也已供过于求，但是研发与营销的附加价值高，因此产业未来应朝微笑曲线的两端发展，也就是在左边加强研展创造智慧财产权，在右边加强客户导向的营销与服务。如下图所示： 微笑曲线有两个要点, 第一个是可以找出附加价值在哪里, 第二个是关于竞争的型态。 [编辑] 微笑曲线的孕育 施振荣先生的微笑曲线，固然是因为"再造宏碁'的目标而推出的策略方向。但背后必然有一些孕育的因素存在，一些背后可能存在的孕育因素如下： (一)全球化的竞争压力 在高科技产品市场的全球化趋势下，业界的竞争压力，可以用「追、赶、跑、跳、碰」五个字来形容。有竞争力的企业不断往上追，准备随时赶上领先之企业，已领先的企业不断往前跑，以保持领先距离，碰到障碍或技术瓶颈就要想方法跳跃过去，投入相同产品的企业太多了，市场趋于饱和了就只有硬碰硬，做杀价竞争，甚至流血竞争。这是全球化竞争的宿命，只有适者能生存。 (二)产品生命周期的压力 高科技产品，除非掌握关键之技术(Know-how)或零组件，在成品的市场，因为技术开发的速度极快，时尚的变化也很快，产品寿命周期也变化的很快，所谓利基产品，有时数年间就变成毛利率只剩几个﹪之微利产品，而对企业经营产生极大之压力。 (三)企业生存的压力 在前述的压力下，如果技术不能一直提升，策略不能领先，则在微利的状况下，可能转变成亏损，严重的话，甚至逐渐影响到企业的生存。§2 曲面论基本定理
微分几何的基本概念
曲线论的基本公式
§6 曲线论基本定理
微分几何大纲
微分几何复习题
学习曲线理论及其应用研究
微笑曲线理论(Smiling Curve)