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平面向量综合复习(学生版)

平面向量综合复习

知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量:既有大小又有______的量叫向量;向量的大小叫做向量的_______.

(2)零向量:长度等于______的向量,其方向是任意的.

(3)单位向量:长度等于_______的向量.

(4)平行向量:方向相同或_____的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.

(5)相等向量:长度相等且______相同的向量.

(6)相反向量:长度相等且_______相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)运算律

加法求两个向量和的运

__________法则

___________法则

(1)交换律:

a+b=b+a.

(2)结合律:

(a+b)+c=a+

(b+c)

减法求a与b的相反向

量-b的和的运算

叫做a与b的差_________法则

a-b=a+(-b)

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:

①|λa|=|λ||a|;

②当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0.

(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则

①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.

4.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.

5.平面向量基本定理

如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2,其中不共线的向量e 1,e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底.

6.平面向量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则

a +

b =______________,a -b =________________λa =___________,|a |=___________. (2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.

②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=_____________,|AB →|=______________________.

7.平面向量共线的坐标表示

设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,当且仅当_________________时,向量a ,b 共线. 8.两个向量的夹角

平面向量综合复习(学生版)

已知两个非零向量a 和b (如图),作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ(0°

≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角,当θ=0°时,a 与b ____;当θ=180°时,a 与b ______;如果a 与b 的夹角是90°,我们说a 与b 垂直,记作a ⊥b . 9.两个向量的数量积的定义

已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则数量__________叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =_____________,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a =0. 10.向量数量积的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影_________的数量积. 11.向量数量积的性质

设a 、b 都是非零向量,e 是单位向量,θ为a 与b (或e )的夹角.则 (1)e ·a =a ·e =|a |cos θ; (2)a ⊥b ?a ·b =0;

(3)当a 与b 同向时,a ·b =|a |·|b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |,特别的,a ·a =|a |2或者|a |=a ·a ;

(4)cos θ=a ·b

|a ||b |; (5)|a ·b |≤|a ||b |.

12.向量数量积的运算律 (1)a ·b =b ·a ;

(2)λa ·b =λ(a ·b )=a ·(λb ); (3)(a +b )·c =a ·c +b ·c .

13.平面向量数量积的坐标运算

设向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),向量a 与b 的夹角为θ,则 (1)a ·b =______________ (2)|a |=_________________;

(3)cos 〈a ,b 〉=______________________; (4)a ⊥b ?a ·b =0?____________________

14.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),AB →=a ,则|a |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2

)2(平面内两点间的距离公式). 15.线段P 1P 2的中点公式121222x x x y y y +?

=???+?=??。 典型例题:

1、平面向量的概念

【例1】下列命题中正确的是( ). A .a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线

B .任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C .向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量

D .有相同起点的两个非零向量不平行 【训练1】 给出下列命题:

①若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;

②若a =b ,b =c ,则a =c ; ③a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ;

④若a 与b 均为非零向量,则|a +b |与|a |+|b |一定相等. 其中正确命题的序号是________. 二、平面向量的线性运算 【例2】如图,

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D ,

E ,

F 分别是△ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则( ).

A.AD

→+BE →+CF →=0 B.BD →-CF →+DF →=0 C.AD →+CE →-CF →=0 D.BD →-BE →-FC →=0 【训练2】 在△ABC 中,AB

→=c ,AC →=b ,若点D 满足BD →=2DC →,则AD →=( ).

A.23b +13c

B.53c -23b

C.23b -13c

D.13b +23c 三、共线向量定理及其应用

【例3】设两个非零向量a 与b 不共线. (1)若AB

→=a +b ,BC →=2a +8b ,CD →=3(a -b ). 求证:A ,B ,D 三点共线;

(2) 试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.

【训练3】已知a ,b 是不共线的向量,AB →=λa +b ,AC →=a +μb (λ,μ∈R ),那么A ,B ,C 三

点共线的充要条件是( ).

A .λ+μ=2

B .λ-μ=1

C .λμ=-1

D .λμ=1 四、平面向量的坐标运算

【例4】已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4),且CM →=3CA →,CN →=2CB →.求M ,N 的坐标和

MN

→.

【训练4】 在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB →=(2,4),AC →=(1,3),则BD →

=( ). A .(-2,-4) B .(-3,-5) C .(3,5)

D .(2,4)

五、平面向量共线的坐标运算

【例5】已知a =(1,2),b =(-3,2),是否存在实数k ,使得k a +b 与a -3b 共线,且方向相反?

【训练5】已知向量a =(1,2),b =(2,-3),若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =( ). A.? ????79,73 B.? ????-73,-79 C.? ????

73,79

D.? ??

??-7

9,-73 六、求两平面向量的数量积

【例6】在△ABC 中,M 是BC 的中点,|AM →|=1,AP →=2PM →,则P A →·(PB →+PC →)=________.

【训练6】 如图,

平面向量综合复习(学生版)

在菱形ABCD 中,若AC =4,则CA →·AB →=________.

七、利用平面向量数量积求夹角与模

【例7】已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61. (1)求a 与b 的夹角θ; (2)求|a +b |和|a -b |.

【训练7】 已知a 与b 是两个非零向量,且|a |=|b |=|a -b |,求a 与a +b 的夹角.

八、平面向量的数量积与垂直问题

【例8】已知平面向量a =(1,x ),b =(2x +3,-x )(x ∈R ). (1)若a ⊥b ,求x 的值; (2)若a ∥b ,求|a -b |.

【训练8】 已知平面内A ,B ,C 三点在同一条直线上,OA →=(-2,m ),OB →=(n,1),OC →=(5,

-1),且OA →⊥OB →,求实数m ,n 的值.

平面向量课后练习

类型(一):向量的夹角问题

1.平面向量b a ,,满足4,1==b a 且满足

2.=b a ,则b a 与的夹角为 2.已知非零向量b a ,满足)

(,a b b b a 2-⊥=,则b a 与的夹角为 3.已知平面向量b a ,满足424)2.(==-=+-b a b a b a ,且)(且,则b a 与的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||,则>=

与求b a b a b a ,7,3,2=+==

6.若非零向量b a ,满足,0).2(=+=b b a b a ,则b a 与的夹角为 类型(二):向量共线问题

1. 已知平面向量),(x a 32=,平面向量),,(182--=b 若a ∥b ,则实数x

2. 设向量),(),,(3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=,c 共线,则=λ

3.已知向量)

,(),,(x b a 211==若a b b a 24-+与平行,则实数x 的值是( ) A .-2

B .0

C .1

D .2

_____

)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线,,,,且,已知向量

5.已知),(),,(),,(73231x C B A --,设a AB =,b BC =且a ∥b ,则x 的值为

(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18

6.已知a =(1,2),b =(-3,2)若k a +2b 与2a -4b 共线,求实数k 的值;

7.已知a ,c 是同一平面内的两个向量,其中a =(1,2)若52=c ,且a ∥c ,求c 的坐标

8.n 为何值时,向量)

,(1n a =与),4(n b =共线且方向相同?

9.已知且),2,1(,3==b a a ∥b ,求a 的坐标。

10.已知向量)2,1(,112-=-=-=c m b a ),(),,(,若(b a +)∥c ,则m=

11.已知b a ,不共线,b a d b a k c -=+=,,如果c ∥d ,那么k= ,c 与d 的方向关系是 12. 已知向量且),(),,(,221m b a -==a ∥b ,则=+b a 32 类型(三): 向量的垂直问题

1.已知向量b a b x a ⊥==且),()6,3(,1,则实数x 的值为 2.已知向量=--==a b b a n b n a 垂直,则与),若,(),,(211 3.已知a =(1,2),b =(-3,2)若k a +2b 与2a -4b 垂直,求实数k 的值

4.已知4,2==b a ,且b a 与的夹角为3

π

,若的值垂直,求与k b a k b a k 22-+。

5.已知),1,1(),0,1(==b a 求当λ为何值时,a b a 与λ+垂直?

6.已知单位向量m

m n n m ⊥-),求证:(的夹角为和23

π

7.已知,24),(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标。

8. 已知向量的值为垂直,则实数与且向量),(λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-= 9. =⊥-===k b c a k c b a ,则)若(,),(),2,()3,1(,13

10. )满足于(,若向量),(a c c b a +-==)3,2(,21∥b ,___=+⊥c b a c ),则(

类型(四)投影问题

1. 已知,4,5==b a ,b a 与的夹角3

θ=

,则向量b 在向量a 上的投影为 2. 在Rt △ABC 中,===∠AC AB AC C .,4,2

则π 3.关于c a b a ..=且0≠a ,有下列几种说法:

① )(c b a -⊥; ② b ⊥c ;③0).(=-c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a 方向上的投影 ;⑤a b λ=;⑥c b = 其中正确的个数是 ( )

(A )4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个 类型(五)求向量的模的问题

1. 已知零向量==+==b b a b a a ,则),(25,10.,12

2. 已知向量b a ,满足=+=-==b a b a b a

,则2,2,1

3. 已知向量a )3,1(=,=+-=b

a b ,则)0,2(

4.已知向量b a b a -==则),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 5. 设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,

()

则=-=+=AM AC AB AC AB BC

,,162

(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 6. 设向量a ,b 满足1==b a 及334=-b a ,求b a 53+的值

7. 已知向量b a ,满足,3.,5,2-===b a b a 求b a b a -+和

8. 设向量a ,b 满足的值为则b a b a a b a +-⊥==2),2(,2,1