基于移动最小二乘法的列车牵引特性曲线拟合

科研探索

知识创新

与）＝［１

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可见，点x 处的系数有两方面决定：一是该节点值，二是

它的权函数。对不同的节点，随着权函数的变化，系数也跟着

不停地变化，相应的近似函数表示为

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-||的单调递减函数；

5)连续可导的函数。

指数型、高斯型和紧支撑径向基函数是常用的权函数。本文将采用较为常见的高斯型函数为例进行说明，该函数的表达式为

(13)

其中，是距离相对量，=||

?????úμ?μ?è¨oˉêyμ?×÷ó?°????￡è¨oˉêyóDá????÷òaμ?2?êy￡oò???ê??§3?óòμ?°???￡?áíò???ê?oˉêyμ?D?ì??￡ò?°?à′?μ￡?

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；(2)正则化参数

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曲线拟合最小二乘法c++程序

课题八曲线拟合的最小二乘法 实验目标： 在某冶炼过程中，通过实验检测得到含碳量与时间关系的数据如下，试求含碳量y与时间t #include #include<> using namespace std; int Array(double ***Arr, int n){ double **p; int i; p=(double **)malloc(n*sizeof(double *)); if(!p)return 0; for(i=0;i>n; cout<<"请输o入¨节¨2点ì值|ì（ê?§Xi）ê：êo"<>X[i]; } cout<<"请输o入¨节¨2点ì函?￥数oy值|ì（ê?§Yi）ê：êo"<>Y[i]; } if(!Array(&A,3)) cout<<"内¨2存?分¤配失o?ì败?¨1！ê"; else { for(i=0;i<3;i++){ for(j=0;j<3;j++){ A[i][j]=0; } } for(i=0;i

最小二乘法曲线拟合 原理及matlab实现

曲线拟合（curve-fitting ）：工程实践中，用测量到的一些离散的数据},...2,1,0),,{(m i y x i i =求一个近似的函数)(x ?来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势（即使)(x ?最好地逼近()x f ，而不必满足插值原则。因此没必要取)(i x ?=i y ，只要使i i i y x -=)(?δ尽可能地小）。 原理： 给定数据点},...2,1,0),,{(m i y x i i =。求近似曲线)(x ?。并且使得近似曲线与()x f 的偏差最小。近似曲线在该点处的偏差i i i y x -=)(?δ，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法: 1.使偏差绝对值之和最小 2.使偏差绝对值最大的最小 3.使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。 推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3. 问题转化为求待定系数0a ...k a 对等式右边求i a 偏导数，因而我们得到 了： ....... 4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

6. 也就是说X*A=Y，那么A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB实现： MATLAB提供了polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s包括R（对x进行QR分解的三角元素）、df(自由度）、normr(残差）用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对x进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。 polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x) [y,DELTA]=polyval(p,x,s) y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。 [y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。 如下给定数据的拟合曲线： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]， y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。 解：MATLAB程序如下： x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; p=polyfit(x,y,2) x1=0.5:0.05:3.0; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') 运行结果如图1 计算结果为： p =0.5614 0.8287 1.1560 即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560 图1 最小二乘法曲线拟合示例 对比检验拟合的有效性： 例：在[0,π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0,2π]区间画出图形，比较拟合区间和非拟合区间的图形，考察拟合的有效性。 在MATLAB中输入如下代码： clear x=0:0.1:pi; y=sin(x); [p,mu]=polyfit(x,y,9)

《电力机车牵引计算》填空题与简答题

一、填空题： 1、《列车牵引计算》是专门研究铁路列车在外力的作用下，沿轨道运行及其相关问题的实用学科。它是以力学为基础，以科学实验和先进操纵经验为依据，分析列车运行过程中的各种现象和原理，并以此解算铁路运营和设计上的一些主要技术问题和技术经济问题。 2、机车牵引力（轮周牵引力）不得大于机车粘着牵引力，否则，车轮将发生空转。 3、机车牵引特性曲线是反映了机车的牵引力和速度之间的关系。在一定功率下，机车运行速度越低，机车牵引力越大。 4、列车运行阻力可分为基本阻力和附加阻力。(基本附加) 5、列车附加阻力可分为坡道附加阻力、曲线附加阻力和隧道空气附加阻力。 6、列车在6‰坡道上上坡运行时，则列车的单位坡道附加阻力为6N/kN 7、列车在2‰坡道上下坡运行时，则列车的单位坡道附加阻力为 -2N/KN 。 8、在计算列车的基本阻力时，当货车装载货物不足标记载重50%的车辆按空车计算；当达到标记载重50%的车辆按重车计算。 9、列车制动力是由制动装置引起的与列车运行方向相反的外力，它的大小可由司机控制，其作用是调节列车速度或使列车停车。 10、轮对的制动力不得大于轮轨间的粘着力，否则，就会发生闸瓦和车轮“抱死”滑行现象。 11、目前，我国机车、车辆上多数使用高磷闸瓦闸瓦。 12、列车制动一般分为紧急制动和常用制动。 13、列车制动力是由列车中各制动轮对产生的制动力的总和。 14、列车单位合力曲线是由牵引运行、惰性运行和制动运行三种曲线组成。 15、作用于列车上的合力的大小和方向，决定着列车的运动状态。在某种工况下，当合力大于零时，列车加速运行；当合力小于零时，列车减速运行；当合力等于零时，列车匀速运行。 16、加算坡道阻力与列车运行速度无关。（无关） 17、列车运行时间的长短取决于列车运行速度和作用在列车上单位合力的大小。 18、在某工况下，当列车所受单位合力为零时对应的运行速度，为列车的均衡速度。列车将匀速运行。 19、列车制动距离是自司机施行制动开始到列车完全停车为止，所运行的距离。 20、列车的制动距离是制动空走距离和制动有效距离之和。 21、我国普通列车紧急制动距离的限值为 800 米。 22、列车制动时间是制动空走时间和制动有效时间之和。 23、列车在长大下坡线路上施行紧急制动时，其最高允许速度必须有所限制，该速度称为列车紧急制动限速或称最大制动初速度。 24、列车换算制动率的大小，表示列车制动能力的大小。 25、列车牵引质量和列车运行速度是铁路运输工作中最重要的指标。对于一定功率的机车，在线路条件不变的情况下，若要列车运行速度快则牵引质量要相应地减少；若要增加列车牵引质量，则列车运行速度要相应地降低；因此，最有利的牵引质量和运行速度的确定，需要进行技术和经济等方面的分析比较。

数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法

第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据

图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1） 其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。

关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足

曲线拟合的最小二乘法讲解

实验三 函数逼近与曲线拟合 一、问题的提出： 函数逼近是指“对函数类A 中给定的函数)(x f ,记作A x f ∈)(,要求在另一类简的便于计算的函数类B 中求函数A x p ∈)(,使 )(x p 与)(x f 的误差在某中度量意义下最小”。函数类A 通常是区间],[b a 上的连续函数，记作],[b a C ,称为连续函数空间，而函数类B 通常为n 次多项式，有理函数或分段低次多项式等，函数逼近是数值分析的基础。主要内容有： （1）最佳一致逼近多项式 （2）最佳平方逼近多项式 （3）曲线拟合的最小二乘法 二、实验要求： 1、构造正交多项式； 2、构造最佳一致逼近； 3、构造最佳平方逼近多项式； 4、构造最小二乘法进行曲线拟合； 5、求出近似解析表达式，打印出逼近曲线与拟合曲线，且打印出其在数据点上的偏差； 6、探讨新的方法比较结果。 三、实验目的和意义: 1、学习并掌握正交多项式的MATLAB 编程； 2、学习并掌握最佳一致逼近的MATLAB 实验及精度比较；

3、学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较； 4、掌握曲线拟合的最小二乘法； 5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组； 6、 探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系； 四、 算法步骤： 1、正交多项式序列的生成 {n ?（x ）}∞ 0：设n ?（x ）是],[b a 上首项系数a ≠n 0的n 次多项式，)(x ρ为],[b a 上权函数，如果多项式序列{n ?（x ）} ∞0 满足关系式???=>≠==?.,0,, 0)()()()(),(k j A k j x d x x x k k j b a k j ??ρ?? 则称多项式序列{n ?（x ）}∞ 0为在],[b a 上带权)(x ρ正交，称n ?（x ）为],[b a 上带权)(x ρ 的n 次正交多项式。 1）输入函数)(x ρ和数据b a ,; 2）分别求))(),(()),(,(x x x x j j j n ???的内积； 3）按公式①)()) (),(()) (,()(,1)(1 0x x x x x x x x j n j j j j n n n ??? ???∑-=- ==计算)(x n ?，生成正交多项式； 流程图： 开始

机车牵引力基本概念备考复习

1、机车牵引力的定义 机车牵引力是由动力传动装置产生的、与列车运行方向相同、驱动列车运行并可由司机根据需要调节的外力。它是由机车动力装置发出的内力（不同类型机车的原动力装置不一样），经传动装置传递，通过轮轨间的粘着而产生的由钢轨反作用于机车动轮周上的切线力。 二、机车牵引力的分类 按照不同条件可以把机车牵引力作如下分类： 1．按能量传递顺序的分类 （1）指示牵引力 i F ：假定原动机（内燃牵引时就是柴油机）所做的指示功毫无损失的 传到动轮上所得到的机车牵引力。指示牵引力是个假想的概念。 （2）轮周牵引力F ：实际作用在轮周上的机车牵引力，F

牵引特性

电力机车的起动是机车运行中最先实现的工作状态。电力机车在其起动牵引力作用下，克服列车静止时所受的阻力并产生加速度，最终运行在机车的自然特性上，这一过程称为机车的起动过程。机车起动过程实质是调速的一种特殊方式。因此，前述调速的基本原理对起动都是适用的。 一、对起动的要求 对机车起动的基本要求是：起动快和起动平稳。机车起动快可以减少起动时间，提高平均运行速度，对铁路运输有很大的意义，特别对起动频繁的电动车组来说，意义更为重大。为了使机车起动得快，就要求机车有较大的起动电流，产生较大的起动牵引力。 机车起动平稳可以使机车内部设备免受电流冲击，机车和列车免受机械冲击，因此希望列车以匀速运动的形式运行。为此，要求起动时应尽量减少起动电流、起动牵引力的摆动。 起动电流过大时，会使电机安全整流受到破坏，启动牵引力过大时，会超出线路粘着条件，使轮对发生空转，结果反而丧失了牵引力。不同形式的电力机车，所受限制因素的主次也不同。对于直流电力机车和整流器电力机车，由于牵引电动机的不断发展和完善，已能保证在粘着条件许可范围内牵引电动机有良好的整流，其主要限制条件就是线路的粘着条件。采用交流牵引电动机的电力机车，由于电机不存在整流问题，仅受线路粘着条件的限制。对于单相整流子牵引电动机电力机车，由于这种电机整流困难，由电机安全整流决定的最大许可电流要比粘着条件决定的最大电流小，故主要受机车安全整流的限制。 此外，在机车起动过程中，不应有附加的能量损耗，若有也应尽量减小。 在机车起动操纵时，对于有级调压电力机车，要求司机逐级调压，禁用快速升级，防止牵引电机电流一次性摆动过大造成机车起动失败。 二、起动方式 机车在起动时处于静止状态，牵引电机在得到电压时，由于其反电势为零，因此，电机电枢电流仅由电压及电机回路的阻抗来决定，即： (2-57) 显然，由于回路阻抗值很小，必然产生很大的电流，以致破坏牵引电机的安全换向，超越线路粘着条件限制，而且这么大的电流必然会产生很大的电流冲击和机械冲击，使机车和列车都受到损伤。因此，必须采用适当的起动方法来限制起动电流和起动牵引力。 1.变阻起动 电力机车起动时，在牵引电动机回路中串入起动电阻，以减小起动电流，随着起动过程的进行逐步切除起动电阻，待起动电阻全部切除后，起动过程结束。这种方法称为变阻起动。

最小二乘法多项式拟合

最小二乘法多项式拟合 对于给定的数据点N i y x i i ≤≤1),,(，可用下面的n 阶多项式进行拟合，即 为了使拟合出的近似曲线能尽量反映所给数据的变化趋势，要求在所有数据点上的残差 都较小。为达到上述目标，可以令上述偏差的平方和最小，即 称这种方法为最小二乘原则，利用这一原则确定拟合多项式)(x f 的方法即为最小二乘法多项式拟合。 确定上述多项式的过程也就是确定)(x f 中的系数n k a k ≤≤0,的过程，根据最小二乘原则，则偏差平方和应该是这些系数的函数，即 为使上式取值最小，则其关于n k a k ≤≤0,的一阶导数应该为零，即有 将上面各等式写成方程组的形式可有 写成矩阵形式有 上述方程组可以通过克莱姆法则来计算，从而解出各系数n k a k ≤≤0,得到拟合方程。 考虑到一般情况提高拟合多项式的阶数并不能提高拟合精度，所以常用的多项拟合阶数为一阶和二阶，即线性拟合和二次拟合。两者的计算公式如下： 关于线性拟合，除上面按克莱姆法则来计算外，还可以有另一思路，下面对此进行说明。由于是线性拟合，最后得到的是一条直线，因此，直线可以由斜率和截距两个参数来确定，因此，求出这两个参数即可。首先对克莱姆法的求解结果进行展开可以得到 下面考虑先计算斜率再计算截距的方法，从下图可见，斜率计算与坐标系的位置无关，所以可以将坐标原点平移到样本的i x 和i y 坐标的均值所在点上 图中 则在新的坐标系),(y x ''下斜率的计算公式与前面1a 的计算公式相同，将其中的坐标),(y x 换成),(y x ''即可得到下面的计算公式 由样本在新坐标系下的坐标i x '和i y '的均值为零，或者由下面推导可知 x '

机车牵引计算

第一节 机车牵引力 一、机车牵引力的基本概念 1、机车牵引力的定义 机车牵引力是由动力传动装置产生的、与列车运行方向相同、驱动列车运行并可由司机根据需要调节的外力。它是由机车动力装置发出的内力（不同类型机车的原动力装置不一样），经传动装置传递，通过轮轨间的粘着而产生的由钢轨反作用于机车动轮周上的切线力。 二、机车牵引力的分类 按照不同条件可以把机车牵引力作如下分类： 1．按能量传递顺序的分类 （1）指示牵引力 i F ：假定原动机（内燃牵引时就是柴油机）所做的指示功毫无损失的 传到动轮上所得到的机车牵引力。指示牵引力是个假想的概念。 （2）轮周牵引力F ：实际作用在轮周上的机车牵引力，F

曲线拟合的最小二乘法论文

“数值计算方法与算法”论文 题目：浅谈曲线拟合的最小二乘法 院系：化学与材料工程学院20系 姓名： 学号： 时间：2015年春季学期

浅谈曲线拟合的最小二乘法 【摘要】 数值计算方法，一种研究并解决数学问题的数值近似解的方法，主要解决那些理论上有解但是无法轻易且准确求解的数学问题。在当今计算机技术日渐成熟的背景下，数值计算方法的应用被大大的推广，并且极大的推动了自然科学的规律探索及理论验证。本文主要探讨了一种重要的数值计算方法——曲线拟合的最小二乘法的历史发展、理论核心以及应用价值。 关键词：数值计算方法最小二乘法应用 【正文】 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，现在通常在计算机上使用来求解数学问题。它主要的计算对象是那些在理论上有解而又无法直接手工计算的数学问题【1】。例如，用已知的数据点来构造合适的插值函数或拟合出合适的曲线来近似代替原函数，从而解决了因难以求得原函数表达式而无法计算相关函数值的难题；又如，对于一个一般的非线性方程，可能在计算方程的根时既无一定章程可循，也无理论解法可言，那么这时就可以构造合适的迭代格式如Newton迭代，通过对一个近似的初值进行有限次迭代，就可以得到较精准的根值，从而有效避免了冗长而又复杂的理论求解的过程。 在学习完计算方法与算法这门课程后，我收获了许多实用的计算方法、技巧和思想，而对书中的某些问题的解法的深入思考也让我加深了对这门课程的理解。由于专业的相关需要，我对曲线拟合的最小二乘法这部分知识点进行了重点的学习和深刻的反思，也收获了许多。 1.最小二乘法的发展历史 18世纪中期以后，欧拉（L. Euler, 1707-1783）、梅耶（T. Meiyer, 1723-1762）、拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749—1827)等科学家在研究一些天体运动规律时，都得到了一些含有m个变量n个（）方程的线性方程组（也就是我们现在所说的线性矛盾方程组），并且各自运用了一些方法解出了方程组的较优解。虽然方法繁琐且奇特，但不失为数学史一次伟大的尝试。 有关于最小二乘法的首次应用于实际计算并成功的记载，是关于第一颗小行星位置的预测，十分之有趣。1801年，意大利天文学家朱塞普·皮亚齐（Giuseppe Piazzi,1746-1826）发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后，全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据，开始了寻找谷神星之旅。但是，根据大多数人的计算结果来寻找谷神星，都以失败告终。时年24岁的伟大的数学家高斯（C.F.Gauss, 1777－1855）也随即参与了这次的计算。最终德国天文学家奥伯斯（Heinrich Olbers）

机车车辆及牵引计算考试卷

中南大学课程考试试卷 函授站：昆明铁路局党校交通运输专业层次专升本课程名称：机车车辆及牵引计算考试形式：闭卷考试时间：120分钟 考试学期：2011学年一学期考试时间：20 11 年5月 （每空1分，共30分） 1、铁道车辆包括（）、（）、（）、（）、车辆内部设备 等5个部分。 2、铁道车辆的方位一般以制动缸活塞杆推出的方向为（）位，相反方向为（） 位。对有多个制动缸的情况则以（）为第一位。 3、转向架的构成包括轮对轴箱装置、（）、构架或侧架、基础制动装置、转 向架支承车体的装置。 4、车钩缓冲装置的作用是连接、（）、（）。 5、内燃机车的传动方式有（）传动、（）传动和（） 传动三种。 6、车钩的三态是（）位置、（）位置和（）位置。 7、我国机车牵引力就是指（）。 8、机车牵引力不得（）机车粘着牵引力，否则，车轮将发生（）。 9、在不发生动轮（）的前提下，所能实现的（）轮周牵引力称为粘着牵引力。 10、机车牵引特性曲线是反映了机车的（）和（）之间的关系。在一定功率 下，机车运行速度越低，机车牵引力越( )。 11、列车附加阻力可分为（）、（）、（）。 12、作用于列车上的合力的大小和方向，决定着列车的运动状态。在某种工况下，当 合力（）零时，列车加速运行；当合力（）零时，列车减速运行；当合力（）零时，列车匀速运行。 二、判断题（对的在括号后打√，错的打×, 每题2分，共20分） 1、在曲线较多的既有线上使用摆式列车可以提高列车通过曲线的速度。（） 2、平车是侧壁底架共同承载结构。（） 3、曲线超高是设置在外轨上，内轨保持原来的高度不变。（） 4、列车的蛇行运动是可以消除的。（） 5、电力机车的牵引供电网供给的是2.5Kv、50KHz的三相交流电。（） 6、列车在6‰的下坡道上运行时，则列车的单位坡道附加阻力为6 N/KN。（） 7、轮对的制动力不得大于轮轨间的粘着力，否则，就会发生闸瓦和车轮抱死滑行现 象。（）8、在制动计算中，制动距离包括制动空走距离和有效制动距离。（）

关于曲线拟合与最小二乘法原理的探讨

2013届本科毕业论文(设计) 论文题目：关于曲线拟合与最小二乘法原理 的探讨 学院：数学科学学院 专业班级： 学生姓名： 指导老师： 答辩日期：年月日 新疆师范大学教务处

目录 引言 (2) 1 最小二乘法拟合 (5) 1.1 最小二乘法 (5) 1.2 最小二乘多项式曲线拟合的基本原理 (5) 1.2.1 线性拟合原理 (6) 1.2.2 多项式拟合原理 (8) 2 分段曲线拟合的原理 (10) 2.1 分段曲线拟合 (11) 2.2 分段三次曲线拟合 (11) 3 几种具体的拟合曲线类型 3.1指数函数拟合.......................................................................................... 3.2幂函数拟合............................................................................................. 3.3双曲型拟合............................................................................................... 4 总结 (20) 参考文献 (21)

引言 在物理实验中,经常要把离散的测量数据转化为直观的便于研究的曲线方程,即曲线拟合。正交基函数因涵盖了幂函数,切比雪夫多项式,拉盖尔函数,多元正交函数系列等而常被采用为拟合函数。如在曲线拟合中最常见的二次曲线,采用二元正交基函数系列:1,x,y,x2,y2,xy,…进行拟合。最小二乘法在确定各拟合函数的系数时,尽管拟合的次数不是很高,但它可使误差较大的测量点对拟合曲线的精度影响较小,而且实现简单,便于物理分析和研究,故成为最常用的方法之一。本文从最小二乘法的基本原理出发,给出了多元正交函数拟合的实现方法,并结合实例给出了最常用的二次曲线拟合的程序流程图。

曲线拟合_线性最小二乘法及其MATLAB程序

1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB 程序 例7.2.1 给出一组数据点),(i i y x 列入表7–2中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线. 表7–2 例7.2.1的一组数据),(y x 解 （1）在MATLAB 工作窗口输入程序 >> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6]; y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04]; plot(x,y,'r*'), legend('实验数据(xi,yi)') xlabel('x'), ylabel('y'), title('例7.2.1的数据点(xi,yi)的散点图') 运行后屏幕显示数据的散点图（略）. （3）编写下列MA TLAB 程序计算)(x f 在),(i i y x 处的函数值，即输入程序 >> syms a1 a2 a3 a4 x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6]; fi=a1.*x.^3+ a2.*x.^2+ a3.*x+ a4 运行后屏幕显示关于a 1,a 2, a 3和a 4的线性方程组 fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4, -4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4, -1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4, 27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4] 编写构造误差平方和的MATLAB 程序 >> y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04]; fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4, -4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4, -1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4, 27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]; fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2) 运行后屏幕显示误差平方和如下 J= (-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+2 89/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a 2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/ 2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2 为求4321,,,a a a a 使J 达到最小，只需利用极值的必要条件0=??k a J )4,3,2,1(=k ，

利用最小二乘法求解拟合曲线

实验三函数逼近 一、 实验目标 1.掌握数据多项式拟合的最小二乘法。 2.会求函数的插值三角多项式。 二、实验问题 （ （2）求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的插值三角多项式。 三、 实验要求 1.利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。 2.求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与()f x 的图形比较。 3.对函数()2cos f x x x =，在区间[,]ππ-上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。 《数值分析》实验报告 项式，画出拟合曲线 【实验目标】 （1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解 （2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序； 【理论概述与算法描述】 在函数的最佳平方逼近中()[,]f x C a b ∈,如果()f x 只在一组离散点集{,0,1,,}i x i m =???上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(,),0,1,,}i i x y i m =???的曲线拟合，这里 (),0,1,,i i y f x i m ==???，要求一个函数*()y S x =与所给数据{(,),0,1,,}i i x y i m =???拟合，若 记误差*()(0,1,,)i i i S x y i m δ=-=???,()01,,,T m δδδδ=???,设01(),(),,()n x x x ??????是[,]C a b 上的线性无关函数族，在01{(),(),,()}n span x x x ????=???中找一个函数*()S x ，使误差平方和

最小二乘法曲线拟合原理及maab实现

曲线拟合( curve-fitting )：工程实践中，用测量到的一些离散的数据 {( X, yj,i 0,1,2,...m}求一个近似的函数(x)来拟合这组数据，要求所得的拟合曲线能最好的反映数据的基本趋势(即使(x)最好地逼近f x，而不必满足插值原则。因此没必要取(X)=y i，只要使i (X i) y i尽可能地小)。 原理： 给定数据点{( x i,y i),i 0 ,1 , 2, . . . m} 。求近似曲线( x) 。并且使得近似曲线与f x 的偏差最小。 近似曲线在该点处的偏差i(x i ) y i，i=1,2,...,m 。 常见的曲线拟合方法： 1. 使偏差绝对值之和最小 2. 使偏差绝对值最大的最小 3. 使偏差平方和最小 最小二乘法： 按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为最小二乘法。推导过程： 1. 设拟合多项式为： 2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下： 3?问题转化为求待定系数a0...a k对等式右边求q偏导数，因而我们得到了： 4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵： 5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到： 6. 也就是说X*A=Y ，那么A = (X'*X)-1*X'*Y ，便得到了系数矩阵A ，同时，我们也就得到了拟合曲线。 MATLAB 实现： MATLAB 提供了polyfit ()函数命令进行最小二乘曲线拟合。 调用格式：p=polyfit(x,y,n) [p,s]= polyfit(x,y,n) [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回p 为幂次从高到低的多项式系数向量p。x 必须是单调的。矩阵s包括R (对x进行QR分解的三角元素)、df(自由度)、 normr(残差)用于生成预测值的误差估计。 [p,s,mu]=polyfit(x,y,n) 在拟合过程中，首先对x 进行数据标准化处理，以在拟合中消除量纲等影响，mu包含标准化处理过程中使用的x的均值和标准差。polyval( ) 为多项式曲线求值函数，调用格式：y=polyval(p,x)

曲线拟合的最小二乘法

曲线拟合的最小二乘法 吕英楷 1014202033 在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。 一、曲线拟合的最小二乘法原理： 由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线 )(...)()()(1100x a x a x a x S n n ???+++= 称为曲线拟合的最小二乘法。 若记 ),()()(),(0 i k i j m i i k j x x x ??ω??∑== k i k i m i i k d x x f x f ≡=∑=)()()(),(0 ?ω? 上式可改写为),...,1,0(;),(n k d a k j n o j j k -=∑=??这个方程成为法方程，可写成距阵 形式 d Ga = 其中,),...,,(,),...,,(1010T n T n d d d d a a a a == ???? ?? ??????=),(),(),()(),(),(),(),(),(10 1110101000n n n n n n G ?????????????????? 。 它的平方误差为：.)]()([)(||||20 22i i m i i x f x S x -= ∑=ωδ

第一章 列车牵引力

第一章列车牵引力 第二章 列车运行阻力.doc第三章 列车制动力.doc 1．轮周牵引力产生必需具备的条件？ 轮周牵引力F：具备两个条件：机车动轮上有动力传动装置传来的旋转力矩；动轮与钢轨接触并存在摩擦作用 2．什么是机车牵引力? 机车产生的牵引力是与列车运行方向相同并可由驾驶员根据需要控制的外力。 3．“黏着”与“静摩擦”的区别与联系？ 黏着作用与静摩擦作用之间的有本质区别：黏着作用产生于运动状态；静摩擦力产生于静止状态；运动中机车动轮有增载和减载的情况，各动轮轴之间牵引力分配不均。 4．什么是粘降？ 运行速度增加时，黏着系数下降 当机车在曲线轨道上运行时，由于外侧钢轨超高及内外侧动轮走行距离不同引起横向和纵向滑动加剧等原因，黏着系数将会减少，简称“黏降” 5．在高原和高温地区，为什么内燃机车牵引力需要进行修正？ （2）内燃动车组 用内燃机作动力通过电传动装置或者液力传动装置驱动的动车组，按传动方式分为：电力传动、液力传动。 （1）由起动电流限制线直接过渡到满手柄级位或柴油机额定转速牵引力曲线，即不受黏着牵引力限制的形式。 （2）由黏着牵引力曲线或由起动电流限制线经黏着牵引力曲线，过渡到满手柄级位或柴油机额定转速的牵引特性。 计算速度和计算牵引力 （1）黏着制：最高级位满磁场的牵引特性与黏着牵引力曲线的交点所对应的速

度和牵引力。 （2）小时制：以最高级位满磁场牵引特性上小时电流所决定的速度和牵引力作为计算速度和计算牵引力。 （3）持续制：以最高级位满磁场牵引特性上持续电流所决定的速度和牵引力作为计算速度和计算牵引力。 6．电力机车计算速度和计算牵引力如何取值？ 一（1）电传动内燃机：计算起动牵引力选择黏着牵引力和起动电流所决定的牵引力中较小者。 （2）液力传动内燃机：计算起动牵引力选择黏着牵引力和全功率引力中较小者。 二（1）由起动电流限制线直接过渡到满手柄级位或柴油机额定转速牵引力曲线，即不受黏着牵引力限制的形式。 （2）由黏着牵引力曲线或由起动电流限制线经黏着牵引力曲线，过渡到满手柄级位或柴油机额定转速的牵引特性。 当机车在曲线轨道上运行时，由于外侧钢轨超高及内外侧动轮走行距离不同引起横向和纵向滑动加剧等原因，黏着系数将会减少，简称“黏降”。 7．动力集中方式的优缺点？ 优点：动力装置中安装在2～3节车上，检查维修比较方便；电气设备的总重量小于动力分散的电动车组。 缺点：动车的轴重较大，对线路不利；易受粘着限制。 8．动力分散方式的优缺点？ 优点：动力装置分布在列车不同的位置上，能够实现较大的牵引力，加速性能好；采用动力制动的轮对多，制动减速度大；轴重小，粘着力运用合理；编组灵活，经济效益高；列车中一节动车的牵引动力发生故障对全列车的牵引指标影响不大。 缺点：牵引动力设备数量多，总质量大。

曲线拟合的最小二乘法

§5 曲线拟合的最小 二乘法 一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)的一般提法是:对给定的一组数据(,)(0,1,,)i i x y i m =,要求在函数类01{,,,}n ????=中找一个函数* ()y S x =,使误差平方和 2 2* 2 2()0 1 [()]min [()m m m i i i i i S x i i i S x y S x y ? δδ∈=====-=-∑∑∑ 其 中 0011()()()() ( n n S x a x a x a x n m ???=+++< 带权的最小二乘法：

22 20 ()[()()] m i i i i x S x f x δ ω==-∑ 其中()0x ω≥是［a, b ］上的权函数。 用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在()S x 中求一函数 * ()y S x =，使2 2δ取的最小。它转化 为求多元函数 2 010 (,,,)()[()()] m n n i j j i i i j I a a a x a x f x ω?===-∑∑ 的极小点* **01 (,, ,)n a a a 问题。由求 多元函数极值的必要条件，有 00 2()[()()]()m n i j j i i k i i j k I x a x f x x a ω??==?=-=?∑∑

, ,1,0(k = 若 记 0(,)()()() m j k i j i k i i x x x ??ω??==∑ (,)k f ?= , 1,0(k = 则上式可改写为 (,)n k j j k j a d ? ?==∑ ),,1,0(n k = 这个方程称为法方程，矩阵形式 .G a d =