数列超难的。。。

2014年1月CYYAONAN8713329的高中数学组卷

2014年1月cyyaonan8713329的高中数学组卷

一．解答题（共27小题）

1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，求数列{a n}的通项．

2．（2010?门头沟区一模）若数列{a n}（n∈N*）满足：（1）a n≥0；（2）a n﹣2a n+1+a n+2≥0；

（3）a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．

（Ⅰ）验证数列{a n}，{b n}，其中，是否为“和谐”数列；

（Ⅱ）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．

3．（2010?湖北模拟）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p、q，使得c n+1=pc n+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{c n}是“M类数列”；

（1）若a n=2n，数列{a n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p、q，若不是，请说明理由；

（2）数列{a n}满足a1=2，a n+a n+1=3?2n（n∈N*），若数列{a n}是“M类数列”，求数列{a n}的通项公式；

（3）记数列{a n}的前n项之和为S n，求证：（n≥3）．

4．（2008?浙江）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N?）．记

S n=a1+a2+…+a n．．

求证：当n∈N?时，

（Ⅰ）a n＜a n+1；

（Ⅱ）S n＞n﹣2．

5．已知曲线f（x）=（x＞0）上有一点列P n（x n，y n）（n∈N*），点P n在x轴上的射影是Q n（x n，0），

且x n=2+1（n∈N*），x1=1．

（1）求数列{x n}的通项公式；

（2）设四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积是S n，求证：＜4．

6．已知正项数列{a n}满足：a n+1=（a n+）（n∈N+）．

（1）求a1的范围，使得a n+1＜a n恒成立；

（2）若a1=，证明a n＜1+（n∈N+，n≥2）；

（3）（理）若a1=，证明：+++…+﹣n＜+1．

7．已知无穷数列{a n}为等差数列，各项均为正数，给出方程a i x2+2a i+1x+a i+2=0（i=1，2，3，…）．

（1）求证这些方程有一个公共根为﹣1；

（2）设这些方程除公共根以外的另一根为αi，且f（n）=（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）．求证：f（n）＜．（其中d为数列{a n}的公差）

8．已知数列{a n}中，a1=1，，且（n=2，3，4，…）．

（1）求a3、a4的值；

（2）设（n∈N*），试用b n表示b n+1并求{a n}的通项公式；

（3）求证：对一切n∈N*且n≥2，有．

9．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1+a n=3?2n﹣1（n≥2）．

（1）求a2，a3；

（2）求a n的通项公式；

（3）对于n∈N*有＜=2（﹣），证明：

++…+＜（n≥1）

10．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项

．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）求证：a n+1＞a n；

（3）求证：．

11．（2010?顺义区二模）在数列{a n}、{b n}中，已知a1=6，b1=4，且b n、a n、b n+1成等比数列，a n、b n+1、a n+1成等差数列，（n∈N+）

（Ⅰ）求a2、a3、a4及b2、b3、b4，由此猜想{a n}、{b n}的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

12．已知：正数数列a n中，若关于x的方程有相等的实根

（1）若a1=1，求a2，a3的值；并证明

（2）若a1=a，b n=a n﹣（3n﹣12）?2n，求使b n+1≥b n对一切n∈N+都成立的a的取值范围．

13．（2011?天津）已知数列{a n}与{b n}满足b n+1a n+b n a n+1=（﹣2）n+1，b n=，n∈N*，且a1=2．

（Ⅰ）求a2，a3的值

（Ⅱ）设c n=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N*，证明{c n}是等比数列

（Ⅲ）设S n为{a n}的前n项和，证明++…++≤n﹣（n∈N*）

14．设数列{a n}满足：当n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=n；当n=2k（k∈N*）时，a n=a k；记

（1）求s3；

（2）证明：s n=4n﹣1+s n﹣1（n≥2）

（3）证明：．

15．（2013?广州三模）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f （x）=有且仅有两个不动点0和2．

（1）试求b、c满足的关系式．

（2）若c=2时，各项不为零的数列{a n}满足4S n?f（）=1，求证：＜＜．（3）设b n=﹣，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T2009﹣1＜ln2009＜T2008．

16．已知函数，无穷数列{a n}满足a n+1=f（a n）（n∈N*）．

（1）求a1的值使得{a n}为常数列；

（2）若a1＞2，证明：a n＞a n+1；

（3）若a1=3，求证：．

17．（2008?佛山一模）数列{a n}满足a1=，a n+1=．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，证明S n＜n﹣ln（）．

18．（2008?广州二模）已知函数f（x）=（x＞0）

（1）当x1＞0，x2＞0且f（x1）?f（x2）=1时，求证：x1?x2≥3+2

（2）若数列{a n}满足a1=1a n＞0a n+1=f（a n）（n∈N*）求数列{a n}的通项公式．

19．（2008?广州一模）已知函数f（x）=e x﹣x（e为自然对数的底数）．

（1）求函数f（x）的最小值；

（2）若n∈N*，证明：．

20．（2008?广州一模）已知数列{a n}中，a1=5且a n=2a n﹣1+2n﹣1（n≥2且n∈N+）

（1）求a2，a3的值；

（2）是否存在实数λ，使得数列为等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（2008?深圳二模）已知首项为1的数列{a n}满足：对任意正整数n，都有：

，其中c是常数．

（Ⅰ）求实数c的值；

（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅲ）设数列的前n项和为S n，求证：S2n﹣1＞S2m，其中m，n∈N*．

22．（2012?南京一模）在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5．（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．23．（2013?宁德模拟）已知函数f1（x）=x2，f2（x）=alnx（a∈R）?

（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f1（x）?f2（x）的极值；

（II）若存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，求实数a的取值范围；

（III）求证：当x＞0时，lnx+﹣＞0．

（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）

24．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，B（0，﹣1）．

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；

（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且，求λ的值；

（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值．

25．设a为非负实数，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．

（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．

26．（2011?海珠区一模）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C上的动点P引圆O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B分别为切点，试探究椭圆C上是否存在点P，由点P向圆O所引的两条切线互相垂直？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27．（2011?珠海二模）函数f（x）=x2﹣（1+）x+lnx，a∈R．

（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；

（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；

（3）g（x）=b2x2﹣3x+ln2，当a=2，1＜x＜3时，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范围．

2014年1月cyyaonan8713329的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共27小题）

1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，求数列{a n}的通项．

考点：数列递推式．

专题：计算题；等差数

列与等比数列．

分析：由

得

当n≥2时

，两式相减，得

出数列的递推

公式，再根据递

推公式去推证

数列的性质，求

解通项．

解答：解：由

得

①，

当

n≥2

②，

①﹣②得

a n=

，化简整理得出

（a n+a n﹣1）（a n

﹣a n﹣1﹣2）=0

由已知，S n＞0，

所以a n＞0，

a n+a n﹣1≠0，

a n﹣a n﹣1﹣2=0，

由等差数列的

定义可知数列

{a n}是以2为公

差的等差数列，

在

中，令n=1，得

2

，解得a1=1，

所以数列{a n}的

通项a n=1+（n

﹣1）×2=2n﹣1

点评：本题考查数列

的递推公式，通

项公式．考查转

化构造，推理论

证，运算求解能

力．

2．（2010?门头沟区一模）若数列{a n}（n∈N*）满足：（1）a n≥0；（2）a n﹣2a n+1+a n+2≥0；

（3）a1+a2+…+a n≤1，则称数列{a n}为“和谐”数列．

（Ⅰ）验证数列{a n}，{b n}，其中，是否为“和谐”数列；

（Ⅱ）若数列{a n}为“和谐”数列，证明：．

考点：归纳推理；数列的应用；反证法．

专题：证明题．

分析：本题考查的是演绎推理，要判断一个数列是否是“和谐”数

列，关键是要看这个数列是否符号“和谐”数列的定义．

（1）中要判断数列{a n}（或{b n}）是否为和谐数列，则要

判断①a n≥0（或b n≥0）②a n﹣2a n+1+a n+2≥0（或b n﹣

2b n+1+b n+2≥0）③a1+a2+…+a n≤1（或b1+b2+…+b n≤1）三个

条件，如果全部符合，则为“和谐数列”对于（2）直接证明

有难度，可以使用反证法来证明，即若若a n﹣a n+1≥0不恒

成立，则数列{a n}不为“和谐”数列，这与已知相矛盾，从

而得到结论恒成立．

解答：解：（Ⅰ）数列{a n}为“和谐”数列；数列{b n}不是“和谐”数

列．

数列{a n}显然符合（1）

因为

所以符合（2）

因为

，所以符合（3）

所以数列{a n}为“和谐”数列．

对于数列{b n}，有b n＞

，

所以数列{b n}不满足（3），因此数列{b n}不是“和谐”数列．

（Ⅱ）反证法：若a n﹣a n+1≥0不恒成立，即存在自然数k，

a k﹣a k+1＜0，a k+1＞a k，

由（2）可知，a k+2﹣a k+1≥a k+1﹣a k＞0，得a k+2＞a k+1，

依此类推当n≥k时，{a n}递增，与对任意n，与a1+a2++a n≤1

矛盾，

所以a n﹣a n+1≥0

构造数列{b n}，令b n=a n﹣a n+1

由（2）可知a n﹣a n+1≥a n+1﹣a n+2，∴b n≥b n+1，a1+a2++a n=a1+

（﹣a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）++[﹣（n﹣1）a n+na n]≥a1+（﹣

a2+2a2）+（﹣2a3+3a3）++[﹣（n﹣1）a n+na n]﹣na n+1

=（a1﹣a2）+2（a2﹣a3）++n（a n﹣a n+1）=b1+2b2++nb n≥

（1+2++n）b n

=，

由（3）知

得：

即：，所以

点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三

段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：

若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么

S中所有元素都具有性质P．当我们从正面证明一个结论

比较麻烦或根本证明不了时，可利用反证法来证明结论．

3．（2010?湖北模拟）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p、q，使得c n+1=pc n+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{c n}是“M类数列”；

（1）若a n=2n，数列{a n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p、q，若不是，请说明理由；

（2）数列{a n}满足a1=2，a n+a n+1=3?2n（n∈N*），若数列{a n}是“M类数列”，求数列{a n}的通项公式；

（3）记数列{a n}的前n项之和为S n，求证：（n≥3）．

考点：数列与不等式的综合；数列的应用．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）由a n=2n，可得a n+1=a n+2，根据“M类数列”定义，

可得结论；

（2）根据数列{a n}是“M类数列”，可得存在实常数p、q

使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N*都成立，结合a n+a n+1=3?2n

（n∈N*），可求数列{a n}的通项公式；

（3）确定数列{a n}的前n项之和为S n，利用放缩法，结

合裂项求和，即可得到结论．

解答：（1）解：∵a n=2n，∴a n+1=a n+2，

故数列{a n}是“M类数列”，对应的实常数p、q的值分别为

1、2．（2分）

（2）解：∵数列{a n}是“M类数列”，

∴存在实常数p、q使得a n+1=pa n+q对于任意n∈N*都成立，

∴a n+2=pa n+1+q，故（4分）

又，∴对于任意n∈N*都成

立，

即对于任意n∈N*都成立，（6分）

因此p=2，q=0

此时，∴（8分）

（3）证明：由（2）知：（9分）

当n≥3时，

，

当且仅当n=3时等号成立，所以S n≥2（2n+1）（11分）

于是

因为S1=2，S2=6，S3=14，所以

=．（13分）

点评：本题考查新定义，考查数列与不等式的结合，考查数列的

通项，考查放缩法、裂项法，属于中档题．4．（2008?浙江）已知数列{a n}，a n≥0，a1=0，a n+12+a n+1﹣1=a n2（n∈N?）．记

S n=a1+a2+…+a n．．

求证：当n∈N?时，

（Ⅰ）a n＜a n+1；

（Ⅱ）S n＞n﹣2．

考点：不等式的证明；数列的求和；用数学归纳法证明不等式．专题：证明题；压轴题．

分析：（1）对于n∈N?时的命题，考虑利用数学归纳法证明；

（2）由a k+12+a k+1﹣1=a k2，对k取1，2，…，n﹣1时的

式子相加得S n，最后对S n进行放缩即可证得．

解答：（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．

①当n=1时，因为a2是方程x2+x﹣1=0的正根，所以a1

＜a2．

②假设当n=k（k∈N*）时，a k＜a k+1，

因为a k+12﹣a k2=（a k+22+a k+2﹣1）﹣（a k+12+a k+1﹣1）=（a k+2

﹣a k+1）（a k+2+a k+1+1），

所以a k+1＜a k+2．

即当n=k+1时，a n＜a n+1也成立．

根据①和②，可知a n＜a n+1对任何n∈N*都成立．

（Ⅱ）证明：由a k+12+a k+1﹣1=a k2，k=1，2，…，n﹣1（n≥2），

得a n2+（a2+a3+…+a n）﹣（n﹣1）=a12．

因为a1=0，所以S n=n﹣1﹣a n2．

由a n＜a n+1及a n+1=1+a n2﹣2a n+12＜1得a n＜1，

所以S n＞n﹣2．

点评：本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明

等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．

5．已知曲线f（x）=（x＞0）上有一点列P n（x n，y n）（n∈N*），点P n在x轴上的射影是Q n（x n，0），

且x n=2+1（n∈N*），x1=1．

（1）求数列{x n}的通项公式；

（2）设四边形P n Q n Q n+1P n+1的面积是S n，求证：＜4．

考点：数列与不等式

的综合；数列递

推式．

专题：计算题．

分析：（1）由x n=2x n

+1，从而有

﹣1

x n+1=2（x n﹣

1+1），故可得

{x n+1}是公比

为2的等比数

列，进而可求数

列{x n}的通项公

式；

（2）先将四边

形P n Q n Q n+1P n+1

的面积表示为：

，再

表示，进而

利用放缩法可

证．

解答：解：（1）由

x n=2x n﹣1+1得

x n+1=2（x n﹣

1+1），

∵x1=1∴x n+1≠

0，

故{x n+1}是公

比为2的等比数

列，∴x n=2n﹣

1．（6分）

（2）

∵

，∴Q n Q n+1=2n，

而P n Q n=，（9

分）

∴四边形

P n Q n Q n+1P n+1的

面积为：

，

∴

，

故

＜

．（14分）

点评：本题考查构造

法证明等比数

列，从而求数列

的通项公式，考

查放缩法证明

不等式，属于中

档题．

6．已知正项数列{a n}满足：a n+1=（a n+）（n∈N+）．

（1）求a1的范围，使得a n+1＜a n恒成立；

（2）若a1=，证明a n＜1+（n∈N+，n≥2）；

（3）（理）若a1=，证明：+++…+﹣n＜+1．

考点：数列与不等式的综合；数列递推式．

专题：综合题．

分析：（1）由a

n+1=（a n+），得a n+1﹣a n=（﹣a n+），根

据a n+1＜a n，可得﹣a n+＜0，由此可求a1的范围；

（2）利用数学归纳法证明：若a1=，得1＜a2=＜1+；

假设n=k时成立，即a k＜1+（k∈N+，k≥2），构造函

数f（x）=，易知f（x）在（1，+∞）上单调

增，从而可知n=k+1时结论成立；

（3）由a n+1=（a n+），可得=，

构造函数g（x）=，g（x）在（1，+∞）上单调

递增，从而可得=＜＜

，由此可证结论．

解答：（1）解：由a

n+1=（a n+），得a n+1﹣a n=（﹣a n+），

由a n+1＜a n，即﹣a n+＜0，

所以a n＞1或a n＜﹣1（舍）

所以a1＞1时，a n+1＜a n．

（2）证明：若a1=，得1＜a2=＜1+

假设n=k时成立，即a k＜1+（k∈N+，k≥2）；

构造函数f（x）=，易知f（x）在（1，+∞）

上单调增

则n=k+1时，a k+1=f（a k）＜f（1+）＜1+

即a k+1=f（a k）＜1+

由以上归纳可知a n＜1+（n∈N+，n≥2）；

（3）证明：由a n+1=（a n+），得

∴=

构造函数g（x）=，g（x）在（1，+∞）上单调

递增

∴=＜＜

∴+++…+﹣n=（﹣1）+（﹣1）+（

﹣1）+…+（﹣1）

＜++…+=＜=+1

∴+++…+﹣n＜+1．

点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，考查不等式的证

明，考查放缩法的运用，综合性强．

7．已知无穷数列{a n}为等差数列，各项均为正数，给出方程a i x2+2a i+1x+a i+2=0（i=1，2，3，…）．

（1）求证这些方程有一个公共根为﹣1；

（2）设这些方程除公共根以外的另一根为αi，且f（n）=（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）．求证：f（n）＜．（其中d为数列{a n}的公差）

考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）利用等差数列的性质可得a i+a i+2=2a i+1，x=﹣1代入

所给方程可证明；

（2）由韦达定理可得，由此可得a i，

进而可用a i，d表示a i+1，则

，用裂项相消法可得f（n），从而可证明；

解答：（1）证明：因为{a n}为等差数列，所以a i+a i+2=2a i+1，

将x=﹣1代入所给方程，得a i﹣2a i+1+a i+2=0（i=1，2，3，…）．

所以这些方程有一个公共根为﹣1；

（2）∵，

∴，

∴

，

∴（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）

=

＜4d?=，即；

点评：本题考查数列与不等式的综合、等差数列的通项公式及数

列求和，解决（2）问的关键时化简f（n）．

8．已知数列{a n}中，a1=1，，且（n=2，3，4，…）．

（1）求a3、a4的值；

（2）设（n∈N*），试用b n表示b n+1并求{a n}的通项公式；

（3）求证：对一切n∈N*且n≥2，有．

考点：数列与不等式的综合；数列递推式．

专题：综合题；压轴题．

分析：

（1）由a1=1，，且（n=2，3，

4，…），分别令n=2，3，能够求出a3，a4．

（2）当n≥2时，

，利用累乘法能够求出{a n}的通项公式．

（3）当k≥2时，有

，利用裂项求和法能够证明．

解答：

解：（1）∵a1=1，，且（n=2，

3，4，…），

∴=，

=．

（2）当n≥2时，

，

累乘得．

整理得当n≥2时，，即．

又n=1时也成立，故，n∈N*．

（3）当k≥2时，有

，

所以．

点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整

合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、

运算求解能力和创新意识．综合性强，难度大，有一定的

探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题

时要认真审题，仔细解答．

9．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1+a n=3?2n﹣1（n≥2）．

（1）求a2，a3；

（2）求a n的通项公式；

（3）对于n∈N*有＜=2（﹣），证明：

++…+＜（n≥1）

考点：数列与不等式的综合；数列递推式．

专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．

分析：（1）利用a1=1，a n+1+a n=3?2n﹣1（n≥2），代入计算，可得

a2，a3；

（2）先猜想，再利用数学归纳法进行证明；

（3）先证明＞1，可得＜

=2（﹣），再

利用放缩法可得结论．

解答：（1）解：∵a1=1，a n+1+a n=3?2n﹣1（n≥2），∴a2=2，a3=4，

（2）解：由（1）猜想a n=2n﹣1；

证明如下：当n=1时，成立

假设当n=k时，成立，即a k=2k﹣1，

∵a n+1+a n=3?2n﹣1，∴a k+1=a k+3?2k﹣1=2k，

∴n=k+1时，结论成立

综上，a n=2n﹣1；

（3）证明：∵2n+1＞2n+1﹣1，∴＞1，

∴＜=2（﹣

），

∴++…+＜2（﹣

+…+﹣）

＜1+2（）+…+2（﹣）=1+﹣

＜

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证

明，考查学生分析解决问题能力，属于中档题．

10．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项

．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）求证：a n+1＞a n；

（3）求证：．

考点：二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明．

专题：综合题．

分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α

的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α

的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α

的值代入f（x）中即可确定出f（x）；

（2）a n+1=f（a n），把a n代入（1）中求出的f（x）的解析

式，移项后，根据a n2大于0，即可得证；

（3）把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，

求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减

的方法，得到，移项后得到

，然后从n=1列举到n，抵消后得到所

要证明的式子等于2﹣，根据题意分别求出a2和a3

的值，根据（2）所证明的结论即可得证．

解答：

解：（1），

又∵α为锐角，所以2α=，

∴，

则f（x）=x2+x；

（2）∵a n+1=f（a n）=a n2+a n，

∴a n+1﹣a n=a n2＞0，

∴a n+1＞a n；

（3）∵，且

a1=，

∴，

则

=，

∵，，

又n≥2时，∴a n+1＞a n，

∴a n+1≥a3＞1，

∴，

∴．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，

会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道

综合题．

11．（2010?顺义区二模）在数列{a n}、{b n}中，已知a1=6，b1=4，且b n、a n、b n+1成等比数列，a n、b n+1、a n+1成等差数列，（n∈N+）

（Ⅰ）求a2、a3、a4及b2、b3、b4，由此猜想{a n}、{b n}的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：．

考点：数列的应用．

专题：计算题．

分析：Ⅰ由已知可知2b n+1=a n+a n+1，a n2=b n?b n+1，把a1=6，b1=4，

代入计算得：a2=12，a3=20，a4=30，b2=9，b3=16，b4=25，

由此猜想a n=（n+1）（n+2），b n=（n+1）2（n∈N+），再用

数学归纳法证明猜想．

Ⅱ因为．当n≥2时，由a n+b n=（n+1）

（n+2）+（n+1）2=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1），

然后用放缩法进行证明．

解答：解：Ⅰ．由已知b n、a n、b n+1成等比数列，

a n、

b n+1、a n+1成等差数列，（n∈N+）

∴2b n+1=a n+a n+1，a n2=b n?b n+1，

∵a1=6，b1=4，代入计算得：

a2=12，a3=20，a4=30，b2=9，b3=16，b4=25，

由此猜想a n=（n+1）（n+2），b n=（n+1）2（n∈N+），

证明：（1）当n=1，由上面计算知猜想的结论成立；

（2）假设当n=k（k＞1，k∈N+）时结论成立，

即a k=（k+1）（k+2），b k=（k+1）2，

则当n=k+1时，由于a k2=b k?b k+1，

∴

∴当n=k+1时，结论b n=（n+1）2成立，

又a k+1=2b k+1﹣a k=2（k+2）2﹣（k+1）（k+2）

=（k+2）（k+3）=[（k+1）+1][（k+1）+2]

∴当n=k+1时，a n=（n+1）（n+2）也成立

由（1）（2）所证可知对任意的自然数n∈N+，

结论a n=（n+1）（n+2），b n=（n+1）2都成立；

Ⅱ．因为．

当n≥2时，由a n+b n=（n+1）（n+2）+（n+1）2

=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1）

，

=证毕．

点评：本题综合考查数列的性质和不等式的证明，在证明过程中

要注意数学归纳法和放缩法的合理运用．

12．已知：正数数列a n中，若关于x的方程有相等的实根

（1）若a1=1，求a2，a3的值；并证明

（2）若a1=a，b n=a n﹣（3n﹣12）?2n，求使b n+1≥b n对一切n∈N+都成立的a的取值范围．

考点：数列与不等式的综合．

专题：综合题．

分析：

（1）由得a n+1=3a n+2，再由

a n+1=3a n+2得a n+1+1=3（a1+1），由此能够证明

．

（2）当a1=a时，a n+1=（a+1）?3n﹣1，b n=（a+1）?3n﹣1

﹣1﹣（3n﹣12）?2n，b n+1﹣b n=（a+1）?2?3n﹣1﹣（3n﹣6）

?2n≥0对一切n∈N+都成立，由此能求出使b n+1≥b n对一切

n∈N+都成立的a的取值范围．

解答：

解：（1）由得

a n+1=3a n+2∴

由a n+1=3a n+2得a n+1+1=3（a1+1），

所以a n+1为首项为2公比为3的等比数列

高中数学数列测试题附答案与解析

第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题 11．设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋… ＋f (5)＋f (6)的值为 . 12．已知等比数列{a n }中，

高考数学 考前30天之备战冲刺系列三数列 理 教师

考前30天之备战2012高考数学冲刺系列三数 列（理）教师版 【命题趋势】： 等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等．本讲内容在高考中多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题．解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题. 数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前n 项和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前n 项和的性质即可正确得出结果.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于中高档难度问题. 【方法与技巧】 【高考冲刺押题】 【押题1】已知等比数列{n a }的前n 项和为Sn,S 3＝14，S 6 =126.（1)求数列{n a }的通项公式； (2)设122311n T a a a a = ++…＋1 1n n a a +，试求n T 的表达式· 【押题指数】★★★★★

【押题2】已知数列{}n a 满足：2,121==a a ，),2(2* 11N n n a a a n n n ∈≥+=+-，数列{} n b 满足21=b ,n n n n b a b a 112++=.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求证：数列? ?? ?? ?n b n 为等比数列；并求数列{}n b 的通项公式. 【押题指数】★★★★★ 【押题3】设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=?成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 【押题指数】★★★★★ 【解析】（1）由题意得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比() 13 8 2 12 a q a == 所以

高中数学数列练习题

数列经典解题思路 求通项公式 一、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） K ,1716 4,1093,542,211 （3） K ,52,2 1,32 ,1 解：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12 +=n a n 二、公式法 例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ D ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ， 公比10<

高中数列经典题型-大全教学教材

高中数列经典题型-大 全

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ： ),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x Θ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 13212+=++，求n a 。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法：这种类型一般利用???≥???????-=????????????????=-) 2()1(11n S S n S a n n n 与 例：已知数列{}n a 前n 项和2214-- -=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公 式n a . 类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 )()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。 例:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

(新高考)高考数学二轮复习专题强化训练(十)数列理

专题强化训练(十) 数 列 一、选择题 1．[2019·济南模拟]已知{}a n 为等比数列，若a 3＝2，a 5＝8，则a 7＝( ) A ．64 B ．32 C ．±64 D ．±32 解析：通解：设{a n }的公比为q ，则???? ? a 1q 2 ＝2a 1q 4 ＝8 ， ∴????? a 1＝ 12q 2＝4 ，故a 7＝a 1q 6 ＝12 ×43＝32. 优解：∵{a n }为等比数列，∴a 3，a 5，a 7成等比数列，即a 2 5＝a 3a 7，解得a 7＝32. 答案：B 2．[2019·武汉调研]等比数列{a n }中，a 1＝－1，a 4＝64，则数列{a n }的前3项和S 3＝( ) A ．13 B ．－13 C ．－51 D ．51 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由已知得－q 3 ＝64，所以q ＝－4，所以S 3＝－1－1×(－4)－1×(－4)2 ＝－13，故选B. 答案：B 3．[2019·长沙、南昌联考]已知数列{a n }为等比数列，若a 2＋a 6＝16，a 5＋a 9＝128，则a 2＝( ) A ．2 B.1619 C.23 D.1617 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由题意，得????? a 2＋a 2q 4 ＝16， a 5＋a 5q 4 ＝128， 两式相除，解得q ＝2，所以a 2＝16 17 ，故选D. 答案：D 4．[2019·武汉调研]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 5＝90，则等差数列{a n }的公差d ＝( ) A ．2 B.32 C ．3 D ．4

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，

数列全部题型归纳(非常全面-经典!)(新)

数列百通 通项公式求法 (一)转化为等差与等比 1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么 2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么 3.首项为2的数列，并且23 1n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么 4、已知数列{}n a 中，10a =，112n n a a += -，* N n ∈.

求证：11n a ?? ??-?? 是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式； 5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式 （二）含有n S 的递推处理方法 1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.

2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2 (2)8 n n a S +=则，数列n a 3 4）1a +求数列a （三） 累加与累乘 （1）如果数列{}n a 中111,2n n n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a

（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式 (3) 1a = （4 （四）一次函数的递推形式 1. 若数列{}n a 满足111 1,12 n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a

2 .若数列{}n a 满足111 1,22 n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a （1 （2 （六）求周期 16 （1） 121,41n n n a a a a ++==-，求数列2004a

高中数学《数列》测试题

11会计5班《数列》数学测试卷2012.4 一、选择题（2'1836'?=） 1．观察数列1，8，27，x ，125，216，… 则x 的值为（ ） A ．36 B ．81 C ．64 D ．121 2．已知数列12a =，12n n a a +=+，则4a 的值为（ ） A ．12 B ．6 C ．10 D ．8 3．数列1，3，7，15，… 的通项公式n a 等于（ ） A ．1 2 n - B ．21n - C ．2n D ．21n + 4．等差数列{n a }中，16a =，418a =，则公差d 为（ ） A ．4 B ．2 C ．—3 D ．3 5．128是数列2，4，8，16，… 的第（ ）项 A ．8 B ．5 C ．7 D ．6 6．等差数列{n a }中，12a =，327S =，则3a 的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．11 D ．7 7．在等差数列中，第100项是48，公差是 1 3 ，首项是（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 8．在等差数列{n a }中，1234525a a a a a ++++=，则3a 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9．已知数列0，0，0，0，… 则它是（ ） A ．等差数列非等比数列 B ．等比数列非等差数列 C ．等差数列又等比数列 D ．非等差数列也非等比数列 10．在等比数列{n a }中，4520a a ?=，则27a a ?为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 班级 姓名 学号 11．等比数列1，2，4，… 的第5项到第11项的和等于（ ） A ．2030 B ．2033 C ．2032 D ．2031 12．等差数列中，第1项是 —8，第20项是106，则第20项是（ ） A ．980 B ．720 C ．360 D ．590 13．在等比数列中，12a =，3q =，则4S =（ ） A ．18 B ．80 C ．—18 D ．—80 14．三个正数成等差数列，其和为9，它们依次加上1，3，13后成为等比数列，则这三个数为（ ） A ．6，3，0 B ．1，3，5 C ．5，3，1 D ．0，3，6 15．在等比数列中，第5项是 —1，第8项是 — 1 8 ，第13项是（ ） A ．13 B ．1256- C ．78- D ．1128 - 16．若a ，b ， c 成等比数列，则函数2 ()f x ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．不确定 17．某农场计划第一年产量为80万斤，以后每年比前一年多种20%，第五年产量约为（ ） A ．199万斤 B ．595万斤 C ．144万斤 D ．166万斤 18．把若干个苹果放到8个箱子中，每个箱子不能不装，要使每个箱子中所装的苹果个数互不相同，至少需要苹果（ ） A ．35个 B ．36个 C ．37个 D ．38个 二、填空题（3'824'?=） 19．数列1，32- ，54，78-，916 ，… 的通项公式是 20．数列2，7，14，23，（ ），47，… 并写出数列的通项公式

高中数列经典题型 大全

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。

高考数学分类汇编：数列理.docx

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 一、选择题 1 ．（ 2013年高考上海卷（理））在数列 { a n } 中,a n 2n1,若一个7行12列的矩阵的第i行第 j 列的元素a i, j a i a j a i a j,( i1,2,L,7; j1,2,L ,1 2 )则该矩阵元素能取到的不 同数值的个数为 () (A)18(B)28(C)48(D)63 【答案】 A. 2 ．（ 201 3 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知数 列 a n满足3a n 1a n0, a24 a n的前10项和等于, 则 3 (A) 6 13 10(B) 1 1 310(C) 3 13 10(D) 3 1+3 10 9 【答案】 C 3 ．（ 2013年高考新课标1（理））设A B C的三边长分别为 a ,b , c , A B C的面积为 n n n n n n n n n S n,n1,2,3,L ,若b1c1 , b1c1 2a1,a n 1a n , b n1c n a n ,c n 1b n a n, 则 ( ) 22 A.{ S n} 为递减数列 B.{S n}为递增数列 C.{ S2n-1 } 为递增数列 ,{S2n}为递减数列 D.{ S2n-1 } 为递减数列 ,{ S2n} 为递增数列 【答案】 B 4 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数y=f (x)的图像如图所示 , 在区间a,b上可找到n(n2) 个不同的数x1,x2...,x n,使得 f (x 1) = f (x 2 ) = f (x n ) ,则 n 的取值范围是 x1x2x n

高中数学数列测试题(免费下载)

数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9

高一数学《数列》经典练习题-附答案

强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9

(word完整版)高中数学等差数列练习题

一、 过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、 典例赏析： 例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中， （1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值； （2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。 例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值 作业 A 组： 1、 在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、 已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、 已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根， 求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、 已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和

数列经典例题(裂项相消法)

数列经典例题(裂项相消法)

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中， 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；

2020高考数学二轮复习专题检测十三数列理

专题检测（十三） 数 列 A 卷——夯基保分专练 一、选择题 1．(2017·武汉调研)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝( ) A ．－2 B ．－1 C.12 D ．23 解析：选B 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2， 得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2 ＝3q 2 －3， 解得q ＝－1(舍去)或q ＝3 2 ， 将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中，得a 1＋32a 1＝3×3 2a 1＋2， 解得a 1＝－1. 2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1 －1 6 ，则x 的值为( ) A.13 B ．－1 3 C.12 D ．－1 2 解析：选C 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝? ????x ·3n －1－16－? ????x ·3n －2－16＝x ·(3 n －1 －3 n －2 )＝2x ·3 n －2 ，∵{a n }是等比数列， ∴a 1＝2x ·3 1－2 ＝23x ＝x －16，∴x ＝1 2 . 3．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( ) A ．18 B ．24 C ．60 D ．90 解析：选C 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 2 4＝a 3a 7，得(a 1＋3d )2 ＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，故2a 1＋3d ＝0，再由S 8＝8a 1＋28d ＝32，得2a 1＋7d ＝8，则d ＝2，a 1＝－3，所以S 10＝10a 1＋45d ＝60. 4．已知等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式dx 2 ＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n }的前n 项和 S n 最大的正整数n 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：选B ∵关于x 的不等式dx 2 ＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx 2 ＋2a 1x ＝0的两个实

(word完整版)高中数学必修五数列测试题

必修五阶段测试二(第二章 数列) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，且a 3a 7＝4a 4，则a 8等于( ) A ．16 B ．32 C ．－16 D ．－32 2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝????? 3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3等于( ) A ．8 B ．20 C ．28 D ．30 3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3＝b 3，2b 3－b 2b 4＝0，则数列{a n }的前5项和S 5为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．102 B.9658 C.9178 D ．108 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和，则( ) A ．S 1, S 2, S 3, …， S 10都小于零，S 11，S 12，S 13，…都大于零 B ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 C ．S 1，S 2，…，S 5都大于零，S 6，S 7，…都小于零 D ．S 1，S 2，…，S 20都大于零，S 21，S 22，…都小于零 7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．不确定 8．(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6和S 7均为S n 的最大值 9．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 5 B ．S 6＜S 5 C ．S 4＝S 5 D ．S 6＝S 5 10．(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)，则a 6等于( )

高中数列经典题型大全

高中数列经典题型大全 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131+-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，651=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121==x x ,∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ???+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a

高考数学真题汇编数列理(解析版)

2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在

高二数学数列练习题(含答案)

高二《数列》专题 1．n S 与n a 的关系：1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=? ->?? ,已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ;2≥n 时,n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2．等差等比数列

（3)累乘法（ n n n c a a =+1型);(4)利用公式1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=?->??；(5)构造法(b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等 4．数列求和 （1)公式法；(2)分组求和法;(3）错位相减法;（４)裂项求和法；（5）倒序相加法。 5． n S 的最值问题:在等差数列{}n a 中，有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解: (1)当0,01<>d a 时,满足?? ?≤≥+00 1 m m a a 的项数ｍ使得m S 取最大值. (2)当 0,01>