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开区间上一致连续的几个充要条件

开区间上一致连续的几个充要条件

张敏静

(石家庄学院数学系,河北石家庄050035)

摘要:一致连续在数学分析中是个非常重要的概念,但关于开区间上一致连续的情况涉及

较少,给出了开区间上一致连续的几个等价命题.

关键词:连续;一致连续;收敛

中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1673-1972(2005)06-0036-02

定义设函数f(x)定义在区间I上,若对!!>0,"">0,

使得对任何x′,x″∈I,只要|x′-x″|<",就有|f(x′)-f(x″)|<!,则称函数f(x)

在区间I上一致连续[1].命题1函数f(x)在开区间(a,b)上一致连续的充要条件是在(a,b)中任取数列{xn},{yn},只要lim!n→∞(xn-yn)=0,

就有!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!limn→∞[f(xn)-f(yn)]=0.(1)

证明

必要性.设函数f(x)在(a,b)上一致连续,则对任给!>0,存在">0,当x′,x″∈(a,b)且|x′-x″|<",

就有|f(x′)-f(x″)|<!.由于lim!n→∞(xn-yn)=0,对上述">0,存在N,当n>N时,有|xn-yn|<",所以|f(xn)-f(yn)|<!,

即lim!n→∞[f(xn)-f(yn)]=0.

充分性.设f(x)在(a,b)不一致连续,即存在!0>0.对任给的">0(取"=1n

)存在xn,yn∈(a,b),有|xn-yn|<".而

|f(xn)-f(yn)|≥!0[1]

(2)由条件|xn-yn|→0当n→∞时,|f(xn)-f(yn)|→0与(2)矛盾,假设不成立,函数f(x)在(a,b)上一致连续.

注:若(a,b)

为无限区间结论仍成立.例函数y=ax+b(a≠0)在(-∞,+∞)一致连续,y=x2在(a,b)上一致连续,但在(0,+∞)

上非一致连续.事实上,对函数y=x2,取xn=n+1),yn=n*,n=1,2,3…,由于n→∞时,|xn-yn|=1n+1*+n*

→0.而|f(xn)-f(yn)|=1,故y=x2在(0,+∞)

上非一致连续[2].命题2函数f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是任给(a,b)中收敛数列{xn},函数列{f(xn)}也收敛.证明必要性.由于函数f(x)在(a,b)上一致连续,故对任给!>0,存在δ>0,当x′,x″∈(a,b)且|x′-x″|<"

时,有|f(x′)-f(x″)|<!.

设{xn}是(a,b)中任一收敛数列,由柯西条件对上述δ>0时存在N.当n,m>N时,

有|xn-xm|<",故|f(xn)-f(xm)|<!.所以函数列{f(xn)}也收敛.

充分性.假设f(x)在(a,b)上不一致连续,即存在!0>0,对任给δn>0(取δn=1/n)

存在xn,yn∈(a,b),且|xn-yn|<"n=1/n,

而|f(xn)-f(yn)|≥ε0,

(3)收稿日期:2005-05-17

作者简介:张敏静(1967—),女,河北元氏人,石家庄学院数学系讲师.

第7卷第6期

石家庄学院学报Vol.7,No.62005年11月JournalofShijiazhuangCollegeNov.2005

且{xn}有界,故存在收敛子列{xnk

}.由|xn-yn|<!n=1/n→0(n→∞),故{yn}中相应的子列{ynk}也收敛,且与{xnk}极限相同,因此数列xn1,yn1,xn2,yn2,…xnk,ynk…也收敛于相同极限,于是数列f(xn1),f(yn1),f(xn2),f(yn2),…f(xnk),f(ynk

)…也收敛.故当k足够大时|f(xnk)-f(ynk

)|<"与(3)矛盾,假设不成立,函数f(x)在(a,b)上一致连续.由此命题易得如下推论:

推论函数f(x)在(a,b)上连续,则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是f(a+0),f(b-0)

都存在.命题3

函数f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件是任给x1,x2∈(a,b),|x1-x2|<!时

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!lim!→0+sup|f(x1)-f(x2)|=0.(4)

证明必要性.设函数f(x)在(a,b)上一致连续,则任给">0,存在#>0.当x1,x2∈(a,b)

,且|x1-x2|<#时,|f(x1)-f(x2)|<".所以

sup|f(x1)-f(x2)|≤".(5)当!→0+时,让!≤#,(5)式成立,故(4)式成立.

充分性.设任给x1,x2∈(a,b),当|x1-x2|<!时,lim!→0+

sup|f(x1)-f(x2)|=0,

则任给">0时存在!>0,使得当|x1-x2|<!时sup|f(x1)-f(x2)|<",有|f(x1)-f(x2)|≤sup|f(x1)-f(x2)|<".所以函数f(x)在(a,b)

上一致连续.注:无限区间上也有相应的结论.

以上命题都是开区间上一致连续函数的充要条件,但运用时各有自己的特点.命题1证非一致连续比较方便,而命题3提供了一个直观观察f(x)一致连续的办法:在f(x)图像上最陡的地方,若!→0+,则|f(x1)-f(x2)|→0,f(x)一致连续;若f(x)

在某处无限变陡,则非一致连续.如y=1/x,y=lnx在(0,1)

都非一致连续,因为它们在x=0处无限变陡.参考文献:

[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,2001.79.

[2]欧阳光中.数学分析(上册)[M].上海:科学技术出版社,1983.219.(责任编辑梁志星)

SeveralNecessaryandSufficentConditionsonUniformContinuity

ofaFunctiononOpen

ZHANGMin-jing

(DepartmentofMathematics,ShijiazhuangCollege,Shijiazhuang050035,China)

Abstract:Uniformcontinuityisanimportantconceptinmathematicsanalysis.Butlittleisrelatedtoitforfunctiononopeninterval.Therefore,thispapergivesseveralequivalentpropositionsonuniformcontinuityofafunctiononopeninterval.

Keywords:continuity,uniformcontinuity,convergence第6期张敏静:开区间上一致连续的几个充要条件37