二次函数图像与系数的关系

二次函数的图象与各项系数之间的关系

技巧讲解

1. 二次项系数a ：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．

二次函数2y ax bx c =++中，a 为二次项系数，显然0a ≠．

① 当0a >时，抛物线开口向上；

② 当0a <时，抛物线开口向下； ③a 的值越大，函数图象越靠近y 轴，开口越小，反之a 的值越小，函数图象越远离y 轴，开口越大；一次函数图象有类似特点。

2. 一次项系数b :①在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．

②ab 的符号的判定：对称轴a

b x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0

在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在0a >的前提下，

①当0b >时，02b a

-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②当0b =时，02b a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时，

02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即

①当0b >时，02b a

->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； ②当0b =时，02b a

-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； ③当0b <时，

02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 3. 常数项c :c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．

⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；

⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；

⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．

总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

4．特殊形式

（1）当x=1时，可以求出a+b+c 的值； 若x=1时，y>0，则a+b+c>0; 若x=1时，y<0，则a+b+c<0; 若x=1时，y=0，则a+b+c=0;

（2）当x=-1时，可以求出a-b+c 的值； 若x=-1时，y>0，则a-b+c>0; 若x=-1时，y<0，则a-b+c<0; 若x=-1时，y=0，则a-b+c=0;

（3）根的别式b 2-4ac ，可以用来判断抛物线与x 轴的交点个数，当b 2-4ac>0时，方程2y ax bx c =++=0有两个根，也就是说y=0时，函数在x 轴上可以找到2个对应的自变量值，即断抛物线与x 轴有2个交点；同理b 2-4ac=0，二次函数图象与x 轴有一个交点；b 2-4ac <0时，抛物线与x 轴没有交点。

1.（2017?安顺）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4a c﹣b2＜0；②3b+2c＜

0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2.（2017?黔东南州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；

②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

3.（2017?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；

②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．

其中正确的是（）

A. ①④

B. ②④

C. ①②③

D. ①②③④

4.（2017?宜宾）如图，抛物线y1= （x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），过点A作x轴的

平行线，分别交两条抛物线于B、C两点，且D、E分别为顶点．则下列结论：①a= ；②AC=AE；③△ABD是等腰直角三角形；④当x＞1时，y1＞y2

其中正确结论的个数是（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5.（2017?日照）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；

②4a+b+c=0；

③a﹣b+c＜0；

④抛物线的顶点坐标为（2，b）；

⑤当x＜2时，y随x增大而增大．

其中结论正确的是（）

A. ①②③

B. ③④⑤

C. ①②④

D. ①④⑤

6.（2017?菏泽）一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函

数y=ax2+bx+c的图象可能是（）

A. B. C. D.

7.（2017?南充）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）

A. 4ac＜b2

B. abc＜0

C. b+c＞3a

D. a＜b

8.（2017?广安）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3

其中正确的有（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

9.（2017?达州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下，则一次函数y=ax﹣2b与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）

A. B. C. D.

10.（2017?遵义）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc

＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）

11.（2017?齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a﹣b=0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a

﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1

＜y2＜y3，正确的个数有（）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

12.（2016?毕节市）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A. B. C. D.

13.（2016?随州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣

，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为

x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

14.（2016?攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）

A. 2a﹣b=0

B. a+b+c＞0

C. 3a﹣c=0

D. 当a= 时，△ABD是等腰直角三角形

15.（2016?齐齐哈尔）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3

⑤当x＜0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

16.（2017?荆门）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，则下列结

论正确的是（）

A. a＜0，b＜0，c＞0

B. ﹣=1

C. a+b+c＜0

D. 关于x的方程x2+bx+c=﹣1有两个不相等的实数根

17.（2017?黄石）如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，③ ＜1，

其中错误的个数是（）

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

18.（2017?六盘水）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）

A. b＞0，c＞0

B. b＞0，c＜0

C. b＜0，c＜0

D. b＜0，c＞0

19.（2017?杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）

A. 若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0

B. 若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0

C. 若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0

D. 若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0

20.（2017?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x与反比例

函数y= 在同一坐标系中的大致图象是（）

A. B. C. D.

21.（2017?扬州）如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是（）

A. b≤﹣2

B. b＜﹣2

C. b≥﹣2

D. b＞﹣2

22.（2017?黔南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞

0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（）

A. 3个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

23.（2017?鄂州）如图抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：

①2b﹣c=2；②a= ；③ac=b﹣1；④ ＞0

其中正确的个数有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

24.（2017?阿坝州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；

③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3

⑤当x＜0时，y随x增大而增大

其中结论正确的个数是（）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

25.（2017?贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；

③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（）

A. ①②

B. ②④

C. ①③

D. ③④

26.（2017?成都）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A. abc＜0，b2﹣4ac＞0

B. abc＞0，b2﹣4ac＞0

C. abc＜0，b2﹣4ac＜0

D. abc＞0，b2﹣4ac＜0

27.（2017?枣庄）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）

A. 当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）

B. 当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点

C. 若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方

D. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大

28.（2014?资阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c ＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），

其中正确结论的个数是（）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

29.（2016?河池）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A. a＜0

B. c＞0

C. a+b+c＞0

D. b2﹣4ac＞0

30.（2014?贵港）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，

其中正确的结论有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

31.（2014?深圳）二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）

①bc＞0；

②2a﹣3c＜0；

③2a+b＞0；

④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；

⑤a+b+c＞0；

⑥当x＞1时，y随x增大而减小．

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

32.（2016?日照）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为x=1，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；

③4a+2b+c＜0；④若（﹣），（）是抛物线上两点，则y1＜y2其中结论正确的是（）

A. ①②

B. ②③

C. ②④

D. ①③④

33.（2016?黔南州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b＜0，c＞0；

②a+b+c＜0；③方程的两根之和大于0；④a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

34.（2016?鄂州）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：

①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c（a≠0）有一个根为﹣

其中正确的结论个数有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

35.（2016?常德）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b；

④b2﹣4ac＞0，其中正确的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

36.（2016?龙岩）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（）

A. a+b

B. a﹣2b

C. a﹣b

D. 3a

37.（2016?孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：

①a﹣b+c＞0；

②3a+b=0；

③b2=4a（c﹣n）；

④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．

其中正确结论的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

38.（2016?兰州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；

②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的结论的个数是（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

39.（2016?长沙）已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：

①该抛物线的对称轴在y轴左侧；

②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；

③a﹣b+c≥0；

④ 的最小值为3．

其中，正确结论的个数为（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

40.（2017?乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，有下列结论：

①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点（4，y1）与点（﹣3，y2），则y1＞y2；④无论a，b，c取

何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0）；⑤am2+bm+a≥0，其中所有正确的结论是________．

41.（2017?玉林）已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，

n），有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1．

则所有正确结论的序号是________．

42.（2017?株洲）如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=

﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为________．

43.（2017?黔西南）如图，图中二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）则下列命题中正确的有________（填序号）

①abc＞0；②b2＜4ac；③4a﹣2b+c＞0；④2a+b＞c．

44.（2017?锦州）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＞0；②a=b；③a=4c﹣4；④方程ax2+bx+c=1有两个相等的实数根，其中正确的结论是

________．（只填序号即可）．

45.（2017?莱芜）二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：

①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④

若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有________（请将结论正确的序号全部填上）

46.（2017?广元）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c ＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有________．

47.（2017?天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；

②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是________．（只填写序号）

48.（2016?十堰）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，0），且y1＜0＜y2，对于以下结论：

①abc＞0；②a+3b+2c≤0；③对于自变量x的任意一个取值，都有x2+x≥﹣；④在﹣2＜x＜﹣1中

存在一个实数x0，使得x0=﹣，

其中结论错误的是________ （只填写序号）．

49.（2016?南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y= 经过点（a，bc），给

出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+ =0的两个实数根；

④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是________（填写序号）

50.（2016?内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是________．

答案解析部分

1.【答案】B

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0，

①正确；

∵﹣=﹣1，

∴b=2a，

∵a+b+c＜0，

∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，

∴②是正确；

∵当x=﹣2时，y＞0，

∴4a﹣2b+c＞0，

∴4a+c＞2b，

③错误；

∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，

∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．

∴m（am+b）＜a﹣b．故④错误

∴正确的有①②两个，

故选B．

【分析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，可判断①；根据对称轴是x=﹣1，可得x=﹣2、0

时，y的值相等，所以4a﹣2b+c＞0，可判断③；根据﹣=﹣1，得出b=2a，再根据a+b+c＜0，可得

b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，可判断②；x=﹣1时该二次函数取得最大值，据此可判断④．

2.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，

所以①错误；

②∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴a、b同号，

∴b＞0，

∵抛物线与y轴交点在x轴上方，

∴abc＞0，

所以②正确；

③∵x=﹣1时，y＜0，

即a﹣b+c＜0，

∵对称轴为直线x=﹣1，

∴﹣=﹣1，

∴b=2a，

∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，

所以③正确；

④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，

∴4a﹣2b+c＞0，

所以④正确．

所以本题正确的有：②③④，三个，

故选C．

【分析】①利用抛物线与x轴有2个交点和判别式的意义对①进行判断；

②由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线对称轴位置确定b＞0，由抛物线与y轴交点位置得到c＞0，则可作判断；

③利用x=﹣1时a﹣b+c＜0，然后把b=2a代入可判断；

④利用抛物线的对称性得到x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，则可进行判断．

3.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，

∴b=﹣2a＜0，

∴ab＜0，所以①正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0，所以②正确；

∵x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0，

而c＜0，

∴a+b+2c＜0，所以③正确；

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，

∴b=﹣2a，

而x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，

【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到b的符合，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y＜0和c＜0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a，加上x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，则可对④进行判断．

4.【答案】B

【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：∵抛物线y1= （x+1）2+1与y2=a（x﹣4）2﹣3交于点A（1，3），∴3=a（1﹣4）2﹣3，

解得：a= ，故①正确；

∵E是抛物线的顶点，

∴AE=EC，

∴无法得出AC=AE，故②错误；

当y=3时，3= （x+1）2+1，

解得：x1=1，x2=﹣3，

故B（﹣3，3），D（﹣1，1），

则AB=4，AD=BD=2 ，

∴AD2+BD2=AB2，

∴③△ABD是等腰直角三角形，正确；

∵（x+1）2+1= （x﹣4）2﹣3时，

解得：x1=1，x2=37，

∴当37＞x＞1时，y1＞y2，故④错误．

故选：B．

【分析】把点A坐标代入y2，求出a的值，即可得到函数解析式；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出BD、AD的长，利用勾股定理的逆定理以及结合二次函数图象分析得出答案．

5.【答案】C

【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点

【解析】【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；

②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点，

∴﹣=2，c=0，

∴b=﹣4a，c=0，

∴4a+b+c=0，结论②正确；

③∵当x=﹣1和x=5时，y值相同，且均为正，

④当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b，

∴抛物线的顶点坐标为（2，b），结论④正确；

⑤观察函数图象可知：当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．

综上所述，正确的结论有：①②④．

故选C．

【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；

②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b=﹣4a、c=0，即4a+b+c=0，结论②正确；③根据抛物线的对称性结合当x=5时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；④将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=0，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；⑤观察函数图象可知，当x＜2时，yy随x 增大而减小，结论⑤错误．综上即可得出结论．

6.【答案】A

【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象

【解析】【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，∴二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，

对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．

故选A．

【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：

二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．

7.【答案】D

【考点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解：（A）由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，

∴b2＞4ac，故A正确；

∵抛物线开口向上，

∴a＜0，

∵抛物线与y轴的负半轴，

∴c＜0，

∵抛物线对称轴为x=﹣＜0，

∴b＜0，

∴abc＜0，故B正确；

∵当x=1时，

y=a+b+c＞0，

∵4a＜0

∴a+b+c＞4a，

∴b+c＞3a，故C正确；

∵当x=﹣1时

y=a﹣b+c＞0，

二次函数与根与系数关系综合运用(可编辑修改word版)

中考压轴题之——二次函数与根与系数关系 （黄冈市 2011）24．（14 分）如图所示，过点 F （0，1）的直线 y =kx ＋b 与抛物线 y = 1 x 2 4 交于 M （x 1，y 1）和 N （x 2，y 2）两点（其中 x 1＜0，x 2＜0）． ⑴求 b 的值． ⑵求 x 1?x 2 的值 ⑶分别过 M 、N 作直线 l ：y =－1 的垂线，垂足分别是 M 1、N 1，判断△M 1FN 1 的形状，并证明你的结论． ⑷对于过点 F 的任意直线 MN ，是否存在一条定直线 m ，使 m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由． 第 22 题图 （株洲市 2011 年）24．（本题满分 10 分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学 们一起研究某条抛物线 y = ax 2 (a < 0) 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两点，请解答以下问题： （1） 若测得OA = OB = 2 （如图 1） ，求 a 的值； （2） 对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF ⊥ x 轴于点 F ，测得OF = 1，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标； （3） 对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A 、 B 的连 线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 图 1 2 y F N M x l M 1 F 1 N 1 O 图 2

1、如图，已知抛物线 y=-x2+3x+6 交 y 轴于 A 点，点 C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移 n 个单位长度后与直线 AC 交于心对称，求 n 的值。 3、如图，已知抛物线 y=x2-4x+3，过点 D(0， 的直线与抛物线交于点 M 、N ， - ) 2 与 x 轴交于点 E ，且点 M 、N 与 X 轴交于 E 点，且 M 、N 关于点 E 对称， 求直线 MN 的解析式。 * 例 7 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =－ 2 x 2 + b x + c 经过 A （0，－4）、 3 B （ x 1 ，0）、 C （ x 2 ，0）三点，且 x 2 - x 1 =5． （1） 求b 、c 的值； （2） 在抛物线上求一点 D ，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形； （3） 在抛物线上是否存在一点 P ，使得四边形 B P O H 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求

二次函数图像与系数关系

二次函数图象与系数的关系 知识点 一、二次函数错误!未找到引用源。的图象与性质 二次函数错误!未找到引用源。图象可由抛物线错误!未找到引用源。平移个单位，再平移个单位而得到. 平移规律如下： (1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺，既可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移； (2)抛物线的移动主要看的移动，即在平移时只要抓住的位置变化就可以了； (3)平移规律：“上加下减，左加右减”. (4)抛物线错误!未找到引用源。经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。； (5)抛物线错误!未找到引用源。的对称轴是直线，顶点坐标是. 二次函数错误!未找到引用源。的性质列表如下： 函数 错误!未找到引 用源。的符号 错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值

函数的增减性 二、错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的互相转化 1.通过、可以将错误!未找到引用源。化为错误!未找到引用源。. 2.利用可以将错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。.简记为“一提，二配，三计算”.即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 因此，二次函数错误!未找到引用源。的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标 是. 三、二次函数错误!未找到引用源。的图象及性质 函数 错误!未找到引用源。的符号错误!未找到引用源。错误!未找 到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找 到引用源。 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 拓展：对于抛物线错误!未找到引用源。. (1)若已知在直线错误!未找到引用源。的一侧，图象上升或下降，(能/不能)确定直线错误!未找到引用源。是该抛物线的对称轴. (2)若已知在直线错误!未找到引用源。的两侧，图象一侧上升而另一侧下降，则(能/不能)确定该直线

二次函数和根与系数的关系

精心整理 1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x ）、B（x2，y2）；（x1＜x2） 1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明猜想． 平面内两点间的距离公式 得 AB=AC=|x|==；同理，当 AB=．理由如下： ，得 AB=AC=|x|==； ，得

，得B= AC= |x |= = ，∴，得（k x 1+2kx 1+1）+（k x 2+2kx 2+1）=（1+k +2x =-b a =4+k m y + n y =0=k(4+k) k=1或-5(舍) 直线MN 的解析式为y=x- 2 5

如图，抛物线y=x 2 ﹣2x ﹣3与坐标轴交于A 、B 、三点，直线y=kx-1与抛物线交于P 、Q 两点，且y 轴平分△ 的面积，求k 的值。（答案：k=-2） 已知：二次函数m x m x y ++-=)1(2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点， 轴正半轴于点C ，且102 2 21=+x x 。 （1）求此二次函数的解析式； （2）是否存在过点D (0，2 5)的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点 明理由。 2向上平 抛物线于M 图，抛物线P ，当S △PE ，求E 、F 图，抛物线C ，抛物线的顶M A1B1≦4，求 的最大距离图，抛物线n 个单位长度后 线AC 交于M ：∵点A 、C 抛物线y=-x2+3x+6的顶点G(1.5,8.25) 物线向右平移n 个单位后，G 点对应点G ’坐标为(1.5+n,8.25),设新抛物线解析式 -[x-(1.5+n)]2+8.25 立：2( 1.5)8.256 y x n y x ?=---+?=-+?∴x2-(4+2n)x+n2+3n=0∴M N X X +=4+2n

二次函数图像与系数之间的判断

己知二次3lSSy=ax^+bx+c 的囹金如囹所示?2a+b=0 ?② b^-4ac>0 ? €>4a-2b+c>0 ? @abc>0 ? €>3a+c>0 .贝（以上结论正隔的有（ ）个? I ? RD2a+b=0i抛物线与xii有两个交点，则厶=b2-4ac>0 i x=-2时的函埶值为正，则4a-2b+c> 0；魅柳线开口向上?a>0.而b=-2a>得到b<0.由于槌物线与y紬的交点在x紬下方，得到cVO,贝Jabc>0；由于x=3时对应的函数图象在x柚 上方?得到9a+3b+c>0.然后把b“2a代入即可得到3a+c>0. 解普二W：???拠物I线的对称紡为宜线x“，???■ g=l，RD2a+b=0 >所以①正确；2a ???牠物线与x柚有两个交点? A A=b2-4ac>0.所以2）佶溪； ???当炉-2时对应的因数囹猱在x釉上方? A4a-2b+c>0.所以◎正确； ???抽物线开口向上? A a>0 ?而b=-2a? Ab<0? ???牠物线与y柚的交点S/toT方? ?--c<0. ?'? ab c > 0 ?所以◎正； 当片3时对应的函数图象左x柚上方?即y>0, ?*? 9a+3b+c >0 > 而b=-2a? A3a4.c>0>所以⑤正X? 故送B? （2011-宝i氐区二模）已知：二;欠函数y=ax2*bx*c的團象如图所示，那么下列结论中:①abc>0;②b"2a; ?5a-2b<0; @a-b+c> 0.正确的个数是（〉 考焦二次函数團象与系数的关系. 专題］推理填空?5? 分析;|①根擔挞物线开口向下判断出a<0,再根擔挞物线的对称轴确定出b的情况，抿抿抛物线与y轴的交点确定出c>0,最后根18有理数的泰 法运算的符号 运算法则解答J ②根1居对称轴为沪?1解答： ③根1居②得出的“ b的关系，用a表示b,然后代入解关于a的不等式，再根抿a的取值范围进行判肝； ④根1 居沪-1时的函数值是正数判断. 解爹二解：①???二次函数图象开口冋下， :.a<0, ???与y轴的正半轴相交， /.c>0, 又???对称轴x=-^=-1, la /.b=2a<0, /.abc>0,故本小题正确； ②由①可iD, b-2a,故本小題错误， ?Vb=2a, /.5a-2b=5a-2X2a=a, A5a-2b<0,故本小题正确； ④由團形可知'当泸寸'y>0, 即a-b*c>0,故本小题正确?综上所述，正确的有①①⑥共3个. 筠点: 二次函数图象与系数的关系. : 压釉题；埶形结合. 根堀抛拥线的对称轴为百线可得至卜寻 A. 4个 B. 3个C?2个

二次函数和根与系数的关系

二次函数和根与系数的 关系 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-

例1：已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A （x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想． （3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式）． 解：（1）当k=1，m=0时，如图． 由得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1?x2=﹣1， 过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，两线交于点C．∵直线AB的解析式为y=x+1， ∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC=|x2﹣x1|==；同理，当k=1，m=1时，AB=； （2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下： 由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0， ∴x1+x2=2m+1，x1?x2=m2+m﹣1，∴AB=AC=|x2﹣x1|==； （3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下： ①当k=0时，则函数的图象为直线y=1， 由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；

②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1， 由，得x 2 ﹣x ﹣1=0，∴x 1+x 2=1，x 1?x 2=﹣1， ∴AB= AC= |x 2﹣x 1|= =，∴AB 2 =10， ∵OA 2 +OB 2 =x 12 +y 12 +x 22 +y 22 =x 12 +x 22 +y 12 +y 22 =x 12 +x 22 +（x 1+1）2 +（x 2+1）2 =x 12 +x 22 +（x 12 +2x 1+1）+（x 22 +2x 2+1）=2（x 12 +x 22 ） +2（x 1+x 2）+2=2（1+2）+2×1+2=10，∴AB 2=OA 2+OB 2 ，∴△AOB 是直角三角形； ③当k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形． 由 ，得x 2﹣kx ﹣1=0，∴x 1+x 2=k ，x 1?x 2=﹣1，∴AB 2=（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2=（x 1﹣x 2）2+（kx 1﹣kx 2）2 = （1+k 2 ）（x 1﹣x 2）2 =（1+k 2 ）[（x 1+x 2）2 ﹣4x 1?x 2]=（1+k 2 ）（4+k 2 ）=k 4 +5k 2 +4， ∵OA 2 +OB 2 =x 12 +y 12 +x 22 +y 22 =x 12 +x 22 +y 12 +y 22 =x 12 +x 22 +（kx 1+1）2 +（kx 2+1）2 =x 12 +x 22 +（k 2 x 12 +2kx 1+1）+（k 2 x 22 +2kx 2+1）= （1+k 2）（x 12+x 22）+2k （x 1+x 2）+2=（1+k 2）（k 2+2）+2k?k+2=k 4+5k 2 +4， ∴AB 2 =OA 2 +OB 2 ， ∴△AOB 为直角三角形． 如图，已知抛物线y=x2-4x+3，过点D(0，- 2 5 )的直线与抛物线交于点M 、N ，与x 轴交于点E ，且点M 、N 与X 轴交于E 点，且M 、N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式。 解：∵D (0,- 2 5) ∴设直线MN 的解析式为y=kx-2 5 ∴252 43 y kx y x x ? =-???=-+? ∴kx-2 5 =x2-4x+3 ∴x2-(4+k)x+11 2=0 1x +2x =-b a =4+k 4 2 2 5 E M N D O

二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下； 决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小． 2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关． b 与a 同号，说明02<- a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明?b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边； 特别的，b = 0，对称轴为y 轴． 3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0，抛物线过原点． 4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2?4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2?4a c >0 与x 轴两个交点 b 2?4a c =0 与x 轴一个交点 b 2?4a c <0 与x 轴没有交点 5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ； x= -1时，y=a - b + c ． 当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0． 扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。 一．选择题（共8小题） 1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．c ＜0 D ．b +2a ＞0 2．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．ac ＜0 D ．bc ＜0． 3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0； ②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0； ②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；

二次函数图像与系数关系含答案

二次函数图像与系数关系 一．选择题（共9小题） 1．（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（） A．①②B．③④C．①④D．①③ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：计算题；压轴题． 分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断； ②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入 （3a+b），并判定其符号； ③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值 范围； ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确； ②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0． ∵对称轴x=﹣=1， ∴b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误； ③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3， ∴=﹣3，则a=﹣． ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣． 故③正确；

④根据题意知，a=﹣，﹣=1， ∴b=﹣2a=， ∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ∴≤c≤4，即≤n≤4． 故④错误． 综上所述，正确的说法有①③． 故选D． 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 2．（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A．①②B．②③C．①②④D．②③④ 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：压轴题． 分析：根据图象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判断①②；把x=2代入抛物线的解析式即可判断 ③，求出点（﹣5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1），根据当x＞﹣1时，y随x的 增大而增大即可判断④． 解答：解：∵二次函数的图象的开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0， ∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1， ∴﹣=﹣1， ∴b=2a＞0，

二次函数根系数关系

一元二次方程的根与系数的关系也称为韦达定理，其逆定理也成立，它是由16世纪的法国数学家韦达发现的．它揭示了实系数一元二次方程的根与系数的关系，它形式简单但内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用． 【知识要点】 1．如果方程(a≠O)的两根为，，那么，， 这就是一元二次方程的根与系数的关系． 2．如果两个数的和为m，积为n，则以这两个数为根的一元二次方程为．3．若已知一元二次方程的一个根，可不直接解原方程，利用根与系数关系，求出另一根．4．求一元二次方程根的对称式的值，关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式． 5．当一元二次方程(a≠O)有两根，时：(1)若，则方 程有一正一负根；(2)若，，则方程有两个正根；(3)若 ，，则方程有两个负根． 【趋势预测】 利用根与系数关系，可以解决许多有关方程的问题，有些非方程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次方程，然后用一元二次方程的知识来解．因此预测以后竞赛的重点在以下几个方面： ①求方程中字母系数的值或取值范围； ②求代数式的值； ③结合根的判别式，判断根的符号特征；

④构造一元二次方程解题； ⑤证明代数等式，不等式； ⑥与一元二次方程的整数根有关的问题． 【范例解读】 题1(1997·陕西)已知二次方程(ac≠0)有两异号实根m和n，且m0，从而，． 方程的判别式： ，故方程 必有两实根． 设这两个实根为，，则由根与系数关系得 ，，可知，均为负数，故选(A)． 题2(1997·上海)若a和b是方程的两个实根，c和d是方程 的两个实根，e和f是方程的两个实根，则

二次函数图像与系数的关系

二次函数图像与系数的关系 1. 如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出四个结论：① ；②；③；④。其中正确结论的个数是（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 小轩从如图所示的二次函数（）的图象中，观察得出了下面五条信息：①；② ；③；④；⑤。你认为其中正确信息的个数有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 设二次函数，当时，，当时，，那么的取值范围是（）。 A. B. C. D. 4. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间 （包含端点），则下列结论：①当时，；②；③；④中，正确的是（）。 A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ①③ 5. 已知二次函数的图象如图所示。下列结论：①；②；③；④ ，其中正确的个数有（）。 A. B. C. D.

6. 已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④。其中，正确结论的个数是（）。 A. B. C. D. 7. 如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1） ；（2）；（3）；（4），其中错误的有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 二次函数（）的图象如图所示，若，，。则 ，，中，值小于的数有（）。 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴 的交点在和之间（包括这两点），下列结论：①当时，；②； ③；④。其中正确的结论是（）。 A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 10. 已知二次函数（）的图象如图所示，下列结论错误的是（）。 A. B. C. （为任意实数） D.

二次函数的图像与系数的关系

二次函数的图像与系数的关系 1．已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b=0；⑤b 2 ＞4ac.其中正确的结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．如图，二次函数y =ax 2 +bx +c （a ≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说确的是（ ） A. a ＞0，b ＜0，c ＞0 B. b 2 ﹣4ac ＜0 C. 当﹣1＜x ＜2时，y ＞0 D. 当x >2时，y 随x 的增大而增大 3．如图，二次函数 图象，过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ） A. 2a+b=0 B. ac>0 C. D. 4．已知函数y=mx 2 －6x+1（m 是常数），若该函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A. 9 B. 0 C. 9或0 D. 9或1 5．如图，二次函数2 y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列理论：①0a <， 0b <②20a b ->，③0a b c ++>，④0a b c -+<，⑤当1x >时， y 随x 的增大

而减小，其中正确的是（）． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①③④ 6．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（） A. B. C. D. 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＜3b； ③25a+5b+c=0； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，?③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）

二次函数图象特征与系数关系专题

二次函数图象特征与系数关系专题 一、知识要点： 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)系数符号的确定 3、C 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在 y 轴的丿正半轴， 则 d 负半轴， 则"O 4、 b2-4ac 的符号由抛物线与 X 轴(或坐标轴)的交点个数确定： 。个交点，b 2-4ac?O ; y = O 时，方程有两个不相等 实数根 ① 与X 轴的交点个数1个交点，b 2-4ac=O ; y =O 时，方程有两个相等实 数根 没有交点，b 2-4ac O; y =O 时，方程无实数根 3个交点，b 2 - 4ac a O ； ② 与坐标轴交点个数 2个交点，b 2 - 4ac = O ; 1 个交点，b 2-4ac O; 5、 根据函数图象的具体情况取特殊值，确定代数式符号： 常见①x=1时，a +b +c 的符号；②x=-1时，a -b+ C 的符号；③x=2时，4a+2b+c 的符号；④ x=-2 时，4a-2b+c 的符号； ......... . K 6、 由对称轴公式X=- 一，可确定2a+b 的符号或对称轴有具体数值是确定相关代数式的符 2a 号；如：X=- =-时，可确定4a-3b 的符号；有时与相关成立的等式或不等式结合，确 2a 3 定运算后代数式的符号。 二、专题练习 ①b 2-4ac >O :② abc >O :③ 8a+c >O ;④ 9a+3b+c V O 2 3、 如图3,二次函数y=ax +bx+c 的图象中，根据图中信息，下列结论正确是( ) 1、a 由抛物线开口方向确定 开口向上=a a O 开口向下=a γ O K 2、b 由对称轴X=-和a 的符号确定 2a So, IaY 0, b 2a Y O 」 a ■ 0, a 0, 2 1.如图1 ,是二次函数y=ax +bx+c ( a ≠0的图象，根据图中信息，下列结论正确是( ) ① a b C >O ; ② b< a+ c ;③2a+b=O :④a +b

二次函数图像与系数的关系

教学设计—— 二次函数的系数与图像 长葛六中刘晓金 目标：1、通过观察二次函数的图像的形成过程，导出二次函数的图像与系数的关系。 2、理解和探索相关二次函数的图像之间的关系。 3、会用学习的知识判断相关二次函数的图像之间的关系。 4、运用相关知识解决平移、对称、翻转图像的抛物线解析式。 重点：1、探索和总结二次函数的图像与系数之间的关系。 2、运用相关知识解决问题。 难点：运用相关知识解决问题。 学法：1、通过观察发现相关知识。 2、通过合作探索知识的运用。 教法：运用课件对知识由浅入深地进行展示，不断引导学生观察、探索、总结和应用。 教学过程 一、课堂导入 1、导言：不同的二次函数，图像也不相同，即使有时形状相同，在坐标系中的位置也不尽相同。你知道这是为什么吗？本节我们就一起来探讨一下。 （展示幻灯片1） 2、展示本节教学主要过程。 （展示幻灯片2） 二、师生互动过程 1、a的符号与抛物线开口方向

①、学生在练习本上画出y=x2,y=-x2的草图，观察抛物线的开口方向。 ②、（展示幻灯片3） ③、学生对着幻灯片，检查自己的发现。 ④、总结出：a＞0时抛物线开口方向向上，a＜0时抛物线开口方向向下。 ⑤、练习在抛物线y=(k-1)x2+x+1中k 时开口向上，k 时开口向下。 2、a的绝对值与图像开口的大小 ①、导言：我们知道二次函数的图像虽然是抛物线，但是形状却不尽相同，这究竟是为什么呢？ ②、（展示幻灯片4）引导学生认真观察不同函数图像的形状（开口大小）与什么相关联？ ③、引导学生总结出：a的绝对值相等，抛物线开口方向不同，大小相同。 ④、练习k取时，抛物线y=(k+3)x2-x+6可以由抛物线y=2x2变化而来。 3、C与图像和y轴的交点位置 ①、（展示幻灯片5） ②、通过引导学生，使学生总结出：C=0时抛物线与y轴相交于原点；C ＞0时抛物线与y轴相交于X轴上方；C＜0时抛物线与y轴相交于x轴下方。 （C的值决定抛物线与y轴相交的位置） 4、a.b与对称轴的位置 ①、学生写出y=x2, y=x2+2x, y=x2-2x, y=-x2+2x, y=-x2-2x 中各个式子中a、b的值，并计算出ab 的值。 ②、（展示幻灯片6） ③、引导学生探讨幻灯片中各个图像的形成过程，总结出：ab＝0时对称轴与y 轴重合；ab＞0时对称轴在y轴的左边;ab＜0时对称轴在y轴的右边。

二次函数图像和系数的关系

二次函数图像与系数的关系 1.如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出四个结论：① ；②；③；④。其中正确结论的个数是（）。 A.个 B.个 C.个 D.个 2.小轩从如图所示的二次函数（）的图象中，观察得出了下面五条信息：①；② ；③；④；⑤。你认为其中正确信息的个数有（）。 A.个 B.个 C.个 D.个 3.设二次函数，当时，，当时，，那么的取值范围是（）。 A. B. C. D. 4.如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间 （包含端点），则下列结论：①当时，；②；③；④中，正确的是（）。 A.①② B.③④ C.①④ D.①③ 5.已知二次函数的图象如图所示。下列结论：①；②；③；④ ，其中正确的个数有（）。 A. B. C. D.

6.已知二次函数（）的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④。其中，正确结论的个数是（）。 A. B. C. D. 7.如图所示，二次函数的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1） ；（2）；（3）；（4），其中错误的有（）。 A.个 B.个 C.个 D.个 8.二次函数（）的图象如图所示，若，，。则 ，，中，值小于的数有（）。 A.个 B.个 C.个 D.个 9.如图，已知二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴 的交点在和之间（包括这两点），下列结论：①当时，；②； ③；④。其中正确的结论是（）。 A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 10.已知二次函数（）的图象如图所示，下列结论错误的是（）。 A. B. C. （为任意实数） D.

11. 已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴为。下列结论中，正确的是 （）。 A. B. C. D. 12. 如图，二次函数（）的图象经过点和，下列结论中正确的是（）。 A. B. C. D. 13. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点的坐标为，下列结论： ①；② ；③；④。其中错误的是（）。 A.① B.② C.③ D.④ 14. 如图，抛物线（）过点和点，且顶点在第四象限，设， 则的取值范围是（）。 A. B. C. D. 15. 已知二次函数的图象如图，则下列叙述正确的是（）。 A. B. C. D.将该函数图象向左平移个单位后所得到抛物线的解析式为

一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系 教材分析：中学阶段涉及的一元二次内容有函数的二次函数，研究几何图形中的有二次曲线，一元二次方程的求根公式向我们揭示了两根与系数间的的密切关系，而韦达定理介绍的根与系数的关系是在求根公式的基础上，根与系数的进一步发现，这一发现在数学学科中具有较强的实用价值，学生在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础． 学情分析:1．学生已学习用求根公式法解一元二次方程，自主探究根与系数的关系是完全可能的。2.学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，3.向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神． 教学目标 知识目标： 1.经历一元二次方程根与系数关系的探究过程培养学生的观察思考，归纳概括能力 2.掌握一元二次方程的根与系数的关系． 能力目标： 通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。 情感目标: 1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律； 2.经历观察、探索、猜想、证明的过程，得出一元二次方程根与系数的关系，让学生经历合情推理到演绎推理的认识事物的模式，培养学生用辨证思想认识事物. 教学重点和难点 重点：一元二次方程根与系数的关系; 难点：如何通过求根公式发现韦达定理，正确理解根与系数的关系.

教学关键:1.激发学生对根与系数关系的求知欲望; 2.引导启发学生来发现如何推导根与系数的关系 教学过程 一、课前游戏环节：你知道陈老师今年多大吗？猜猜，。。。，对于我来说年龄绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我们现在在学习一元二次方程，我的年龄是0180272=+-x x 的两根之和，你们猜一猜，不解方程，能不能求出陈老师的年龄。 由求根公式可知，一元二次方程的根仅仅由系数a 、b 、c 确定，换句话,就是说根与系数有密切的关系，当然这种根与系数的关系不容易立刻被发现。我们用配方法、因式分解法等措施求出根。除此之外，一元二次方程的两个根与系数到底还有没有其他关系？ 二、探索发现 活动任务：全班同学在课本中找出已经整理成一般式的一元二次方程，并且最好是已经确定两根的方程。一般来说，学生会优先选取一元二次方程系数a 、b 、c 为整数的并且跟也为整数的方程，教师在此进行引导，要求尽可能的找出各种类型的例子，例子包括系数a 、b 、c 为正数、负数、0；根为正数、负数顿好的。学生若没有提出，老师在表格中补充。小组讨论 前后间四人小组合作，老师思路引导：代数学科中数与式的结构编排，让我们想到了两根运算上的最简单的组合：和差积商。刚才所列举的数中，观察这两数的和差积商，思考根与系数还有什么密切关系？

二次函数系数abc与图像的关系28318

二次函数系数a、b、c与图像的关系 知识要点 二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0． （4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac ＜0． （5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号． 一．选择题（共9小题） 1．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0 （m≠﹣1）． 其中正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 2．（2014?仙游县二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下 结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号 是（） A．③④B．②③C．①④D．①②③3．（2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下 列四个结论： ①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．（2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图，有以下结论： ①b2﹣4c＜0；②c﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确结论的个数为（） A．1B．2C．3D．4 5．（2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1， 且过点（﹣3，0）下列说法： ①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点， 则y1＞y2． 其中说法正确的是（）

二次函数系数符号的确定

二次函数系数符号的确定 活动一：复习引入： 1.复习用“>”“<”填空 ①，反比例函数x k y = k 0 ② ,b kx y +=一次函数k 0, b 0. 2.思：二次函数c bx ax y ++=2呢 a 0, b 0, c 0 活动二 a.c 符号 1.开口方向向上，则a 开口方向向下，则a 2.抛物线与x 轴的交点在x 轴上方，则c 0, 与x 轴交点在下方，则c 0, 练习： 活动三:b 的符号 1.对称轴：a b x 2-= 分析图1 学生练习图2 x y O x y O y O x y

2.思考：a.b 同号，则对称轴在y 轴 侧；a.b 异号，则对称轴在y 轴 侧。 3.练习：快速说出b 的符号。（图略） 活动4： 1.看图填空 （1）a ＋b ＋c_______0（2）a －b ＋c_______0 （3）2a －b _______0（4）4a ＋2b ＋c_______0 2.练习： ②（稍难二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2） 和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 ①.（2009黄石）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 活动5：画草图 1. 4-22x x y += 4-2-2x x y += 2. 归纳：①开口方向 ②与y 轴交点，x 轴交点， ③顶点坐标 活动6.达标测评 1．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( ) 2（岳阳2013）.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④ b ＋2a ＝0；⑤a ＋b ＋ c ＜0.其中正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 O A x y O B x y O C x y O D x y

二次函数系数判断典型试题

二次函数系数判断典型试题 一．选择题 1.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0， ②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac-b2＜0；其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a+c＜b； ④b2-4ac＞0，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为-1和3，则下列结论正确的是（） A．2a-b=0 B．a+b+c＞0 C．3a-c=0 D．当a=1/2时，△ABD是等腰直角三角形 4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1，0），其对称轴为直线x=1，下面结论中正确的是（）A．abc＞0 B．2a-b=0 C．4a+2b+c＜0D．9a+3b+c=0 5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．其中正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．①②③ 6．已知二次函数y=ax2+bx=c（a≠0）的图象如图所示，与y轴相交一点C，与x轴负半轴相交一点A，且OA=OC，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0； ⑤c+1/a=-2．其中正确的结论有（）A．③④⑤B．③④C．①②③D．②③④ 7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a-b＜0； ②abc＜0；③a+b+c＜0；④b2-4ac＞0；⑤（a+c）2＞b2，正确的有（）（填序号）A．①②③B．①③⑤C．①③④D．①②③⑤ 8．如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，下面四条信息：①ab＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c＞0；④点（-3，m），（6，n）都在抛物线上，则有m＜n；你认为其中正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④ 9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=-1；③当x=1时，y=2n；④am2+bn+a＞0（a≠-1）．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④ 10.已知如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，化简√(a+c)2+√(c-b)2的结果为①c，②b，③b-a，④a-b+2c，其中正确的有（） A．一个B．两个C．三个D．四个

二次函数表达式的确定方法

3、求二次函数关系式 一．选择题（共8小题） 1．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（） A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0 2．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（） A．a＞0，c＞0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＜0，c＜0 3．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（） A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0 4．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（） A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＞0 5．抛物线y=（m﹣1）x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点，则m的值为（） A．±1 B．0 C．1 D．﹣1 6．（已知点（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，则a的值是（） A．﹣1 B．1 C．±1 D． 7．将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为（）A．y=（x+1）2+1 B．y=（x+1）2﹣1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1 8．将抛物线y=（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）

二．填空题（共6小题） 9．已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过另一点的坐标是_________．10．如果二次函数y=（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m=_________． 11．若点（﹣2，a），（﹣3，b）都在二次函数y=x2+2x+m的图象上，比较a、b的大小：a_________b．（填“＞”“＜”或“=”）． 12．已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的值是_________． 13．抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为_________． 14．如果将抛物线y=3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么平移后的抛物线的表达式为_________．三．解答题（共8小题） 15．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y=a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．（1）求平移后抛物线的解析式； （2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积． 16．在直角坐标平面内，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A（﹣2，﹣2）与B（1，﹣5）三点． （1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标． 17．如图，已知二次函数的图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求点C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并化成一般形式． 18．已知抛物线的顶点坐标是（8，9），且过点（0，1），求该抛物线的解析式． 19．已知在直角坐标平面内，抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；（1）求抛物线的表达式；（2）求△ABC的面积． 20．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．