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2014年全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】

2014年江苏高考数学试题

数学Ⅰ试题

参考公式:

圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高.

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．

. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =I ．【答案】{13}-，

2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为．【答案】21

3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是．【答案】5

4．从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【答案】13

5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3

的交点，则?的值是．【答案】

π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm ．【答案】24

7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是．

【答案】4

8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且

1294S S =，则12V

V 的值是．【答案】32

9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为． 255

10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是．【答案】20?? ???

11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b

y ax x

=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在

点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是．【答案】3-

12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，

32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的

值是．【答案】22

13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21

()22

f x x x =-+．若函

数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是．【答案】()

102

，

14．若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =，则cos C 的最小值是． 62-二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答, 解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15．(本小题满分14 分)已知()

απ∈π，

，5sin α=．（1）求()

sin 4

απ+的值；

（2）求()cos 26

α5π-的值．

【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能

力. 满分14分.

（1）∵()5sin 2ααπ∈π=，，，

∴225

cos 1sin αα=--=

(

)

210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=；

（2）∵2243

sin 22sin cos cos 2cos sin 55

αααααα==-=-=，

∴()()

3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+?-=

16．(本小题满分14 分)如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，，的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC ．

【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. （1）∵D E ，为PC AC ，

中点 ∴DE ∥P A ∵PA ?平面DEF ，DE ?平面DEF ∴P A ∥平面DEF （2）∵D E ，为PC AC ，

中点 ∴132DE PA == ∵E F ，为AC AB ，

中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥ ∵AC EF E =I ∴DE ⊥平面ABC

∵DE ?平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC ．

17．(本小题满分14 分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆

222

1(0)

y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于

点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ．（1）若点C 的坐标为()

4133

，，且22BF ，求椭圆的方程；

（2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．

【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力. 满分14分.

（1）∵()

33C ，，∴22161

999a b

∵22222BF b c a =+=，∴22(2)2a ==，∴21b =

∴椭圆方程为2

212

x y += （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，

∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -， ∵2B F A ，，三点共线，∴b y

b c x

+=--，即0bx cy bc --=①

∵1

FC AB ⊥，∴1y

b x

c c

?=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2

22ca x b c bc y b c ?=?-??=-?

∴()

2222222a c bc C b c b c --， ∵C 在椭圆上，∴

()(

2222

21a c

bc b c b c a b --+

=，

化简得225c a =，∴

5c a = 5

18．(本小题满分16分)如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的

圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．

（1）求新桥BC 的长；

（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

解：本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一：

(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－

. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =

. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04

,1703

b a -=--

k AB =603,04

b a -=-

解得a =80，b=120. 所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4

(170)3

y x =-

-，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355

d d

r --=

. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,

所以80(60)80r d r d -??--?≥≥即6803805

6803(60)805d

d d d -?-???-?--??

≥≥解得1035d ≤≤

故当d =10时,68035

r -=

最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .

因为tan ∠BCO =

43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35

. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =680

CF =850cos 3OC FCO =

∠,从而500

AF OF OA =-=.

因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==

45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==400

，从而BC =CF －BF =150.

因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60).

因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由(1)知，sin ∠CFO =

,6805

MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=

. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,

所以80(60)80r d r d -??--?≥≥即6803805

6803(60)80

d d d -?-???-?--??

≥≥解得1035d ≤≤

故当d =10时,68035

r -=

最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.

19．(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；

（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．

【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想

方法分析与解决问题的能力.满分16分.

（1）x ?∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤

∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x

-+->，即e 1

e e 1

x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立

令e (1)x t t =>，则2

m t t --+≤

对任意(1)t ∈+∞，恒成立

∵22

11111(1)(1)11311

t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立

∴13

m -≤

（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--

∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减

∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2e

f a =+<，即()

11e 2e a >+

∵e-1

e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e

a a a

a a a ---=-=--+

设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()

e 1e 111'()1e 2e

a m a a a a ---=-=>+，

当()

11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；

当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m == ∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<；当()

11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．

20．(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，

使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．

（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；

（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．

【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.

（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=

当1n =时，112a S ==

∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)

n n n n n S na d n d --=+

=+ 对n *?∈N ，m *?∈N 使n m S a =，即(1)

1(1)2

n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d

∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d

令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *?∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *?∈N ，11n n c c a d +-=+

则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+

-，令1(2)n T m a =-，则(3)

n n m -=+ 当1n =时1m =；当2n =时1m =；

当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ?，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=

+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12

n n m -=+ ∵对n *?∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N

即对n *?∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.

数学Ⅱ(附加题)

21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)

如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点证明:∠OCB =∠D .

本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力.满分10分. 证明：因为B , C 是圆O 上的两点，所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .

又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .

B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)

已知矩阵121x -??=????A ，1121??=??-??B ，向量2y ??

=????

α，x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．

【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -??=??+??A α，24y y +??=??-??B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+??+=-?

，

，解得142x y =-=， C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l

的参数方程为12x y ?

=??

?=?

，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．

【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ，，(96)B -，

，故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明：(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.

本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.

证明：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2

≥0>，1+x 2+y

≥0>，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )

≥=9xy.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分)

盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；

（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，，中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．

22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情

况

∴取出的2个球颜色相同的概率105

3618

P =

（2）X 的所有可能取值为432，，，则

444

9C 1(4)C 126

P X === 3131

4536

9C C C C 13(3)C 63

P X +=== 11(2)1(3)(4)14

P X P X P X ==-=-==

∴X 的概率分布列为

故X 的数学期望1113120

()23414631269

E X =?+?+?=

23．(本小题满分10分)

已知函数0sin ()(0)

x f x x x

=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．

（1）求()()

122222

f f πππ+的值；

（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()(

)

1444n n nf f -πππ+成立．

23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.

(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '?

?'===

- ???

于是21223

cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''?

???'==-=--+ ? ?????

所以12234

216

(),(),2

2f f π

ππππ

=-+ 故122()() 1.2

f f ππ

=- (2)证明：由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得

122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2

f x xf x x x π+=-=+，

344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.

下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.

(i)当n =1时，由上可知等式成立.

(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.

因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]222

k k k k x x x x π

πππ+''+=+?+=+

，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2

k x π

+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.

令4

x π

，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).

所以1()()444n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).