2014年江苏高考数学试题
数学Ⅰ试题
参考公式:
圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长,l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积,h 为高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......上.
. 1.已知集合{2134}A =--,,,,{123}B =-,,,则A B =I . 【答案】{13}-,
2.已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位),则z 的实部为 . 【答案】21
3.右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 . 【答案】5
4.从1236,,,这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的 概率是 . 【答案】13
5.已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤,它们的图象有一个横坐标为 3
π
的交点,则?的值是 . 【答案】
6
π 6.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm ),所得数据均在区间[80130],上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株 树木的底部周长小于100 cm . 【答案】24
7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若21a =,8642a a a =+, 则6a 的值是 .
【答案】4
8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ,,体积分别为12V V ,,若它们的侧面积相等,且
1294S S =,则12V
V 的值是 . 【答案】32
9.在平面直角坐标系xOy 中,直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 . 255
10.已知函数2()1f x x mx =+-,若对任意[1]x m m ∈+,,都有()0f x <成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】20?? ???
11.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2b
y ax x
=+(a b ,为常数)过点(25)P -,,且该曲线在
点P 处的切线与直线7230x y ++=平行,则a b +的值是 . 【答案】3-
12.如图,在平行四边形ABCD 中,已知,85AB AD ==,,
32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ,,则AB AD ?u u u r u u u r 的
值是 . 【答案】22
13.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[03)x ∈,时,21
()22
f x x x =-+.若函
数()y f x a =-在区间[34]-,上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 . 【答案】()
102
,
14.若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =,则cos C 的最小值是 . 62-二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内........
作答, 解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14 分)已知()
2
απ∈π,
,5sin α=. (1)求()
sin 4
απ+的值;
(2)求()cos 26
α5π-的值.
【答案】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式,考查运算求解能
力. 满分14分.
(1)∵()5sin 2ααπ∈π=,,,
∴225
cos 1sin αα=--=
(
)
210sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=;
(2)∵2243
sin 22sin cos cos 2cos sin 55
αααααα==-=-=,
∴()()
3314334cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π+-=+=+?-=
16.(本小题满分14 分)如图,在三棱锥P ABC -中,D E F ,,分别为棱PC AC AB ,,的中点.已知6PA AC PA ⊥=,,8BC =,5DF =. (1)求证:直线P A ∥平面DEF ; (2)平面BDE ⊥平面ABC .
【答案】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系, 考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. (1)∵D E ,为PC AC ,
中点 ∴DE ∥P A ∵PA ?平面DEF ,DE ?平面DEF ∴P A ∥平面DEF (2)∵D E ,为PC AC ,
中点 ∴132DE PA == ∵E F ,为AC AB ,
中点 ∴142EF BC == ∴222DE EF DF += ∴90DEF ∠=°,∴DE ⊥EF ∵//DE PA PA AC ⊥,,∴DE AC ⊥ ∵AC EF E =I ∴DE ⊥平面ABC
∵DE ?平面BDE , ∴平面BDE ⊥平面ABC .
17.(本小题满分14 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,12F F ,分别是椭圆
2
222
1(0)
y x a b a b +=>>的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0)b ,,连结2BF 并延长交椭圆于
点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结1FC . (1)若点C 的坐标为()
4133
,,且22BF ,求椭圆的方程;
(2)若1FC AB ⊥,求椭圆离心率e 的值.
【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运
算求解能力. 满分14分.
(1)∵()
41
33C ,,∴22161
999a b
+=
∵22222BF b c a =+=,∴22(2)2a ==,∴21b =
∴椭圆方程为2
212
x y += (2)设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -,,,,,
∵A C ,关于x 轴对称,∴()A x y -, ∵2B F A ,,三点共线,∴b y
b c x
+=--,即0bx cy bc --=①
∵1
FC AB ⊥,∴1y
b x
c c
?=-+-,即20xc by c -+=② ①②联立方程组,解得2
22
2
2
22ca x b c bc y b c ?=?-??=-?
∴()
2222222a c bc C b c b c --, ∵C 在椭圆上,∴
()(
)2
2
2222
22
2
2
21a c
bc b c b c a b --+
=,
化简得225c a =,∴
5c a = 5
18.(本小题满分16分)如图,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的
圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m .经测量,点A 位于点O 正北方向60m 处,点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),4tan 3BCO ∠=.
(1)求新桥BC 的长;
(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?
解:本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识,考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.满分16分. 解法一:
(1) 如图,以O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系xOy . 由条件知A (0, 60),C (170, 0), 直线BC 的斜率k BC =-tan ∠BCO =-
43
. 又因为AB ⊥BC ,所以直线AB 的斜率k AB =
34
. 设点B 的坐标为(a ,b ),则k BC =04
,1703
b a -=--
k AB =603,04
b a -=-
解得a =80,b=120. 所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知,直线BC 的方程为4
(170)3
y x =-
-,即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切,故点M (0,d )到直线BC 的距离是r , 即|3680|680355
d d
r --=
=
. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以80(60)80r d r d -??--?≥≥即6803805
6803(60)805d
d d d -?-???-?--??
≥≥解得1035d ≤≤
故当d =10时,68035
d
r -=
最大,即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图,延长OA , CB 交于点F .
因为tan ∠BCO =
43.所以sin ∠FCO =45,cos ∠FCO =35
. 因为OA =60,OC =170,所以OF =OC tan ∠FCO =680
3
.
CF =850cos 3OC FCO =
∠,从而500
3
AF OF OA =-=.
因为OA ⊥OC ,所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==
45, 又因为AB ⊥BC ,所以BF =AF cos ∠AFB ==400
3
,从而BC =CF -BF =150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ,连接MD ,则MD ⊥BC ,且MD 是圆M 的半 径,并设MD =r m ,OM =d m(0≤d ≤60).
因为OA ⊥OC ,所以sin ∠CFO =cos ∠FCO , 故由(1)知,sin ∠CFO =
3
,6805
3
MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=
. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以80(60)80r d r d -??--?≥≥即6803805
6803(60)80
5d
d d d -?-???-?--??
≥≥解得1035d ≤≤
故当d =10时,68035
d
r -=
最大,即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大.
19.(本小题满分16分)已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数. (1)证明:()f x 是R 上的偶函数;
(2)若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞,上恒成立,求实数m 的取值范围; (3)已知正数a 满足:存在0[1)x ∈+∞,,使得3000()(3)f x a x x <-+成立.试比较1e a -与e 1a -的大小,并证明你的结论.
【答案】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识,考查综合运用数学思想
方法分析与解决问题的能力.满分16分.
(1)x ?∈R ,()e e ()x x f x f x --=+=,∴()f x 是R 上的偶函数 (2)由题意,(e e )e 1x x x m m --++-≤,即(e e 1)e 1x x x m --+--≤
∵(0)x ∈+∞,,∴e e 10x x
-+->,即e 1
e e 1
x
x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞,恒成立
令e (1)x t t =>,则2
11
t
m t t --+≤
对任意(1)t ∈+∞,恒成立
∵22
11111(1)(1)11311
1
t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥,当且仅当2t =时等号成立
∴13
m -≤
(3)'()e e x x f x -=-,当1x >时'()0f x >,∴()f x 在(1)+∞,上单调增 令3()(3)h x a x x =-+,'()3(1)h x ax x =--
∵01a x >>,,∴'()0h x <,即()h x 在(1)x ∈+∞,上单调减
∵存在0[1)x ∈+∞,,使得3000()(3)f x a x x <-+,∴1(1)e 2e
f a =+<,即()
11e 2e a >+
∵e-1
e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e
a a a
a a a ---=-=--+
设()(e 1)ln 1m a a a =--+,则()
e 1e 111'()1e 2e
a m a a a a ---=-=>+,
当()
11e e 12e a +<<-时,'()0m a >,()m a 单调增;
当e 1a >-时,'()0m a <,()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点,而(1)(e)0m m == ∴当e a >时,()0m a <,e 11e a a --<; 当()
11e e 2e a +<<时,()0m a <,e 11e a a -->; 当e a =时,()0m a =,e 11e a a --=.
20.(本小题满分16分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意的正整数n ,总存在正整数m ,
使得n m S a =,则称{}n a 是“H 数列”.
(1)若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ,证明:{}n a 是“H 数列”;
(2)设{}n a 是等差数列,其首项11a =,公差0d <.若{}n a 是“H 数列”,求d 的值; (3)证明:对任意的等差数列{}n a ,总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ,使得()n n n a b c n *=+∈N 成立.
【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识,考查探究能力及推理论证能力, 满分16分.
(1)当2n ≥时,111222n n n n n n a S S ---=-=-=
当1n =时,112a S ==
∴1n =时,11S a =,当2n ≥时,1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” (2)1(1)(1)
22
n n n n n S na d n d --=+
=+ 对n *?∈N ,m *?∈N 使n m S a =,即(1)
1(1)2
n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-,12m d
=+
∵0d <,∴2m <,又m *∈N ,∴1m =,∴1d =- (3)设{}n a 的公差为d
令111(1)(2)n b a n a n a =--=-,对n *?∈N ,11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+,对n *?∈N ,11n n c c a d +-=+
则1(1)n n n b c a n d a +=+-=,且{}{}n n b c ,为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+
-,令1(2)n T m a =-,则(3)
22
n n m -=+ 当1n =时1m =; 当2n =时1m =;
当3n ≥时,由于n 与3n -奇偶性不同,即(3)n n -非负偶数,m *∈N 因此对n ?,都可找到m *∈N ,使n m T b =成立,即{}n b 为“H 数列”. {}n c 的前n项和1(1)()2n n n R a d -=
+,令1(1)()n m c m a d R =-+=,则(1)12
n n m -=+ ∵对n *?∈N ,(1)n n -是非负偶数,∴m *∈N
即对n *?∈N ,都可找到m *∈N ,使得n m R c =成立,即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)
如图,AB 是圆O 的直径,C 、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点 证明:∠OCB =∠D .
本小题主要考查圆的基本性质,考查推理论证能力.满分10分. 证明:因为B , C 是圆O 上的两点,所以OB =OC . 故∠OCB =∠B .
又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点, 故∠B ,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B =∠D . 因此∠OCB =∠D .
B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)
已知矩阵121x -??=????A ,1121??=??-??B ,向量2y ??
=????
α,x y ,为实数,若A α=B α,求x y ,的值.
【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. 222y xy -??=??+??A α,24y y +??=??-??B α,由A α=B α得22224y y xy y -=+??+=-?
,
,解得142x y =-=, C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l
的参数方程为12x y ?
=??
?=?
,(t 为参数),直线l 与抛物线24y x =交于A B ,两点,求线段AB 的长.
【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
直线l :3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+= ∴交点(12)A ,,(96)B -,
,故||AB =D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分) 已知x >0, y >0,证明:(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥9xy.
本小题主要考查算术一几何平均不等式.考查推理论证能力.满分10分.
证明:因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2
≥0>,1+x 2+y
≥0>, 所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )
≥=9xy.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)
盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P ;
(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ,,,随机变量X 表示123x x x ,,中的最大数,求X 的概率分布和数学期望()E X .
22.【必做题】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
(1)一次取2个球共有29C 36=种可能情况,2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情
况
∴取出的2个球颜色相同的概率105
3618
P =
=
(2)X 的所有可能取值为432,,,则
444
9C 1(4)C 126
P X === 3131
4536
3
9C C C C 13(3)C 63
P X +=== 11(2)1(3)(4)14
P X P X P X ==-=-==
∴X 的概率分布列为
故X 的数学期望1113120
()23414631269
E X =?+?+?=
23.(本小题满分10分)
已知函数0sin ()(0)
x f x x x
=>,设()n f x 为1()n f x -的导数,n *∈N .
(1)求()()
122222
f f πππ+的值;
(2)证明:对任意的n *∈N ,等式()(
)
1444n n nf f -πππ+成立.
23.【必做题】本题主要考查简单的复合函数的导数,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.
(1)解:由已知,得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '?
?'===
- ???
于是21223
cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''?
???'==-=--+ ? ?????
所以12234
216
(),(),2
2f f π
ππππ
=-
=-+ 故122()() 1.2
22
f f ππ
π
+
=- (2)证明:由已知,得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导,得00()()cos f x xf x x '+=, 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+,类似可得
122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+, 2333()()cos sin()2
f x xf x x x π+=-=+,
344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.
下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.
(i)当n =1时,由上可知等式成立.
(ii)假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+.
因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]222
2
k k k k x x x x π
πππ+''+=+?+=+
, 所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2
k x π
+=+. 所以当n=k +1时,等式也成立.
综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立.
令4
x π
=
,可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N ).
所以1()()444n n nf f πππ-+=(n ∈*N ).