二次函数图像题 专题练习
二次函数图像题专题练习
学习目标：
1、掌握二次函数的性质，利用性质解决与二次函数图像有关问题。
2、理解二次函数与一元二次方程的关系，并会利用它解决有关的图像问题。
热身练习
思考：二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示你能从图像中判断出那些内容
梳理填空
（1）当a___0时，开口向上，当a____0时，开口向下。
（2）当a,b _____时，对称轴在y轴左侧，当a ,b______时，对称轴在ｙ轴右侧。
（3）当c_______时抛物线与y轴正半轴相交，当c<0时，抛物线____________ （4）当b2-4ac____0时，抛物线与x轴有两个不同交点，这时交点横坐标就是方程_______的根，当b2-4ac____0时，抛物线与x轴有一个交点，这时方程ax2+bx+c=0的解是x=______，当b2-4ac____0时，抛物线与x轴没有交点.
（5）方程ax2+bx+c=m的根可以看成抛物线y=ax2+bx+c与直线_______交点的横坐标，也可以看成抛物线y=ax2+bx 与直线_______的交点的横坐标。
（6）2a+b, 2a-b, a+b+c ，
a b
ac 4-
42
等类型怎么判断正负？
类型一二次函数系数与图像的关系
1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a ＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的序号数是（）
2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列
2
A．1B．2C．3D．4
（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）
3．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（）
4已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；
③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中正确的结论有_________．
类型二：二次函数与一次函数、反比例函数在同一图像问题
1、在同一坐标系中一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能为（ ）
2 二次函数y=ax 2
+bx+c 的图像如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图像是（ ）
3.已知二次函数y=(x-a)(x-b)（其中a>b ）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b 的图
象可能正确的是
类型三：用图像解决二次函数与一元二次方程关系的有关问题 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图
根据图像解答下列问题： （1） 写出方程02
=+
+c bx ax
的两根 （2） 写出不等式02
>++c
bx ax 的解集
（3） 写出y 随x 的增大而增大的自变量x 的取值范围
（4） 如方程k c bx ax =++2
有两个不相等的实数根，
求k 的取值范围 （5）如方程
无实数根，
求k 的取值范围
a
y x
=
y bx =A
B
第3题图
自我检测：
1．（2013?包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；
②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（）
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点（如图所示），记m=|a﹣b+c|+|2a+b|，
3（2013?威海）如图，二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限且过点（0，
1）和（﹣1，0）下列结论：①ab＜0，②b 2
＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x
＞﹣1时，y＞0，其中正确结论是（）
（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）
4．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0②b＞2a；
③a+b+c=0④ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；⑤8a+c＞0．其中正确的命题是
_______________
5．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：
①a+b+c=0；②4a+b=0；③abc＜0；④4ac﹣b2＜0；⑤当x≠2时，总有4a+2b＞ax2+bx
其中正确的有_________（填写正确结论的序号）．
（5题图）（6题图）（7题图）
6 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③2a﹣b ＞0；④b2+8a＞4ac，正确的结论是_________．
7．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（x1，0），﹣3＜x1＜﹣2，对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b2＞4ac；④a﹣b＞m（ma+b）（m≠﹣1的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（）
8设a、b为常数，并且b＜0，抛物线的图象为图中的四个图象之一．则a=_________．
课后延伸：
1．（2013?鄂州）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．
你认为其中正确信息有（）
2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①a＞0，b＞0；②c＜0，△＜0；③c﹣4b＞0；④4a﹣2b+c=16a+4b+c．其中正确结论的是（）
3已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个结论：
①abc＞0；②3a+b＞0；③＞﹣3；④2c＞3b，其中结论正确的为（）
4．（2013?德州）函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为（）
（4题图）（5题图）（6题图）
5．如图，开口向下的抛物线y=ax2+hx+c交y轴的正半轴于点A，对称轴是直线x=1，则
abc＞0；（3）8a+c＞0；（4）6a+3b+c＞0，其中正确的结论的个数是（）
7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a﹣b+c＜0；③2a+c＞0；
④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的是（）．
二次函数图像和性质练习题
二次函数图像和性质1 一、选择题 1．已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞0 2．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（4，3） 3．函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( ) 4．把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 为y =x 2－3x ＋5，则（ ）A ．b =3，c =7 B ．b =6，c =3 C ．b =-9，c =-5 D ．b =-9，c =21 5．二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所 示，下列结论错误的是 A ．ab ＜0 B ．ac ＜0 C ．当x ＜2时，函数值随x 的增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 的增大而减小 D ．二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根。 6．已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－ 1 2 x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）． A ．－ 32＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜－3 2 C ．－2＜x ＜32 D ． x ＜－2或x ＞32 7．若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122 +-x x ）可以由E （x ，2 x ）怎样平移得到？ 8．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是A ．1y ＞2y B ．1y 2y = C ．1y ＜2y D ．不能确定 9．下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()1 0y x x =- <；④223y x x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 10．设a 、b 是常数，且b ＞0y=ax 2+bx +a 2 -5a -6的值为（ ） 11．已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 两个根，则实数b a n m ,,,的大小关系可能是 A ．n b a m <<< B ．b n a m <<< C ．n b m a <<< D ．b n m a <<< 12．如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到 点B ，运动时间为t ，分别以AP 于PB 为直径 做半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为
二次函数的图像专项练习题
二次函数基础定义 知识点一：二次函数的定义 形如)0(2 ≠++=a c bx ax y 【注意：二次项的系数0≠a ；x 的最高次幂为2】 例题：若()311 +++=-x x a y a 二次函数，则a 的值为 . 【变式训练】若()1211 2 +-+=+x x m y m 二次函数，则m 的值为 . 知识点二：“一般式”化“顶点式” 例题：542 ++=x x y 方法一：1)2(52)222(52222542 2222222++=+-+??+=+-+??+=++=x x x x x x x y 方法二：144,222=--=-a b ac a b ，1)2(44)2(542222 ++=-++=++=x a b a c a b x x x y 【变式训练】把下列二次函数化成顶点式 ①322 +-=x x y ； ②1122 +-=x x y ； ③7422 ++=x x y 知识点三：开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，增减性 【温馨提示】形状相同，则二次项的系数a 相等 【变式训练】完成下列表格 知识点四：二次函数与x 轴交点的个数及交点的坐标，与y 轴的交点坐标 【温馨提示】1.对于二次函数c bx ax y ++=2，当△=ac b 42 ->0，图像与x 轴有两个交点；当△ =ac b 42-=0，图像与x 轴有一个交点；当△=ac b 42 -<0，图像与x 轴没有交点。2.求二次函数 c bx ax y ++=2与x 轴的交点坐标就是令y =0，求出x 1，x 2，则交点坐标为（x 1，0）， （x 2，0）；二次函数c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标就是令x =0，求出y ，则交点坐标为（0，y ）； 【变式训练】完成下列表格
二次函数图像信息题
二次函数图表信息题 一．选择题（共18小题） 1．已知二次函数y=x 2 +bx+c 的图象过点A （1，m ），B （3，m ），若点M （﹣2，y 1），N （﹣1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=x 2 +bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ． y 1＜y 2＜y 3 B ． y 2＜y 1＜y 3 C ． y 3＜y 1＜y 2 D ． y 1＜y 3＜y 2 2．抛物线y=x 2﹣2x+1与坐标轴交点为（ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点 C ． 无交点 D ． 三个交点 3．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．抛物线y=2x 2，y=﹣2x 2，共有的性质是（ ） A ． 开口向下 B ． 对称轴是y 轴 C ． 都有最高点 D ． y 随x 的增大而增大 5．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，对称轴是直线x=1． ①b 2＞4ac ； ②4a﹣2b+c ＜0；③不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是x≥；④若（﹣2，y 1），（5，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2．上述4个判断中，正确的是（ ） A ． ①② B ． ①④ C ． ①③④ D ． ②③④ 6．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论： ①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（ ）
(一)二次函数图象信息题常见的四种类型
专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型?类型之一由系数的符号确定图象的位置 1．［2016·合肥45中月考］在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是() 图1－ZT－1 2．［2018·安徽省合肥168教育集团］月考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的() 图1－ZT－2 3．已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是() 图1－ZT－3 4．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限． ?类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 5．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－4所示，则y＝ax＋b的图象一定过() 图1－ZT－4 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 6．如果一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是()
图1－ZT－5 7．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为() 图1－ZT－6 图1－ZT－7 ?类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号 8．［2017·六盘水］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 图1－ZT－8 9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－9所示，对称轴为直线x＝1，则代数式：(1)abc； (2)a＋b＋c；(3)a－b＋c；(4)4a＋2b＋c中，值为正数的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 图1－ZT－9
初中数学二次函数图像性质练习题(附答案)
初中数学二次函数图像性质练习题(附答案) 1、函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()232 1-- =x y ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小， 函数有最 值 。 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 （1）右移2个单位；（2）左移3 2个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。 3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。 4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知2 1=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。 5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。 6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。求：（1）求出此函数关系式。（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。 7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。 2、()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数： 。 2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝ 时，y 有最小值。 3、函数 y ＝12 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。 4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到。 5、已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是 6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x<3 C 、x>1 D 、x<1 7、已知函数()9232+--=x y 。 （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是 。 （3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。 （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5）求出该抛物线与y 轴的交点坐标； （6）该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的 8、已知函数()412-+=x y 。 （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点。 （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0。 3、c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 。
2.4二次函数一般式的图像
二次函数c bx ax y ++=2的图像 知识点一:k h x a y +-=2)(图像性质 1.二次函数k h x a y +-=2)(的图像平移 2.二次函数k h x a y +-=2)(的图像性质 （1）当0>a 时，抛物线k h x a y +-=2 )(的开口方向向上，对称轴是直线h x =，顶点坐标是),(k h ；当h x >时，Y 随X 的增大而增大，当h x <时，Y 随X 的增大而减小，当h x =时，函数有最小值K （2）当0时，Y 随X 的增大而减小，当h x <时，Y 随X 的增大而增大，当h x =时，函数有最大值K 【例1】将抛物线2 2x y =如何平移可得到抛物线1)4(22 --=x y 3.求二次函数k h x a y +-=2)(的函数解析式或解析式中的待定系数 方法规律：（1）若点A ),(n m 在抛物线k h x a y +-=2 )(上，则点A 坐标满足 k h m a n +-=2)( (2) 求函数解析式中某个字母系数，常利用方程思想，注意解的验算。
练习： 1.把抛物线2 3x y =先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为 2.抛物线2)1(2-=x y 的对称轴为 ，顶点坐标为 ，函数最值为 当X 图像从左到右上升。 3.抛物线2 )2 1(+-=x y 可以看成是由抛物线 向 平移 个单位得到 4.2 )(h x a y -=的图像如图所示，对h a ,的符号判断正确的是 （ A 0.0>>h a B 0.0<
二次函数一般式的图像和性质
二次函数一般式的图像和性质 一?选择题(共11小题) 1. 用配方法解一元二次方程 2x 2-4x+仁0, 变形正确的是( ) A. ( x -丄)I 。 B . (x -丄) 2 =' 2 2 2 C. ( x - 1) 2=— D. (x - 1) 2=0 2 2. 把抛物线y=x 2向上平移3个单位，再向 右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式 为( ) A. y= (x+3) 2+1 B. y= (x+3) 2 - 1 2 2 C. y= (x - 1) +3 D. y= ( x+1) +3 3. 方程x 2 - 2x=0的根是( ) A.x 1=X 2=0 B.x 1=X 2=2 C.X 1=0,x 2=2 D.X 1=0, X 2 = — 2 .. 2 4. 如图，抛物线y=ax +bx+c 的对称轴是经过 点(1,0)且平行于y 轴的直线，若点P (4, 2 . _ . y= - 2 (x - 3) +1的图象的顶 点坐标是( A. ( 3,1 ) B. (3, - 1) C. (- 3,1 ) D. (- 3, - 1) 6. —元二次方程x 2-?x+仁0的根的情况 是( ) A.无实数根B .有两个实数根 C.有两个不相等的实数根 D .无法确定 7. 抛物线y= - 3( x - 1) 2 - 2的顶点坐标为 ( ) A. (- 1, - 2) B. (1, - 2) C. (- 1,2 ) D . (1 , - 2) 8. 将抛物线y=3x 2向上平移3个单 位，再向 左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析 式为( ) 2 2 A . y=3 (x+2) +3 B . y=3 (x - 2) +3 2 2 C. y=3 (x+2) - 3 D. y=3 (x - 2) - 3 9. 二次函数y=ax +bx+c 的图象如图所示， 对称轴是直线 x= - 1,有以下结论：①abc >0;②4ac v b 2;③2a+b=0;④a - b+c >2.其 中正确的结论的个数是( ) A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 关于x 的一元二次方程kx +2x - 1=0有两 个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A.k >- 1 B.k > 1 C.k 工 0 D. k >- 1 且k 工0 11. 一元二次方程 x 2+3x+2=0的两个根为 () A.1, - 2 B. - 1 , - 2 C. - 1 , 2 D . 1 , 2 二.填空题(共 9小题) 12 .如图，有一个抛物线型拱桥，其最大高 度为 C. 2 D. 4 5.二次函数 则4a - 2b+c 的值为(
二次函数的图像和性质基础知识测试题
九年级数学下册《二次函数的图像和性质》基础知识测验 班级：_________姓名：___________得分：__________ 一、选择题（每小题3分，共45分）： 1、下列函数是二次函数的有（ ） 12)5(;)4();3()3(;2 )2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y x y x y (6) y=2(x+3)2－2x 2 A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 2. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 5．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6．函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图5所示，有下列结论： ①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0；；其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8、已知二次函数213x y -=、2231x y -=、232 3 x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是 （ ） A 、321y y y << B 、123y y y << C 、231y y y << D 、132y y y << 9、与抛物线y=－ 12 x 2 +3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ） (A) y = x 2+3x －5 (B) y=－12x 2 (C) y =12x 2+3x －5 (D) y=1 2 x 2 10．正比例函数y ＝kx 的图象经过二、四象限，则抛物线y ＝kx 2－2x ＋k 2的大致图象是（ ） 图5
2020中考数学 解题技巧专题：二次函数图像信息题归类
解题技巧专题：二次函数图像信息题归类 ◆类型一 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值 1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的图像如图所示，a ，b ，c 的取值范围分别是( ) A ．a<0，b<0，c<0 B ．a<0，b>0，c<0 C ．a>0，b>0，c<0 D ．a>0，b<0，c<0 第1题图 第2题图 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则点??? ?b ，c a 在第________象限( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 3．(保定高阳县期末)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像如图所示，顶点坐标为(－1，0)，下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac ＝0；③a ＞2；④4a －2b ＋c ＞0.其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 第3题图 第4题图 4．已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则a ＋b ＋c________0，a －b ＋c________0，2a ＋b________0. ◆类型二 利用二次函数的图像解方程或不等式 5．已知函数y ＝x 2－2x －2的图像如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．－3≤x ≤1 C ．x ≥－3 D ．x ≤－1或x ≥3 第5题图 第6题图 第7题图 6．已知 二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋m ＝0的解为________________．【方法13】 7．★如图是函数y ＝x 2＋bx －1的图像，根据图像提供的信息，确定使－1≤y ≤2的自变量x 的取值范围是________________. ◆类型三 根据抛物线的特征确定其他函数的图像 8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图像大致是( )
二次函数的概念和图像
二次函数 二次函数的概念： 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”. 探索： 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建一个矩形温室,其周长为120m , 设一条边长为 x (m), 求其面积 y (m 2) 与边长的关系式. 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式. 二次函数 1.定义：我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ，称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项， 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项 （一） 做一做 1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2 x y = (2) 21x y - = (3) 122 --=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y
二次函数图像题-专题练习
x y 3 2 2 O1 二次函数图像题专题练习 学习目标：1、掌握二次函数的性质，利用性质解决与二次函数图像有关问题。 2、理解二次函数与一元二次方程的关系，并会利用它解决有关的图像问题。 热身练习： 思考：二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示你能从图像中判断出那些内容 梳理填空 （1）当a___0时，开口向上，当a____0时，开口向下。 （2）当a,b _____时，对称轴在y轴左侧，当a ,b______时，对称轴在ｙ轴右侧。 （3）当c_______时抛物线与y轴正半轴相交，当c<0时，抛物线____________ （4）当b2-4ac____0时，抛物线与x轴有两个不同交点，这时交点横坐标就是方程_______的根，当b2-4ac____0 时，抛物线与x轴有一个交点，这时方程ax2+bx+c=0的解是x=______，当b2-4ac____0时，抛物线与x轴没 有交点. （5）方程ax2+bx+c=m的根可以看成抛物线y=ax2+bx+c与直线_______交点的横坐标，也可以看成抛物线y=ax2+bx 与直线_______的交点的横坐标。 （6）2a+b, 2a-b, a+b+c， a b ac 4 - 42 等类型怎么判断正负？ 类型一二次函数系数与图像的关系 1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤ 9a+3b+c＜0，则其中结论正确的序号数是（） 2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列结论：①ac＜0；②a+b=0； ③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的序号数是（） A．1B．2C．3D．4 （1题图）（2题图）（3题图）（4题图） 3．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac； ②2a+b=0；③a﹣b+c=0；④5a＜b．其中正确结论是（） 4已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0； ⑤c﹣a＞1，其中正确的结论有_________． 类型二：二次函数与一次函数、反比例函数在同一图像问题 1、在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为（） 2二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，反比列函数 a y x =与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图像是 （） 3.已知二次函数y=(x-a)(x-b)（其中a>b）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是 类型三：用图像解决二次函数与一元二次方程关系的有关问题 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图根据图像解答下列问题： （1）写出方程0 2= + +c bx ax的两根 （2）写出不等式0 2> + +c bx ax的解集 （3）写出y随x的增大而增大的自变量x的取值范围 （4）如方程k c bx ax= + + 2有两个不相等的实数根， k的取值范围 （5）如方程无实数根， k的取值范围 自我检测： O x y O x y O x y O x y A B C D O x y O y x A O y x B O y x D O y x C 第3题图 y x 1 1 O （A） y x 1 -1 O （B） y x -1 -1 O （C） 1 -1 x y O
2020中考试题汇编二次函数图像信息题
1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 2017中考数学分类试题汇编 二次函数图像信息题 1. （2017黄石市）如图是二次函数2 y ax bx c =++的图象，对下列结论：①0ab >；②0abc >；③241ac b <，其中错误的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. （2017年烟台市）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论： ①0
专题训练 二次函数图像信息专题
专题训练 二次函数图像信息专题 ? 类型之一 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号 1．已知二次函数y ＝－x 2＋2bx ＋c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥－1 B ．b ≤－1 C ．b ≥1 D ．b ≤1 2．2018·威海抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图2－ZT －1所示，下列结论错误的是( ) A ．abc ＜0 B ．a ＋c ＜b C ．b 2＋8a ＞4ac D ．2a ＋b ＞0 图2－ZT －1 图2－ZT －2 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图2－ZT －2所示，且P ＝|2a ＋b |＋|3b －2c |，Q ＝|2a －b |－|3b ＋2c |，则P ，Q 的大小关系是________． ? 类型之二 利用二次函数的图像比较大小 4．点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 3＞y 2＞y 1 B ．y 3＞y 1＝y 2 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＝y 2＞y 3 5．二次函数的图像如图2－ZT －3所示，其对称轴为直线x ＝32，A (2，y 1)，B (4 3，y 2)两 点均在二次函数的图像上，则y 1与y 2的大小关系为________．
图2－ZT －3 ? 类型之三 利用二次函数的图像解方程或不等式 6．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图像经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是( ) A ．x ＜－4或x ＞2 B ．－4≤x ≤2 C ．x ≤－4或x ≥2 D ．－4＜x ＜2 7．图2－ZT －4是二次函数y ＝－x 2＋2x ＋4的图像，使y ≤1成立的x 的取值范围是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．x ≤－1 C ．x ≥1 D ．x ≤－1或x ≥3 图2－ZT －4 图2－ZT －5 8．2018·孝感如图2－ZT －5，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)，B (1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是________． 9．如图2－ZT －6，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像与y 轴交于点C (0，－6)，与x 轴的一个交点坐标是A (－2，0)． (1)求二次函数的表达式，并写出顶点D 的坐标； (2)将二次函数的图像沿x 轴向左平移5 2 个单位长度，当y ＜0时，求x 的取值范围．
专训 二次函数图象信息题的四种常见类型
专训二次函数图象信息题的四种常见类型 名师点金：利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键． 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号 1．【2015·孝感】如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论： ①abc ＜0；②b 2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a .其中正确结论的个数是() A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(第1题) (第2题) 利用二次函数的图象比较大小 2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图，若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1 (第4题) 4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________． 根据抛物线的特征确定其他函数的图象 5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是() (第5题) 6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx －3的图象上． (1)求m的值和二次函数的解析式． (2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积． (第6题) 二次函数基础定义 知识点一:二次函数得定义 形如)0(2 ≠++=a c bx ax y 【注意:二次项得系数0≠a ;x 得最高次幂为2】 例题:若()311 +++=-x x a y a 二次函数,则a 得值为 、 【变式训练】若()1211 2 +-+=+x x m y m 二次函数,则m 得值为 、 知识点二:“一般式”化“顶点式” 例题:542 ++=x x y 方法一:1)2(52)222(52222542 2 2 2 2 2 2 2 ++=+-+??+=+-+??+=++=x x x x x x x y 方法二:144,222=--=-a b ac a b ,1)2(44)2(542222 ++=-++=++=x a b a c a b x x x y 【变式训练】把下列二次函数化成顶点式 ①322+-=x x y ; ②1122+-=x x y ; ③7422 ++=x x y 知识点三:开口方向,对称轴,顶点坐标,最大(小)值,增减性 【温馨提示】形状相同,则二次项得系数a 相等 【温馨提示】1、对于二次函数c bx ax y ++=2,当△=ac b 42 ->0,图像与x 轴有两个交点;当△ =ac b 42 -=0,图像与x 轴有一个交点;当△=ac b 42 -<0,图像与x 轴没有交点。2、求二次函数 c bx ax y ++=2与x 轴得交点坐标就就是令y =0,求出x 1,x 2,则交点坐标为(x 1,0), (x 2,0);二次函数c bx ax y ++=2 与y 轴得交点坐标就就是令x =0,求出y ,则交点坐标为(0,y ); 【变式训练】完成下列表格 知识点 二次函数图像和性质习题精选 一．选择题（共 30 小题） 1．已知 a ≠0，在同一直角坐标系中，函数 y=ax 与 y=ax 2 的图象有可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．函数 y=ax 2+1 与 y= （ a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知抛物线 y=ax 2 +bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知反比例函数 y= 的图象如图，则二次函数 y=2kx 2﹣ 4x+k 2 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．二次函数 y=ax 2 +bx+c （a ， b ， c 为常数，且 a ≠0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表： X ﹣1 0 1 3 y ﹣1 3 5 3 下列结论：（ 1） ac ＜ 0； （ 2）当 x ＞1 时， y 的值随 x 值的增大而减小． （ 3） 3 是方程 ax 2 +（b ﹣1） x+c=0 的一个根； （ 4）当﹣ 1＜x ＜ 3 时， ax 2 +（ b ﹣1） x+c ＞0． 其中正确的个数为（ ） A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个 6．二次函数 y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的大致 象如 ，关于 二次函数，下列 法 的是（ ） A ． 函数有最小 B ． 称 是直 x= C ． 当 x ＜ ， y 随 x 的增大而减小 D ． 当 1＜ x ＜ 2 ， y ＞ 0 7．如 ，平面直角坐 系中，点 M 是直 y=2 与 x 之 的一个 点，且点 M 是抛物 y= x 2 +bx+c 的 点， 方程 x 2 +bx+c=1 的解的个数是（ ） A ． 0 或 2 B ． 0 或 1 C ． 1 或 2 D ． 0， 1 或 2 8．已知二次函数 y=a （ x h ） 2 +k （a ＞ 0），其 象 点 A （ 0，2）， B （8， 3）， h 的 可以是（ ） A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3 9．二次函数 y=ax 2 +bx+c 象上部分点的坐 足下表： x ? 3 2 1 0 1 ? y ? 3 2 3 6 11 ? 函数 象的 点坐 （ ） A ． （ 3， 3） B ． （ 2， 2） C ． （ 1， 3） D ． （ 0， 6） 10．已知二次函数 y=ax 2 +bx+c （ a ≠0）的 象如 所示，下列 法 的是（ ） A ． 象关于直 x=1 称 B ． 函数 y=ax 2 +bx+c （ a ≠0）的最小 是 4 C ． 1 和 3 是方程 ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的两个根 D ．当 x ＜ 1 ， y 随 x 的增大而增大 专题讲解——二次函数的图象 知识点回顾： 1. 二次函数解析式的几种形式： ①一般式： （a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ， k ）为顶点坐标。 ③交点式：，其中是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。 2. 二次函数 的图象 ①二次函数 的图象是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。 ②任意抛物线 可以由抛物线经过适当 的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。 y ax bx c =++2y a x h k =-+()2 y a x x x x =--()()12x x 12，ax bx c 20++=y ax bx c =++2y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2 ③在画 的图象时，可以先配方成的形式，然后将 的图象上（下）左（右）平移得到所求图 象，即平移法；也可用描点法：也是将配成 的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐 标。然后取图象与y 轴的交点（0，c ），及此点关于对称轴对称的点（2h ，c ）；如果图象与x 轴有两个交点，就直接取这两个点（x 1，0），（x 2，0）就行了；如果图象与x 轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y 轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。 3. 二次函数的性质 y ax bx c =++2y a x h k =-+()2y ax =2y ax bx c =++2 y a x h k =-+()2 二次函数的图象与性质 复习目标： 1. 能结合具体情境确定二次函数的表达式。 2. 根据表达式求顶点坐标、对称轴、最大（小）值。 3. 二次函数图像的性质、平移。 Ⅰ题组练习一（问题习题化） 1. 已知函数y ＝x 2＋2x -3. （1）函数的图象是 ，开口方向 . （2）函数的对称轴是 ，顶点坐标是_____. （3）函数图象与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 _________. （4）画出此抛物线的图象。 （5）观察图象回答： ①当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小。 ②当x 时，y>0，当x 时，y ＜0。 ③当x 时，函数有最 值为 。 （6）将函数图象向 平移 个单位，再向 平移 个单位，可得到函数y ＝x 2 （7）试确定与y ＝x 2＋2x -3的图象关于y 轴对称的抛物线表达式。 2. 二次函数y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)的图象如图所示， 试确定a,b,c, b 2-4ac,a+b+c 的符号。 Ⅱ知识梳理 1. 二次函数表达式： 一般式：y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)； 顶点式：y ＝a(x －h)2＋k,(h,k)为抛物线的顶点坐标; 交点式：y=a(x-1x )(x-2x ),1x ,2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标。 2. 二次函数y ＝a x 2＋bx+c(a ≠0)的图 象与各项系数、顶点坐标、对称轴、b 2-4ac 之间的关系。 3. 二次函数图象平移规律。 Ⅲ题组练习二（知识网络化） 1. 对于抛物线1032-+=x x y ，开口 方向 ，顶点坐为 。 2.若二次函数k x x y ++-=22的部分图 象如图所示，关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另 一个解=2x ； 3. 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠) 二次函数的图像和性质练习题 一、选择题 1．下列函数是二次函数的有（ ） 1 2)5(;)4();3()3(;2 )2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y x y x y (6) y=2(x+3)2 －2x 2 A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 2.关于2 13 y x = ，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同 3．抛物线()122 1 2++= x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4.已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 5.已知二次函数2 13x y -=、2231x y -=、232 3 x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ） A 、321y y y << B 、123y y y << C 、231y y y << D 、132y y y << 6．两条抛物线2 y x =与2 y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是 （ ） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．开口方向相反 D ．都有最小值 7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论： ①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0； A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．已知抛物线的顶点为（-1，-2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A ．y=32 (1)x -－2 B ．y=32 (1)x +＋2 C ．y=32(1)x +－2 D ．y=－32 )1(-x +2 9．抛物线2 3y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) A . 23(1)2y x =-- B.2 3(1)2y x =+- C.23(1)2y x =++ D.2 3(1)2y x =-+二次函数的图像专项练习题集
二次函数图像和性质习题精选(含答案).doc
二次函数图象知识点总结
二次函数的图象与性质
二次函数的图像与性质练习题及答案