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2010年数学建模集训小题目

2010年数学建模集训小题目

1. 食品厂用三种原料生产两种糖果,糖果的成分要求和销售价见表1。

表1 糖果有关数据

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各种原料的可供量和成本见表2。

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该厂根据订单至少需要生产600公斤高级奶糖,800公斤水果糖,为求最大利润,试建立线性规划模型并求解。

2.某商业公司计划开办5家新商店。为了尽早建成营业,商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司i A (5,4,3,2,1=i )对新商店j B (5,4,3,2,1=j )的建造费用的报价(万元)为ij c (5,4,3,2,1,=j i ),见表3。商业公司应当对5家建筑公司怎样分配建造任务,才能使总的建造费用最少?

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3.上海医科大学病理生理教研室曾做过小鼠肉瘤的增长实验,并得到了如表4所示的数据。

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(1)若t 时刻肿瘤的体积)(t v 满足指数模型

?????==0

)0(v v rv

dt

dv

请拟合参数r 。

(2)若t 时刻肿瘤的体积)(t v 满足Logistic 模型

?????=-=0

2)0(v v v

v dt

dv βα 请拟合参数βα,。

4.已知数据见表5。试求y 对321,,x x x 的线性回归方程并检验回归效果,能否剔除一个变量?

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5.炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,由于钢水对耐火材料的侵蚀作用,随着使用次数的增加,容积不断增大,实测得到15组数据如表6。

试分别按以下两种形式建立y 对x 的回归方程,画出散点图和回归曲线,并根据适当的指标判断哪一种好。

(1)

x

b a y +=1; (2)x

b

ce y =.

6.已知数据见表7。

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试求形式为x a x a x a a y sin 33

2210+++=的回归方程并检验回归效果。

7.一枚导弹,以初始速度0v ,水平夹角α离开原点)0,0(。如果导弹在),(e e y x 点着陆,且在飞行中受到一拉力,其大小和速度的平方成比例,那么控制导弹飞行轨迹的四个一阶方程为

???

???

??

??

??

?==++-=+-=x x

y x y

x y d y y x d x v

dx dt v

v dx dy v v v v c g dx

dv v v c dx dv 12

22

2 其中y 是导弹的垂直高度,x 是飞行的水平距离,t 是时间,x v 和y v 分别是速度v 的水平和垂直分量,d c 是拉力系数,g 是重力加速度。这些方程仅当0v 足够大且x v 大于零时才有效。初始条件为

αcos 00

v v t x

==,αsin 00

v v t y

==,00==t y

(1)当6000=v f/s ,002.0=d c ,

45=α时,画出导弹到达0=e y 前的飞行轨迹。

(2)求导弹的最大上升高度及出现这一高度时的飞行距离。 (3)求0=e y 时的值及到达这一点时所需的时间。 8.空间中一曲线的参数方程为

t x 2=,2t y =,t z ln =,200≤≤t

9.求解下列方程的三个实根

x x 24=

提示:首先在21≤≤-x 和172≤≤x 两个不同区域中绘制函数图形。

10.1989年度西山矿务局五个生产矿井实际资料如表8所示,对西山矿务局五个生产矿井1989年的企业经济效益综合评价。

表8 1989年度西山矿务局五个生产矿井技术经济指标实现值

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11.2

x y =,x y -=12与x 轴在第一象限围成一个曲边三角形。 (1)用Matlab 的积分命令,求该图形的面积。 (2)设计一个随机实验,求该图形面积的近似值。 12.(1)求解非线性规划问题

2221)1()1(min -+-=x x z

s.t. ???≤--≤--+-0520

1)1()3(2

12221x x x x

(2)在优化分析中画出被优化的函数和它的约束条件是一种好方法。最优解),(21m m x x 一定在圆c x x =-+-2

22

1)1()1((c 为一常数)上,并在01)1()3(2

22

1≤--+-x x 和

05221≤--x x 限定的区域内。画出上述目标函数(圆圈)和区间,并用鼠标点出近似最优

解。

13.求解目标规划问题

2121154),(max x x x x f +=

2212),(max x x x f =

s.t. 20021≤+x x 20075.025.121≤+x x 1502≤x

0≥i x ,2,1=i

14.友谊农场有3万亩农田,欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需施化肥分别为0.12吨、0.20吨、0.15吨。预计秋后玉米每亩可收获500千克,售价为0.24元/千克,大豆每亩可收获200千克,售价为1.20元/千克,小麦每亩可收获350千克,售价为0.70元/千克。农场年初规划时考虑如下几个方面。

(1)年终收益不低于350万元; (2)总产量不低于1.25万吨; (3)小麦产量以0.5万吨为宜; (4)大豆产量不少于0.2万吨; (5)玉米产量不超过0.6万吨;

(6)农场现能提供5000吨化肥;若不够,可在市场高价购买,但希望高价采购量愈少愈好。

试就该农场生产计划建立数学模型。 15.设有9个节点i A (9,,1 =i ),他们的坐标分别为),(i i y x ,具体数据见表9。任意两个节点之间的电缆长度为

||||j i j i ij y y x x d -+-=

问怎样连接电缆,使每个节点都连通,且所用的总电缆长度为最短?

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16.求图1所示网络中s v 到t v 的最短路径及长度。

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2

v 5

t

图1 网络图 17.