第1讲平行截割定理与相似三角形
第1讲平行截割定理与相似三角形
【2013年高考会这样考】
考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用．
【复习指导】
复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可.
基础梳理
1．平行截割定理
(1)平行线等分线段定理及其推论
①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．
②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．
(2)平行截割定理及其推论
①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．
(3)三角形角平分线的性质
三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．
(4)梯形的中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
2．相似三角形
(1)相似三角形的判定
①判定定理
a．两角对应相等的两个三角形相似．
b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
c．三边对应成比例的两个三角形相似．
②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
③直角三角形相似的特殊判定
斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
(2)相似三角形的性质
相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
(3)直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．
双基自测
1．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，
C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝3
2
，则B ′C ′＝________.
解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案．
答案 32
2．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形________．
解析 由Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE .
答案 △FCD 、△FBE 、△ABD
3．(2011·西安模拟)如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．
解析 ∵M 、N 分别是AB 、BC 中点，故MN 綉1
2
AC ，
∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝MN 2AC 2＝1
4
.
答案 1∶4
4．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.
解析 ∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝DE BC ＝EF
BF .
∵BF ∶EF ＝3∶2，∴AE AC ＝EF BF ＝2
3
.∴AC ∶AE ＝3∶2.
同理DE ∥BC ，得AB ∶AD ＝3∶2，即AB AD ＝3
2
.
∴AD AB ＝23，即AD AB －AD ＝23－2＝2. 即AD
BD
＝2.∴AD ∶BD ＝2∶1. 答案 3∶2 2∶1
5．(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a
2
，
点E 、F 分别为线段AB 、AD 的中点，则EF ＝________.
解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a
2
，∴EBCD 为平行四边形，∵
CB ⊥AB ，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，故AD ＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD 、AB 的中点，
∴EF ＝12DB ＝1
2
a .
答案 a 2
考向一 平行截割定理的应用
【例1】?(2011·广州测试(二))在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分
别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝3
4
，则EF 的长为________．
[审题视点] 把梯形的两腰BA 、CD 分别延长交于一点，利用平行截割定理可求解．
解析 如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴P A PB ＝AD BC ＝2
5
，
∴P A AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴P A AE ＝149，∴P A PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝P A PE ＝1423
，又AD ＝2，∴EF ＝23
7
.
答案 237
在解题时要注意添加辅助线．
【训练1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．
解析 由????
?
DE ∥BC ，EF ∥CD ，
BC ＝3，DE ＝2?AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝2
3
，又DF ＝1，故可解得AF ＝2，∴AD ＝3，
又
AD AB ＝23，∴AB ＝92
. 答案 92
考向二
相似三角形的判定和性质的应用
【例2】?已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足． 求证：BC 2＝2CD ·AC .
[审题视点] 作AE ⊥BC ，证明△AEC 和△BDC 相似即可． 证明 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，
∴CE ＝BE ＝1
2
BC ，由BD ⊥AC ，AE ⊥BC .
又∴∠C ＝∠C ，∴△AEC ∽△BDC .
∴EC DC ＝AC BC ，∴12BC CD ＝AC
BC
， 即BC 2
＝2CD ·AC
.
判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个
题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．
【训练2】 (2011·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.
解析 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AE AC ＝DE BC ，即35＝6
BC
，所以BC ＝10.
又DF ∥AC ，所以四边形DECF 是平行四边形，故BF ＝BC －FC ＝BC －DE ＝10－6＝4.
答案 4
考向三 直角三角形射影定理的应用
【例3】?已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD ＞BD )，若CD ＝6，则AD ＝________.
[审题视点] △ACB
为直角三角形，可直接利用射影定理求解．
解析 如图，连接AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90° 设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ，
即62
＝x (13－x )，
∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD ＞BD ，∴AD ＝9. 答案
9
注意射影定理的应用条件．
【训练3】 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为________．
解析 如
图所示，在Rt△ACB中，
CD⊥AB，由射影定理得：
CD2＝AD·BD，
又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，
BD＝3x(x＞0)，
∴CD2＝6x2，∴CD＝6x.
又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.
易知△ACD与△CBD的相似比为AD
CD＝2x
6x
＝
6
3.
即相似比为6∶3.
答案6∶3
高考中几何证明选讲问题(一)
从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．
【示例1】?(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
【示例2】?(2011·广东)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形 1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． ①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽ △ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。 例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
《相似三角形的性质》教案
《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 教学目标 知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力． 情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识． 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用． 教学难点 探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题． 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等． 问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系． 二、探究归纳 回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？ 探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少． 图1
图2 问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？ 追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？ 结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′． 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 三、应用提高 例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边
相似三角形的性质 (2)教学设计
相似三角形的性质 【教学目标】 1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。 2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。 3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。 【教学重难点】 重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。 【教学过程】 一、设计龟免赛跑故事导入新课 有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？ (以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。) 二、自主探究，发现新知 1．分组猜想探究活动，完成下列实验报告单
(学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系。注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。)
猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。2．验证猜想，得出结论（小组讨论） 探究：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？两个相似多边形呢？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 ?AB BC CA k A B B C C A === '''''' ?AB=kA′B'，BC=kB'C'，CA=kC'A' ? AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++''+''+'' == ''+''+''''+''+'' 可以得到相似三角形周长的比等于相似比 类似的方法还可以得出相似多边形周长的比等于相似 延伸问题： 探究： （1）如图27．2-11（1），?ABC∽? A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比呢？ 图27．2-11（1） 分析：如图27．2-11，分别作出?ABC和? A'B'C'的高AD和A'D'。 ∵∠ADB=∠A'D'B'=900又∠B=∠B' ∴?ABD∽?A'B'D' ∴1 '''' AD AB k A D A B ==（在此得出相似三角形对应高的比等于相似比）1111111 1 2 1 2 ABC A B C BC AD S S B C A D ? ? ? = ? = ()() 1111 2 1111 1 2 1 2 kB C kA D k B C A D = ? 可以得到：相似三角形面积比等于相似比的平方 相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比吗？
平行线等分线段定理和平行截割定理
平行线等分线段定理和平行截割定理 一、三维目标： 知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理. 过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。 情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、教学重点：平行线分线段成比例定理. 教学难点：相似三角形的判定定理、性质定理等等。 三、教学方法：观察、探索、发现、概括归纳、讲练结合。 四、教学过程 （一）、图形变化的性质探究 1、教师提出问题：（1）、几何学研究的基本问题是什么？（2）、在初中数学中，我们都学习了哪几种常见的图形变化？（3）、观察课本中的图1-1、图1- 2、图1- 3、图1- 4、图1- 5、图1- 6、图1- 7、图1- 8、图1-9图、图1-10、图1-11、图1-12。想一想在这些变化过程中，哪些性质发生了变化？哪些性质保持不变？（4）、平移、旋转、反射、相似与位似的各自特点是什么？你能否给出它们的定义？ 2、请同学们阅读课本，并观察、探究、交流回答上述问题，并抽象概括一般规律。 3、巩固练习：课本P4中练习题。 （二）、平行线等分线段定理和平行截割定理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论1 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边. 推论2 经过梯形一腰中点，且与底边平行的直线平分另一腰. 2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 【定理的证明】学生自证，教师准对问题讲解，并引导学生概括归纳其证明方法。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. 3.三角形内角平分线定理：三角形的内角平行线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。 已知：如图，在ΔMNK中，OK平分∠MKN，KO交MN于点O.求证： MO KM KN ON =。 分析：因为MO,ON在同一条直线上，所以要证 MO KM=，可以考虑把折线MKN拉直。这样可
相似三角形预备定理证明
课题：相似三角形的判定（预备定理） 教学目标：1 ?掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似； 2 ?在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验 分析解决 问题的方法； 3?通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心 与原动力。 教学重点： 预备定理的证明与应用。 教学难点： 预备定理的证明。 教学方法： 启发+探究+讲授 教学手段： 常规教学用具，计算机及课件 教学过程： 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 出示情境问题： 1、 什么叫相似三角形？什么叫相似比？ 2、 如图，矩形草坪长20m 宽10m 沿草坪四 周有1m 宽的小路。小路的内外边缘所围成的 矩形相似吗？ □—''~:—:—A ?—'—>:—?—A 3、 如图两个三角形相似吗？若相似，你是若 何判 断的，相似比是多少？若不相似，也请说 明。 4、 思考：如图：在AA BC 与厶DEF 中，/ A= / D, Z B=Z E ，请问 AA BC 与△ DEF 是否相似？ 明确指出： 本节课将研究如何用相似三角形的定义判断 两三角形相似。 板书课题：相似三角形的判定 创 设 情 境 复习相似形 的有关概 思考回答问题： 念，明确否 1、2 口答 定两图形相 3题可能的方法： 似，指出一 ⑴直觉（引导有理有 个不满足的 据）； 条件即可， ⑵度量角与边，再计 而冃疋两图 算（指引这种方法简 形相似，则 单易于操作，但有时 需要所有对 会对结果的精确程度 应角相等， 质疑） 对边成比 ⑶根据格点特性计算 例。 （积极鼓励） 而随后的思 考，是为了 给学生点引 一下，预备 定理为什么 叫预备定 理，后继学
相似三角形的判定定理2
A B C A 1 B 1 C 1 A B C D O 1、 相似三角形判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，1A A ∠=∠，1111 AB AC A B AC = ，那么ABC ?∽111A B C ?． 【例1】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， 2OA =，3OB =，6OC =，4OD =． 求证：OAD ?与OBC ?是相似三角形． 相似三角形判定定理2 知识精讲
A B C D A B C D E 【例2】 如图，点D 是ABC ?的边AB 上的一点，且2AC AD AB =g ． 求证：ACD ?∽ABC ?． 【例3】 如图，在ABC ?与AED ?中， AB AC AE AD = ，BAD CAE ∠=∠． 求证：ABC ?∽AED ?． 【例4】 下列说法一定正确的是（ ） A ．有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B ．对应角相等的两个三角形不一定相似 C ．有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D ．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 【例5】 在ABC ?和DEF ?中，由下列条件不能推出ABC ?∽DEF ?的是（ ） A ．A B A C DE DF = ，B E ∠=∠ B ．AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠ C ．AB AC DE DF = ，A D ∠=∠ D ．AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠
相似三角形预备定理证明学习资料
精品文档 课题： 相似三角形的判定（预备定理） 教学目标：1 ?掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似； 2 ?在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验分析解决问题的方法； 3?通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心 与原动力。 教学重点：预备定理的证明与应用。 教学难点：预备定理的证明。 教学方法：启发+探究+讲授 教学手段：常规教学用具，计算机及课件 教学过程： 教学过程 教师活动学生活动设计意图 出示情境问题: 1、什么叫相似三角形？什么叫相似比？ 2、如图，矩形草坪长20m，宽10m，沿草坪四周有 1m宽的小路。小路的内外边缘所围成的矩形相似吗？ C 创设情境3、如图两个三角形相似吗？若相似，你是若何判断的， 相似比是多少？若不相似，也请说 4、思考：如图：在△ ABC 与厶DEF中，/ A= / D，/ B= / E，请问△ ABC 与厶DEF 是否相 似？ 复习相似形 的有关概 思考回答问题：念，明确否 1、2 口答定两图形相 3题可能的方法：似，指出一 ⑴直觉（引导有理有个不满足的 据）；条件即可， ⑵度量角与边，再计而冃疋两图 算（指引这种方法简形相似，则 单易于操作，但有时需要所有对 会对结果的精确程度应角相等， 质疑）对边成比 ⑶根据格点特性计算例。 （积极鼓励） 而随后的思 考，是为了给 学生点引一 下，预备定理 为什么叫预备 定理，后继学
D 明确指出： 本节课将研究如何用相似三角形的定义判断两三 角形相似。 板书课题：相似三角形的判定 出示特殊题组: 1、如图，在等边三角形厶ABC中，DE//BC，并交于 点D、E,那么△ ADE与厶ABC相似吗？为什么？ 口答1题; 发现证明预备疋理2、如图，在Rt△ ABC 中，/ BAC=90 ° , DE//BC，并交于点D、E,那么△ ADE与厶ABC相 似吗？为什么？ AD （提示：可设D k） AB 若将特殊三角形的条件去掉，变成一般的三角 形呢？ 3、如图，在△ ABC中，DE//BC，并交于点D、E, 那么△ ADE 与厶ABC 相似吗？为什么？ 通过计算回答；并认识 到关键是计算： DE BC 在教师的启发下思考讨 论，体会线段转移的来 龙去脉。 预案： 1 : 过D 作 DF//AC 习中的有关 判定定理都 要转化为预 备定理即以 证明，从而感 受预备定理 的学习价值。 题组中的1、 2题，让学生 从简单推理与 计算推理两个 方面认识理解 这种图形。尤 其是计算推理 中所涉及的设 未知数的方 法，应用非常 广泛。而题三 需要深入思 考，更反衬出 题3分析方法 的重要性。 通过题3的 启发引导,
相似三角形的性质 (第2课时)
相似三角形的性质（第2课时） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽， 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这个点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=1 5cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难．
例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法． 解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为． ∽∽且，． ． 学生在使用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而 ［小结］ 1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3． 2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题． 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7． 八、板书设计
八年级数学竞赛讲座平行截割附答案
第十九讲 平行截割 平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论． 利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E ”、“A ”型或“X ”型的基本图形： 例题求解 【例1】如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点， 则AP ：PQ ：QC= ． (河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题) 思路点拨 图中有形如“X ”型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例式，并把AP ，PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示． 【例2】如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ，则 FD AF FC EF 的值为 ( ) A ．21 B ．1 C ．23 D ．2 (江苏省泰州市中考题) 思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含 FC EF ，FD AF 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系． 【例3】 如图，BD 、BA ，分别是∠ADC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E 、D 为垂足．
(1)求证：四边形AEBD 为矩形； (2)若AD AE =3，F 、G 分别为AE 、AD 上的点，FG 交AB 于点H ，且3=AG AF ，求证：△AHG 是等腰三角形． (厦门市中考题) 思路点拨 对于(2)，由比例线段导出平行线，证明∠HAG=∠AHG ． 【例4】 如图，梯形AB CD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ． (1)如果P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ； (2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外)，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由． (上海市闽行区中考题) 思路点拨 对于(2)，先假设结论成立，从平行线出发证明AB=PC+PF ，即需证明 1=+AB PF AB PE ，将线段和差问题的证明转化为与比例线段有关问题的证明． 注 若题设条件无平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形． 平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在： (1)利用比例线段求线段的长度； (2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题． 【例5】如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM ×PN=PR ×PS (山东省竞赛题)
(完整版)相似三角形知识点梳理
相似三角形知识点汇总 重点、难点分析： 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点． 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 一、重要定理 （比例的有关性质）： 二、有关知识点： 1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。 3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 5.相似三角形的判定定理： 6.直角三角形相似： (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理： (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2 反比性质：c d a b = 更比性质：d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±=± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理）
相似三角形判定的基本模型 A字型X字型反A字型反8字型 母子型旋转型双垂直三垂直相似三角形判定的变化模型 C B E D A
平行截割(平行线分线段成比例定理运用)
平行截割 一、知识纵横： 平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论． 利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E ”、“A ”型或“X ”型的基本图形： 二、典型例题： 例1.如图，已知在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别 交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC= ． 思路点拨 图中有形如“X ”型的基本图形，建立含AP ，PQ ，QC 的比例式，并把AP ， PQ ，QC 用同一条线段的代数式表示． 例2.如图，已知在△ABC 中，AE ：EB=1：3，BD ：DC=2：1，AD 与CE 相交于F ， 则FD AF FC EF +的值为( ) A ．21 B ．1 C ．2 3 D ．2 思路点拨 已知条件没有平行线，需恰当作平行线，构造基本图形，产生含FC EF ，FD AF 的比例线段，并设法沟通已知比例式与未知比例式的联系． 例3.如图，BD 、BE ，分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E 、D 为垂足． (1)求证：四边形AEBD 为矩形； (2)若AD AE =3，F 、G 分别为AE 、AD 上的点，FG 交AB 于点H ，且3=AG AF ，求证：△AHG 是等腰三角形． 例4.如图，梯形AB CD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ． (1)如果P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点，求证：AB=PE+PF ； (2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外)，PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB=PE+PF 这个结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
相似三角形预备定理证明学习资料
课题：相似三角形的判定（预备定理） 教学目标：1．掌握预备定理以及用相似三角形的定义判断两三角形相似； 2．在探索相似三角形预备定理过程中，感受特殊到一般的思想方法，体验分析解决问题的方法； 3．通过思考交流与教师启发，获得探索问题的乐趣，增强数学学习的信心与原动力。 教学重点：预备定理的证明与应用。 教学难点：预备定理的证明。 教学方法：启发+探究+讲授 教学手段：常规教学用具，计算机及课件
组织学生思考： （1）△ADE与△ABC满足“对应角相等”吗？为什么？ （2）△ADE与△ABC满足对应边成比例吗？ 由“DE//BC”的条件可得到怎样的比例式？（3）本题的关键归结为“只要证明什么”？（4）根据以前的推论，如何把DE移到BC 上去，即应添怎样的辅助线？（EF//AB） 教师板演证明过程 由此得到预备定理： 定理平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似。2：过E作EF//AB 找关键字词，记忆定 理 层层递进， 突破难点， 提高学生的 分析推理思 维能力。 通过分析定 理，促进理 解。 定理应用与巩固例题选讲： 例如图，D为△ABC的A B边上的一点，过 点D作DE//AC，交BC于E，已知BE：EC=2： 1，AC=6CM，求DE的长以及 DA BD 的值。 E B C A D 在学生思考后，得出： （1）平行线既可得相似三角形，又可得线段 成比例； （2）这种判断两三角形相似的方法比起定义 方便多了，但是局限性很大： 我们能否将这个问题转化为预备定理图形加 以说明呢？ 练习： 1、如图，DG//EH//FI//BC，请找出图中所有 的相似三角形，并说明理由。 口述思路：根据平行 线得相似三角形，进 而根据相似比求DE； 根据平行线得线段成 比例求 DA BD 在教师启发下进行解 题反思 通过对例题 的分析，设 置与平行线 有关的截三 角形两边成 比例定理以 及预备定 理，注意所 得的比的差 别，落实好 重点。
相似三角形中的射影定理-精选.
相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质： （1）直角三角形的两个锐角 （2）Rt△ABC中，∠C=90o，则2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于 （4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为 （5）有一个锐角为30o的直角三角形，30o所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题） 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型： Rt△ABC中，∠C=90o，CD⊥AB于D，则 ①∽∽ ②射影定理： CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长. 2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，BC=16，求CD、AD的长。 B A
【典型例题】 例1．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。 例2．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90o，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。求证：AD 2=AB ·AF 例3．（1）已知ABC ?中，?=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高，这时CAB DEF ??和是否相似？ 【拓展练习】 1、已知：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。求证：△BEF ∽△ACF A B A B C N D C
高中数学1.1相似三角形的进一步认识1.1.1平行截割定理知识导航学案苏教版选修4-1
1.1.1 平行截割定理 自主整理 1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条（与这组平行线相交的）直线上截得的线段也____________. 2.平行截割定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段_________. 3.平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边____________. 4.三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于____________. 5.经过梯形一腰中点而平行于底边的直线_________另一腰；梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的_________. 答案：1.相等 2.成比例 3.成比例 4.夹角两边长度的比 5.平分一半 高手笔记 1.平行线等分线段定理符号语言：已知l1∥l2∥l3,直线m,n分别与l1、l2、l3交于点A、 B、C和A′、B′、C′,如果AB=BC，那么A′B′=B′C′,图形语言（如图1.1-1），注意（2）（3）（4）（5）是定理图形的变形. 图1.1-1 2.平行线等分线段定理的推论 平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.这两个推论的证明如下： 推论1：如图1.1-2（1），在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′交AC′于B′点，求证：B′是AC′的中点. 证明：如图1.1-2（2），过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点. 图1.1-2
相似三角形的性质定理
相似三角形的性质定理（2、3） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 先学后教，达标导学 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等有关知识的综合运用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］ 让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽，
同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这一点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习． （2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周 长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm， 且AB=15cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难． 例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法．解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为．∽∽且，．
平行截割定理-高中数学知识点讲解
平行截割定理 1．平行截割定理 【知识点的知识】 1、平行线等分线段定理 定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等． 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2、平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 3、相似三角形的判定 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 4、两个直角三角形相似的判定 定理： ①如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似．
②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 5、相似三角形的性质 性质定理： ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比； ③相似三角形面积的比等于相似比的平方； ④相似三角形外接圆（或内切圆）的直径比、周长比等于相似比，外接圆（或内切圆）的面积比等于相似比的平方． 6、直角三角形的射影定理 直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项．
《相似三角形的判定预备定理 》
18.5.1相似三角形的判定——预备定理 【教学目标】 知识技能：掌握用相似三角形的定义和预备定理判断两个三角形相似 过程方法：在探索相似三角形判定定理过程中，体现解决问题的方法 情感态度：在探索相似图形的性质过程中，培养学生与他人交流、合作的意识和品质． 【教学重点】预备定理的证明与应用 【教学难点】预备定理的证明 【教学过程】 一.复习引入 活动1 回顾相似三角形的定义，定义既是判定也是性质；平行线分线段成比例 出示问题：如图,DE//BC, △ADE 与△ABC 有什么关系?说明理由. 学生猜想：相似。能得到△ADE ∽△ABC 吗？ 教师活动:教师出示并提出问题，组织学生思考． （1）△ADE 与△ABC 满足“对应角相等”吗？为什么？ （2）△ADE 与△ABC 满足对应边成比例吗？由“DE ∥BC ”的条件可得到哪些线段的比相等？ （3）根据以前学习的知识如何把DE 移到BC 上去？（作辅助线DF ∥AC ） 学生活动:学生小组讨论：要证△ADE ∽△ABC 只需证∠A=∠A ，∠B=∠2，∠C=∠3←——由平行得 =AD AE DE AB AC BC ?=?? 由DE ∥BC 得相似定义 只需证出：DE AD BC AB =或DE AE BC AC = 由于DE 、BC 不在同一直线上，故可以通过做辅助线平移DE ，将DE 、BC 放在同一直线上 证明： 过D 点作DF ∥AC 交BC 于F ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ∴四边形DFCE 是□ ∴DE=CF ∵DF ∥AC ∴CF AD BC BD = ∴DE AD BC BD = ∵DE ∥BC ∴=AD AE BD AC ∵DE ∥BC ∴∠A=∠A ，∠1=∠B ，∠2=∠C ∴△ADE ∽△ABC BC DE AC AE AB AD ==∴21F E B C A D
2016-2017学年4-1 1.1.3 平行截割定理 作业
学业分层测评(三) 1.1.3 平行截割定理 (建议用时：40分钟) [学业达标] 一、选择题(每小题5分，共20分) 1.如图1-1-49，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是DC 延长线上一点，AE 分别交BD 于G ，交BC 于F .下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ；④AF CD ＝AE DE ，其中正确的个数是( ) 图1-1-49 A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ∵BC ∥AD ， ∴EC CD ＝EF AF ，AF AE ＝CD DE .故①④正确. ∵BF ∥AD ，∴FG AG ＝BG GD ，故②正确. 【答案】 C 2.已知如图1-1-50，AD ∥BE ∥CF ，EG ∥FH ，则下列等式成立的是( ) 图1-1-50 A.AD BE ＝EG HF B.BE CF ＝EG HF C.AB AC ＝EG HF D.EF DE ＝AB AC
【解析】 ∵BE ∥CF ，∴AB AC ＝DE DF ， ∵EG ∥FH ，∴DE DF ＝EG FH ， ∴AB AC ＝EG HF .故选C. 【答案】 C 3.如图1-1-51，平行四边形ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，则BC BM －AB BN 为( ) 图1-1-51 A.12 B.1 C.32 D.23 【解析】 ∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DM MN . 又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MC BM ， ∴ DM ＋MN MN ＝MC ＋BM BM . ∴DN MN ＝BC BM ， ∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MN MN ＝1. 【答案】 B 4.如图1-1-52，已知△ABC 中，AE ∶EB ＝1∶3，BD ∶DC ＝2∶1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AF FD 的值为( ) 图1-1-52
相似三角形的判定定理1
1 / 7 1、 相似三角形的定义 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形． 如图，DE 是ABC ?的中位线，那么在ADE ?与ABC ?中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠； 1 2AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作 ADE ?∽ABC ?，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分 别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”． 用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“?”后相应的位置上． 根据相似三角形的定义，可以得出： （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）． （2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 2、 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 如图，已知直线l 与ABC ?的两边AB 、AC 所在直线分别交于点D 和点E ，则ADE ?∽ABC ?． 相似三角形判定定理1 A B C D E A B C D E A B C D E D A B C E
2 / 7 A B C A 1 B 1 C 1 3、 相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ?与111A B C ?中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ?∽111A B C ?． 常见模型如下：
高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3平行截割定理学案新人教B版选修278.doc
1．1.3 平行截割定理 [对应学生用书P8] [读教材·填要点] 1．平行截割定理 (1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例． (2)符号语言表示：如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AB BC ＝ DE EF . 2．平行截割定理的推论 (1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． (2)符号语言表示： 如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AD AB ＝AE AC ＝ DE BC . [小问题·大思维] 1．在平行截割定理中，被截的两条直线m ，n 应满足什么条件？ 提示：被截取的两条直线m 、n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线 a 、 b 、 c 都相交． 2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？ 提示：仍然成立．
[对应学生用书P9] [例1] 已知：如图，l 1∥l 2∥l 3， AB BC ＝m n . 求证：DE DF ＝ m m ＋n . [思路点拨] 本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得DE EF ＝AB BC ，然后利用比例的有关性质求出DE DF 即可． [精解详析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ＝m n . ∴EF DE ＝n m ，EF ＋DE DE ＝n ＋m m ， 即DF DE ＝ m ＋n m ，∴DE DF ＝m m ＋n . 解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有： (1)比例的基本性质： a b ＝c d (bd ≠0)?ad ＝bc ； a b ＝b c (bc ≠0)?b 2 ＝ac ； a b ＝c d (abcd ≠0)?b a ＝d c . (2)合分比性质：如果a b ＝c d ，那么 a ± b b ＝ c ±d d .
相似三角形的判定定理
24.4（1）相似三角形的判定 教学目标 1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用 “∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式； 2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1； 3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长. 4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l. 一、复习 1．什么叫做全等三角形？它在形状上、大小上有何特征？ 2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？ 3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形） 本节学习相似三角形的定义及相关判定定理. 二、学习新课 相似三角形的概念： 我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形. 相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一. [说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例． 相似比的概念 ：相似三角形对应边的比k ，叫做相似比（或相似系数）． [说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性． ②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形． 注：在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比. 如图，111,ABC A B C ??是相似三角形，则111,ABC A B C ??相似可记作ABC ?∽111A B C ?.由于 111 2 AB A B =，则ABC ?与111A B C ?的相似比111 2 AB k A B = =，则111A B C ?与ABC ?的相似比,112A B k AB == . C 1 B 1 A 1 C B A