2006考研数一真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 0ln(1)

lim

1cos x x x x

→+=-.

(2) 微分方程(1)

y x y x

-'=的通解是 .

(3) 设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑

++-=??

.

(4) 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d = .

(5) 设矩阵2112A ??

= ?-??

，

E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . (6)设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则

{}

max{,}1P X Y ≤= .

二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x > ，则( ) (A)0.dx y << (B)0.y dy << (C)0.y dy <<

(D)0.dy y <<

(8) 设(,)f x y 为连续函数，则

1

40

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ?

?等于( )

(A)

(,).x

f x y dy ??

(B)

(,).f x y dy ??

(C)

(,).y

f x y dx ?

?

(D)

(,).f x y dx ?

?

(9) 若级数

1n

n a

∞

=∑收敛，则级数( )

(A)

1

n

n a

∞

=∑收敛. (B)

1

(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

11

n n n a a

∞

+=∑收敛.

(D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑

收敛. (10) 设(,)f x y 与(,)x y ?均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是( ) (A)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.

(11) 设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关. (B)若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关.

(C)若12,,,s a a a 线性无关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关.

(D)若12,,,s a a a 线性无关，12,,,s Aa Aa Aa 线性无关.

(12) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列

得C ，记110010001P ??

?

= ? ???

，则( )

(A)1

.C P AP -= (B)1

.C PAP -=

(C).T C P AP =

(D).T

C PAP =

(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A)()().P A B P A ?> (B)()().P A B P B ?>

(C)()().P A B P A ?=

(D)()().P A B P B ?=

(14) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布2

22(,)N μσ，且

12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则必有( )

(A)1 2.σσ< (B)1 2.σσ>

(C)1 2.μμ<

(D)1 2.μμ>

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设区域(){}

2

2,1,0D x y x

y x =

+≤≥,计算二重积分22

11D

xy

I dxdy x y +=++??

.

(16)(本题满分12分)

设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . (I)证明lim n n x →∞

存在,并求该极限 ；

(II)计算1

1lim n x n n n x x +→∞

?? ???

.

(17)(本题满分12分)

将函数()2

2x

f x x x

=

+-展开成x 的幂级数 .

(18)(本题满分12分)

设函数()f u 在()0,+∞内具有二阶导数，

且z f

=满足等式22220z z

x y

??+=??

(I) 验证()()

0f u f u u

'''+

=. (II) 若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.

(19)(本题满分12分)

设在上半平面(){},0D x y y =>内,函数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都

有()()2

,,f tx ty t

f x y -=.

证明: 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有 ()(),,0L

yf x y dx xf x y dy -=?

(20)(本题满分9分)

已知非齐次线性方程组1234123412

341435131

x x x x x x x x ax x x bx +++=-??

++-=-??+++=?有3个线性无关的解

(I) 证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; (II) 求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T

T

αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.

(I) 求A 的特征值与特征向量

(II) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得T Q AQ =Λ.

(22)(本题满分9分)

随机变量x 的概率密度为 ()1,1021

,

0240,X x f x x ?-<

其他

()2,,y X F x y =令为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.求

(I) Y 的概率密度()Y f y ; (II) 1,42F ??

- ???

.

(23)(本题满分9分)

设总体X 的概率密度为()(),

01,01,12010,x f x x θθθθ<

=-≤<<

其中是未知参数其它.

12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ

的最大似然估计.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题 (1)【答案】2.

【详解】由等价无穷小替换，0x →时，2

1ln(1),1cos 2

x x x x +-

， 2002

ln(1)lim lim 11cos 2

x x x x x x x →→+=-=2 (2)【答案】x

Cxe

-.

【详解】分离变量，

(1)dy y x dx x -=?(1)dy x dx y x -=?1(1)dy dx y x =-?1dy dx dx y x

=-??? ?ln ln y x x c =-+ ?ln ln y

x x c

e

e

-+= ?

x

y Cxe

-=

(3)【答案】2π

【详解】补一个曲面221

:1

x y z ?+≤∑?=?1,取上侧，则1∑+∑组成的封闭立体Ω满足高斯公式，

1(

)P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy I x y z Ω

∑+∑

???++=++=???????? 设 ,2,3(1)P x Q y R z ===-，则1236P Q R

x y z

???++=++=??? ∴I =

6dxdydz Ω

???(Ω为锥面∑和平面1

∑所围区域)6V =(V 为上述圆锥体体积)

注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V 方法1：I 623

π

π=?

=(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便) 而 1

23(1)0xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=??( 在1∑上：1,0z dz ==)

方法2：先二重积分，后定积分.

因为1

V Sdz =?

，r =

222r x y =+，22r z =，22S r z ππ==，

所以1

1

2200

11

33V z dz z πππ===? .从而6623I V ππ==?=

方法3：利用球面坐标. 1z =在球坐标下为：1

cos ρθ

=

， 122

4cos 0

6sin I d d d π

π

?θ?ρ?ρ=???

243

2sin cos d d π

π

?

θ??

=??

2430

cos (2)cos d d ππ

?θ?=-??

4

22

00

1(2)()cos 2d ππθ?-=--?20

2d π

θπ==?

方法4：利用柱面坐标 .

2110

6r

I d dr rdz πθ=???21

6(1)d r rdr πθ=-??

1

2230

11

6()23d r r π

θ=-?

202d πθπ==?

(4)

【详解】代入点 000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离公式

d =

=

=

(5)【答案】 2

【详解】由已知条件2BA B E =+变形得，2BA E B -=?()2B A E E -=, 两边取行列式, 得

()244B A E E E -=== 其中，2110112120111A E ????

-=-==?

???

--????， 222E 4E == 因此，24

22

E B A E

===-.

(6)【答案】19

【详解】根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立，则

{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =

事件{}{}{}{}max{,}11,111X Y X Y X Y ≤=≤≤=≤≤ ，而随机变量X 与Y 均服从区间[0,3]上的均匀分布，有{}1

011133P X dx ≤==?和{}1011

133P Y dy ≤==?. 又随机变量X 与Y 相互独立，所以，

{}{}{}{}max(,)11,111P x y P x Y P x P Y ≤=≤≤=≤?≤1133=?1

9

=

二、选择题. (7)【答案】A 【详解】

方法1： 图示法.

因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''> 则()f x 是凹函数，又

0x > ，画2()f x

=

结合图形分析，就可以明显得出结论：0dy y << . 方法2：用两次拉格朗日中值定理

000()()()y dy f x x f x f x x '-=+-- (前两项用拉氏定理)

0()()f x f x x ξ''=- (再用一次拉氏定理)

0()()f x x ηξ=-'' , 其中000,x x x x ξηξ<<+<<

由于()0f x ''>，从而0y dy -> . 又由于0()0dy f x x '=> ，故选[]A 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：

000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!

n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+ ， 其中(1)

00()

()(1)!

n n

n f

x R x x n +=

-+. 此时n 取1代入，可得

20001

()()()()()02

y dy f x x f x f x x f x ξ'''?-=+?--?=

?> 又由0()0dy f x x '=?>，选()A .

(8)【答案】()C

【详解】记

1

40

(cos ,sin )(,)D

d f r r rdr f x y dxdy π

θθθ=?

???，则区域D 的极坐标表示是：

01r ≤≤ ，04

π

θ≤≤

. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形

可以看出，直角坐标的积分范围(注意 y x = 与 221x y +=

在第一象限的交点是

)，于是

:0D y y x ≤≤≤≤

所以，原式0

(,)y

dy f x y dx =

. 因此选 ()C

(9) 【答案】D 【详解】

方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛

因为

1

n n a ∞=∑收敛，所以11

n n a ∞+=∑也收敛，所以11

()n n n a a ∞

+=+∑收敛，从而1

1

2n n n a a ∞

+=+∑

也收敛.选D. 方法2：记

n

n a =1

n n a ∞=∑收敛.

但11n n n a ∞∞

===∑(p 级数，12p =级数发散)；

1

11

n n n n a a ∞∞

+===∑(p 级数，1p =级数发散)均发散。由排除法可知，应选D.

(10) 【答案】D 【详解】

方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。

已知00(,)0x y ?=，由(,)0x y ?=，在00,)x y （邻域，可确定隐函数()y y x =，

满足00()y x y =，

dy x

y

dx

????=-

??。

00,)x y （是(,)f x y 在条件(,)0x y ?=下

的一个极值点0x x ?=是 (,())z f x y x =的极值点。它的必要条件是

0000(,)(,)x x x x f x y f x y dz dy dx

x

y

dx

==??=

+

??0

00000000(,)

0(,)(,)(,)

x y

x x x y x y x y f x y f x y ??='=-='''

若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=，或00(,)0x

x y ?'=，因此不选()A ，()B . 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠(否则

0x x dz dx

=≠). 因此选()D

方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλ?=+，有

(,)(,)0(1)(,)(,)0

(2)(,)0x x x

y y y F f x y x y F f x y x y F x y λ

λ?λ??'''=+=??

'''=+=??''==? 因为00(,)0y x y ?'≠，所以0000

(,)

(,)y y f x y x y λ?'=-

'，代入(1)得

00000000(,)(,)(,)(,)

y x

x y f x y x y f x y x y ??'''=-

'

若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠，选()D

(11)【答案】A 【详解】

方法1：若12,,,s ααα 线性相关, 则由线性相关定义存在不全为0的数12s ,,,k k k 使得

11220s s k k k ααα+++=

为了得到12,,,s A A A ααα 的形式，用A 左乘等式两边, 得

11220s s k A k A k A ααα+++= ①

于是存在不全为0的数12s ,,,k k k 使得①成立，所以12,,,s A A A ααα 线性相关. 方法2：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:

1.

12,,,s ααα 线性相关?12(,,,)s r s ααα< ；2. ()()r AB r B <.

矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα= , 设12s B (,,,)ααα= ， 则由

()()r AB r B <得1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤< . 所以答案应该为(A ).

(12) 【答案】B

【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出

将A 的第2行加到第1行得B ，即 1100

1000

1B A ??

?= ? ??

?

记 PA 将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，即110010001C B -?? ?

= ? ???

记 BQ

因为PQ =110010001?? ? ? ???110010001-?? ? ? ???

E =，故1Q P E -=1

P -=.

从而11C BQ BP PAP --=== ,故选(B ).

(13)【答案】C

【详解】本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式

根据条件概率的定义，当()0P B >时，{}

{}

{}

1P AB P A B P B =

=得{}{}P AB P B =

根据加法公式有{}{}{}{}{}P A B P A P B P AB P A =+-= ,故选(C)

(14) 【答案】A.

【详解】由于X 与Y 的分布不同，不能直接判断1{||1}P X μ-<和2{||1}P Y μ-<的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。

随机变量标准化，有

1

1

X μσ-~(0,1)N ，且其概率密度函数是偶函数. 所以

11111(1)(

)X P X P μμσσ--<=<11111111

202[()(0)]2()1X P μσσσσ??-=<<=Φ-Φ=Φ-???

?. 同理有，22

1

(1)2(

)1P Y μσ-<=Φ-

因为()x Φ是单调递增函数，当12{||1}{||1}P X P Y μμ-<>-<时，

1

1

2(

)1σΦ->2

1

2(

)1σΦ-，即

1

2

1

1

σσ>

，所以12σσ<，故选(A).

三、解答题

(15)【详解】积分区域对称于x 轴，

22

1xy

y x y ++为y 的奇函数，

从而知

2201D

xy

dxdy x y =++?? 所以 1

21

202

2

202

1

ln(1)ln 21122

D

r I dxdy d dr r x

y

r π

πππθ-=

=+=+++????极坐标

(16)【详解】(I) 由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=≤,说明数列{}n x 单调减少且0n x >. 由单调有界准则知lim n n x →∞

存在.记为A .

递推公式两边取极限得sin ,0A A A =∴=

(II) 原式2

1

sin lim(

)n

x

n n n

x x →∞

=，为“1∞”型.

因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑21

0sin lim()t t t t

→

2

1

0sin lim()t t t t

→201

sin lim ln()t t

t

t e →=2

011(cos sin )

lim

sin 2t t t t t t t t

e

→-=

3

cos sin lim

2t t t t

t

e →-=2

0cos sin cos sin lim

lim

66t t t t t t

t t

t

e e

→→---==16

e -=

所以 2

22

1

11

10

16

sin sin lim(

)lim(

)lim(

)n

n

x

x

n n x n n x n

n

x x x x x x

e

+→∞

→∞

→-

===

(17)【详解】用分解法转化为求1

1ax

+的展开式，而这是已知的. 由于 2

1111121)(2)312x x x x x x ??==+ ?+-+-+-??（1111

31612

x x =?+?+- 0011(1)362

n n n

n n n x x ∞∞===-+∑∑ (1)

x <

因此 ()11011()132n

n n n f x x ∞++=??=-+????

∑ (1)x <.

(18)【详解】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了

z

z

f f x

y

??''==??

(

)

2

2

2

22

z

x

f f x x y x

y

?'''=+?++

(

)

()

2

2

32

22

2

2x y f f x y x y ''

'=+++

同理

(

)

()

22

2

32

2

22

22z

y x f f y

x y x y ?'''=+?++

代入22220z z

x y

??+=??，得

0f ''

=，

所以 ()

()0f u f u u

'''+

= 成立. (II) 令()f u p '=于是上述方程成为

dp p du u =-，则dp du c p u =-+??， 即 l n l n p u c

=-+，所以 ()c

f u p u

'== 因为 (1)1f '=，所以 1c =，得 2()ln f u u c =+ 又因为 (1)0f =，所以 20c =，得 ()ln f u u =

(19)【详解】

方法1：把2(,)(,)f tx ty t f x y -=两边对t 求导，得：3(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty t f x y -''+=-

令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-； 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-，

所以

(,)(,)x Q f x y x f x

y x ?'=--?，(,)(,)y P

f x y yf x y y

?'=+? 得

Q P x y

??=??，所以由格林公式知结论成立. 方法2： D 是单连通区域，对于D 内的任意分段光滑简单闭曲线L ，Γ为D 内的一曲线

(,)(,)0L

yf x y dx xf x y dy -=?

(,)(,)yf x y dx xf x y dy Γ

?-?在D 内与路径无关

?

((,))((,))xf x y yf x y x x

??

-=?? ((,))x y D ∈ ?(,)(,)2(,)0x xf x y yf x y f x y ''++= ((,))x y D ∈

同方法1，由2

(,)(,)f tx ty t f x y -= 可证得上式.

因此结论成立.

(20)【详解】(I)系数矩阵1111435113A a b ????=-??????

未知量的个数为4n =，且又AX b =有三个线性无关解，设123,,ααα是方程组的3个线性无关的解, 则2131,αααα--是0AX =的两个线性无关的解. 因为2131,αααα--线性无关又是齐次方程的解，于是0AX =的基础解系中解的个数不少于2, 得4()2r A -≥, 从而()2r A ≤.

又因为A 的行向量是两两线性无关的, 所以()2r A ≥. 所以()2r A =. (II)对方程组的增广矩阵作初等行变换:

[]A b = [][]()[][]()

2143

11111|11111|14351|10115|313|1013|1a a b a a b a a +?-+?---????????--→--????

????---+????

[][]()

321a +?-→

11

11|10115|3,004245|42a a b a -????--??

??-+--??

由()2r A =, 得420

450

a a

b -=??

+-=?， 即2,a = 3b =-.

所以[]A b 作初等行变换后化为；1024|20115|30000|0-????---??????

， 它的同解方程组 134

2

3422435x x x x x x =-+??

=-+-? ①

①中令3400x ,x ==求出AX b =的一个特解(2,3,0,0)T

-；

0AX =的同解方程组是134

234

245x x x x x x =-+??=-? ②

取3410x ,x ,==代入②得(2,1,1,0)T

-；取3401x ,x ,== 代入②得(4,5,0,1)T

-. 所以

0AX =的基础解系为(2,1,1,0)T -，(4,5,0,1)T -

所以方程组AX b =的通解为：

12(2,3,0,0)(2,1,1,0)(4,5,0,1)T T T c c -+-+-，12,c c 为任意常数

(21)【详解】(I) 由题设条件1100A αα==，2200A αα==，故12,αα是A 的对应于0λ=的特征向量，又因为12,αα线性无关，故0λ=至少是A 的二重特征值. 又因为A 的每行元

素之和为3，所以有(1,1,1)(3,3,3)3(1,1,1

T

T T

A ==

，由特征值、特征向量的定义，0(1,1,1)T α=是A 的特征向量, 特征值为33λ=，3λ只能是单根，3030k ,k α≠是全体特征

向量，从而知0λ=是二重特征值.

于是A 的特征值为3,0,0；属于3的特征向量: 3330k ,k α≠；属于0的特征向量:

1122k k αα+，12,k k 不都为0.

(Ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 .

先将0α单位化, 得0T

η=.

对12,αα作施密特正交化, 得1(0, 22

T

η=-

, 2( )T η=. 作123(,,)Q ηηη=, 则Q 是正交矩阵,并且-1

3 0 00 0 00 0 0T Q AQ Q AQ ?? ?== ? ???

(22)【详解】()()Y Y f y F y '=, 由于()X f x 是分段函数，所以在计算{}

2

P X y ≤时，要相应

分段讨论. 求1(,4)2F -

211

(,4)(,4),22

P X Y P X X =≤-≤=≤-≤只是与X 有关，不必先求出(,)F x y 的函数.

(I) 因为{}{}

2

()Y F y P Y y P X y =≤=≤，当0y <时，()0;Y F y =

当01y ≤<时，0

0()(4Y F y P X dx =≤≤=+=?

当14y ≤<时，01011()(242Y F y P X dx dx -=≤≤=+=?

当4y ≥时，()1;Y F y = 综上所述，有

{}{

}20, 0 01()11421, 4Y y y F y P Y y P X y y y

由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，

01()()140,Y Y y f y F y y <

其他

这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，属于基本题型.

(Ⅱ) 由协方差的计算公式232cov(,)cov(,)()()()X Y X X E X E X E X ==-? 需要计算(E X ），2()E X ，3()E X .

2-101

()244X x x E X xf x dx dx dx +∞

-∞

==+=?

?

?（）； 22

22

2

--105

()246

X x x E X x f x dx dx dx +∞

∞

==+=???（）；

33

23

3

--107

()248X x x E X x f x dx dx dx +∞

∞

==+=?

??（）.

故232

cov(,)cov(,)(((X Y X X E X E X X ==-）））

7152

.8463

=-?= (III) 根据二维随机变量的定义{}(,),F a b P X a Y b =≤≤，有

21111(,4)(,4),422222F P X Y P X X P X ???

?-=≤-≤=≤-≤=-≤≤-???????

?

由一维概率计算公式{}()b

X a

P a X b f x dx ≤≤=?

有，)4,21(-F 1

2111

24

dx --==?.

(23)【答案】θ的矩估计32X θ∧

=-；θ的最大似然估计.N

n

θ∧=

【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只

需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于

找出总体的矩()E X .

最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数. 样本值中i x 小于1的概率是θ，i x 大于1的概率是()1θ-. 因此，似然函数应为：

()1

();(1).n

N n N i i L f x θθθθ-===-∏

(I) 由数学期望的定义：

1201()(;)(1-)E X xf x dx xdx xdx θθθ+∞

-∞

==+?

??133

(1)222

θθθ=+-=-

样本均值 1

1n

i i X X n ==∑

用样本均值估计期望有 EX X = 即

32X θ-=，解得3

2

X θ=-. 所以参数θ的矩估计为32X θ∧

=-. 其中1

1n

i i X X n ==∑.

(Ⅱ) 对样本n x x x ,,21按照1<或者1≥进行分类，不妨设：12,,p p pN x x x 1<，

12,,pN pN pn x x x ++ 1≥. 似然函数

1212(1),,1,,,1

()0,

N n N p p pN pN pN pn x x x x x x L θθθ-++?-<≥=?

? ，其他， 在12,,1p p pN x x x < ，12,,1pN pN pn x x x ++≥ 时，等式两边同取自然对数得

)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，

由于ln ()L θ和()L θ在θ的同一点取得最大值，所以令

01)(ln =---=θ

θθθN

n N d L d ，

解得N n θ=，所以θ的最大似然估计值为N

n

θ∧=.