第4章 一元一次方程式

第4章 一元一次方程式

4－1 代表数的符号

◆重点整理

a 、

b 、

c 、……、x 、y 、z 等

来代表未知数，以方便描述问题或求解。

(1) 在算式中，数字和英文字母之间的乘号「×」常改写成「?」，或省略不写

（但数字要放在前面）。

注意 ○1 数字和数字之间的乘号「×」也可改写成「?」，但不可省略不写。

部編

○2 加号「＋」及减号「－」是不可省略的。

(2) 1×x 可省略乘号改写成1x ，但因1和任何数的乘积就是该数本身，所以我

们通常将1x 简记成x 。

(3) 文字除以数字，可以改写成乘以该数字的倒数，例如x ÷5＝x ×51＝5x 。

(4) 当文字在分数的分子时，也可以将文字移到整个分数之后，例如

32x ＝3

2x 。

x ＝5时，3x －8代表的数为7，

即3x －8的值为7，或3x －8＝7。

部編

◆课本基础题

一、选择题

（ C ） 1. 算式x ×（－10）－2能记成下列哪一个结果？

(A)－12x (B)－8x (C)－10x －2 (D) 20x 。

（ C ） 2. x ÷（－

4

3

）能记成下面哪一个结果？ (A) x －

43 (B)－4

3

x (C)－34x (D) x －34。

（ C ） 3. 琳琳今年x 岁，3年前是多少岁？

(A) 3x 岁 (B) x ＋3岁 (C) x －3岁 (D)－3x 岁。

（ A ） 4. 游戏卡若干张，分给x 个学生，每人3张，还剩下8张，则游戏卡共

有几张？

(A) 3x ＋8 (B) 3（x －8） (C)

38+x (D)3

8

-x 。 （ D ） 5. 设x ＝4，则下列各算式所代表的数何者最大？ (A) 3x (B) 3x ＋3 (C) 4x －2 (D) 4x 。

二、填充题

1. 装满水的杯子重x 公克，若杯子重200公克，则水的重量是 x －200 公克。

（以x 表示）

2. 已知今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍多1岁。若儿子今年a 岁，则父亲今

年 3a ＋1 岁。（以a 表示） 3. 求下列各算式的值：

(1)当x ＝5时，－2x ＋9＝ －1 ； (2)当a ＝－3时，8a －6＝ －30 ； (3)当y ＝－4时，2y －15＝ －23 。

4. 50年代，一块钱可以买到6颗彩色的玻璃珠，当时 翰翰拿x 元去买，那么总

共可买到玻璃珠 6x 颗（以x 表示）；如果x ＝4，那么总共可买到玻璃珠 24 颗。

5. 袁太 13岁，妹妹 袁茵 x 岁，5年后，两兄妹共 x ＋23 岁（以含x 的算式

表示，并化简）；如果x ＝8，那么两兄妹共 31 岁。

三、综合题

1. 芒果一斤的价格为x元，此时葡萄一斤的价格为芒果的3倍少10元，则：

(1) 葡萄一斤的价格是多少元？（以含x的算式表示）

(2) 若x＝30，则葡萄一斤的价格是多少元？

解

(1) （3x－10）元

(2) 80元

2. 请在下表的空格中，填入各算式所代表的数。

◆延伸进阶题

一、选择题

（ D ） 1. 下列四个叙述，哪一个是正确的？

(A) 3x 表示3＋x (B) x 2表示x ＋x

(C) x ×2表示x 2

(D) 3x ＋5表示x ×3＋5。

（ A ） 2. 翰翰以8折优待的价钱，买了一件定价x 元的POLO 杉，那么 翰翰买到的价钱是多少元？

(A) x ×10080 (B) x ÷10080 (C) x ＋10080 (D) x －100

80

。

（ C ） 3. 琳琳 3年前x 岁，则3年后是多少岁？

(A) x 岁 (B) x ＋3岁 (C) x ＋6岁 (D) 3（x ＋3）岁。

（ B ） 4. 若x ＝3

1

时，则下列哪一个算式的值最小？

(A) x －1 (B)－3x (C)－x ＋1 (D)2

1

x ＋1。

（ C ） 5. 已知父亲的体重比儿子体重的3倍少2公斤。若父亲的体重为x 公斤，

则儿子的体重是多少公斤？

(A) 3x －2公斤 (B) 3（x －2）公斤 (C)

32+x 公斤 (D)3

2

-x 公斤。 二、填充题

1. 一般正常成年人一天所需的热量约a 大卡，某天 翰翰早餐吃了一个汉堡和一

杯奶茶共约450大卡，中午吃一个鸡腿便当大约800大卡，若早午餐的热量尚不足a 大卡，则 翰翰晚餐大约再吸取 a －1250 大卡的热量就足够了。 （以含a 的算式表示，并化简）

2. 琳琳有5元的硬币x 个，10元的硬币6个，则 琳琳一共有 5x ＋60 元。 （以含x 的算式表示）。

3. 自动铅笔一把x 元，若自动铅笔一枝的价钱是一把美工刀的2倍多1元，则一

把美工刀1

2x -元。（以含x 的算式表示）

4. 琳琳有5元和10元的硬币共值400元，

已知5元的硬币有x 个，则10元的硬币有

400510

x

-个（以含x ；如果x ＝23，则这个问题可不可能成立？ 不可能（填「可能」或「不可能」

）。

5. 把42分成甲、乙二数，设甲数为x ，则：

(1) 乙数为 42－x 。（以含x 的算式表示） (2) 甲数的51与乙数的31

的差是4253

x x

--。（以含x 的算式表示， 不必化簡）

三、综合题

1. 将一篓橘子分给x 位学生，每人分4个则不足20个，则

(1) 橘子总数是多少个？（以含x 的算式表示） (2) 若x ＝31，则橘子总数是多少个？ 解

(1)（4x －20）个 (2) 104个

2. 请在下表的空格中，填入各算式所代表的数。（化为最简分数）

◆资优挑战题

1. 已知 三叔公的年龄比 阿青嫂年龄的2倍还多5岁，而 阿青嫂的年龄是 暴牙妹年

龄的3倍少2岁，试回答下列问题：

(1) 若 阿青嫂的年龄为x 岁，则 三叔公的年龄为多少岁？（以x 表示） (2) 承(1)， 暴牙妹的年龄为多少岁？（以x 表示）

(3) 若 阿青嫂的年龄为37岁，则 三叔公和 暴牙妹的年龄共多少岁？ (4) 若 三叔公的年龄为91岁，则 暴牙妹的年龄为多少岁？ 解

(1)（2x ＋5）岁

(2)23x +岁

(3) 92岁 (4) 15岁

2. 三年八班共有男、女同学共35人，在某次数学考试中，男同学15人的平均

分数是m 分，女同学20人的平均分数是f 分，试回答下列问题： (1) 全班的总分为多少分？ (2) 全班的平均分数为多少分？

(3) 若m ＝88、f ＝84.5，求全班的总分与平均分数各为多少分？ 解

(1)总分为（15m ＋20f ）分

(2)平均分数为152035

m f

+分

(3)总分为3010分；平均分数为86分 3. 图(一)的正方形内有9个数字，数字的总和 为y ，求图(二)中五个正方形内所有数字的 总和为何？94第一次基測

解 5y

图(一)

图(二)

4－2 式子的运算

◆重点整理

若一个式子只含有一种代表数的文字符号(一元)，且该文字符号

的次方是一次，我们称为一元一次式

。

注意

须先将有「－」号的地方记成「＋（－）」，例如3－2x 记成3＋（－2

x

）。

注意 ○1 同一类的项亦称同类项。

○2 利用分配律、加法交换律和加法结合律，可将同一类的项合并在一起。

○3 将同一类的项合并在一起，称作并项。

部編

(1) 式子相加减：将同一类的项各自相加减。

(2) 式子乘（除）以数字：将式子中的文字符号和数字分别乘（除）以数字，

或将除以数字改为乘上其倒数，也可利用乘法交换律和乘法结合律来做化简。

(3) 去括号运算：一算式中，有加、减、乘、除四则运算时，应先作乘、除，

再作加、减运算，有括号时，按去括号的顺序（）、〔〕、｛｝

作运算，再合并相同文字符号，即可解得。

鈍角三角形可分割成7個銳角三角形 正方形可分割成個銳角三角形

想想看，還有其他分割方法嗎？

幾何圖形分割成銳角三角形

趣味數學

◆课本基础题

一、选择题

（ C ） 1. 化简5a －a ，可得到下面哪一个结果？

(A) 5a (B) 5 (C) 4a (D) 4。

（ D ） 2. 化简2（3x －1）－（x ＋3），可得到下面哪一个结果？

(A) 6x ＋2 (B) 6x －5 (C) 5x ＋2 (D) 5x －5。

（ D ） 3. 下列各选项的化简，何者正确？

(A)－（x －2）＝－x －2 (B) 4（3x －1）＝12x －1 (C)－2（－3x ＋4）＝6x ＋8 (D)－3（2x －1）＝－6x ＋3。

（ B ） 4. 化简

2

3

x ＋32x 得下列那一个选项？

(A)6

5x (B)613

x (C) x (D) 13x 。

（ D ） 5. 化简

352-x －2

4-x ，可得到下面哪一个结果？ (A) x －22 (B) x ＋2 (C)

622-x (D)6

2

+x 。 二、填充题 1. 化简下列各式：

(1) 5（4x ＋2）＝ 20x ＋10 ； (2) （8a －6）÷2＝ 4a －3 ；

(3) （2y －15）－（5y ＋2）＝ －3y －17 。 2. 化简－3（2a ＋4）－4（－3a －1）＝ 6a －8 。 3. 化简（－x －1）＋2（8x ＋4）＝ 15x ＋7 。 4. 化简（－8x ＋6）÷2－2（4x ＋5）＝ －12x －7 。 5. 化简6（2x －3）－2（4x －5）＝ 4x －8 。

三、综合题 1. 化简下列各式：

(1)－5x －（－4x ） (2) 9x ÷（－6） (3) 8x ×（－23） (4) 7x ÷（－4

3） 解 (1)－x (2)－

32

x (3)－12x (4)－

283

x

2. 化简下列各式：

(1)（2x －3）－（5x －3） (2) 3（2x －4）＋2（－3x ＋5） (3)（－8x ＋3）÷（－4） (4)（－3x ＋1）－2（6x －4） 解 (1)－3x (2)－2 (3)

83

4

x (4)－15x ＋9

◆延伸进阶题

一、选择题

（ D ） 1.

(A) 3x ×31＝x (B) 6x ÷（－32

）＝－9x

(C)

21x +31x =65x (D)（－4x ）÷（－23）＝8

3x 。 （ B ） 2. 化简（2x －3）－2〔（x －3）－2（4－2x ）〕＝？

(A)－4x ＋5 (B)－8x ＋19 (C)－4x －25 (D) 8x －14。

（ D ） 3. 整理

21（x +3）+5

1

（x －6）+ 1，可得到下面哪一个结果？ (A) 7x ＋4 (B)

1047+x (C) 7x ＋13 (D)10

13

7+x 。 （ A ） 4. 化简2（3x －1）－3（x ＋2）之后，可得到下列哪一个结果？

(A) 3x －8 (B) 3x ＋4 (C) 3x ＋5 (D) 9x ＋4。

（ C ） 5. 下列何者正确？

(A) 5

41x ＝5＋4

1

x (B) 2x ＝x ×x (C) x ＋x ＋x ＝3x (D) 3（x ＋1）＝3x ＋1。

二、填充题

1. 化简2（－x ＋5）＋3（3x －2）－4（4x ＋1）＝ －9x 。

2. 化简8a －3－{－5＋4〔3a －（6a －4）〕}＝ 20a －14 。

3. 已知一枝原子笔比一枝铅笔贵7元，若原子笔一枝x 元， 琳琳买了3枝铅笔和

2枝原子笔一共要付 5x －21 元。（以含x 的算式表示，并化简） 4. 化简

434-x －332+x ＝421

12

x -。

5. 化简

31（2x －3）－41（2x －3）－61

（－4x －1）＝101

12

x -。

三、综合题 1. 化简

21（3x －2）－3

1

（2x ＋4） 解 514

6

x - 2. 化简

2

1-x ＋32

+x －43-x

解

711

12

x +

◆资优挑战题

1. 设A ＝3x ＋7，B ＝x ＋5，C ＝－2x －3，请以x 表示下列各式，并化简其结果：

(1) A ＋B －2C (2) 2A －（3B ＋4C ） (3) 3A －2B

＋4

C 解 (1) 8x ＋18 (2) 11x ＋11 (3)－

11

12

2. 如右图，甲、乙、丙、丁四个三角形恰可拼成

一个长方形，试回答下列问题：

(1) 甲三角形的面积为多少？（请以x 表示） (2) 当x ＝8时，甲三角形的面积为多少？ 解

(1)（5x ＋6）平方单位 (2) 46平方单位

3. 右图为一只固执的小螃蟹在沙滩上行经的

路径，从A 点出发，最后停在F 点，牠每次直走一段距离之后便会向左或向右转一个直角，且转向后行走的直线距离必是转向前行走直线距离的2倍少4公分，若A 点到B 点的距离为x 公分，求E 点到F 点的距离为多少公分？ 解

（16x －60）公分

3

x A B

C

D

E

F

4－3解一元一次方程式

◆重点整理

，且未知数的次方是一次的等式，

称为一元一次方程式。

我们称这个数为方程式的解或方程式的根。

数（除数不为0），等号仍然成立。

即：a、b、c为任意三数，若a＝b，则

(1) a＋c＝b＋c

(2) a－c＝b－c

(3) a×c＝b×c

(4) a÷c＝b÷c（此时c不可为0）

注意反之，当○1a＋c＝b＋c

或○2a－c＝b－c

或○3a×c＝b×c（此时c不可为0）

或○4a÷c＝b÷c（此时c不可为0）

则可推得a＝b的结论。

0」、「乘除成为1」的步骤，看起来就好像在等号的左右移动某一项，但要变号，「＋」

会变成「－」、「－」会变成「＋」、「×」会变成「÷」、「÷」

会变成「×」。

(1) 移项：运用移项法则，将含有未知数的项移到等号的同一边；将不含未知

数的项移到等号的另一边。

(2) 化简：化简等号两边的式子。

(3) 求解：运用等量公理，将等号两边同乘以或同除以一数，求出方程式的解。

(4) 验算。

◆课本基础题

一、选择题

（ D ） 1. 下列运算何者正确？

(A)若x ＋5＝4，则x ＝4＋5 (B)若x －5＝4，则x ＝5－4 (C)若3x ＝5，则x ＝

53 (D)若3

1

x ＝5，则x ＝5×3。 （ C ） 2. 请问下列哪一个选项是方程式36＋

7

1

x ＝4的解法？ (A) x ＝（36－4）×7 (B) x ＝36－4×7 (C) x ＝（4－36）×7

(D) x ＝4－36×7。

（ D ） 3. 下列哪一个方程式的解与方程式x ＋3＝7的解相同？

(A) x ＝4x (B) 3x －1＝5x (C) 3－x ＝7

(D) 2x －1＝x ＋3。

（ C ） 4. 方程式x ÷（－4）＝－6，则下列何者正确？

(A) x ＝（－6）÷（＋4）

(B) x ＝（－6）÷（－4）

(C) x ＝（－6）×（－4） (D) x ＝（－6）×（＋4）。

（ C ） 5. 解2（3x －1）＋4＝5x －2

(A) 6x －2＋4＝5x －2 (B) 6x ＋2＝5x －2 (C) 6x －5x ＝－2＋2

(D) x ＝0。

二、填充题

1. 解方程式4x －2＝3x ＋1，得x ＝ 3 。

2. 方程式（4x －3）－（2x ＋1）＝6的解为x ＝ 5 。

3. 解方程式x －6＝5

3

x ＋2，得x ＝ 20 。

4. 解方程式2x －（5x ＋16）＝3－2（3x －4），得x ＝ 9 。

5. 当x ＝ －13 时，算式2（3－x ）＋4（x ＋5）的值等于0。

三、综合题

在下列空格中，填入x的值与各算式所代表的数。

○116

○2 4

○335

○4 3

○5－1

○615

○70

○80

○9－4

◆延伸进阶题

一、选择题

（ C ） 1. 若2x ＝－2x ，则x ＝？

(A)不存在 (B) 2 (C) 0 (D)－2。

（ B ） 2. 解方程式x －5＝

3

x

＋15 (A) x －

3

x

＝15＋5 (B) 3x －x ＝20 (C) 2x ＝20

(D) x ＝10。

（ C ） 3. 解方程式

21（3x －5）－31（x －2）＝2

7

，则x ＝？ (A) x ＝

72 (B) x ＝710 (C) x ＝7

32 (D) x ＝740。 （ B ） 4. 若4为x 的一元一次方程式mx ＋7＝39的解，则m 之值为何？

(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 39。

（ C ）5. 若m 为方程式5x －1＝2x ＋14的解，n 为方程式

2

4

3+x ＝－1的解，则m ＋n ＝？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。

二、填充题 1. 解方程式3（

3x －2）＝4（4

3

x －1），则x ＝ －1 。

2. 若x ＝－3是方程式2mx ＋3＝27的解，则m ＝ －4 。

3. 解一元一次方程式

21-x －5

1

3-x ＝－5，可得x ＝ 47 。

4. 方程式4（x －2）＝a －2x 与5x －2＝2x ＋a 有相同的解， 则a ＝ 4 ，x ＝ 2 。

5. 解一元一次方程式x ＝1－

2x －4x －8

x

，可得x ＝8

15

。

三、综合题

1. 解方程式3（x－1）－

35

4-

x

＝－23，则x＝？解

x＝－13

2. 设方程式

31

2）

（-

ax

－

42

3-

ax

＝x的解为2，求a的值。解

a＝－13

◆资优挑战题

1. (1) 试求方程式3（x ＋1）＝2a －x 的解。

(2) 试求方程式2（x －2）＝5（－a ＋x ）的解。

(3) 若方程式3（x ＋1）＝2a －x 与方程式2（x －2）＝5（－a ＋x ）有相同的

解，试求a 的值。 解

(1) x ＝23

4a - (2) x ＝54

3a -

(3) a ＝1

2

2. 解下列各一元一次方程式：

(1) 0.8＋9.054.018.0-x ＝5

.02

.1

(2) 21｛31〔41（51

x －1）〕｝＝3

(3) x ＝1＋32x ＋232x ＋332x ＋43

2

x

解

(1) x ＝11 (2) x ＝365 (3) x ＝81

3. 有3种不同重量的积木■、▲、●，置于等臂天平

的两侧。若依照右图两种摆放方式皆可以使天平保持平衡状态，现在于天平左侧拿走2个●，请问右侧须拿走几个■才能使天平继续保持平衡？ 解 3个

▲● ▲● ▲●■

▲● ■■ ■■■

▲ ▲● ▲●■ ▲●■ ●

●●■ ■■■

4－4应用问题

◆重点整理

(1) 先从问题的叙述中找出条件。

(2) 选择一个适当的未知数。（习惯上都以x或y表示）

(3) 把问题中提到的数量关系，以含文字符号的式子表示。

(4) 依据等量关系列成一元一次方程式。

(5) 依据所列出的方程式求出未知数的值。

(6) 依题意写答。（并注意是否符合题意或有不合理的情形）

注意部編

↓

↓

↓

↓

◆课本基础题

一、选择题

（ D ） 1. 小梅有70元，到7-11买每枝x 元的棒冰3枝后，找回5元，则其一

元一次方程式应为下列哪一个选项？ (A) 70－3＝5x (B) 70＋5＝3x (C) 3x －75＝5 (D) 70＝3x ＋5。

（ C ） 2. 如果5比x 的3倍少1，则其一元一次方程式应为下列哪一个选项？ (A) 3x ＋1＝5 (B) 5＋3x ＝1 (C) 3x －1＝5 (D) 5－3x ＝1。

（ D ） 3. 翰翰心中想好一个整数，先将此数乘以5以后，再加上4。请问所得

的结果可能是下列哪一个数？ (A) 56 (B) 57 (C) 58 (D) 59。

（ A ） 4. 琳琳带了x 元到豆浆店买早餐，他用所有钱的

4

1

买了3杯豆浆，再利用所有钱的

12

5

买了3个饭团，最后剩下84元。问下面所列出的式子哪一个是正确的？

(A) x －41x －125x ＝84 (B) x －41x ÷3－12

5

x ÷3＝84

(C)（x －41x ）×125＝84 (D)（x －41x ）×12

7

＝84。

（ A ） 5. 郝訊公司男性员工人数比女性员工人数的2倍多3人，男性员工人

数和女性员工人数总共有45人，那么 郝訊公司的女性员工人数共有多少人？

(A) 14人 (B) 16人 (C) 24人 (D) 42人。

二、填充题

1. 某数的8倍加6与某数的2倍加48一样大，若设某数为x ，请依此题意列出

一元一次方程式： 8x ＋6＝2x ＋48 。

2. 爸爸的体重是 琳琳的2倍多5公斤，若 琳琳的体重是x 公斤，爸爸的体重是

75公斤，则 x ＝ 35 。