江苏省六合高级中学2020-2021学年高三数学综合练习(四)含附加题含解析【加16套高考模拟卷】
江苏省六合高级中学2020-2021学年高三数学综合练习（四）含附加题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）
A ．7?k >
B ．6?k >
C ．5?k >
D ．4?k >
2．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2i
z
的点是（ ）
A．E B．F C．G D．H
3．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（）
A ．1
2
B．
1
3
C．
2
3
D．
5
6
4．已知函数
2
,0
()
2,0
x
x
x
f x e
x x x
?
>
?
=?
?--≤
?
若函数
1
()()()
2
g x f x k x
=-+在R上零点最多，则实数k的取值范围是（）
A．
2
(0,)
3e
B．
2
(,0)
3e
-C．(,0)
2e
-D．(0,)
2e
5．已知向量a，b夹角为30，()
1,2
a=，2
b=，则2a b
-=( )
A．2 B．4 C．23D．27
6．根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（）
A ．1
B ．e
C ．1e -
D ．2e -
7．已知13ω>
，函数()sin 23f x x πω?
?=- ??
?在区间(,2)ππ内没有最值，给出下列四个结论：
①()f x 在(,2)ππ上单调递增； ②511,1224ω??
∈?
??
? ③()f x 在[0,]π上没有零点； ④()f x 在[0,]π上只有一个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．②④
B ．①③
C ．②③
D ．①②④
8．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22
B ．2
C ．4
D ．3
9．()cos sin x
e f x x
=在原点附近的部分图象大概是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．
“是函数()()1f x ax x =-在区间
内单调递增”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知命题p ：x ?∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ?∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ?∧
C ．p q ∧?
D ．p q ?∧?
12．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( )
A ．平行
B ．异面
C ．相交
D ．平行或异面或相交
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知F 为双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，
且3
||||2
FD OF =
（O 为坐标原点）
，则C 的离心率为________. 14．复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数为________.
15．已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=．(,1,2,i k k ≤=3,,1)n -，若{}n a 是
等比数列，数列{}n a 的通项公式n a =_______． 16．若函数2()2
4
x a
x a
f x -+=-在区间(2,)-+∞上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围有___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全22?列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：
()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.072
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，n a b c d =+++ 18．（12分）已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ?
?
-
= ??
?，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θ
θ=??=?
（θ为参数）． （1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．
19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
，椭圆C 的长轴长为4.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知直线:l y kx =-C 交于,A B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.
20．（12分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为200的样本，其中城镇居民140人，农村居民60人.在这些居民中，经常阅读的城镇居民有100人，农村居民有30人.
（1）填写下面列联表，并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？
（2）从该地区城镇居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X ，若用样本的频率作为概率，求随机变量X 的期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
21．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AD AB ⊥，平面ABD ⊥平面ABC ，AB BC AC ==，且4AD BC +=.
（1）证明：BC ⊥平面ABD ；
（2）设E 为棱AC 的中点，当四面体ABCD 的体积取得最大值时，求二面角C BD E --的余弦值. 22．（10分）已知ABC ?的面积为
3
2
，且1AB AC ?=-. （1）求角A 的大小及BC 长的最小值； （2）设M 为BC 的中点，且2
3
AM =
，BAC ∠的平分线交BC 于点N ，求线段MN 的长. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【解析】
程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 1 第一圈 2 4 是 第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 是 第五圈
6
120
否
故退出循环的条件应为k>5? 本题选择C 选项.
点睛：使用循环结构寻数时，要明确数字的结构特征，决定循环的终止条件与数的结构特征的关系及循环次数．尤其是统计数时，注意要统计的数的出现次数与循环次数的区别． 2、C 【解析】 【分析】
由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2i
z
化简后可找到其对应的点. 【详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i
==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题. 3、C 【解析】 【分析】
根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【详解】
根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：
由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体， 该几何体的体积为3
2
1
21113
3
V =-??=. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 4、D
将函数的零点个数问题转化为函数()y f x =与直线1
()
2
y k x =+的交点的个数问题，画出函数()y f x =的
图象，易知直线1
()2y k x =+过定点1(,0)2
-，故与()f x 在0x <时的图象必有两个交点，故只需与()f x 在
0x >时的图象有两个交点，再与切线问题相结合，即可求解.
【详解】
由图知()y f x =与1
()2
y k x =+有4个公共点即可，
即()
0,k k ∈切，当设切点()00,x y ，
则0
00011()2x x x k e x k x e -?
=????+=??，0122x k e ?=??∴?
?=??
2k e
∴∈.
故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的零点个数的问题，曲线的切线问题，注意运用转化思想和数形结合思想，属于较难的压轴题. 5、A 【解析】 【分析】
根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果. 【详解】 由于(
)
2
22
2244a b a b
a a
b b -=-=-?+=
3
43432422
?-???
+=， 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题. 6、C
根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值． 【详解】
由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1
y e -=，故选C ． 【点睛】
本题考查程序框图，是基础题． 7、A 【解析】 【分析】
先根据函数()sin 23f x x πω??
=-
??
?
在区间(,2)ππ内没有最值求出15
12224
k k ω-
+或51112224k k ω+
+.再根据已知求出11
32
ω<，判断函数的单调性和零点情况得解. 【详解】
因为函数()sin 23f x x πω?
?
=- ??
?
在区间(,2)ππ内没有最值. 所以22422
332
k k π
π
π
π
πωπωππ-
-
<-
+
，或32242,2
3
3
2
k k k π
π
π
π
πωπωππ+
-
<-
+
∈Z 解得1512224k k ω-+或511
12224k k ω++. 又212,23T ππωω=>，所以11
32
ω<. 令0k =.可得511,1224ω??
∈?
???
.且()f x 在(,2)ππ上单调递减. 当[0,]x π∈时，2,2333x π
π
πωπω??-
∈--????，且72,3212ππππω??-∈????
， 所以()f x 在[0,]π上只有一个零点. 所以正确结论的编号②④ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8、A 【解析】 【分析】
由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】
44(1)22,221(1)(1)
i i i z i z i i i +=
==-+=--+． 故选：A ． 【点睛】
本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 9、A 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】
令sin 0x ≠，可得{}
,x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{}
,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，
()()()()cos cos sin sin x x
e e
f x f x x x
--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；
当0πx <<时，cos 0x
e >，sin 0x >，则()cos 0sin x
e f x x
=
>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10、C 【解析】
()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a
==
当0a ≤，()f x 的图像如下图