高考数学文化题选讲

高考复习课：重温数学经典

——掀开高考数学文化题的面纱

襄阳东风中学数学组 侯正卫2018.1.12

● 一、大纲分析：

2017高考考试大纲修订内容中增加了数学文化的要求。其实近些年高考数学试卷早已出现以数学文化为背景的新颖命题，只是17年新修订的大纲更加强调，我国古代数学里有大量的实际问题，此类问题可以结合函数、数列、立体几何、算法等内容。这些问题同时也体现了应用性的考查，备考中应充分重视。

● 二、数学经典简介：

1、《九章算术》成书于公元1世纪，作者不详。西汉张仓、耿寿昌曾经做过增补和整理。全书收集了实际的数学问题共246个，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等9章，所以定名为《九章算术》。

2、《数书九章》 秦九韶（约1202～1261），字道吉，四川安岳人。

秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。 1247年写成著名的《数书九章》。其最重要的数学成就——“大衍求一术”（一次同余方程组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

3、《张丘建算经》张丘建,北魏时清河人。

《张丘建算经》共有三卷， 约成书于公元466～485年间。

其中，最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就。“百鸡术”是世界著名的不定方程问题。

● 三、数学文化与人文价值

1.数学名著中的数列题

题1. 南北朝时期的数学古籍《张丘建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”( )

题2、2016衡水模拟

《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布

4775A. B. C. D.397876811281516311629A. B C D

题3、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是

A.289

B.1024

C.1225

D.1378

数列类问题：脱去马甲，化未知为已知，涉及等差等比多从基本量入手

2.概率中的数学文化

题4.．（2017全国1卷文4）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．1

4

B．

π

8

C．

1

2

D．

π

4

弘扬中华传统文化在数学中体现为两点：1.挖掘古代典籍与数学知识的结合点；2.将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌

3.数学名著中的立体几何问题

题5、2015年全国1卷文6题

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣

内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）斛A .14 B . 22 C . 36 D . 33

题6、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）

题7.（2015·湖北高考）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.

在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .

（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

立体几何类问题：关注经典，克服对陌生名词的惧怕心理，强化读题能力，将文字转化成符号或数字等。

24D.62

4C.4 22B.4.+++2

A

4.解析几何中的数学文化

题8.(2008·湖北高考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2＞a1c2；④c1

a1＜

c2

a2.

其中正确式子的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④

本题是小中见大、常中建新、蕴文化于现代技术应用之中的好题。

题9.(2007·北京高考)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ.那么cos 2θ的值等于________．

四、归纳总结，思维升华

以古代数学知识为背景的题目常与立体几何、函数、数列、算法等知识有关，解题的关键是将数学史背景下的条件转化为高中数学知识，考察考生的阅读理解能力、抽象概况能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考察，也体现了我国数学文化的源远流长。

随着高考改革的深入，仍会适当加大对中国传统文化考查的内容，如将四大发明、勾股定理等所代表的中国古代科技文明作为试题背景材料，遵循继承、弘扬、创新的发展途径，注重传统文化在现实中的创造性转化和创造性发展，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观。

高中数学应用题汇总

高中数学应用题汇总 1.两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。 解（1）如图,由题意知AC⊥BC,, 其中当时，y=0.065,所以k=9 所以y表示成x的函数为 （2）令得所以即当时,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数 有最小值 （注：该题可用基本不等式求最小值。）

2.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数k (1≤k≤3)。 （1）求该企业正常生产一年的利润F(x)与出厂价x的函数关系式；（2）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润. （1）依题意，F(x)＝(x－3)(11－x)2－k(11－x)2＝(x－3－k)(11－x)2，x∈[7,10]. （2）因为F′(x)＝(11－x)2－2(x－3－k)(11－x)＝(11－x)(11－x －2x＋6＋2k) ＝(x－11)[3x－(17＋2k)]. 由F′(x)＝0，得x＝11(舍去)或x＝.(6分) 因为1≤k≤3，所以≤≤. ①当≤≤7，即1≤k≤2时，F′(x)在[7,10]上恒为负，则F(x)在[7,10]上为减函数，所以[F(x)]max＝F(7)＝16(4－k).(9分) ②当7<≤，即2

历年高考真题(数学文化)

历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：可行域

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析 点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析 方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项． 方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的 最大值为( ) A.2 3 B ．1

C.32 D ．3 答案 D 解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析 作出可行域如图． 图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C

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历年高考真题（数学文化） 1. （2009 湖北· 理）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数，如他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，，由于这些数能表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 2 中的 1， 4，9，16这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（） 2. （ 2011 湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节 的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 A．1升B ．67 升C ． 47 升D ． 37 升 66 44 33 3. （ 2011 湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节 的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共4 升，则第 5 节的容积为升. 4.（ 2012? 湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘 之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求 其直径 d 的一个近似公式 d 3 16 = .. 判断， V .人们还用过一些类似的近似公式．根据π 9 下列近似公式中最精确的一个是（） A. d 3 16 d 3 2V C. d 3 300 d 3 21 V B. V D. V 9 157 11

5. （ 2013? 湖北）在平面直角坐标系中，若点P（x， y）的坐标 x，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记 为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L．例如图中△ ABC是格点三角形，对应的 S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形 DEFG对应的 S，N， L 分别是 ________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c 其中a，b，c为常数．若某格点多 边形对应的N=71， L=18，则 S=________（用数值作答）． 6.（ 2014? 湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国 现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高 乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高 h，计算其体积 V 的近似公 式 V 1 L 2 h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2 36 V L2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） 75 A. 22 B. 25 C. 157 D. 355 7 8 50 113 7.(2015湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷28 粒，则这批米内夹谷约 为 P A． 134 石B． 169 石C． 338 石D． 1365 石 F E 8. （ 2015 湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一 D C A B

高考全国卷命题预测(数学)pdf版

高考全国卷命题预测（数学） 一、高考命题预测例题 1.集合、简易逻辑和复数：这是高考必考内容，预测18年有2～3道客观题，且一般以简单题出现。 2.函数与导数：试题个数稳定在2-3个小题，一个大题.选择题、填空题主要以考查函数的基本性质、函数图象及变换、函数零点、导数的几何意义、定积分等为主，也有可能与不等式等知识综合考查；解答题主要是以导数为工具解决函数、方程、不等式、解析几何（抛物线的切线）应用问题,也有可能涉及到导数新增知识积分. 例:设为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=-3ax+a+1(a为常数)，则的解集为（） A. B. C. D. 说明：函数性质的简单应用是高考常考的题型。 3.数列：如果没有解答题，会有两个小题；如果有解答题，为一个大题,不出现小题.一般所占分值为10—12分。小题以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题；解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推数列为主.理科也有可能与函数、解析、不等式、数学归纳法等结合综合考查，但可能性很小.

4.三角函数、解三角形与平面向量：若果有解答题，则会出现两个小题；如果没解答题则会有四个小题，一般所占分值为20-22分.若小题一般主要考查三角函数的图像与性质、利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化简、平面向量的基本性质与运算.大题主要以正、余弦定理为知识框架，以三角形为依托进行考查（注意在实际问题中的考查）或向量与三角结合考查三角函数化简求值以及图像与性质.另外向量也可能与解析等知识结合考查. 5.解析几何：一般为2小一大，所占分值为22分。小题一般主要考查：直线、圆及圆锥曲线的性质为主，一般结合定义，借助于图形可容易求解.大题一般以直线与圆曲线位置关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、不等式、导数、平面向量等知识，考查求轨迹方程问题，探求有关曲线性质，求参数范围，求最值与定值，探求存在性等问题.另外要注意对二次曲线间结合的考查，比如椭圆与抛物线,椭圆与圆等. 6.立体几何：一般为2小一大，所占分值为22分。小题一般侧重于线与线、线与面、面面的位置的关系以及空间几何体中的空间角（理科）、距离（理科）、面积、体积的计算的考查.解答题文科以平行、垂直、夹角(理科)、距离（理科）为考查目标.几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主，现在也考多面体了。

高中数学核心素养

高中数学核心素养 数学的核心素养主要包括： 数学抽象数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。 在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。 逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品

质。 在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。 数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。 在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。 直观想象直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：众数、中位数

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：众数、中位数 1．(全国名校·云川贵百校联考)某课外小组的同学们从社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 则这20A ．180，170 B ．160，180 C ．160，170 D ．180，160 答案 A 解析 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180，排除B ，C ； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 2．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的2 5，且样本容量为140，则中间一组的频数为( ) A ．28 B ．40 C ．56 D ．60 答案 B 解析 设中间一个小长方形面积为x ，其他8个长方形面积为52x ，因此x ＋52x ＝1，∴x ＝2 7. 所以中间一组的频数为140×2 7 ＝40.故选B. 3．(全国名校·山东)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为( ) A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，7 答案 A

解析 根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y ，解得y ＝5，又它们的平均值相等，所以 56＋62＋65＋74＋（70＋x ）5＝59＋61＋67＋65＋78 5 ，解得x ＝3.故选A. 4．(全国名校·山西长治四校联考)某学校组织学生参加数学测试，有一个班成绩的频率分布直方图如图，数据的分 组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B 解析 ∵[20，40)，[40，60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，∴该班的学生人数是15 0.3 ＝50. 5.(全国名校·陕西西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值为( ) A ．2，4 B ．4，4 C ．5，6 D ．6，4 答案 D 解析 x －甲＝75＋82＋84＋（80＋x ）＋90＋93 6＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D. 6．(全国名校·河北邢台摸底)样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为( ) A. 10 5 B.305 C. 2 D ．2 答案 D 解析 依题意得m ＝5×1－(0＋1＋2＋3)＝－1，样本方差s 2＝1 5(12＋02＋12＋22＋22)＝2，即 所求的样本方差为2. 7．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：

高中数学应用题

函数、不等式型 1、某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3 a y x x = +--，其中3

数学文化创新题型(高三数学高考中的数学文化)

2020年4月22日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ） A ．300，0.25 B ．300，0.35 C ．60，0.25 D ．60，0.35 【答案】B 【解析】 【分析】 由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590， 的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】 由频率分布直方图得： 在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590， 的频率为0.0650.3?=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590， 的车辆数为：0.31000300?=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+?=． 故选：B ． 【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．《算法统宗》是中国古代数学名着，由明代数学家程大位编着，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名着，在这部着作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（） A．8岁B．11岁C．20岁D．35岁 【答案】B 【解析】 【分析】 九个儿子的年龄成等差数列，公差为3． 【详解】 由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为a1，则a9=9a1+ 9×8 ×3=207，解得a1=11． 2 故选B． 【点睛】 本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（） A． B C．D．24π 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,根据长方体体对角线等于外接球直径,利用公式计算即可.

高考数学常见题型汇总(经典资料)

一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1

题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五

222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称

高考数学文化素养型题说课讲解

数学题----文化素养型 1.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136 L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈ 275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227 B.258 C.15750 D. 355113 解析：由题意可知：L ＝2πr ，即r ＝L 2π，圆锥体积V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·? ?? ??L 2π2h ＝112πL 2h ≈275L 2h ，故112π≈275，π≈258，故选B. 【答案】B 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（） A ．14 B ．π8 C ．12 D ．π4 【解析】设正方形边长为2，则圆半径为1 则正方形的面积为224?=，圆的面积为2π1π?=，图中黑色部分的概率为 π2 则此点取自黑色部分的概率为π π248 = 故选B 【答案】B

4.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE、DF、BD、BE. (1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由； (2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π 3 ，求 DC BC 的值. 解析：法一(1)证明因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D， 所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD，所以BC⊥DE. 又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC. 而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC.而PB?平面PBC， 所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF. 由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

(完整版)高中数学学科核心素养

高中数学学科核心素养 数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。 数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。 在数学抽象核心素养的形成过程中，积累从具体到抽象的活动经验。学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。 逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质。 在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间

的联系，建构知识框架；形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。 数学建模 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题。 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。 在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验。学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识。 直观想象 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。 直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础。

数学文化试题高考展望

数学文化试题高考展望 《考试大纲》强调数学试题需要展现数学的科学价值和人文价值.数学文化题主要取材于数学时事、数学名著、数学名人、数学游戏、数学命题、数学猜想、数学图形等. 一、数列问题 例1 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.”其意大致为：有一座七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯.该塔中间一层有（）盏灯. A.24 B.48 C.12 D.60 小结本题以明朝程大位的《算法统宗》中的一首歌谣为背景，考查等比数列的概念及其求和公式，考查学生分析问题的能力与转化的能力. 练习1 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 二、立体几何问题 例2《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，

系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.若某“阳马”的三视图如图1所示（单位：cm），则该“阳马”的外接球的体积为 小结本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖.解答本题的关键是通过补形，正确画出直观图，外接球的直径就是长方体的体对角线. 练习2 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中，构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图3，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是 三、框图问题 例3宋元时期的数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松目自半，竹日白倍，松竹何日而长等.图4是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，2，?t输出的n= 小结解决这类问题，一要明确程序框图中的顺序结构和循环结构：二要识别运行程序框图，理解程序框图解决的实际问题：三要按题目要求完成解答. 练习3 图5的程序框图的算法思路源于我国古代数学名

近年高考数学选择题经典试题+集锦

近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为

高考数学选择经典试题集锦

高考数学选择经典试题集锦（二） 1、已知()1()()f x x a x b =---，并且,m n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是 A. m a b n <<< B. a m n b <<< C. a m b n <<< D. m a n b <<< 2、已知{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S 、n T ，若223n n S n T n +=+，则109a b 的值为 A. 116 B. 2 C. 22 13 D. 无法确定 3、已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足2PA PB -=，25PA PB -=PA PC PB PC PA PB ??=,I 为PC 上一点，且()(0) AC AP BI BA AC AP λλ=++>，则 BI BA BA ?的值为 A. 1 B. 2 C. 1 D. 4、 已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数， ()0,()()()(),()()x g x f x g x f x g x f x a g x ''≠? B. W N < C. W N = D.无法确定

2020高考文数数学文化

第5讲数学文化 一、选择题 1.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是() A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 答案B设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n},公差为d,a1=15,a13=135,则 15+12d=135,解得d=10.所以a2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸,即二尺五寸,故选B. 2.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的n,x的值分别为3,3,则输出的v的值为() A.15 B.16 C.47 D.48

答案 D 执行程序框 图,n=3,x=3,v=1,i=2≥0,v=1×3+2=5,i=1≥0,v=5×3+1=16,i=0≥0,v=16×3+0=48,i=-1<0,退出循环,输出v 的值为48.故选D. 3.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( ) A. 3√3 4π B. 3√3 2π C.1 2π D.1 4π 答案 B 如图,在单位圆中作其内接正六边形,则所求概率 P=S 正六边形S 圆 =√34×12×6π×12=3√32π. 4.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212 .若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ) A.√23 f B.23 C.√2512 f D.√2712 f 答案 D 从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212 ,第一个单音的频率为f,由等比数列的概念可知,这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为 √212 的等比数列,记为{a n },则第八个单音频率为a 8=f(√212)8-1=√2712 f,故选D. 5.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式: 设△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则△ABC 的面积S=√1 4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 22)2]. 若a 2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b 2,则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( ) A.√3 B.2 C.3 D.√6 答案 A 根据正弦定理及a 2sin C=4sin A,得ac=4.

2020年全国高考理科数学一卷试题分析报告

2020全国高考理科数学一卷试题分析报告 2020年新课标全国Ⅰ卷理科数学卷都延续了以往的考查特征：对必备知识的考查体现稳定性，并在对关键能力和学科素养的考查上力求创新性；对基础知识、基本能力和基本素养的考查体现基础性，在压轴把关题上突出考查学生综合应用所学知识和方法去发现、分析和解决问题的能力。整张试卷充分体现“立德树人、服务选拔、导向教学”这一高考核心立场。 所有的题目都是学生平时见过做过的问题，学生上手比较容易，但是计算量略大于去年。尤其是圆锥曲线与导数问题。 解答题的顺序再次回归原来的模式，与2017年及之前的高考题基本保持一致，没有像2019年那样进行较大幅度的变动，压轴题也都是学生平时练习的常见题型，没有太多变化，尤其是没有在概率统计题上进行再创新。 从试卷难度来看，总体上与19年难度相当，比18年要难，难点主要体现在： 1.对应用问题与数学文化问题的题意分析与理解； 2.加大对空间想象能力的考查，且综合性强，难度大； 3.对学生计算能力的要求加大； 4.理科概率统计问题解题方法不再是以往的模型化问

题； 5.相比前几年，部分知识点的考法变化较大，反猜题的味道很浓，意在破除应试教育。 一、试卷的构成与双向细目表 全卷满分150分，分为必考和选考两部分，必考部分包括12个选择题，4个填空题和5个解答题；选考部分包括选修系列4的“坐标系与参数方程”、“不等式选讲”各1个解答题，考生从2题中任选1个作答，若多做，则按所做的第一题给分。 理科双向细目表如下： 二、对试卷的总体评价 1.传统试题体现“基础性”，引导学生打牢知识基础 如：理1、理2考查一元二次不等式、集合交集；理4考查抛物线定义；、理5考查非线性回归与函数图象；理8考查二项式定理求特定项系数；、理13考查截距型线性规划问题；理6考查导数几何意义；理14考查单位向量、向量垂直、夹角与模长问题；理17考查等差等比数列基本量计算、错位相减；理17考查正弦定理余弦定理，面积公式，恒等变形；理18考查线面垂直的判定，二面角的求法。 2.知识点的考查上体现“综合性”，引导学生多角度思

高考数学-应用题专题

1 高考数学-应用题 应用题类型： 1.代数型（1）函数型（2）不等式型（3）数列型（4）概率统计型 2.几何型（1）三角型（2）解析几何型（3）立体几何型 １. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元． （1）问第几年开始获利? （2）若干年后，有两种处理方案： 方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船 方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算． 解析. （1）由题意知，每年的费用以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数n 的关系为f （n ），则 ++-=1612[50)(n n f …9840298)]48(2-+-=-++n n n ． 由题知获利即为f （n ）＞0，由0984022>-+-n n ，得-10511051+<

2 ２. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式； （Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ?=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 解析：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然 ()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得???=+=+60200200b a b a ，解得??? ????=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()?? ???≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x （Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()?????≤≤-<≤.20020,2003 1,200,60x x x x x 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=?； 当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312 =??????-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立． 所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值 3 10000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．