2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷)理科数学及参考答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
(全国一卷)理科数学
一、选择题:(本题有12小题,每小题5分,共60分。) 1、设z=
,则∣z ∣=( )
A.0
B.
C.1
D.
2、已知集合A={x|x 2-x-2>0},则 A =( )
A 、{x|-1 B 、{x|-1≤x ≤2} C 、{x|x<-1}∪{x|x>2} D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该 地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A. 新农村建设后,种植收入减少 B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3 = S 2+ S 4,a 1 =2,则a 5 =( ) A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、12 5、设函数f (x )=x 3+(a-1)x 2+ax .若f (x )为奇函数,则曲线y= f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 A.y= -2x B.y= -x C.y=2x D.y=x 6、在?ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则=( ) A. - B. - C. + D. + 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为的直线与C 交于M ,N 两点,则 · =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f (x )= g (x )=f (x )+x+a ,若g (x )存在2个零点,则a 的取值 范围是( ) A. [-1,0) B. [0,+∞) C. [-1,+∞) D. [1,+∞) 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC. △ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p 1,p 2,p 3,则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2+p 3 11.已知双曲线C : - y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近 线的交点分别为M,N. 若△OMN为直角三角形,则∣MN∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为() A. B. C. D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 . 14.记S n 为数列{a n }的前n项和. 若S n = 2a n +1,则S 6 = . 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是 . 三.解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。 17.(12分) 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC =,求BC. 18.(12分) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把?DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF . (1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 19.(12分) 设椭圆C: + y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 20、(12分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验, 如检验出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件产品作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为P (0 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(P),求f(P)的最大值点。 (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为P的值,已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 21、(12分) 已知函数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x 1 , x 2 , 证明: . (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy中,曲线C?的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C?的极坐标方程为2+2cos -3=0. (1)求C?的直角坐标方程: (2)若C?与C?有且仅有三个公共点,求C?的方程. 23. [选修4-5:不等式选讲](10分) 已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣. (1)当a=1时,求不等式f(x)﹥1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)﹥x成立,求a的取值范围. 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B 8.D 9.C 10.A 11.B 12.A 二、填空题 13.6 14.63- 15.16 16.33 - 三、解答题 17.解: (1)在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD AB A ADB = ∠∠. 由题设知, 52 ,sin 45sin ADB =?∠所以2sin ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠, 所以223 cos 125ADB ∠=- = . (2)由题设及(1)知,2cos sin 5 BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中,由余弦定理得 2222cos 2 258252225. BC BD DC BD DC BDC =+-???∠=+-???= 所以5BC =. 18.解: (1)由已知可得,BF PF ⊥,BF EF ⊥,所以BF ⊥平面PEF . 又BF ?平面ABFD ,所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)作PH EF ⊥,垂足为H . 由(1)得,PH ⊥平面ABFD . 以H 为坐标原点,HF u u u r 的方向为y 轴正方向,||BF uu u r 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -. 由(1)可得,DE PE ⊥. 又2DP =,1DE =,所以3PE =. 又1PF =,2EF =,故PE PF ⊥. 可得3PH = ,3 2 EH =. 则(0,0,0)H ,3(0,0,)P , 3 (1,,0)2 D --,33(1,,)2DP =uu u r ,3(0,0,)HP =uu u r 为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ,则 3sin ||||||HP DP HP DP θ?=== uu u r uu u r uu u r uu u r . 所以DP 与平面ABFD . 19.解: (1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为1x =. 由已知可得,点A 的坐标为 或(1,. 所以AM 的方程为y = y =-. (2)当l 与x 轴重合时,0OMA OMB ∠=∠=?. 当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以OMA OMB ∠=∠. 当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,11(,)A x y , 22(,)B x y , 则1x < 2x <直线MA ,MB 的斜率之和为12 1222 MA MB y y k k x x += + --. 由11y kx k =-,22y kx k =-得 12121223()4(2)(2) MA MB kx x k x x k k k x x -+++= --. 将(1)y k x =-代入2 212 x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以,22121222 422 ,2121 k k x x x x k k -+==++. 则3331212244128423()4021 k k k k k kx x k x x k k --++-++==+. 从而0MA MB k k +=,故MA ,MB 的倾斜角互补. 所以OMA OMB ∠=∠. 综上,OMA OMB ∠=∠. 20.解: (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218 20()C (1)f p p p =-. 因此 218217217 2020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--. 令()0f p '=,得0.1p =. 当(0,0.1)p ∈时,()0f p '>;当(0.1,1)p ∈时,()0f p '<.所以()f p 的最大值点为00.1p =. (2)由(1)知,0.1p =. (ⅰ)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知(180,0.1)Y B :,20225X Y =?+,即4025X Y =+.