新人教版九年级数学上册 概率初步同步练习(共20页)

概率初步

测试1 随机事件

学习要求

了解随机事件的意义，会判断必然事件、不可能事件和随机事件，知道不同随机事件发生的可能性．

课堂学习检测

一、填空题

1．在下列事件中：①投掷一枚均匀的硬币，正面朝上；②投掷一枚均匀的骰子，6点朝上；

③任意找367人中，至少有2人的生日相同；④打开电视，正在播放广告；⑤小红买体

育彩票中奖；⑥北京明年的元旦将下雪；⑦买一张电影票，座位号正好是偶数；⑧到2020年世界上将没有饥荒和战争；⑨抛掷一只均匀的骰子两次，朝上一面的点数之和一定大于等于2；⑩在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化；⑾如果a，b为实数，那么a＋b ＝b＋a；⑿抛掷一枚图钉，钉尖朝上．

确定的事件有______；随机事件有______，在随机事件中，你认为发生的可能性最小的是______，发生的可能性最大的是______．(只填序号)

二、选择题

2．下列事件中是必然事件的是( )．

A．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球

B．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏

C．小红期末考试数学成绩一定得满分

D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上

3．同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件中是不可能事件的是( )．

A．点数之和为12 B．点数之和小于3

C．点数之和大于4且小于8 D．点数之和为13

4．下列事件中，是确定事件的是( )．

A．明年元旦北京会下雪B．成人会骑摩托车

C．地球总是绕着太阳转D．从北京去天津要乘火车

5．下列说法中，正确的是( )．

A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生

B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件

C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生

D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生

三、解答题

6．“有位从不买彩票的人，在别人的劝说下用2元买了一随机号码，居然中了500万”，你认为这样的事情可能发生吗?请简述理由．

综合、运用、诊断

7．一张写有密码的纸片被随意地埋在如图所示的矩形区域内，图中的四个正方形大小一样，则纸片埋在几号区域的可能性最大?为什么?

8．在如图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗?为什么?

9．用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功．A同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大．”

B同学说：“转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘成功的机会都是50％．”

你同意两人的说法吗?如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大?

拓广、探究、思考

10．分别列出下列各项操作的所有可能结果，并分别指出在各项操作中出现可能性最大的结果．

(1)旋转各图中的转盘，指针所处的位置．

(2)投掷各图中的骰子，朝上一面的数字．

(3)投掷一枚均匀的硬币，朝上的一面．

测试2 概率的意义

学习要求

理解概率的意义；对于大量重复试验，会用事件的频率来估计事件的概率．

课堂学习检测

一、填空题

1．在大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的______总是会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件A 的______．

2．在一篇英文短文中，共使用了6000个英文字母(含重复使用)，其中“正”共使用了900次，则字母“正”在这篇短文中的使用频率是______．

抛掷结果 5次 50次 300次 800次 3200次 6000次 9999次 出现正面的频数 1 31 135 408 1580 2980 5006 出现正面的频率

20％

62％

45％

51％

49.4％

49.7％

50.1％

(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20％，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的频率是______；

(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到______次正面，正面出现的频率是______；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到______次反面，反面出现的频率是______；

(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是______． 二、选择题

4．某个事件发生的概率是

2

1

，这意味着( )． A ．在两次重复实验中该事件必有一次发生 B ．在一次实验中没有发生，下次肯定发生 C ．在一次实验中已经发生，下次肯定不发生 D ．每次实验中事件发生的可能性是50％

5．在生产的100件产品中，有95件正品，5件次品．从中任抽一件是次品的概率为( )． A ．0.05 B ．0.5 C ．0.95 D ．95 三、解答题

6投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率

n

m

(1)计算表中各次比赛进球的频率；

(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?

综合、运用、诊断

7．下列说法：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的概率一定等于

n

m

；③频率是不能脱离具体的n 次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是______(填序号)．

8．某市元宵节期间举行了“即开式社会福利彩票”销售活动，印制彩票3000万张(每张彩票2元)

如果花2元钱购买1张彩票，那么能得到8万元以上(包括8万元)大奖的概率是______ 9．下列说法中正确的是( )．

A ．抛一枚均匀的硬币，出现正面、反面的机会不能确定

B ．抛一枚均匀的硬币，出现正面的机会比较大

C ．抛一枚均匀的硬币，出现反面的机会比较大

D ．抛一枚均匀的硬币，出现正面与反面的机会相等 10．从不透明的口袋中摸出红球的概率为

5

1

，若袋中红球有3个，则袋中共有球( )． A ．5个 B ．8个 C ．10个 D ．15个

11．柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是( )．

A ．

21 B ．3

1 C ．51 D ．101 12．某储蓄卡上的密码是一组四位数字号码，每一位上的数字可在0～9这10个数字中选

取．某人未记准储蓄卡密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时，如果随意地 按一下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率有多少?

13

完成该地区近5年出生婴儿性别的调查表，并分别求出出生男孩和女孩概率的近似值．(精确到0.001)

14．小明在课堂做摸牌实验，从两张数字分别为1，2的牌(除数字外都相同)中任意摸出一

张，共实验10次，恰好都摸到1，小明高兴地说：“我摸到数字为1的牌的概率为100％”，你同意他的结论吗?若不同意，你将怎样纠正他的结论．

拓广、探究、思考

15．小刚做掷硬币的游戏，得到结论：掷均匀的硬币两次，会出现三种情况：两正，一正一

反，两反，所以出现一正一反的概率是

3

1

．他的结论对吗?说说你的理由．

16．袋子中装有3个白球和2个红球，共5个球，每个球除颜色外都相同，从袋子中任意摸

出一个球，则：

(1)摸到白球的概率等于______； (2)摸到红球的概率等于______； (3)摸到绿球的概率等于______；

(4)摸到白球或红球的概率等于______；

(5)摸到红球的机会______于摸到白球的机会(填“大”或“小”)．

测试3 用列举法求概率(一)

学习要求

会通过列举法分析随机事件可能出现的结果，求出“结果发生的可能性相等”的随机事件的概率．

课堂学习检测

一、填空题

1．一个袋中装有10个红球、3个黄球，每个球只有颜色不同，现在任意摸出一个球，摸到______球的可能性较大．

2．掷一枚均匀正方体骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则有： (1)P (掷出的数字是1)＝______；(2)P (掷出的数字大于4)＝______．

3．某班的联欢会上，设有一个摇奖节目，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上(如图所示)，转盘可以自由转动，参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品．则获得钢笔的概率为______，获得______的概率大．

4．一副扑克牌有54张，任意从中抽一张． (1)抽到大王的概率为______；

(2)抽到A 的概率为______； (3)抽到红桃的概率为______；

(4)抽到红牌的概率为______；(红桃或方块) (5)抽到红牌或黑牌的概率为______． 二、选择题

5．一道选择题共有4个答案，其中有且只有一个是正确的，有一位同学随意地选了一个答案，那么他选对的概率为( )．

A ．1

B ．

21 C ．3

1 D ．41 6．掷一枚均匀的正方体骰子，骰子6个面分别标有数字1，1，2，2，3，3，则“3”朝上的概率为( )． A ．

61 B ．41 C ．3

1 D ．21 7．一个口袋共有50个球，其中白球20个，红球20个，蓝球10个，则摸到不是白球的概率是( )． A ．

54 B ．53 C ．52 D ．5

1 三、解答题

8．有10张卡片，每张卡片分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意摸取一张卡片，问摸到2的倍数的卡片的概率是多少?3的倍数呢?5的倍数呢?

9．小李新买了一部手机，并设置了六位数的开机密码(每位数码都是0～9这10个数字中的一个)，第二天小李忘记了密码中间的两个数字，他一次就能打开手机的概率是多少?

综合、运用、诊断

一、填空题

10．袋中有3个红球，2个白球，现从袋中任意摸出1球，摸出白球的概率是______． 11．有纯黑、纯白的袜子各一双，小明在黑暗中穿袜子，左脚穿黑袜子，右脚穿白袜子的概

率为______．

12．有7条线段，长度分别为2，4，6，8，10，12，14，从中任取三条，能构成三角形的

概率是______． 二、选择题

13．一个均匀的正方体各面上分别标有数字1，2，3，4，6，8，其表面展开图如图所示，

抛掷这个立方体，则朝上一面的数字恰好等于朝下一面上的数字的2倍的概率是( )．

A ．

3

2

B ．

2

1 C ．3

1

D ．

6

1

14．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，其中甲被选中的概率是( )．

A ．3

1 B ．21 C ．53 D ．32

15．柜子里有两双不同的鞋，取出两只刚好配一双鞋的概率是( )．

A ．

21 B ．3

1 C ．41 D ．61 16．设袋中有4个乒乓球，一个涂白色，一个涂红色，一个涂蓝、白两色，另一个涂白、红、

蓝三色，今从袋中随机地取出一球．①取到的球上涂有白色的概率为

4

3

；②取到的球上涂有红色的概率为;21③取到的球上涂有蓝色的概率为;21

④取到的球上涂有红色、蓝

色的概率为,4

1

以上四个命题中正确的有( )．

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个 三、解答题

17．随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人值班1天．

(1)这3人的值班顺序共有多少种不同的排列方法? (2)其中甲排在乙之前的排法有多少种? (3)甲排在乙之前的概率是多少?

18．甲、乙、丙三人参加科技知识竞赛，已知这三人分别获得了一、二、三等奖．在不知谁

获一等奖、谁获二等奖、谁获三等奖的情况下，“小灵通”凭猜测事先写下了获奖证书，则“小灵通”写对获奖名次的概率是多少?

拓广、探究、思考

19．有两组相同的牌，每组4张，它们的牌面数字分别是1，2，3，4，那么从每组中各摸

出一张牌，两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?两张牌的牌面数字之和等于几的概率最小?

20．用24个球设计一个摸球游戏，使得：

(1)摸到红球的概率是,21摸到白球的概率是,31摸到黄球的概率是;6

1

(2)摸到白球的概率是,41

摸到红球和黄球的概率都是 8

3

测试4 用列举法求概率(二)

学习要求

能运用列表法和树状图法计算一些事件发生的概率．

课堂学习检测

一、选择题 1．在一个暗箱里放入除颜色外其他都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到红球．．

的概率是( )． A ．113 B ．118 C ．1411 D ．14

3

2．号码锁上有3个拨盘，每个拨盘上有0～9共10个数字，能打开锁的号码只有一个．任意拨一个号码，能打开锁的概率是( )． A ．1

B ．

10

1 C ．

100

1 D ．

1000

1

二、解答题

3．在一个布口袋中装着只有颜色不同，其他都相同的白、红、黑三种颜色的小球各1只，甲乙两人进行摸球游戏；甲先从袋中摸出一球看清颜色后放回，再由乙从袋中摸出一球． (1)试用树状图(或列表法)表示摸球游戏所有可能的结果； (2)如果规定：乙摸到与甲相同颜色的球为乙胜，否则为负，试求乙在游戏中获胜的概率．

4．一个袋子中装有红、黄、蓝三个小球，它们除颜色外均相同． (1)如果从中随机摸出一个小球，那么摸到蓝色小球的概率是多少?

(2)小王和小李玩摸球游戏，游戏规则如下：先由小王随机摸出一个小球，记下颜色后放回，小李再随机摸出一个小球，记下颜色．当两个小球的颜色相同时，小王赢；当两个小球的颜色不同时，小李赢．请你分析这个游戏规则对双方是否公平?并用列表法或画树状图法加以说明．

5．如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等，现同时转动A 、B 两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小力和小明利用这两个转盘做游戏，若两数之积为非负数则小力胜；否则，小明胜．你认为这个游戏公平吗?请你利用列举法说明理由．

6．“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时比赛各方做“石头”、“剪刀”、“布”手势

中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势或三种手势循环不分胜负继续比赛，假定甲、乙、丙三人都是等可能地做这三种手势，那么： (1)一次比赛中三人不分胜负的概率是多少? (2)比赛中一人胜，二人负的概率是多少?

7．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率： (1)三辆车全部直行；

(2)两辆车向右转，一辆车向左转； (3)至少有两辆车向左转．

综合、运用、诊断

一、填空题 8．“五一”期间，梁先生驾驶汽车从甲地经过乙地到丙地游玩．甲地到乙地有两条公路，乙地到丙地有三条公路．每一条公路的长度如图所示(单位：km)，梁先生任选一条从甲地到丙地的路线，这条路线正好是最短路线的概率是______．

9．同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是______，______．

10．银行为储户提供的储蓄卡的密码由0，1，2，…，9中的6个数字组成．某储户的储蓄

卡被盗，盗贼如果随意按下6个数字，可以取出钱的概率是______．

11．小明和小颖做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，由小明先取，最后取完

铅笔的人获胜．如果小明获胜的概率为1，那么小明第一次应取走______支． 二、选择题

12．有三条带子，第一条的一头是黑色，另一头是黄色，第二条的一头是黄色，另一头是白色，第三条的一头是白色，另一头是黑色．若任意选取这三条带子的一头，颜色各不相同的概率是( )．

A ．3

1 B ．41 C ．51 D ．61

13．某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖．老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是( )． A ．

51 B ．52 C ．53 D ．5

4 三、解答题

14．口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同．其中有红球4个，绿球5

1

个，任意摸出1个绿球的概率是

3

求：(1)口袋里黄球的个数；

(2)任意摸出1个红球的概率．

拓广、探究、思考

15．小明走进迷宫，迷宫中的每一个门都相同，第一道关口有四个门，只有第三个门有开关，第二道关口有两个门，只有第一个门有开关，他一次就能走出迷宫的概率是______．

16．请你设计一种均匀的正方体骰子，使得它掷出后满足下列所有条件：

1

(1)奇数点朝上的概率为;

3

(2)大于6的点数与小于3的点数朝上的概率相同．

测试5 利用频率估计概率(一)

学习要求

会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程．

课堂学习检测

一、填空题

1．当实验次数很大时，同一事件发生的频率稳定在相应的______附近，所以我们可以通过多次实验，用同一个事件发生的______来估计这事件发生的概率．(填“频率”或“概率”) 2．50张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色后放回，洗匀后再抽，抽到红桃、黑桃、梅花、方片的频率依次是16％、24％、8％、52％，估计四种花色分别有______张．3．在一个8万人的小镇，随机调查了1000人，其中有250人有订报纸的习惯，则该镇有订报纸习惯的人大约为______万人．

4．为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉10只，全部做上记号后放飞．过了一段时间后，重新捕捉40只，其中带有标记的天鹅有2只．据此可估算出该地区大约有天鹅______只．

二、选择题

5．如果手头没有硬币，用来模拟实验的替代物可用( )．

A．汽水瓶盖B．骰子C．锥体D．两个红球

6．在“抛硬币”的游戏中，如果抛了10000次，则出现正面的概率是50％，这是( )．A．确定的B．可能的C．不可能的D．不太可能的

三、解答题

7．对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：

(1)计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；

(2)该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少?

8．某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目，小亮向纸箱中放入25个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为25％，摸到黄球的频率为40％，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目．

综合、运用、诊断

一、填空题

9．一口袋中有6个红球和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀．重复上述实验共300次，其中120次摸到红球，则口袋中大约有______个白球．

10．某班级有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．如果要在班内任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组内的概率为______；现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是______．

二、解答题

11．在5瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从5瓶饮料中任取2瓶，则取到的2瓶都过了保质期的可能性是多少?请你用替代物进行模拟实验，估计问题的答案．

12．某笔芯厂生产圆珠笔芯，每箱可装2000支．一位质检员误把一些已做标记的不合格产品也放入箱子里，若随机拿出100支，共做10次实验，这100支中不合格笔芯的平均数是5，你能估计箱子里有多少支不合格品吗?若每支合格品的利润为0.5元，如果顾客发现不合格品，需双倍赔偿(即每支赔1元)，如果让这箱含不合格品的笔芯走上市场，根据你的估算这箱笔芯是赚是赔?赚多少或赔多少?

13．为估计某一池塘中鱼的总数目，小英将100尾做了标记的鱼投入池塘中，几天后，随机

(1)估计池塘中鱼的总数．根据这种方法估算是否准确?

(2)请设计另一种标记的方法，使得估计更加精准．

14．小明在乒乓球馆训练完后，不慎将若干白球放入了装有30个橙色球的袋子中，已知两

种球除颜色外都相同，你能帮他设计一个方案来估计放进多少白球吗?

拓广、探究、思考

15．北京联通公司市场部经理小张想了解市内移动公司等对手的市场占有率及用户数量，你

能帮他设计一种方案估计出其他公司用户的数量吗?

16．一口袋中只有若干粒白色围棋子，没有其他颜色的棋子；而且不许将棋子倒出来数，请

你设计一个方案估计出其中白色棋子的数目．

测试6 利用频率估计概率(二)

学习要求

当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法．

课堂掌习检测

一、填空题

1．用频率来估计概率的值，得到的只是______，但随实验的次数增多，频率值与实际概率值的差会越来越趋近于______，此时对这个事件发生概率值估计的准确性也就越大． 2．某单位共有30名员工，现有6张音乐会门票，领导决定分给6名员工，为了公平起见，他将员工们按1～30进行编号，用计算器随机产生______～______之间的整数，随机产生的______个整数对应的编号去听音乐会．

3．为了解某城市的空气质量，小明由于时间的限制，只随机记录了一年中73天空气质量情况，其中空气质量为优的有60天，请你估计该城市一年中空气质量为优的有______天． 4．利用计算器产生1～5的随机数(整数)，连续两次随机数相同的概率是______． 二、选择题

5．某口袋放有编号1～6的6个球，先从中摸出一球，将它放回口袋中后，再摸一次，两次摸到的球相同的概率是( )

A ．

361 B ．181 C ．61 D ．2

1 6．某科研小组，为了考查某河流野生鱼的数量，从中捕捞200条，作上标记后，放回河里，经过一段时间，再从中捕捞300条，发现有标记的鱼有15条，则估计该河流中有野生鱼( )

A ．8000条

B ．4000条

C ．2000条

D ．1000条 三、解答题

7．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做

摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下

(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近______；

(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______；

(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只?

(4)解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问

题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)?请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．

8．某学校有50位女教师，但不知其校男教师的人数，一位同学为了弄清该校男教师的人数，他对每天进校时的第一位老师的性别进行了记录，他一共记录了200次，记录到女教师有80次．你能根据这位同学的记录估计出该校男教师的人数吗?请说明理由．

综合、运用、诊断

一、填空题

9．均匀的正四面体各面分别标有1，2，3，4四个数字，同时抛掷两个这样的四面体，它们着地一面数字相同的概率是______．如果没有正四面体，设计一个模拟实验用来替代此实验：______________________________．

10．有4根完全相同的绳子放在盒子中，然后分别将它们的两端相接连成一条绳子，问一根绳子的两端刚好都接有绳子的概率是______．

二、解答题

11．某数学兴趣小组为了估计π的值设计了投针实验．平行线间的距离α＝0.5m，针长为0.1m，向地面随机投了150次，经统计有19次针与平行线相交．试求出针与平行线相交的概率的近似值，并估计出π的值．

12．小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1m的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：

13．地面上铺满了正方形的地砖(40cm×40cm)．现在向其上抛掷半径为5cm的圆碟，圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是多少?

拓广、探究、思考

14．设计一个方案，估计10个人中有2个人生日相同的概率是多少?写出你的方案设计．

15．一次战争期间，参战的一方的一名间谍深入敌国内部，他侦察到的情报如下：

(1)该国参战部队有220个班建制；

(2)他在敌国参战部队的不同地点侦察了22个班；22个班中有20个班严重缺员，另外

2个班只是基本满员；

(3)敌国的士气不振．

因此，他向本国发回消息：“敌国已基本失去战斗力”．

你认为这名间谍的消息正确吗?

答案与提示

第二十五章 概率初步

测试1

1．(3)、(9)、(10)、(11)；(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(12)；(5)； (12)．

2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．C ．

6．可能发生．虽然这个事件发生的几率很小，但它仍然是可能发生的事件，是不确定事件．

7．纸片埋在2号区域的可能性最大．因为2号区域的面积是整个区域面积的,21

而1号、3

号区域的面积都是整个区域面积的,4

1

当随意投入纸片时，落在2号区域的可能性要大．

8．这个游戏是公平的．因为黑白两色的直角三角形都全等，且个数也分别相等，所以黑白两色直角三角形面积的和也分别相等，又因为黑白两色弓形的弦长都是直角三角形的斜边，所以黑白两色弓形面积的和也分别相等，因此黑白两色区域面积各占圆面积的50％，即镖扎在黑白两色区域面积的概率均为50％．

9．两个人的说法都不同意．两个转盘的面积大小不同，但是蓝色部分所占总面积的比例相同，都是,4

1

因此预计成功的机会都是25％．

10．(1)左图中，可能处于A 区域或B 区域，可能性最大的是处于B 区域．

右图中，可能处于1，2，3，4，5，6区域，处于各区域的可能性相同． (2)左图中，投掷结果可能为1，2，3，4，5，6，可能性一样． 右图中，投掷结果可能为1或2，可能性一样． (3)投掷结果可能为正面或反面，可能性一样．

测试2

1．频率，概率． 2．0.15．

3．(1)4，80％；(2)5006，50.1％，4994，49.9％；(3)0.5．

4．D ． 5．A ． 6．(1)0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7；(2)0.75． 7．①、③、④． 8．

.500000

1

9．D ． 10．D ． 11．A ．

12．最后一位数可以是0～9这10个数字中的一个，故正好按对密码的概率是 10

1 13

14．不同意．10次的实验次数太少，所得频率不能充分代表概率，所以应多做实验，如100

次实验后，用摸到1的次数除以100，才能近似代表概率值．

15．不对．三种情况中，出现“一正一反”的有两种可能，其概率应为?=?21

241

16．(1);53 (2);5

2

(3)0； (4)1； (5)小．

测试3 1．红． 2．(1);61 (2)?31 3．,41

糖果．

4．(1)

;541 (2);272 (3);5413 (4);2713 (5)?27

26

5．D ． 6．C ． 7．B ． 8．P (摸到2的倍数的卡片) ;2

1105== P (摸到3的倍数的卡片);103

=

P (摸到5的倍数的卡片)?==

5

1

102 9．中间两位可能是00～99中的一种情况，故一次就可打开手机的概率是

.100

1 10．?5

2 11．?41 12．?358

13．C ． 14．D ． 15．B ． 16．A ．

17．(1)值班顺序共有6种排列方法；(2)甲在乙前的有3种；(3)概率为

?=2

1

63 18．可能结果有6种，而猜正确的只能是一种，故概率是.6

1

19．两张牌面数字之和共有16种等可能的结果，其中等于5的有4种，故其概率为;4

1

和等

于2和8的概率最小．

20．(1)设计12个红球，8个白球，4个黄球；(2)设计红球和黄球各9个，白球6个．

测试4

1．D ． 2．D ．

3．(1)画树形图来找出所有可能情况．

甲摸得球的颜色：

乙摸得球的颜色或用列表法思考所有情况．列表如下：

乙

甲

白 红 黑 白 白，白 红，白 黑，白 红 白，红 红，红 黑，红 黑

白，黑

红，黑

黑，黑

况，每种情况出现的机会均等，乙取胜的概率为

?=3

193 4．(1)每个小球被摸到的机会均等，故P (摸到蓝色小球)?=3

1 (2)列表思考所有可能情况：

由上表可知小王和小李先后摸球的所有情况有9种，每种情况出现的可能性相同，其中小王赢的情况有3种，小李赢的情况有6种． ∴P (小王赢),3193==

P (小李赢) ,3

296== ,3

2

31=/Θ

∴此游戏规则对双方是不公平的． 5．列表考虑所有可能情况：

转盘A

两个数字之积

转盘B

－1 0 2 1

1 －1 0

2 1

－2 2 0 －4 －2

－1 1 0 －2 －1 由列表可知，由两个转盘各转出一数字作积的所有可能情况有12种，每种情况出现的可能性相同，其中两个数字之积为非负数有7个，负数有5个，

∴P(小力获胜),

12

7

=P(小明获胜).

12

5

=

∴这个游戏对双方不公平．

6．剪刀一A，石头一B，布一C，画出树形图如下：

由树形图可知，三人随机出拳的所有可能情况有27种，每种情况出现的可能性相同，其中，

(1)不分胜负的有：AAA，BBB，CCC，ABC，共4个，

P(三人不分胜负);

27

4

=

(2)一人胜二人负的有：ACC，AAB，ABA，BAA，BBC，CBB，CAC，CCA，BCB，

共9个，

P(一人胜二人负).

3

1

27

9

=

=

7．画出树形图：

由树形图可知，三辆车在十字路口随机选择的情况共有27种，每种情况出现的可能性大小相同，其中，

(1)三辆车全部继续直行的结果只有一个，P(三辆车全部继续直行);

27

1

=

(2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3个，

P(两辆车向右转，一辆车向左转);

9

1

27

3

=

=

(3)至少有两辆车向左转的结果有7个，P (至少有两辆车向左转).27

7=

8．?61 9．.43

,41 10．?1000000

1 11．2． 12．B ． 13．C ．

14．(1)黄球有6543

15=--÷(个)；(2)任意摸出一个红球的概率是?154

15．.8

1

16．(1)要求只有两个奇数即可；(2)要求必须有1，2，4，5，另外两个数只要大于6即可．因

此可以选1，2，4，5，7，8．

测试5

1．概率，频率． 2．8，12，4，26． 3．2． 4．200． 5．A ． 6．B ．

7．(1)频率依次为0.90，0.92，0.91，0.89，0.90；(2)概率是0.9． 8．可估计三色球总数为

100%

2525

=个，则黄球约为40个，红球约为100－40－25＝35个．

9．9． 10．?154

;41

11．可能性是

;10

1

可取3个白球和两个红球，用红球代表过了保质期的饮料，从这5个球中任取两个，这两个均为红球的概率即为所求． 12．(1)100100

5

2000=?

(支)，估计箱子里有100支不合格产品； (2)0.5×(2000－100)－1×100＝850(元)，这箱笔芯能赚钱，赚了850元．

13．(1)先求有标记数与总条数的比

,67928

得池塘鱼数2425679

28100=÷=条，估计可能不太准确，因为实验次数太少．

(2)可以先捞出一定数目的鱼(比如30条)，做上标记再放回，一天后，在池塘里随机捞取，每次捞50条，求带有标记和不带有标记鱼的数目比．重复实验100次，求出平均值，然后用30除以平均比值，即可估计池塘里的鱼数．

14．从袋中随机摸取一球，记下颜色放回摇匀，摸20次为一次实验，若摸出n 个橙球，则

摸到橙球的频率为

;20n 重复多次实验，用实验频率估计理论概率；用20

30n

÷

求出袋中球的总数，再用总数减去30个橙球数，就得出放进去的白球数．

15．首先统计出联通用户数量m ，然后随机调查1000名手机用户，如果其中有n 名中国联

通用户，则可估计对手的市场占有率为,10001n

-

对手用户数量为

m n

m -1000名． 16．方案一：从口袋中摸出10粒棋子做上标记，然后放回口袋．拌匀后从中摸出20粒棋子，

求出标记的棋子与20的比值，不断重复上述过程30次，有标记的棋子与20

的比值的平均数为

,1

m

则估计袋中棋子有10m 粒． 方案二：另拿10粒黑色棋子放到袋中，拌匀后，重复方案一中的过程．黑棋子与20

的比值平均数为,1

n

估计袋中原有白棋子(10n －10)粒．

测试6

1．近似值，0． 2．1，30，6． 3．300． 4．?5

1

5．C ． 6．B ．

7．(1)0.6；(2)0.6，0.4；(3)白球12，黑球8； (4)尝试自己设计出一种方案与同学交流． 8．能．设男教师人数为x ，则

,200

80

5050=+x 解得x ＝75，估计该校约有75位男教师． 9．,41略． 10．?2

1

11．估计,127.015019

==≈

N n P 又.149.35

.0127.01.022π,π2=??=≈∴=

Pa l a l P 12．随实验次数的增加，可以看出石子落在⊙O 内(含⊙O 上)的频率趋近0.5，有理由相信

⊙O 面积会占封闭图形ABC 面积的一半，所以求出封闭图形ABC 的面积为2π. 13．如图，当所抛圆碟的圆心在图中边框内(宽为5cm)部分时，圆碟将与地砖间的间隙相交，

因此所求概率等于一块正方形地砖内的边框部分和该正方形的面积比，结果为

?16

7

14．用计算器设定1～365(一年按365天计)共365个随机数，每组取10个随机数，有两个

数相同的记为1，否则记为0，做10组实验，求出现两个数相同的频率，用此数据来估计概率． 15．由于间谍侦查到的班是随机的，设敌国有x 个班严重缺员，那么

,220

2220x

=解得x ＝200，可见敌国有200个班严重缺员，仅有的20个班基本满员，又加上士气不振，可以说“敌国已基本上无战斗力了”．

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a

（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元

人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。

人教版九年级上册数学全册教案公开课

人教版九年级上册数学 全 册 教 案 第二十一章一元二次方程 21.1 一元二次方程 教学目标 知识技能 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2.了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．

数学思考与问题解决 通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识． 情感态度 使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣． 重点难点 重点：通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项系数的识别． 教学设计 活动一：创设情境 1．什么是方程？什么是一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？ (1)3x＋4＝1；(2)6x－5y＝7；(3)－＝0；(4)y＝5；(5)x2－70x ＋825＝0；(6)7＋＝4；(7)x(x＋5)＝150；(8)－＝0. 3．什么是“元”？什么是“次”？

活动二：一元二次方程及其相关概念的学习 自学教材第2～3页，思考教师所提下列问题： 1．问题1中列方程的等量关系是________，所列方程为________，化简后为________． 2．问题2中列方程的等量关系是________，为什么要乘？所列方程为________，化简后为________． 3．观察上面化简后的方程，会发现：等号两边都是________，只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的方程，叫做一元二次方程． 4．任何一个方程都要化成它的一般形式，一元二次方程的一般形式为________(a≠________)．为什么？ 5．说出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项，在确定各个系数时要注意什么？ 设计意图：通过设问的方式来加深学生对一元二次方程的理解，排除学生对一元二次方程及其相关概念理解的障碍，让学生体会到一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型，同时，通过设问也给学生学习探究搭建了交流平台． 活动三：尝试练习 1．判断下列方程是否为一元二次方程． (1)3x＋2＝5y－3；(2)x2＝4；(3)3x2－＝0；(4)x2－4＝(x＋2)2；

新人教版九年级上册数学全册教案

《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）

人教版九年级数学上册讲义(全册)

人教版九年级数学上册讲义（全册） 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）． （3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简． （2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简． （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式． 教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神． 单元课时划分 本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时 教学活动、习题课、小结2课时

九年级数学上册人教版教案

x 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动 1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． 1 (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3) ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程 2x －1＝3 的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动 2 探究新知

根据题意列方程． 1．教材第2页问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？

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(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 数学教案（七年级上册） 第1章有理数 第2章整式的加减 第3章一元一次方程 第4章图形认识初步 第一章有理数 1.1正数和负数 教学目标： 1、了解正数与负数是从实际需要中产生的。 2、能正确判断一个数是正数还是负数，明确0既不是正数也 不是负数。 3、会用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量。 重点：正、负数的概念 重点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量。 2、正数和负数 教师：如何来表示具有相反意义的量呢？我们现在来解决问题4提出的问题。 结论：零下5℃用－5℃来表示，零上5℃用5℃来表示。 为了用数表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量。如零上、向东、收入和高于等规定为正的，而把与它相反的量规定为负的。正的用小学学过的数（0除外）表示，负的用小学学过的数（0除外）在前面加上“－”（读作负）号来表示。根据需要，有时在正数前面也加上“+”（读作正）号。 注意：①数0既不是正数，也不是负数。0不仅仅表示没有，也可以表示一个确定的量，如温度计中的0℃不是没有表示没有温度，它通常表示水结成冰时的温度。②正数、负数的“+”“－”的符号是表示量的性质相反，这种符号叫做性质符号。

三、巩固知识 1、课本P3 练习 2、课本P4例 义。 四、总结 ①什么是具有相反意义的量？②什么是正数，什么是负数？③引入负数后，0的意义是什么？ 五、布置作业 课本P5习题1.1第1、2题。 1.2.1有理数 教学目标： 1、正确理解有理数的概念及分类，能够准确区分正整数、0、负整数、正分数、负分数。 2、掌握有理数的分类方法，会对有理数进行分类，体验分类是数学上常用的处理问题的方法。 重点：正确理解有理数的概念 重点：有理数的分类 教学过程： 一、知识回顾，导入新课 什么是正数，什么是负数？ 问题1：学习了负数之后，我们对数的认识范围扩大了，你能写出三个不同类型的数吗？（请三位同学上黑板上写出，其他同学在自己的练习本上写出，如果有出现不同类型的数，同学们可上黑板补充。）问题2：观察黑板上的这么数，并给它们分类。 先让学生独立思考，接着讨论和交流分类的情况，得出数的类型有5类：正整数、0、负整数、正分数、负分数。 二、讲授新课 1、有理数的定义 引导学生对前面的数进行概括，得出：正整数、零、负整数统称为整数；正分数和负分数统称分数。整数可以看作分母为1的分数，正整数、零、负整数、正分数和负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数，即整数和分数统称有理数。 2、有理数的分类 让学生在总结出5类数基础上，进行概括，尝试进行分类，通过交流和讨论，再加上老师适当的指导，逐步得出下面的两种分类方式。 （1）按定义分类：（2）按性质分类：

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新人教版初中数学九上圆周角教学设计 一、内容和内容解析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。 圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。 圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。 教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 基于上述分析，确定本节教学重点是： 直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。 二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理 的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答 问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。 三、问题诊断分析 教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学 习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学 生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法 的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求 知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。 学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角 等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。 鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法。 四、教学支持条件设计 教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性。

人教版九年级上册数学公式汇总

第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即53 22要写成 53 8 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2 a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0, b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2 +bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2 =p 或（mx+n ）2 =p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ± 或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常 数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2 =h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个相

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第二十三章旋转 23.1 图形的旋转（1） 教学内容 1．什么叫旋转？旋转中心？旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 教学目标 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题． 1．重点：旋转及对应点的有关概念及其应用． 2．难点与关键：从活生生的数学中抽出概念． 教具、学具准备 小黑板、三角尺 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）?的对称图形并口述它既有的一些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？?从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．?如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3．第1、2两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫

人教版九年级数学上册期末测试题(含答案)

九年级数学上册期末测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有（ ） A ．221 x x + B ．02=++c bx ax C ．()()121=+-x x D ．05232 2 =--y xy x 2．化简 1 321 21++ -的结果为（ ） A 、23+ B 、23- C 、322+ D 、223+ 3.已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2- 4．要使二次根式1-x 有意义，那么x 的取值范围是（ ） （A ）x ＞－1 （B ） x ＜1 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1 5．有6张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上（如图 2），从中任意一张是数字3的概率是（ ） A 、61 B 、31 C 、21 D 、3 2 6．已知x 、y 是实数，3x ＋4 ＋y 2 －6y ＋9＝0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．94 D ．－94 7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ) A B C D 8．已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ，圆心距为7cm ，那么这两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离 9．如图3，⊙Ｏ的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 10．已知：如图4, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连接AC 、BE. 若∠ACB ＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A ．∠AO B ＝60° B ． ∠ADB ＝60° C ．∠AEB ＝60° D ．∠AEB ＝30° 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．方程 x 2 = x 的解是______________________ 12．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个 五角星可以由一 个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O 至少经过____________次旋转而得到， 每一次旋转_______度． 13．若实数a 、b 满足1 112 2+-+-= a a a b ，则a+b 的值为 ________． 14．圆和圆有不同的位置关系.与下图不同的圆和圆的位置关系是_____.(只填一种) 15．若关于x 方程kx 2–6x+1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 . 16．如图6，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2。分别以A 、B 、C 为圆心，以2 1AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是______. 17．已知：如图7，等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，若以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，DE ∥AB ，DE 与AC 相交于点E ，则DE=____________。 18. 如图，是一个半径为6cm ，面积为π12cm 2的扇形纸片，现需要一个半径为R 的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R 等于 cm 三．解答题 19．（6 分）计算：÷ （6分）解方程：2（x+2）2=x 2 -4 图2 O A B M 图3 图4 图5 图7 图 6 12题图

部编人教版初三数学上册知识点总结

部编人教版初三数学上册知识点总结 初三数学上册知识点总结第21-22章 第21章二次根式 学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。“二次根式” 一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。 在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论： 注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。“二次根式的乘除”一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到并运用它们进行二次根式的化简。 “二次根式的加减”一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。 第22章一元二次方程 学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。 本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念，

“22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。 (1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。 (2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。 (3)在介绍因式分解法时，首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。 “22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 初三数学上册知识点总结第23-24章 第23章旋转 学生已经认识了平移、轴对称，探索了它们的性质，并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换，探索它的性质。在此基础上，认识中心对称和中心对称图形。 “23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上，通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。 “23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上，通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后，通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系，以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。

人教版九年级上册数学课本知识点归纳

人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章二次根式 一、二次根式 1. 二次根式：把形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式，“”表示二次根号。 2. 最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中 不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3. 化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分 母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5. 代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代 数式。 6. 二次根式的性质 （1）(（2） a )2 a 2 a(a a 0) a(a a(a 0) 0) （3）ab a ? a a ( a b( a 0, b 0,b 0) ( 乘法) 0) （4） b b( 除法) 二、二次根式混合运算 1. 二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。

2 2. 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后 加减，有括号的先算括号里的（或先去括号） 。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数 ( 一元) ，并且未知数的最高次数是 2( 二次) 的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 ax 2 bx c 0(a 0) ，其中 ax 2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项。 二、降次 ---- 解一元二次方程 1. 降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程 ( 不管用什么方法 解一元二次方程，都是要一元二次方程降次 ) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方 法。直接开平方法适用于解形如 x =b 或 ( x a) 2 b 的一元二次方程。根据平方 根的定义可知， x a 是 b 的平方根，当 b 0 时， x a b ， x a b ， 当 b<0 时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2 ，把 公式中的 a 看做未知数 x ，并用 x 代替，则有 x 2bx b 2 (x b) 2 配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方 ( 写成平方形式 ) 、③用 直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断 2 个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用 求根公式， 解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的求根公式： x b b 4 ac ( b 2 4 ac 0 ) 当b 2 2 a 4ac >0 时，方程有两个实数根。 。 2 2

人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结 第二十一章 二次根式 21.1 二次根式 知识点一 二次根式的概念 (1) 一般地,我们把形如 a (a ≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a 的实质是一个 非负数a 的算术平方根。其中“ ”叫做二次根号。 (2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： ① 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“ ”。如 4是二次根式，虽 然 4=2，但2不是二次根式。 ② 被开方数a 必须是非负数，即a ≥0.如 3-就不是二次根式，但式子) 3(-2 是二次根式。 ③ “ ”的根指数为2，即“2 ”，一般省略根指数2，写作“ ”，注意，不 可误认为根指数是“1”或“0”。 提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。 知识点二 二次根式的性质 （1） a （a ≥0）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负 数，即a ≥（a ≥0），我们把这个性质叫做二次根式的非负性。 （2）（ a ）2 = a （a ≥0），这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根 式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。 （3） a 2 = a (a ≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化 简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。 知识点三 代数式 定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。 21.2 二次根式的乘除 知识点一 二次根式的乘法法则 一般地，对二次根式的乘法规定： a · b =ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘， 把被开方数相乘，根指数不变。 知识点二 积的算术平方根的性质 ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根 的积。 知识点三 二次根式的除法法则

最新人教版九年级数学上册期末试卷及答案

九年级上期数学期末检测 一、精心选一选（每小题3分，共30分） 1、下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）。 A. y=x --2 B.y= x x 2- C.y=2 4x - D.y=2 1--x 2．如图中∠BOD 的度数是（ ） A ．55° B ．110° C ．125° D ．150° 3.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE 的度数 是（ ） A.55° B.60° C.65° D.70° 第2题 第3题 4.有一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它完全相同。小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能 是（ ） A ．6 B ．16 C ．18 D ．24 5．化简x x 1 - 得（ ）。 A.x -- B.x - C.x - D.x 6．一元二次方程ax 2+bx+c=0中，若a >0，b <0，c <0，则这个方程根的情况是（ ）。 A.有两个正根 B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大； D.有一正根一负根且负根绝对值大。 7．在⊿ABC 中，∠A ＝50°，O 为⊿ABC 的内心，则∠BOC 的度数是（ ）。 A.115° B.65° C.130° D.155° 8．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2－2x ＋3=0有两不等实根，则k 的取值范围是（ ）。 A.k < 34 B.k <34 且k ≠1 C.0

人教版数学九年级上册全册含课后练习

21．1 二次根式（1）（民中） 第一课时 一、教学目标: （a ≥0）的意义解答具体题目． 二、教学重难点: 1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2a ≥0）”解决具体问题． 三、 教学过程: 例1． 下列式子，哪些是二次根式，、1x x>0）、 、、1x y +（x ≥0，y?≥0）． 例2． 当x 在实数范围内有意义？ 四、应用拓展：例3．当x + 11x +在实数范围内有意义？ 例4(1)已知，求x y 的值． (2)=0，求a 2004+b 2004的值． 五、归纳小结： 1（a ≥0）的式子叫做二次根式， 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、课后作业： （一）选择题： 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A ． B C D ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A B C D ．1x 3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A ．5 B C ．15 D ．以上皆不对 （二）填空题： 1．形如________的式子叫做二次根式；面积为a 的正方形的边长为_____；负数______平方根． （三）综合提高题： 1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，?底面应做成

正方形，试问底面边长应是多少？ +x2在实数范围内有意义？ 2．当x是多少时， x 3． 4.x有（）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知a、b=b+4，求a、b的值． 21.1 二次根式(2)（民中） 第二课时 一、教学目标： a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．二、教学重难点： 1a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用． 2．难点：a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出）2=a （a≥0）． 三、教学过程： 例1计算 ）2 1．22．（23．24．（ 2 四、应用拓展： 例2 计算 1．2（x≥0）2．2 3．24．2 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结 1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业 1．教材P8复习巩固2．（1）、（2）P9 7． 七、课后作业： （一）选择题：1