高中数学拓展知识-有理数逼近无理数

有理数逼近无理数

“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number ，而rational 通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio ，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词实际的含义应该是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

若将无理数写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e 等。

无理数还可以用无限的连分数表示。

一般地，设012n a ,a ,a ,,a ???是一个实数序列，其中()01i a i >≥，n 为自然数，则分数

0121111

n

a a a a +

+

++

O

称为有限连分数。

如果0a 是整数，12， ，，n a a a ???是正整数，则称为有限简单连分数。当n →∞

时，则它们分别称为无限连分数或无限简单连分数。有限连分数记作

012[；]n a a ,a ,,a L 或01231111

n

a a a a a +

++++L ；

无限连分数记作

[a 0；a 1，a 2，…]或0123111

a a a a +

+++L

。

一般来说，有限连分数表示有理数，无限连分数表示无理数。

可以证明，由连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的

高二数学上公式大全

高二数学（上）公式大全 一． 不等式部分。 1．不等式的性质： a>b ?a-b=0 ; a=b ?a-b=0 ; ab 且b>c ?a>c cb ?a ±c>b ±c ; a>b 且c>d ?a+c>b+d a>b 且c>0?ac>bc ; a>b 且c<0?acb>0且c>d>0?ac>bd a>b 且ab>0?1a <1b a>b>0?n n a b >(,n N ∈且n>1) a>b>0? >(,n N ∈且n>1 ） 2.几个重要的不等式 。 若a. 、b ∈R,则有： ①2 2 2a b ab +≥ ② 222a b ab +≤ ③2 2a b ab +?? ≤ ??? ④2 22 22a b a b ++??≤ ??? ⑤ 2a b +≤ ⑥222 a b c ab bc ca ++≥++ ⑦当a 、b 均大于0时，3322 a b a b ab +≥+ （ 以上各式均当且仅当 a=b=c 时取“=”） 3。均值不等式 ①若a 、b 大于0 ，则2a b +≥ ② 若a 、b 、c 均>0, 则3 a b c ++≥拓展：若有n 个正数a 1a 2……a n (n ≥2), 则有12...n a a a n +++≥ 均值不等式的推论： ①ab>02b a a b ? +≥ ②ab<02b a a b ?+≤- ③ ab 22,112ab a b R a b a b + +∈?=≤≤≤++(以上各式均当且仅当a=b 时取=) 4.均值不等式的应用 若x 、y 是正数，①如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ②如果和x+y 是定值S, 那么当x=y 时,积xy 有最大值214 S (注意：使用条件：“一正、二定、三相等”) 5。含绝对值的不等式 ①a b a b a b -≤+≤+ ②1212......n n a a a a a a +++≤+++ ③a b a b a b -≤-≤+

高中数学知识清单完整版

一、集合的含义与表示 （1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 （2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“?”表示）。 （3）常用数集及其表示符号 （4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。 二、集合间的基本关系 三、集合的基本运算 x x } x B ∈ x x } x B ∈ (1)A A ?=; (2)A A A =; A B B = B A =? A (1)A?=? (2)A A A =; A B B = (4)A B A =? A B ? () U C A= () U U C A= (4)()( U C A B= (5)()( U C A B= 知识拓展： 设有限集合A中元素的个数为n，则（1） （1）A的子集个数是2n； （2）A的真子集个数是2n-1； （3）A的非空子集个数是2n-1； （4）A的非空真子集个数是2n-2。

一、不等式的定义 用数学符号“>、<、≤、≥、≠”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的基本性质 三、比较大小的基本方法 作差法： 理论依据：0;0;0a b a b a b a b a b a b ->?>-?? >?的解集为}{x x b >；（2）x a x b ?? ?的解集为? 2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 2y ax bx =+(0)a >的图像3、绝对值不等式 （1）当0a >时，有{ x a x x a >?>或}x a <；{ }x a x a x a ?≠；0x

高中数学知识点总结超全

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

高中数学各种暴强公式

[例题1] 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且向量BF=2向量FD，求C的离心率_____。[解析]：利用爆强公式：ecosA＝（x－1）/（x ＋1）A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比（就是指AF＝xBF），必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分，用该公式；如果外分，将公式中正负号对调。综上：本题中cosA＝c/a＝e，所以代入公式易得e=√3/3 [例题2]已知O三角形ABC的外心，AB＝2，AC＝5，向量AO※向量BC（数量积）＝__[解析]：根据爆强公式：向量AO※向量BC＝(AC^2－AB^2)/2易得。[公式的来源：过O作BC 垂线，垂足为D，转化到三角形]综上：答案为：21/2 [例题3]已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且点P到三棱锥的三个侧面的三个距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（）A.一条直线的一部分B，椭圆的一部分，C，圆的一部分D，抛物线的一部分[解析]：根据等体积易得d1＋d2＋d3＝定值。又因为这三个数成等差，所以d2为定值。故选A[答案]:A [例题4]已知椭圆x^2/4＋y^2/3＝1，直线AB过椭圆右焦点，交于椭圆A.B两点，AB的中点为（1/2，1/2），求直线AB的方程。[解析]：根据爆强公式k椭＝-b^2xo/（a^2yo）＝-3/4根据点斜易得直线方程。[答案]3x＋4y-3＝0 [例题5]已知点(x，y)满足x^2/4+y^2＜=1，求x＋2y的取值范围。[解析]：根据参数方程求解。x=2cosc，y=sinc 所以x+2y＝2cosc＋2sinc＝2√2sin(c+派/4) [答案]：[-2√2，2√2] [例题6]已知a(n+1)＝3a(n)＋2，a1＝2，求an。[解析]：根据爆强公式特征根方程得到x=q/(1-p)＝2/(1-3)＝-1，所以an=(a1-x)p^(n-1)＋x＝3^(n-1）-1[答案]：an＝3^(n-1)-1 [例题7]空间给定不共面的A、B、C、D 四个点，其中任意两点的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A、B、C、D中有三个点到α的距离相同，另外一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面的个数是A．15 B．23 C．26 D．32 [解析]：无论如何算，答案必是4的倍数。因为C41＝4[答案]:D 如果要真正做也可以自己想一下：4×（2＋6）＝32 [例题8]三角形ABC的两顶点A(-5,0),B(5,0)，三角形内心在直线x=3上，求顶点C的轨迹方程。[解析]：根据双曲线性质，c是双曲线上一点，三角形f1cf2的内切圆的圆心必在x=a 上，所以易得a＝3，c＝5注意定义域[答案]：x^2/9 -y^2/16＝1（x＞0） [例题9]已知P点在圆c：x^2＋(y-4)^2＝1上移动，Q点在椭圆x^2/4 ＋y^2＝1上移动，求∣PQ∣的最大值。[解析]：抓住圆的圆心不动，以静制动。设点C(0，4）与点Q(x，y)的距离为d，则d^2＝x^2＋(y-4)^2=4-4y^2＋(y-4)^2 又因为y属于[-1，1] 所以d^2最大为25 所以d+1最大为6。[答案]：6 [例题10](a+b+c)^6的展开式中合并同类项后共有__项。[解析]:根据常用结论(a+b+c)^n的展开项有C(n+2) 2项。所以本题C8 2＝28[答案]：28[拓展]：上述公式可以推广成(x1＋x2＋…＋xm）^n 展开合并后共有：C(n+m-1) (m-1) 项

高中数学知识大全(完整)

第一章 集合和命题 1. 集合及其表示法 能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集； 集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性； 集合常用大写字母A 、B 、 C …表示，集合中的元素用小写字母a 、b 、c …表示；如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”，如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ?，读作“a 不属于A ” 数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然 数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、 正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、 -R ； 点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合； 含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集； 规定空集不含元素，记作?； 集合的表示方法常用列举法和描述法； 将集合中的元素一一 列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法；

2. 集合之间的关系 对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ， 那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?，读作“A 包含于B”或“B 包含A”； 空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若B A ?，不要遗漏?=A 的情况； 对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为n 2真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n ； 用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图； 对于两个集合A 和B ，如果B A ?且A B ?，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等； 对于两个集合A 和B ，如果B A ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合的B 真子集，记作B A ≠ ?或 A B ≠ ?，读作“A 包含于B ”或“B 真包含A ”； 对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，有R Q Z N ≠ ≠ ≠ ???； 3. 集合的运算 一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=且| ； 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=或| ； 在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素； 设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在 全集U 中的补集，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ?∈=,| 德摩根定律：()B C A C B A C U U U =；()B C A C B A C U U U = 容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则B A B A B A -+=； C B A A C C B B A C B A C B A +---++=；

苏教版高中数学必修4-1.2知识拓展：由三角恒等式派生的公式

由三角恒等式派生的公式 由基本公式经过简单推导，得出一系列的公式，谓之派生公式，在恒等变形中使用这些派生公式，可使解题过程简化．常用的有 1．sinα±cosα＝2sin ??? ? ?±4πα ＝2cos ??? ? ?4πα ． 2．tan α＋cot α＝secα·cscα＝ α 2sin 2． 3．tan α－cot α＝－2cot 2α． 4．tan α±tan β＝βαβαcos cos )sin(±． 5．cot α±cot β＝β αβαsin sin )sin(±． 6．sin （α＋β）sin （α－β）＝sin 2α－sin 2β． 7．cos （α＋β）cos （α－β）＝cos 2α－sin 2β． 8．(sinα±cosα)2＝1±sin2α． 9．2 tg 2tg sin sin sin sin βαβ αβαβα+-=+-． 10．2tg 2 cos 2sin cos cos sin sin βαβαβαβαβα+=++=++． 11．1＋cosα＝2cos 22α，1＋sin α＝2cos 2??? ??-24απ． 12．1－cosα＝2sin 2 2α，1－sinα＝2sin 2??? ??-24απ． 13．当A ＋B ＋C ＝kπ（k ∈Z ）时， tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C ． 14．当A ＋B ＋C ＝π时，

sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝4sin A sin B sin C ． sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2 C ． cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2A sin 2B sin 2C ． 15．a sinα＋b cosα＝22b a +sin （α＋φ），????????????+=+=2222s i n c o s b a b b a a ??， ＝22b a +cos （α－φ1），??? ? ????????+=+= 221221c o s s i n b a b b a a ??．

最全高中数学知识点总结(最全集)

最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。

高考数学探究利用高中数学拓展公式巧解高考或模拟试题

高考数学探究利用高中数学拓展公式巧解高考或模拟试题 ★角平分线定理 如下图所示，若P 为ABC ?中A ∠的内（外）角平分线与BC 的交点，则 PC BP AC AB = 。 【示例1】已知1F 、2F 分别为双曲线C ：127 92 2=-y x 的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)02(，，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF 。 【简答】：依据题意可得)0,6(1-F ，)0,6(2F ，因为AM 为21AF F ∠的平分线，且点M 的坐标为)02(，，所以由角平分线定理得 24 8 2 12 1== = MF M F AF AF ，即212AF AF =。 由双曲线的定义知6221==-a AF AF ，故可得62=AF 。 【示例2】已知I 是ABC ?的内心，2=AC ，3=BC ，4=AB ，若AC y AB x AI +=，则y x +的值为（ ） （A ） 31 （B ）32 （C ）94 （D ）9 5

【简答】：如上图所示，因为I 是ABC ?的内心，即AD 平分BAC ∠，BI 平分ABC ∠，所以由角平分线定理得 224===DC BD AC AB ，从而得23 2 ==BC BD 224===ID AI BD AB ，AD AI 3 2 = （评注：目的是为了确定I D ,的位置） 所以)32(32)(3232BC AB BD AB AD AI +=+== BC AB 9 4 32+= 9492)(9432+=-+= ，即3 2 9492=+=+y x ，故选B 。 【示例3】已知双曲线C ：122 22=-b y a x 的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ， 交另一条渐近线于N 。若=2，则双曲线的离心率=e 。 【简答】：如上图所示，因为)(2 2 2 b a c c OF +==，所以依据题意可得b MF =，a OM =，b FN 2=。 注意到，x 轴为MON ∠的平分线，所以由角平分线定理可得到 2 1 ==FN MF ON OM ，所以a ON 2= 进而在直角三角形OMN 中，由勾股定理可得2 2 2 )2()2(a b b a =++，即3 1 22=a b 所以3 3 2311122=+=+=a b e ★广义托勒密定理（不等式） 设ABCD 为任意凸四边形，则BD AC AD BC CD AB ?≥?+?，当且仅当D C B A ,,,四点共圆时取等号。

高中数学知识清单完整版

一、集合的含义与表示 （1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 （2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“?” 表示）。 （3）常用数集及其表示符号 （4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。 二、集合间的基本关系 三、集合的基本运算

x x }x B ∈ x x }x B ∈ (1)A A ?=(2)A A A =; A B B =A B A =? (1)A ?=?(2)A A A =; A B B =; (4) A B A =? A B ? ()U C A =()U U C A =(4)()(U C A B =(5)U C 知识拓展： 设有限集合A 中元素的个数为n ，则（1） （1）A 的子集个数是2n ； （2）A 的真子集个数是2n -1； （3）A 的非空子集个数是2n -1； （4）A 的非空真子集个数是2n -2。 一、不等式的定义 用数学符号“> 、< 、≤ 、≥ 、≠ ”连接两个数或代数式以表示它 们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的基本性质

三、比较大小的基本方法 作差法： 理论依据：0;0;0 a b a b a b a b a b a b ->?>- ? ? > ? 的解集为} {x x b>；（2）x a x b < ? ? < ? 的解集为} {x x a<； （3）x a x b > ? ? < ? 的解解为} {x a x b <<；（4） x a x b < ? ? > ? 的解集为? 2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 二次函 2 y ax bx =+

高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=

2019年上海高考数学 拓展学习2 数列

2019年高中数学·拓展学习 数列 一、单调性： 1、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n n S b n =?* ()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 2、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ?????? 是递增数列；4α：数列{}2 n a 是递增数列．其中真命题的是 3、已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =. (1）设对任意正整数n ，有1 () n b f n = ．若不等式12226 log (1)35 n n n b b b x +++++> +对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．

二、新定义型： 1、（运算型）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 2、（方法型）设1210x x x ，，，为1210，， ，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ） （A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）64 3、（运算型）已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ） A. (3,8) B. (2,16) C. (4,8) D. 4、（运算型）对于数列{}n a ，规定{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+?=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ?为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-?=?-?．若数列{}n a 的通项1 3 n n a -=，则 2122232n a a a a ?+?+?++?= 5、（运算型）以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以() 2 ,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2 m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以( )n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -???的分数集合n A ，其所有 元素和为n a ；则12n a a a ???+++=________. 6、（概念型）已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足： ① 不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素； ② 在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +?<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n n a b a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于 7、（概念型）设)2(log 1+=+n a n n )(* ∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希 望数”的个数为 8、（匹配型）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，若自然数,...,...,21k n n n 满足 ......321<<<<

高中数学拓展知识一欧拉公式

欧拉公式 等式i e cos i sin θθθ=+称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula ）。 1714年，英国数学家科兹（1682－1716），首先发表了下述定理（用现代+， +， +， 在的展开式中把x 换成±ix . i =，4（）i ±

3423（1-+）（-+）!3!4!2!1!3! x x x x x i +±=±， ix e cos x i sin x ±=±， ix e cos x i sin x =+ (x R ∈)， 这个等式有一种直观的几何解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i 。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转2 π， 可以分别得到结果1，i ，-1，-i ，1， 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：θθsin cos i +。 根据欧拉公式 θθθsin cos i e i +=可以看出θi e 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。所以πi e 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。

用积分的方法也可以证明欧拉公式。 设复数()z cos x i sin x,x R =+∈，两边对x 求导数，得 2dz sin x i cos x i sin x i cos x i(cos x i sin x )iz dx =-+=+=+=， 分离变量并对两边积分，得 1即dz idx,ln z ix C z ==+??， 取0x =得0C =，故有ln z ix =，即ix e cos x i sin x =+。 欧拉公式被称为“世界上最杰出的公式”，关于它也有一个好玩的故事。欧拉早年曾受过良好的神学教育，成为数学家后在俄国宫廷供职。一次，俄女皇邀请法国哲学家狄德罗访问。狄德罗试图通过使朝臣改信无神论来证明他是值得被邀请的。女皇厌倦了，她命令欧拉去让这位哲学家闭嘴。于是，狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地接受了挑战。 “先生，10ｅi π+=，因此上帝存在。请回答!”对狄德罗来说，这听起来好像有点道理，他困惑得不知说什么好。周围的人报以纵声大笑，使这个可怜的人觉得受了羞辱。他请求女皇答应他立即返回法国，女皇神态自若地答应了。 图3-1 意味着单位向量逆时针旋转了π

高中数学拓展知识一戴德金分割

高中数学拓展知识 戴德金分割 无理数引发的数学危机一直延续到19世纪。直到1872年，德国数学家戴德金（Dedekind ）从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。 事实上，实数系的逻辑结构问题在19世纪后叶才引起数学家的重视。欧几里得（Euclid ）关于比的理论的发展，两个无公度比的相等，只是在几何上可以适用。尽管如此，他的理论已经具备定义无理数的基本思想了。实际上，戴德金（Dedekind ）定义无理数的方法确实借鉴了这种思想。 戴德金（Dedekind ）是在直线划分的启发下来定义无理数的。他注意到把直线上的点划分为两类，使一类中的每一个点位于另一类中每一个点的左边，就必有一个且只有一个点产生这个划分。这一事实使得直线是连续的。他把这个思想运用到数系上来，就得到戴德金（Dedekind ）划分。 将一切有理数的集合划分为两个非空不相交的子集1A 和2A ，使得1A 中的每一个元素小于2A 中的每一个元素，这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割。即（1A ，2A ）表示这个分割。 用数学语言表述戴德金分割:设1A 和2A 是满足以下三个条件的Q 的两个子集： （1）1A 和2A 都不是空集； （2）1A ∪2A Q =； （3）若1α∈1A ，2α∈2A ，则21αα<（从而1A ∩2A =φ）。

我们称序对（1A ，2A ）为一个分割，并分别称1A 和2A 为该分割的下类和上类。 在一些分割中，或者1A 有最大数，或者2A 有最小数，这样的分割由一个有理数确定。 例如，对任一Q α∈，令A 1={x ∈Q|x<α}，2A x Q|x α={∈≥}，则（1A ，2A ）显然是一个分割。 又令1B x Q|x α={∈≤}，2B x Q|x α={∈>}，显然（1B ，2B ）也是一个分割。其中，（1A ，2A ）的上类A 2有最小数α，（1B ，2B ）的下类有最大数α，我们把这种分割称为有端分割。 有端分割对应所有的有理数。 下类无最大数且上类无最小数的分割称为无端分割。 无端分割是存在的。例如213C x Q|x ={∈<}，223C x Q|x ={∈>}。 显然（C 1，C 2）的下类C 1无最大数，上类C 2无最小数。 对每一个可能的Q 的无端分割，都定义一个新数来填补Q 中的空隙；反之，每一个新数()Q α?也可对应Q 的一个无端分割： {}A x Q x α=∈<， {}A x Q x α'=∈>。 正是因为无端分割与新数一一对应的，所以不妨把无端分割本身用来充当新数。 我们称Q 的全体分割为分割集，用R 表示。 其中R 中任意两个元素(,)A A α'=与(,)B B β'=之间的序关系可定义如下： 在下类A 与B 都无最大元的约定下，若A B ≠ ?，则说αβ<；若A B =，则说αβ=；若A B ≠ ?，则说αβ>。

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

高中数学椭圆公式大全

高中数学椭圆公式大全 椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴： 1)焦点在X轴时,标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 2)焦点在Y轴时,标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1(a>b>0) 其中a>0,b>0.a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时,焦点在x 轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c 又及：如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n).既标准方程的统一形式. 椭圆的面积是πab.椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是：x=acosθ,y=bsinθ 标准形式的椭圆在x0,y0点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1 椭圆的面积公式 S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长). 或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长). 椭圆的周长公式 椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式. 椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和.如

L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1- (e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2)[椭圆近似周长],其中a为椭圆长半轴,e为离心率 椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则 e=PF/PL 椭圆的准线方程 x=±a^2/C 椭圆的离心率公式 e=c/a 椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线 x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c 椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0|PF2|=a-ex0 椭圆过右焦点的半径r=a-ex 过左焦点的半径r=a+ex 椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴(或y轴)的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a 点与椭圆位置关系点M(x0,y0)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^2>1 直线与椭圆位置关系 y=kx+m①

高中数学拓展知识-e的来历

读读Euler，读读Euler，他是我们大家的老师。 P．S．Laplace e的来历 e是数学中最重要的数学常数之一，称为自然常数，是自然对数的底数。 它最先由瑞士数学家欧拉在1727年使用。 e进入人们的研究视野经历了一个漫长的过程。这个过程如下表： 表3-1 时间事件 1618年约翰?纳皮尔于出版的对数著作附录中的一张表 第一次提到常数e，但它没有记录这常数，只有由 它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是 由威廉?奥特雷德(William?Oughtred)制作。1683年雅各?伯努利(Jacob?Bernoulli) 第一次把e看为 常数 1690年和1691年莱布尼茨给惠更斯的通信中第一次用到常数e并 以b表示。 1727年欧拉开始用e来表示这常数 1736年e第一次在出版物用到是欧拉的《力学》 (Mechanica)。 1737年Euler基本证明了e和e2是无理数 1873年夏尔?埃尔米特(Charles?Hermite)证明e是超越 数。 e是什么？e是增长的极限！ 假设一个单细胞，每20分钟分裂一次。我们以20分钟为一个单位时间。 显然，这种细胞的数量增长如下表：

x0123… y1248… 因此，我们得到y=2x。 将上式改写为y=（1+100%）x，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。 假设这种细胞10分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每10分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为50%。因此，20分钟后这种细胞的数量 y=（1+100% 2 ）2=2.25。 也就是说，20分钟后，我们一共得到了2.25个细胞。其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。 假设这种细胞5分钟后分裂的半个细胞就可以继续分裂，那么这种细胞的数量增长就分为每5分钟一个阶段，每个阶段的数量增长率为25%。因此，20分钟后这种细胞的数量 y=（1+100% 4 ）4=2.44140625。 一般地，如果我们进一步假设，这种细胞分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么20分钟最多可以得到多少个细胞呢？ 实际上，这种细胞的数量y=（1+ 1 n ）n。 当n→+∞时，这个式子的极值等于e=2.718281828…。 即 1 (1)n n e n lim →+∞ +=。 因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。