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高考文科数学向量专题讲解及高考真题-含答案-

向量

1.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；

坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O .

单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）??

?==?2

1y y x x

(6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0

(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.

2..向量的运算

运算类

型

几何方法

坐标方法运算性质

向量的加法 1.平行四边形法则

2.三角形法则

向量的

减法

三角形法则

AB BA =-u u u r u u u r

,AB OA OB =-

数乘向量

1.a λr

是一个向量,满

足:||||||a a λλ=r r

2.λ>0时, a a λr r

与同向; λ<0时, a a λr r

与异向;

λ=0时, 0a λ=r r

向量的数量积

a b ?r r

是一个数

1.00a b ==r r r r

或时， 0a b ?=r r

. 2.00||||cos(,)

a b a b a b a b ≠≠=r r r r r r r r g 且时，

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r

；

②结合律：()()

a b c a b c ++=++r r r r r

r ；③00a a a +=+=r r r r r ．

⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r

r ．

4.向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设()11,a x y =r

，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r r ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ．

5.向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr

． ①

a a λλ=r r

；

②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr

的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r

；③()

a b a b λλλ+=+r r r r ．

⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r

．

6.向量共线定理：向量()

0a a ≠r

r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．

设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()

0b b ≠r r r

共线．

7.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r

，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r

．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）

8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r

时，

点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ

λ++??

?++??．（当时，就为中点公式。）1=λ 9.平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤o o

r r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=r r r r ．②当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r

反向时，

a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r

或a =r ．③a b a b ?≤r r r r ．

⑶运算律：①a b b a ?=?r r r r ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=?r r r r r r

；③()

a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r ．

⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则1212a b x x y y ?=+r

r ．

若(),a x y =r ，则222

a x y =+r ，

或a =r 设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则12120a b x x y y ⊥?+=r r ．

设a r

、b r 都是非零向量，()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，θ是a r 与b r 的夹角，

则cos a b a b θ?==r r r r ．

⑤线段的定比分点公式：（0≠λ和1-）

设 P 1P ρ=λPP 2ρ（或P 2P λ1P P ），且21,,P P P 的坐标分别是),(),,(,,2211y x y x y x ）（，则1212

11y y y x x x λλλλ+?

=??+?

+?=?+?

推广

1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：12122

y y y x x x +?

=???

+?=?? 推广2λ=MB

则λ

λ++=

1PB

PA （λ对应终点向量）．

三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：

12312333x x x x y y y y ++?=???

++?=??

注意：在△ABC 中，若0为重心，则=++，这是充要条件．

⑥平移公式：若点

P ()y x ,按向量a ρ

=()k h ,平移到

‘

(

)

,y x ，则????

?+=+=k y y h

x x ''

4．（1）正弦定理：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，所对的角为A 、B 、C ，则

R C

B b A a 2sin sin sin ===．

（2）余弦定理：???

????-+=-+=-+=C ab a b c B

ac c a b A

bc c b a cos 2cos 2cos 2222

222 （3）正切定理：2

tan

2tan

B A B A b

a b a -+=

（4）三角形面积计算公式：

设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r ．

①S △=1/2ah a =1/2bh b =1/2ch c

②S △=Pr

③S △=abc/4R

④S △=1/2sin C·ab=1/2ac·sin B=1/2cb·sin A ⑤S △=

()()()c P b P a P P --- [海伦公式]

⑥S △=1/2（b+c-a ）r a [如下图]=1/2（b+a-c ）r c =1/2（a+c-b ）r b

[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．如图：图1中的I 为S △ABC 的内心， S △=Pr ，图2中的I 为S △ABC 的一个旁心，S △=1/2

（b+c-a ）r a

附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点．

内心：三角形三内角的平分线相交于一点．垂心：三角形三边上的高相交于一点．

旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．

（5）已知⊙O 是△ABC 的内切圆，若BC =a ，AC =b ，AB =c [注：s 为△ABC 的半周长,即

图5

c b a ++]，则：①AE=a s -=1/2（b+c-a ） ②BN=b s -=1/2（a+c-b ） ③FC=c s -=1/2（a+b-c ）

综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）．特例：已知在Rt △ABC ，c 为斜边，则内切圆半径r =c

b a ab

c b a ++=

-+2

（如图3）．

（6）在△ABC 中，有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++．

证明：因为,C B A -=+π所以()()C B A -=+πtan tan ，所以C B

A B

A tan tan tan 1tan tan -=-+，∴结论！

（7）在△ABC 中，D 是BC

上任意一点，则DC BD BC

AB BD AC AD ?-+=222

．

证明：在△ABCD 中，由余弦定理，有ΛB BD AB BD AB AD cos 2222??-+=① 在△ABC

中，由余弦定理有Λ

AB AC BC AB B ?-+=2cos 2

22②，

②代入①，化简可得，DC BD BC

AB BD AC AD ?-+=222

（斯德瓦定理）

①若AD 是BC 上的中线，222222

a c

b m a -+=；

②若AD 是∠A 的平分线，()a p p bc c

b t a -?+=

，其中p 为半周长； ③若AD 是BC 上的高，()()()c p b p a p p a

h a

---=2，其中p 为半周长．

（8）△ABC 的判定：

?+=222b a c △ABC 为直角△?∠A + ∠B =2

2c ＜?+22b a △ABC 为钝角△?∠A + ∠B＜2π

2c ＞?+22b a △ABC

为锐角△?∠A + ∠B＞2

附：证明：ab

c b a

C 2cos 222

-+=，得在钝角△ABC 中，222222,00cos c b a c b a C πππ+?-+?

（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．

09-13高考真题

. 函数2)6

2cos(-+=π

x y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函

数时，向量a 可以等于

A.(,2)6

π- B.(,2)6

π C.(,2)6

π-- D.(,2)6

【答案】D

. 若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=

A. 3a+b

B. 3a-b +3b D. a+3b 【答案】B

. 已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r .若存在实m 使得AM AC mAM +=u u u u r u u u r u u u u r

成立，则m =B

．若向量)2,1(=a ，)1,1(-=b ，则b a +2与b a -的夹角等于

A ．4

π- B ．6

π C ．

D ．43π

【详细解析】分别求出2+a b 与-a b 的坐标，再求出a ，b ，带入公式求夹角。【考点定位】考查向量的夹角公式cos θ=a b

a b

??,属于简单题. .已知向量()()1,0,1,1==a b ,则

(1)与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为___；

(2)向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____

高考数学平面向量专题卷(附答案)

高考数学平面向量专题卷（附答案）一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（）

A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.

高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选含答案

向量 1.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? ?==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 2..向量的运算运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则向量的减法三角形法则 AB BA =-u u u r u u u r ,AB OA OB =- 数乘向量 1.a λr 是一个向量,满足:||||||a a λλ=r r 2.λ>0时, a a λr r 与同向; λ<0时, a a λr r 与异向; λ=0时, 0a λ=r r . 向量的数量积 a b ?r r 是一个数 1.00a b ==r r r r 或时， 0a b ?=r r . 2.00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=r r r r r r r r g 且时， ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++r r r r r r ；③00a a a +=+=r r r r r ． ⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++r r ． 4.向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--r r ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ． 5.向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr ． ① a a λλ=r r ； ②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r ；③() a b a b λλλ+=+r r r r ． ⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r ． 6.向量共线定理：向量() 0a a ≠r r r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、() 0b b ≠r r r 共线． 7.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底） 8.分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12 λP P =PP u u u r u u u r 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++?? ?++?? ．（当时，就为中点公式。）1=λ 9.平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤o o r r r r r r r r ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a r 和b r 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=r r r r ．②当a r 与b r 同向时，a b a b ?=r r r r ；当a r 与b r 反向时，a b a b ?=-r r r r ；22a a a a ?==r r r r 或a =r ．③a b a b ?≤r r r r ．

高考文科数学真题汇编平面向量高考题老师版

【解析】设AC BD O =I ，则2()AC AB BO =+u u u v u u u v u u u v ，AP AC u u u v u u u v g = 2()AP AB BO +=u u u v u u u v u u u v g 22AP AB AP BO +u u u v u u u v u u u v u u u v g g 222()2AP AB AP AP PB AP ==+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v g 18=. 23.（2012江苏）如图，在矩形ABCD 中，AB= ，BC=2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若=，则的值是． 24.（2014江苏）如图，在□ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则AB AD ?u u u r u u u r 的值是．【简解】AP AC -u u u r u u u r =3(AD AP -u u u r u u u r ),14AP AD AB =+u u u r u u u r u u u r ;34 BP AD AB =-u u u r u u u r u u u r ;列式解得结果22 25.（2015北京文）设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ A ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 26.（2015年广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ， ()D 2,1A =u u u r ，则D C A ?A =u u u r u u u r （ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 27.（2015年安徽文）ABC ?是边长为2的等边三角形，已知向量b a ρρ、满足a AB ρ2=→，b a AC ρρ+=→2，则下列结论中正确的是 ①④⑤ 。（写出所有正确结论得序号） ①a ρ为单位向量；②b ρ为单位向量；③b a ρρ⊥；④→BC b //ρ；⑤→⊥+BC b a )4(ρρ。 28.（2013天津）在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【简解】如图建系: 由题意AD=1，ο60=∠DAB ,得)0,21(-A ,),23,0(D 设DE=x,)23,(x E ，)0,2 12(-x B ， 13(2,)22AC x =+u u u r ,13(,)22BE x =-u u u r 由题意 .1AD BE =u u u r u u u r 得：14 3)21)(212(=+-+x x ，得41=x ，∴AB 的长为2 1。 29．（2012福建文）已知向量)2,1(-=→ x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ D ） A ．2 1-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x 30．（2012陕西文）设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（ C ）

2019年全国I卷高考文科数学真题及答案

2019年全国I 卷高考文科数学真题及答案注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设3i 12i z -=+，则z = A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则 A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51-（ 51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是

A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190cm 5．函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[-π，π]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 7．tan255°= A ．-2-3 B ．-2+3 C ．2-3 D ．2+3 8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a -b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 9．如图是求 112122 + +的程序框图，图中空白框中应填入 A ．A = 12A + B ．A =12A + C ．A = 1 12A + D ．A =112A +

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量与是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若＝，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则＝( )． A ．λ(＋)，λ∈(0，1) B ．λ(＋)，λ∈(0，22 ) C ．λ(－)，λ∈(0，1) D ．λ(－)，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则＝( )． A ．＋ B ．－ C ．＋ D ．＋ 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)

高三数学精准培优专题练习8：平面向量

培优点八平面向量 1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b 且()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（） A ．3 B ．3- C ． D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ，所以只需求出a ，b 即可．由()⊥+a a b 可得：()2 0?+=+?=a a b a a b ，所以9?=-a b ．进而?==a b b ．故选C ． 2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______．【答案】【解析】可知a ，b ，+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ，边长2a =的菱形， =． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ?=u u u v u u u v __________．【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，

观察到本题图形为等边三角形，所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系： 3 0, A ?? ? ? ?? ， 1 ,0 2 B ?? - ? ?? ， 1 ,0 2 C ?? ? ?? ，下面求E坐标：令() , E x y，∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v ， 13 2 CA ? =- ?? uu v ，由3 CA CE = uu v uu u v 可得： 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? ， ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v ， 53 6 BE ? = ?? uu u v ，∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v ．一、单选题 1．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，且向量a，b的夹角为 4 π ，若λ - a b与b垂直，则实数λ的值为（） A． 1 2 -B． 1 2 C． 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b，故选D．2．已知向量a，b满足1 = a，2 = b，7 += a b?= a b（） A．1 B2C3D．2 【答案】A 对点增分集训

高考文科数学双向细目表

模块知识点考查内容了解理解集合的含义、元素与集合的属于关系√列举法、描述法√包含于相等的含义√识别给定集合子集√全集于空集√并集于交集的含义与运算√补集的含义与运算√韦恩图表达集合的关系与运算√简单函数定义域和值域，了解映射√图像法、列表法、解析法表示函数√分段函数√函数单调性、最值及几何意义√函数奇偶性√函数图像研究函数性质指数函数模型背景√有理、实数指数幂、幂的运算指数函数概念、单调性√指数函数图像√对数的概念与运算√换底公式、自然对数、常用对数√对数函数的概念、单调性√对数函数的图像指数函数与对数函数互为反函数√幂函数的概念√幂函数的图像√二次函数、零点与方程的根√一元二次方程根的存在性及跟的个数√集合图像，用二分法求近似解指、对、幂函数的增长特征√函数模型的应用√柱、锥、台的结构特征√三视图√斜二测画法和直观图√平行、中心投影√三视图和直观图√球、柱、锥、台的表面积和体积公式√线面的位置关系定义√线面平行的判定 √面面平行的判定 √线面垂直的判定 √面面垂直的判定 √线面平行的性质 √面面平行的性质 √线面垂直的性质 √面面垂直的性质 √ 用已获结论证明空间几何体中的位置关系点、线、面位置关系集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数指数函数对数函数知识要求集合函数概念与基本初等函数1 立体几何初步幂函数函数与方程函数模型及应用空间几何体

结合图形，确定直线位置关系的几何要素√直线倾斜角和斜率的概念√过两点的直线斜率计算公式√判定直线平行或垂直√点斜式、两点式、一般式√斜截式与一次函数的关系√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式√ 点到直线的距离公式两条平行线间的距离公式√圆的几何要素，标准方程和一般方程判断直线与圆的位置关系应用直线与圆的方程√代数方法处理几何问题的思想√空间直角坐标表示点的位置√空间两点间的距离公式√算法的含义与思想√顺序、条件分支、循环逻辑结构√基本算法语句输入、输出、赋值、条件、循环语句√简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√样本频率分布表、频率分布直方图、折线图√茎叶图√标准差的意义和作用√平均数和标准差√用样本估计总体的思想√会画散点图，认识变量间的相关关系√最小二乘法，线性回归方程√频率和概率的意义√互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其计算公式√随机事件所含的基本事件数及发生的概率√随机数的意义，运用模拟方法估计概率√几何概型的意义√任意角的概念√弧度制的概念、弧度与角度的互化√正弦、余弦、正切的定义√单位圆的三角函数线√诱导公式√三角函数的图像√ 三角函数的周期性√ 正余弦函数的单调性、最值、对称中心 √正切函数性质 √同角三角函数的基本关系式 √正弦型函数的参数对图像变化的影响√向量的实际背景√ 平面向量的概念√ 向量的实际背景用样本估计总体变量的相关性事件与概率几何概型任意角的概念、弧度制三角函数直线与方程圆的方程空间直角坐标系算法的含义、程序框图随机抽样统计基本初等函数2平面解析几何初步算法初步

高考文科数学真题全国卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷3）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 C.{1,2} ( ) 5.若某群里中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付又用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（） A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 A.π 4B.π 2 C.π D.2π 8.直线x+y+2=0分别于x轴，y轴交于A,B两点，则?ABP的面积的取值范围是（）A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2] A.π 2B.π 3 C.π 4 D.π 6 A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√3 14.某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是。

19.如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是弧CD 上异于C,D 的点。（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由。 20. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于,A B 两点，线段AB 的中点()1,(0)M m m >. （1）证明：1;2 k <- （2）设F 为C 右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=u u u r u u u r u u u r ，证明：2.FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

高中的文科数学平面向量知识点整理-共9页

高中文科数学平面向量知识点整理 1、概念向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：a =-b ?b =-a ?a+b =0 向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2 2 2 222||,||a x y a a x y =+==+。）零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ ； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()() a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． b a C B A a b C C -=A -AB =B

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

高考文科数学：平面向量

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编4：平面向量一、选择题 1 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知点()()1,3,4,1,A B AB - 则与向量同方向的单位向量为（） A ．3 455?? ??? ，- B ．4355?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355??- ??? ， 2 ．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（） A B C ．D ． 3 ．（2013年高考大纲卷（文））已知向量 ()()()()1,1,2,2,,= m n m n m n λλλ =+=++⊥-若则（） A ．4- B ．3- C ．-2 D ．-1 4 ．（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ．____ （） A 1- B C 1 D 2 5 ．（2013年高考广东卷（文））设 a 是已知的平面向量且≠0 a ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使=+ a b c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+ a b c ; ③给定单位向量 b 和正数μ,总存在单位向量 c 和实数λ,使λμ=+ a b c ; ④给定正数λ和μ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使λμ=+ a b c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6 ．（2013年高考陕西卷（文））已知向量 (1,),(,2)a m b m ==, 若a //b , 则实数m 等于（） A ． B C ． D ．0 7 ．（2013年高考福建卷（文））在四边形 ABCD 中,)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为（） A ．5 B ．52 C ．5 D ．10

高考文科数学真题及答案全国卷

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2)212i 1i +(-) ＝( )． A. ?1?12i B ．11+i 2 - C ．1+12i D ．1?12i 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2 -. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．1 6 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13 . 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) 的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ． y =±14x B ．y =±13x C ．12 y x =± D ．y =±x 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。【解析】∵e = c a =2254 c a =. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12 b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，

53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)

专题26 平面向量（知识梳理）一、向量的概念及表示 1、向量的概念：具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 (2)向量的表示方法： ①具有方向的线段，叫做有向线段，以A 为始点，B 为终点的有向线段记作AB ，AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量，读作向量AB ； ②用小写字母表示：a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段； ③向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作||。 3、零向量：长度等于零、方向是任意的向量，记作。 4、单位向量：长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量：(1)若非零向量a 、的方向相同或相反，则b a //，又叫共线向量； (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量：若非零向量a 、方向相同且模相等，则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量：=?模相等，方向相同； (2)相反向量：b a -=?模相等，方向相反。二、向量的加法 1、三角形法则

图示 2、平行四边形法则原理已知两个不共线向量a 、b ，作a AB =，b BC =，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量b a AC +=，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。图示 3、多边形法则原理已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n 个向量的终点为终点的向量叫做这n 个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。图示运算律交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。 (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)a a =--)(； (3)0)()(=+-=-+a a a a ； (4)若a 与b 互为相反向量，则b a -=，a b -=，0=+b a 。 2、向量的减法：已知向量a 与b (如图)，作a OA =，b OB =，则a BA b =+，向量BA 叫做向量a 与b 的差，并记作b a -，即OB OA b a BA -=-=，由定义可知： (1)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量； (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ，或简记为“终点向量减始点向量”；

(完整版)2017年全国1卷高考文科数学试题及答案-

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共5页，满分150分。考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?< ??? ? B ．A I B =? C ．A U B 3|2x x ? ?=

(完整word版)高中数学-平面向量专题.doc

第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识自主学习 1．向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量平面向量是自由向量的(或称) 零向量长度为的向量；其方向是任意的记作 0 单位向量长度等于的非零向量 a 的单位向量为± a 向量|a| 平行向量方向或的非零向量 0 与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何运算律意义 ) 加法求两个向量和的运算求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 b 的差 (1)交换律： a＋ b＝ b＋ a. (2)结合律： (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋c)． a－ b＝ a＋ (－ b) 法则求实数λ与向量 a 的积的(1)|λa|＝ |λ||a|. ；λ(μa)＝λμa；数乘 (2)当λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向运算当λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向；当λ (λ＋μ)a＝λa＋μa；＝0 时，λa＝ 0. λ(a＋ b)＝λa＋λb. 3.共线向量定理向量 a(a≠0)与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ，使得 b＝λa. 二.难点正本疑点清源 1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线 (或重合 )的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

2010高考数学文科试题及答案-全国卷1

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学(必修+选修) 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I 卷注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)cos 300?= (A)2 - 12 (C) 12 (D) 2 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】()1co s 300co s 36060co s 602 ?=?-?=?= (2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ?=e A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5 2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解析】{}2,3,5U M =e，{}1,3,5N =，则()U N M ?=e{}1,3,5{}2,3,5?={}3,5