复旦版数学分析答案全解ex14-4
习 题 14.4 微分形式的外微分
1. 计算下列微分形式的外微分：
（1）1-形式；
dy x xydx 22+=ω（2）1-形式xdy ydx sin cos ?=ω；
（3）2-形式dz xydx dy zdx ∧?∧=6ω。
解（1）0222=∧+∧+∧=dy xdx dx xdy dx ydx d ω。
（2）dy dx x y dy xdx dx ydy d ∧?=∧?∧?=)cos (sin cos sin ω。
（3）=∧∧?∧∧=dz dx xdy dy dx dz d 6ωdz dy dx x ∧∧+)6(。
2．设ω=+++a x dx a x dx a x dx n n n 111222()()()"是n R 上的1-形式，求d ω。
解 d ω0)(1=∧′=∑=n
i i i i i dx dx x a
3．设ω=∧+∧+∧a x x dx dx a x x dx dx a x x dx dx 12323213313121(,)(,)(,)2是3R 上的
2-形式，求d ω。
解 设 323211),(dx dx x x a ∧=ω，由于
0,0323322=∧∧=∧∧dx dx dx dx dx dx ，
则有
=1ωd 03233
132221=∧∧??+∧∧??dx dx dx x a dx dx dx x a 。 类似地，设 133122),(dx dx x x a ∧=ω，212133),(dx dx x x a ∧=ω，则
032==ωωd d ，
从而
0321=++=ωωωωd d d d 。
4. 在3R 上在一个开区域?=××(,)(,)(,)a b c d e f 上定义了具有连续导数
的函数，，，试求形如
)(1z a )(2x a )(3y a dz x b dy z b dx y b )()()(321++=ω
的1-形式ω，使得
dy dx y a dx dz x a dz dy z a d ∧+∧+∧=)()()(321ω 。
解 由题意，可得
)()(),()(),()(2312
31x a x b z a z b y a y b ?=′?=′?=′， 所以
dx dy y a ))((3∫?=ωdy dz z a ))((1∫?dz dx x a ))((2∫?。
5. 设（∑=∧=n
j i j i ij dx dx a 1,ωji ij a a ?=，n j i ,,2,1,"=）是n R 上的2-形式，证
明
d ω∑=∧∧???
???????+??+??=n k j i k j i j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 1,,31。 证 因为
,1n ij i j i j a dx dx ω==∧∑,1n jk j k j k a dx dx ==
∧=∑=∧n
i k i k ki dx dx a 1,∑， 所以
∑=∧∧??=
n k j i j i k k ij dx dx dx x a d 1,,ω
∑=∧∧??=
n k j i k j i i jk dx dx dx x a 1,, ∑=∧∧??=
n k j i i k j j ki dx dx dx x a 1
,,， 由于 k j i i k j j i k dx dx dx dx dx dx dx dx dx ∧∧=∧∧=∧∧，
从而
d ω∑=∧∧???
???????+??+??=n k j i k j i j ki i jk k ij dx dx dx x a x a x a 1,,31。
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