第6章 定积分的应用

第六章 定积分的应用

本章要求熟练运用微元法解决一些简单的几何问题（平面图形的面积、旋转体的体积、截面已知的立体的体积、平面曲线的弧长等）与物理问题（变力做功、水压力、引力等）.

一、 基本内容

（一）微元法

如果某一实际问题的所求量U 符合以下条件：

1.U 是与变量x 的变化区间],[b a 有关的量；

2.U 对于区间],[b a 具有可加性，即∑?=U U ；

3.部分量U ?的近似值克表示为x x f ?)(，即有x x f U ?=?)(，其中)(x f 为区间[a, b]上的连续函数，则所求量dx x f U b

a ?=)(.

这种方法称为微元法，而dx x f dU )(=一般称为U 的微元. （二）定积分在物理上的应用

1.变力沿直线运动的做功问题

假设物体在平行于x 轴的力)(x F 的作用下，沿x 轴由a x =运动到b x =，则力所用的功为

=

b

dx x F W )(

图6-1

2.压力问题

假设液体的比重为γ，有一个平面板铅直放入水中，平面板的上下两边与液面平行，上边与液面距离为a ，选取与液面重合的坐标轴为y 轴，铅直向下的坐标轴为x 轴，如图6-1所示

取积分变量为x ，则x 的变化区间为],[b a ，在区间],[b a 内任取一微元

],[dx x x +,则所受压力为

dx x g x f x dP ))()((-=γ

由微元法可知，平面板一侧所受到的压力为 ?-=b

a dx x g x f x P ))()((γ

3.引力

当引力的方向不随微元的改变而改变时，可以直接将引力对微元所变化的区间进行积分即可.例如，长为l ，线密度为ρ的均匀细棒在对棒的延长线上距棒的近端的距离为a 处的一个质量为m 的质点的引力为（参见图6-2）

)

()()0()

(022

l a a l km dx x a l km F l x dx x a l km dF l +=

-+=≤≤-+=

?ρρρ

图6-2

当引力的方向随微元的改变而改变时，需要将引力分解为横向与纵向的两个分力，在分别利用微元法求出这两个方向上的引力. （三）定积分在几何上的应用

1.平面图形的面积

（1） 设)(x f y =,)(x g y =在区间],[b a 上连续，且对任意的],[b a x ∈

，有

)()(x g x f ≥，则由上曲线)(x f y =，下曲线)(x g y =，及直线a x =和b x =所围

图形的面积为（参见图6-3的左图）

dx x g x f A b

a ?-=)]()([

设)(),(y x y x ??==在区间],[d c 连续，且对任意的],[d c y ∈，有

)()(y y ψ?≥，则由右曲线)(y x ?=，左曲线)(y x ?=及直线c y =和d y =所围图形的面积为（参见图6-3的右图）

dy y y A d

c

?-=)]()([ψ?

图

（2）

设在极坐标),(θr 中，函数)(θr r =在区间[]βα,上连续，则由曲线

)(θr r =以及两条射线βθαθ==,所围成的图形面积为（参见图6-4）

θθβαd r A ?=

)(

12

（3）

设曲线的参数方程表达式为

)()

()(βαψ?≤≤??

?==t t y t x

其中)(),(t t ψ?在区间[]βα,上连续可导，且b a ==)(,)(βψα?，则以曲边)(x y y =为顶，x 轴为底，两直角边为b x a x ==,的曲边梯形的面积为

dt t x t y dx x y A b a

)()()('==??β

α

2． 旋转体的体积

（1） 由连续曲线)(x f y =,直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴转一周而成的旋转体的体积为

dx x f V b

a 2

)]([?=π

（2） 由连续曲线)(y g x =,直线)(,d c d y c y <==以及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为

dy y g V d

c 2

)]([?=π

3． 平行截面面积已知的立体的体积

如果一个立体虽然不是旋转体，但是知道该立体上的垂直于一个定轴的各个截面的面积，如图6-5.取定轴为x 轴，并设该立体在过点b x a x ==,且垂直于x 轴的两个平面之间.设在x 处，且垂直于x 轴的平面的截立体所得到的截面

的面积为)(x S ,则由微元法，有)()(b x a x x S dV ≤≤=从而该立体的体积为

?=b

a

dx x S V )(

图6-5

4． 平面曲线的弧长 （1） 直角坐标情形

设曲线弧由y=f(x))(b x a ≤≤给出，则弧长s 为

?

'+=b

a

dx x f s 2)]([1

（2） 参数方程的情形 设曲线弧由参数方程

()βαψ?≤≤??

?==t t y t x )()

(

给出，则弧长s 为

()()dt t t s ?'+'=β

α

ψ?22][][

（3） 极坐标的情形

若曲线有极坐标方程()()βθαθ≤≤=r r 给出，则弧长公式为

()()θ

θθβ

α

d r r ?'+22][][

三、练习题

6.1、直线4

1

=

y 将由x y x y ==,2所围成的区域分为上下两部分，则上部分与下部分的面积比值为__________.

解：如图

y 4

1

=

y y o

1

A x dx

x +

上部分面积是

19249)(14

/121=

-=?

dy y y A 下部分面积是

64

5)(24/10

2=

-=?

dy y y A 则上部分与下部分的面积比值是

15

49

21=

A A 6.2、曲线0,2

3

,23,116922====+y x x y x 所围成的图形面积为__________.

解：设椭圆的参数方程为?

??==t y t x sin 4cos 3，则当23=x 时，3π

=t ，当23=x 时，

4

π

=

t ，从而，所求的的图形面积是

)336(2

1

)sin 3(sin 44

/3/2

/32/3πππ+-=

-?==?

?

==dt t t ydx A x x

6.3、心形线θcos 1+=r 被y 轴分成左右两部分，其左部分的面积为_______. 解：如图

x

y

o

则左部分面积为

24

3

)cos 1(2122/2-=+?=?πθθππd A

6.4、直线422====x ,x ,x y ,x y 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为___________.

解：其体积是

πππ56)2(4

2

242

2=-=??dx x dx x V

y o 1

21

6.5、由曲线)0(2

1,,22≥=

=-=x x x y x y 所围成的平面图形绕y 轴旋转

一周所生成的旋转体的体积为___________.

解：如图

所求体积是 96

43

214721)2(2

2

4

/71

1

2

/12

=

??? ??-??? ??--+=?

?

πππdy y dy y V 6.6、曲线)1ln(2x y -=自0=x 到2

1

=x 这一段的弧长为___________. 解：由曲线弧长公式,得

()2

3ln 11

21112112/1022/102

/10222/10

2

22/12

-=-+=-+=??

? ??--+='+=????

?

-dx x dx dx x x dx x x dx y s 6.7、曲线t t t y t t t x cos si n ,si n cos -=+=自0=t 至π=t 这一段的弧长为__________.

解：由曲线的参数方程)0(cos sin sin cos π≤≤?

??-=+=t t t t y t

t t x 可得

()()20

02

2

2

1ππ

π

=='+'=?

?dt t dt y x s t t

6.8、有一横截面面积为20平方米，深5米的水池，池中装满了水.今要将池中的水全部抽到高10米的水塔上，则需作功__________.

解：选取水塔高度为坐标原点，方向向下，则水池的高度位于此坐标系1510≤≤x 范围内.在水池x 处任取一高为dx ，截面面积为20平方米的微元，则此微元的体积是

dx dV 20=

将此微元提升到0=x ，做功

xdx xdV xdm dW 20===

将池中的水全部抽到高10米的水塔上，则需作功

1250201510

15

10

===?

?==x x xdx dW W

6.9、有一装满水的断面为梯形的水箱，其上底为3米，下底为2米，高为2米，则水箱一侧所受到的压力为__________.

解：建立如图坐标系

并在y 处取如图微元dy ，则由于直线AB 的方程为)1(4-=x y ，因此C 点的x 坐标为14

1

+=

y x ，故微元的截面面积是 dy y xdy dS )14

1

(22+==

此微元所受到的压力

dy y y dS y dP )14

1

)(2(2)2(2+-=-=

则水箱一侧所受到的压力为

?=+-=203

14)141)(2(2dy y y P

6.10、有一单位长度的细棒，其上任意一点的线密度与该点到细棒的一个固定端的距离成正比，设比例系数为k ，则细棒的质量为_________.

解：先取细棒的固定端为坐标原点，细棒的另一端位于x =1，在细棒x 处任取一微元dx ，则此微元的质量为

kxdx dm =

细棒的质量为

2

10k kxdx m ==?

四、测验题

(一)、填空题 1、曲线x

e x y -

=

1与坐标轴所围图形的面积为____________.

解：坐标轴所围图形的面积为

1

23

220

===?

?

+∞

==-∞+-

x d e dx x

e A x x x x

2、闭曲线)0()(222>-=-a x a x y 所围成的图形面积为_________. 解：将此直角坐标系的方程转换为极坐标系的方程，则变为

θ

θθθθ3sin 22cos 32cos )cos (sin 2

2

222

-+=+-=a a r 其中πθ20≤≤，其图形为

应用极坐标下求面积公式，得

2

2022023sin 22cos 322121a d a d r A πθ

θθθππ=-+==?? 上式中的最后一个积分使用代换公式θtan =t 计算.

3、闭曲线θ2sin 2=r 所围成的图形面积为__________. 解：曲线θ2sin 2=r 在极坐标系下的图形是

应用极坐标下求面积公式，得

122122/02/0

2

==?=??ππθθθd Sin d r A

4、由2,14

32

2±==-y y x 所围成的区域绕y 轴旋转形成的旋转体的体积为_________.

解：所求旋转体的体积为

πππ164132

222

22

=???

?

??+==??--dy y dy x V 5、连续曲线dt t y x ?=0sin 的弧长为____________.

解：由条件，)0(sin π≤≤='x x y ，所以由弧长的计算公式，有

()?

?

?=??? ??

+=+='+=π

π

π

2

4

2cos 2

sin sin 11dx x x dx

x dx y s

(二)、选择题 1、

曲线)2)(1(x x x y --=与x 轴所围的图形面积可表示为__________.

A.?---2

)2)(1(dx x x x B.??-----1

21)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x C.??--+---1

21)2)(1()2)(1(dx x x x dx x x x D.?--2

)2)(1(dx x x x 解：C.

2、

曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围图形面积为

__________.

A.?-10

)(dx ex e x

B.?-e dy y y y 1)ln (ln

C.?-e x dx e x e 1)(

D.?-1

)ln (ln dy y y y 解：C.

3、由曲线03,2,=+=+=y x y x x y 所围成的图形面积为__________.

A.?+3

)3

1

(dx x x B.dy y y ])2[(2

11-?--

C.dy y y dx x x ])2[()31(2

1130-?-+?+-

D.?+-+?+3

110

]3

1)2[()31(dy y y dx x x 解：D.

4、曲线)2

2(cos π

π

≤

≤-

=x x y 与x 轴所围成的图形，绕x 轴旋转一周所形

成的旋转体的体积是__________.

A.2π

B.π

C.22π

D.2π 解：C.

5、设)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，且m x f x g <<)()(，其中m 为常数.则曲线b x a x x g y x f y ====,),(),(所围成的图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为___________.

A.?-+-b

a

dx x g x f x g x f m ))()(())()(2(π B.?---b

a

dx x g x f x g x f m ))()(())()(2(π C.?-+-b

a

dx x g x f x g x f m ))()(())()((π D.?---b

a

dx x g x f x g x f m ))()(())()((π 解：B.

(三)、计算题

1、求曲线x y x y sin ,cos ==在0=x 与π=x 之间所围成的图形的面积. 解：曲线x y x y sin ,cos ==相交于4

π

=

x ，因而围成的图形的面积为

22)cos (sin )sin (cos 4

/4

/0

=-+-=?

?

πππdx x x dx x x A

2、求曲线x y x y 2,3==所围成图形的面积.

解：曲线x y x y 2,3==的交点坐标是)22,2(),22,2(),0,0(--，由对称性，所围成图形的面积是

2)2(220

3=-=?

dx x x A

3、

求曲线x y x y x y 2,,2===所围成图形的面积.

解：此题用直角坐标做，稍微有点烦，用极坐标做最简单.将2x y =化为极坐标θθsec tan =r ，由可化为求夹在扇形区域)(4

x y ==

直线π

θ与2arctan =θ（直

线y=2x ）间，边界曲线是θθsec tan =r 的极坐标区域的面积，由公式

6

7tan tan 21sec tan 21212arctan 4/22arctan 4

/222arctan 4/2====???θθθ

θθθπππd d d r A

4、抛物线2

2

1x y =

将圆822≤+y x 分割成两部分，求这两部分的面积. 解：先求抛物线22

1

x y =与圆822=+y x 的交点坐标，得两个交点)2,2(±，

则上部分面积为

34221822221+=??? ?

?--=?-πdx x x A

则下部分面积为

3

4

6812-

=-=ππA A 5、求由双曲线12cos 2=θr 与0=θ及6

π

θ=

所围成图形的面积.

解：所围成图形的面积为

)32ln(4

122sec 412cos 121216/06/06/02+====???θθθθθπππd d d r A

6、求由双纽线22222)(y x y x -=+与圆周2

1

22=+y x 公共部分的面积. 解：图形如图所示.

将两条曲线化为极坐标表达式为θ2cos 2=r 与2

=r ，其在第一象限的交点坐标可由此求得为2

1

,6

=

=

r π

θ，由对称性，其公共部分面积为 62312cos 21212146/04/6/πθθθπππ+-=??

?

??+=??d d A

7、求由抛物线222,x y x y -==及x =0所围成的图形，绕x 轴及y 轴旋转一周所形成立体的体积.

解：曲线222,x y x y -==在第一象限的交点坐标为)1,1(，因此，由对称性,绕x 轴旋转一周所形成立体的体积为

(

)πππ3

16])(2[21

221

2

2=--=??dx x dx x

V

绕y 轴旋转一周所形成立体的体积为

()(

)πππ=-+=??2

1

2

1

2

2dy y dy y V

8、求由曲线1=xy ，直线2,1==x x 及x 轴所围图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.

解：直线2,1==x x 与曲线1=xy 的交点分别是)2

1

,2(),1,1(，因此，所

围图形绕x 轴旋转的旋转体体积为

212

12

ππ=??

?

??=?dx x V

绕y 轴旋转的旋转体的体积为

ππππ211121212/12

2

2=?-???

? ??+?=?dy y V 9、由直线2

1

=x 与抛物线x y 22=所包围的图形绕直线1=y 旋转，求所形成立体的体积.

解：将直线2

1

=

x 与抛物线x y 22=所包围的图形沿与y 轴平行方向向下平移一个单位长度，让1=y 与x 轴重合，则所示体积转化为求x y 2)1(2=+与直线

2

1

=

x 所围区域绕x 轴旋转一周的体积.此时有 (

)

(

)

πππ3

412122/10

22/10

2=--+=?

?

dx x dx x V

10、求曲线)1ln(2

1

,

arctan 2t y t x +=

=自0=t 到1=t 的一段弧长. 解：由参数议程下曲线弧长的计算公式，有

()())21ln(111

2

10

22+=+='+'=??

dt t

dt y x s t t

11、求极坐标下的曲线)30()1

(21≤≤+=r r

r θ的弧长. 解：对)30()1

(21≤≤+=

r r r θ，当r =1时，1=θ，当r =3时，3

5=θ，即对此曲线，θ的取值范围是351≤≤θ，由)1

(21r

r +=θ可得

)3

5

1(12≤≤-+=θθθr （注：舍去负值），从而，由极坐标下曲线弧长的计算

公式，有

()3

ln 2

121)]([]([3

223

02

2

+=???? ??+-='+=??θθθθθθθd d r r s

12、半径为R 米的半球形水池，里面充满了水，问将池中的水全部吸出，需要作多少功？

解：选取水平面为y 轴，铅直向下坐标轴为x 轴，则半圆形板的边界曲线为

)0(22R x x R y ≤≤--=，如图所示.

在x 轴上任取一微元],[dx x x +，则此微元所分割的半圆形板的条形区域(阴影部分)的体积为

()dx x R

dx x

R

dV )(22

2

2

2

-=-=ππ

此微元的质量是

dx x R dV dm )(22-==π

将此微元提出水面做功

dx x R gx gxdV dW )(22-==π

将池中的水全部吸出，需要作功为

40224

1

)(gR dx x R gx W R ππ=-=?

13、质量为1千克的壳形容器，装水后的初始质量为20千克，设水以每秒

2

1

千克的速率从容器中流出，问以每秒2米的速率从地面铅直上举此容器到距地面10米高要作多少功？

解：取地面作为x 轴的坐标原点，方向向上，于是问题变为当将容器从x =0上举到x =10时，需要做多少功.在100≤≤x 内任取一微元],[dx x x +，由题意，若设从0=t 开始上举容器，则此时已经用时2

x

t =

秒，容器的质量是 x

x m 4

2022120-=?-=

将此容器由x 移动到x +dx 做功

2

2x R y --=R

R

R

-

dx x

g mgdx dW )4

20(-==

因此，将此容器从地面上举到高10米处总共做功

g g dx x g W 5.1872

375)420(100==-=?

14、薄板形状为一椭圆形，其轴为a 2和)(2b a b >，此薄板的一半铅直沉入水中，而其短轴与水的表面相齐，计算水对此薄板侧面的压力.

解：取水的表面为坐标原点，x 轴向下且垂直于水面，y 轴与水面相齐，如图所示.

如图，在x 轴上任取一微元],[dx x x +，则此微元所分割的半椭圆形的条形区域(阴影部分)的面积为

dx a

x b dA 22

12-=

因而所受到水的压力为

dx a

x bx dA x dP 22

12-=?=

应用微元法，得到半椭圆形薄板的总压力为

b a dx a x bx P a 2220

3

2

12=-=?

15、求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==位于第一象限内的曲线弧对于坐标原点处单位质点的引力，假设曲线上每一点处的线密度等于该点到原点距离的立方.

解：任取曲线上一微元dS ，并设此微元对应)0(a x x ≤≤处一微元dx ，则由弧微分公式，得

()())2

0(sin cos 322π

≤

≤='+'=

t tdt

t a dt y x dS t t

由题意，此微元质量是

dS r dS y x dS y x dm 32/322)(),(=+==ρ

此微元与质点间的引力大小是

122

2

2=+b y a x b b -a

2222,y x r krdS r

dm

k

F d +=== 引力方向为点),(y x 与原点连线方向，故此微元在x 轴的投影是

tdt t ka kxdS dS r

x

k r x d dF x sin cos 342===?

= 这是由于

()()tdt t a dt y x dS t t sin cos 322='+'=

则曲线弧对于坐标原点处单位质点的引力在x 轴方向上的投影是 22/04253

sin cos 3ka tdt t ka F x ==?π

由对称性，此引力在y 轴上的投影是x y F F =，从而引力

?

?????=2253,53ka ka F

(四)、证明题

设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在),(b a 内有0)(>'x f .证明在),(b a 内存在唯一的ξ，使曲线)(x f y =与两直线a x f y ==),(ξ所围成的平面图形面积是曲线)(x f y =与两直线b x f y ==),(ξ所围成的图形面积的3倍.

证明：如图，由

对区间],[b a 内的任意一点t ，则由面积的计算公式，引入辅助函数

??---=t

a b t dx t f x f dx x f t f t F )]()([3)]()([)(

再由0)()(

0)()](2)[()()23()(>'-+-='--='t f t b a b t f t a b t F

f

由上式知)(t F 单增，从而在),(b a 内存在唯一的 ，满足所证明的条件.

定积分的简单应用求体积

定积分的简单应用求体 积 Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022

定积分的简单应用(二) 复习： （1） 求曲边梯形面积的方法是什么 （2） 定积分的几何意义是什么 （3） 微积分基本定理是什么 引入： 我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。 1. 简单几何体的体积计算 问题：设由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的平面图形（如图甲） 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为V ，如何求V 分析： 在区间[,]a b 内插入1n -个分点，使0121n n a x x x x x b -=<<<<<=，把曲线()y f x =（a x b ≤≤）分割成n 个垂直于x 轴的“小长条”，如图甲所示。设第i 个“小长条”的宽是1i i i x x x -?=-，1,2,,i n =。这个“小长条”绕x 轴旋转一周就得到一个厚度是i x ?的小圆片，如图乙所示。当i x ?很小时，第i 个小圆片近似于底面半径为()i i y f x =的小圆柱。因此，第i 个小圆台的体积i V 近似为2()i i i V f x x π=? 该几何体的体积V 等于所有小圆柱的体积和：

2221122[()()()]n n V f x x f x x f x x π≈?+?+ +? 这个问题就是积分问题，则有： 22()()b b a a V f x dx f x dx ππ==?? 归纳： 设旋转体是由连续曲线()y f x =和直线x a =，x b =及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为2()b a V f x dx π=? 2. 利用定积分求旋转体的体积 （1） 找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数 （2） 分清端点 （3） 确定几何体的构造 （4） 利用定积分进行体积计算 3. 一个以y 轴为中心轴的旋转体的体积 若求绕y 轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为y ，其公式为 2()b a V g y dy π=? 类型一：求简单几何体的体积 例1：给定一个边长为a 的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路： 由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。 解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系，如图:BC y a =。则该旋转体即为圆柱的体积为： 22300|a a V a dx a x a πππ=?==?

第六章 定积分的应用

第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值

),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤

第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21

定积分在经济学中的应用

定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。

1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为

高等数学第七章定积分的应用

第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ?---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 22π 20 2π 20 ππ22 1 d 21d R R R A A =?===? ?θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

§1.7定积分的简单应用

定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==? =??及，所以两曲线的交点为 （0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 2 0S =(x -x )dx 321 3 023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 2 x y =y x A B C D O

巩固练习 计算由曲线36y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标， 直线4y x =-与 x 轴的交点． 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的 面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 334 82822044 2222140||(4)|23 x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图， 再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 例3.求曲线], [sin 320π∈=x x y 与直线,,3 20π==x x x 轴所围成的图形面积。

定积分的应用教案

第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).

§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b

定积分的简单应用(6)

§1.7 定积分的简单应用（一） 一：教学目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 解：201y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图阴影部分的面积． 解方程组2, 4 y x y x ?=?? =-?? 得直线4y x =-与曲线2y x = 的交点的坐标为（8,4) . 直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2 4 8 8 4 4 2[2(4)]xdx xdx x dx =+--? ? ? 33482822044 2222140||(4)|3323 x x x =+-=. 例3.求曲线],[sin 3 20π ∈=x x y 与直线,,3 20π ==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2 33 2320 = -=? ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习 1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。 答案：3 32 33323132 23 1= -+=--? |))x x x dx x x S （－＋（＝ 2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 2 x y =y x = A B C D O

第十章 定积分的应用

第十章 定积分的应用 §1.平面图形的面积 习题 1. 求由抛物线2 22x y x y -==与所围图形的面积。 解：设所围图形的面积为S ，如图10-1 解方程组 2 2 2y x y x ?=??=-?? 得两曲线两交点坐标为(1,1),(1,1)A B -，则积分区间为[1,1]-， 图形面积为 11 221 1 1 221 (2)[(2)]83 S x dx x dx x x dx ---=--=--= ??? 2. 求由x y ln =与直线 ,10,101 == x x 和10,0x y ==所围图形的面积。 解：设所围图形总面积为S ， 110 11 10 1 101110 (ln )ln (ln ) (ln ) 1 (99ln1081)10 S x dx xdx x x x x x x =-+=--+-= -?? 3. 抛物线x y 22=把圆 822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比。 解：设12,S S 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则 2 2 12244 )28 8cos 3423 y S dy d π πθθπ--==- =+ ??

2184 823463 S S ππππ=-=--=- 124 2323492 63 S S ππππ+ += =-- 4. 试证摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围图形的面积（图10—7）。 解：设所围图形的全部面积为S ，取积分变量为t ，当t 由2 π 变到0时，就得到曲线在第一象限的部分， '2 2322 2 4220 224()()12sin cos (sin )12sin (1sin )3153112()4226422 83 S y t x t dt a t t t dt a t t dt a a πππ ππ π==?-=?-???=?-????=??? 5. 求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。 解：设所围图形面积为S ，取积分变量为θ，当θ由0变到π时，即得到曲线在x 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有： 2 202220 2 212(1cos )2(12cos cos )31 [2sin sin 2]2432 S a d a d a a ππ πθθ θθθ θθθπ=?+=++=++=?? 6. 求三叶形线)0(3sin >=a a r θ所围图形的面积。 解：2 223 3 013sin 63(sin 3)()2224 4 a S a d a ππθθπ θθ=?= -= ?

(完整版)定积分在经济中的应用

定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量） 。 解 首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。 例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：

高等数学 第七章 定积分的应用

第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

定积分的应用

第十章 定积分的应用 应用一 平面图形的面积 1、积分()b a f x dx ?的几何意义 我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b a f x dx ? 表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b a f x dx ? <0时，定积分表示的是负面积，即()b a f x dx ?表示的是f 在[a,b] 上的正负面积代数和。例如 552220 2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππ π π =++=-=? ???。若计算sinx 在 [0，5 2 π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππ ππππ=+-=+=????。 2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得()()[()()]b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = -=-? ??，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下 适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|b a S f x g x dx =-? 。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b] 内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b a S f x g x dx = -= ? 2 1 |()()|x x f x g x dx -? 。所以此时求f(x)和g(x) 在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求2y x =，2 x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。 例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与 22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？ 例4、求抛物线2 2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。 例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ） 3、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函 数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由() ()x x t y y t =??=? ，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公 式为||()S y dx t β α= ?。 （αβ<） 例1、求旋轮线：(sin ) (1cos )x a t t y a t =-?? =-? （a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。

微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用

第六章定积分的应用

课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

定积分在生活中的应用

PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏

定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。

定积分的简单应用

定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章1.7的内容。从题目中可以看出，这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念，计算，几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，在学习过程中了解导数与积分的工具性作用，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标（以教材为背景，根据课标要求，设计了本节课的教学目标） 1、知识与技能目标： （1）应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题； （2）学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标： 通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标： 通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点：应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点：将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具：多媒体 五、教学设计

教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例： 实例1：国家大剧院的主题构造 类似半球的构造，如何计算建造时中间玻璃段的使用面积？ 边缘的玻璃形状属于曲边梯形，要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2：一辆做变速直线运动的汽车，我们如何计算它行驶的 路程？ 2、复习回顾： 如何计算曲边梯形的面积？ 3、引入课题： 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师：启 发，引导 学生：思 考，回 忆。 学生：疑 惑，思 考，感 受。 教师：启 发，引 导。 学生：复 习，回忆 老师：引 入课题 数学源于生活，又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察，创设问题情境，体 验数学在现实生活中的 无处不在，激发学生的学 习热情，引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来，训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下，引导学生把所学知识 与实际问题联系起来，回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀，里程表坏了，你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (

知识讲解_定积分的简单应用(基础)

定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围

成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理. 一 微元法 在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ= ?,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b a b f x dx Φ=?,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者 说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。 在任意小区间[x,x+?x]?[a,b]上恰当选取Φ的微小量?Φ的近似可求量?'Φ（指用来近似代替?Φ的有确定意义而且可以计算的量。例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）?'Φ是以f(x)为长，?x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，?'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，?x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。若能把?'Φ近似表示为?x 的线性形式?'Φ≈f(x)?x,其中f(x)为某一连续函数，而且当?x→0时?'Φ-f(x)?x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b a f x dx ?计算出来，就是该问题所 求的结果。 上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点： 1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的 2)微元法的关键是正确给出?Φ的近似可求量?'Φ。严格来说，?Φ的近似可求量?'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+?t]?[α,β]上微小增量?s 的近似可求为对应的线段的长度?'s=（[x(t+?t)-x(t)]2+[y(t+?t)-y(t)]2）^0.5,一般说来?Φ的近似可求量?'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果?S 的近似可求量?'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b a S f x dx π=?。所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。 3)当我们将?'Φ用线性形式f(x)?x 代替时要严格检查?'Φ-f(x)?x 是否为?x 的高阶无穷小，以 保证其对应的积分和的极限是相等的。在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证 i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。 对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为?A≈|y|?x,并有dA=|y|dx, ?V≈A(x) ?x,并有dV=A(x)dx, ?s≈(1+y'2)^0.5?x,并有ds=(1+y'2)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'2)^0.5?x 近似表示为(1+y'2)^0.5?x≈?x,将导致b a s dx b a ==-?的明显错误，事实上，此 时0lim 10x ?→=≠，除非y=f(x)为常数。 二 旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。 通过x 轴上的点x 和x+?x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当?x 很小时，此狭带的面积?S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积?'S ， 即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'?=++?=+?，其中?y=f(x+?x)-f(x)，