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高等数学习题数的应用

()

f x '=

，即知()f x =(4,9)内可导，

由(9)(4)1

945f f -==

-254

x =，即在(4,9)内存在25

ξ=使拉格朗日中值公式成立.

(3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于 ,371

2)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f ,23

)()(x x g x f =''

令,3723=x 得.914=x 取),2,1(9

∈=ξ则等式 )

()

()1()2()1()2(x g x f g g f f ''=

-- 成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.

2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围.

解因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点；

又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.

又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-.

3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在

(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=.

证因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在

()a a ξ∈-，，使

()()()(())f a f a f a a ξ'--=?--.

由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有

()()f a af ξ'=.

4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

(1) 当0b a >>时,

ln b a b b a

a a

b -->>

; (2) 若1x ≠, 则x

e xe >.

证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故

()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),a b ξ<< 由1

(),f x x

'=且111,a b ξ>>得：

ln b a b b a b a

a a b

ξ--->=>. (2) 若1x ≠,不妨设>1x ，令(),x

f x e =则)(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故

()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),

x ξ<< 从而1x e xe e xe xe ξξ

=+->>.

5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) arcsin arccos (11)2x x x π

+=-≤≤;

(2) arctan 2x π

证(1) 设()arcsin arccos f x x x =+,],1,1[-∈x

,01111

)

2=???

??--+-'x x x f ∴,)(C x f ≡].1,1[-∈x 又 ,2

0arccos 0arcsin )0(π

=+=x f 即.2

∴.2

arccos arcsin π

+x x

(2)

设()arctan f x x =+,

因为2

1()01+f x x '==，

所以 ()f x C ≡,C 是常数.

又

(1)arctan1442

f πππ=+=+=, 即.2π=C

故

arctan 2

x π

6．设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使

2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-

证作辅助函数3

(),g x x =则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，故在)

1,0(内至少存在一点,ξ使

(1)(0)()

.103f f f ξξ'-=-

即 2

()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-

习题4-2

1．写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式. 解 x x x f ln )(3=， ,0)1(=f

22()3ln ,f x x x x '=+ ,1)1(='f

()6ln 5,f x x x x ''=+ (1)5

,f ''= ()6ln 11,f x x '''=+ (1)11,

f '''= (4)6

(),f x x

= ,6)1()4(=f

,6)(2

)5(x x f -

= .6)(2)

5(ξξ-=f

于是所求泰勒公式为

x x ln 3)1(-=x 2)1(!25-+

x 3)1(!311-+x 4)1(!46

-+x ,)1(!5652

--x ξ

其中ξ在1与x 之间.

2. 写出函数1

()f x x

=在01x =-处的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式. 解 1

()f x x =

， (1)0,f -= 21

(),f x x '=-

(1)1,f '-=- 32

(),f x x ''=

(1)2,f ''-=- 46

(),f x x

'''=-

(1)6,f '''-=- ()1!

()(1),n n n n f x x

+=- ()(1)!n f n -=-

于是所求的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式为

()0

(1)

()(1)((1))!k n

k n k f f x x o x k =-=+++∑

0(1)((1)).n

k n k x o x ==-+++∑

3．求下列函数的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式： (1)

x xe x f -=)(；

(2) 1()1x f x x

-=+. 解 (1)因为

),()!

1()(!2)()(111

2---+--++-+-+=n n x

x o n x x x e

所以

312

(1)()2!(1)!

n n

n x x xe

x x o x n ---=-+-++-

11(1)()(1)!

k n

n k x o x k -=-=+-∑. (2) 由 )(111

2n n x o x x x x

+++++=- 知

1(1)()1n n n x x x o x x

=-+-+-++ 故 1()1x f x x -=+212

111x x x

--==-++

22[1(1)()]1n n n x x x o x =-+-+-+-

01(1)2()n

k k n k x o x ==-+-?+∑.

4. 用泰勒公式计算下列极限：

(1) 22

30cos lim

x x x e

→-；

(2) 20

lim (cos )sin x x x e x

→-? 解 (1) x cos ),(!

4!2144

x o x

x ++-=22

x e

244211(),222!

x x o x =-++?

∴22

cos x x e

-44211

(

)(),4!22!

x o x =-+? 又3

sin x x 4~,x 从而

30cos lim sin x x x e x x

-→-4

4401()

12lim x x o

x x →-

+=1.12=- (2) 24661131()242!8

x x x o x =+-++??

∴22x -466

11()44

x x o x =-++

x cos ),(!4!21442x o x x ++-

=2x e ),(!

1442x o x x +++= ∴2

cos x x e -24

43(),224

x x o x =

-+ 又2sin x 2

~,x

从而

20(cos )sin x x x e x →-?46646611()443()

224

x x o x x x o x -++=--+114362-==-. 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： (1) 6

； (2) e .

解 (1) 23111(1)ln(1)(1)23(1)(1)

n n n n x x x x x x n n x θ+-+-+=-+-+-+++ 上式中，取3n =得

234

ln(1)234(1)

x x x x x x θ+=-+-+).10(<<θ 以1

x =代入得

6ln 52

5111110.182752535

≈-+=，(取小数点后四位)

其误差 4R 44441

11()=4105454(1)5

θ-=

e 12)!

1(!!21+++++++=n x

n x n e n x x x θ (01)θ<<.

取,1=x 5n =得 e 1111

11 2.7083,

2!3!4!5!

≈+++++=(取小数点后四位) 其误差 6R 6!e <

0.0042.6!

<= 习题4-3

1．计算下列极限：

(1) 0lim sin x x

x e e x

-→-；

(2) 2

ln cos 2lim ()x x

x ππ→-;

(3) 02lim sin x x x e e x

x x

-→---；

(4) 1ln(1)

lim

arctan 2x x x π

→+∞+-； (5) cot lim

cot 3x x

π→；

(6) 0ln lim ln cot x x

+→；

(7) 20tan lim tan x x x

x x

→-;

(8) 2

2301

lim sin 2x x e x x x

-→+-; (9) 0ln sin 3lim ln sin 2x x

+→;

(10) 2lim x

x x e

-→+∞

;

(11) 2

lim cot ln()2

x x x π

+→

;

(12) 20

lim(

)sin x x x x →-; (13) 1

1lim 1ln x x x x →??-

?-??

; (14) 0

1lim 1x

x e x →??-

?-??

; (15) 2

lim(cos 2)x x x →;

(16) 11

lim (ln )

x x x -→+∞

;

(17) lim x x x x x e e e e --→+∞-+; (18) sin lim

sin x x x

x x

→∞-+; 解 (1) 00lim lim 2sin cos x x x x

x x e e e e x x

--→→-+==；

(2) 2ln cos 2lim ()x x x ππ→-2tan 2lim 2()x x

x ππ→-=-24sec 2lim 2

x x π→-==-2; (3) 02lim

sin x x x e e x x x -→---0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x

x x x e e e e e e x x x

---→→→+--+====-； (4) 1ln(1)lim arctan 2x x x π→+∞+-2111lim 1x x x x →+∞-+=-+22

1lim 1x x x x →+∞-+=-+2

21lim x x x x →+∞+=+=1； (5) cot lim cot 3x x x π→22csc lim 3csc 3x x x π→-=-22sin 3lim 3sin x x x π→=2sin 3cos33lim 32sin cos x x x x x

π→?=?；

sin 3cos3lim

lim sin cos x x x x x x ππ→→=?3cos3lim 1cos x x

π→=?=3

(6) 0ln lim ln cot x x x +→201lim csc cot x x x x +→=-2

lim csc cot x x x x

+→=-0sin cos lim x x x x

+→=-=-1； (7) 20tan lim tan x x x x x →-30lim tan x x x x →=-2203lim sec 1x x x →=-2

203lim 3tan x x x

→==;

(8) 22301lim sin 2x x e x x x -→+-22301lim (2)x x e x x x -→+-=23

022lim 84x x xe x x -→-+=?2201lim 16x

x e x -→-= 2

021

lim 3216

x x xe x -→==; (9) 0ln sin 3lim ln sin 2x x x +→03cot 3lim 2cot 2x x x +→=03tan 2lim 2tan 3x x x +→=032lim 123x x

+→==;

(10) 2lim x

x x e -→+∞2lim x x x e →+∞=22lim lim 0x x x x x e e

→+∞→+∞===;

(11) 2

lim cot ln()2x x x ππ+→?-2ln()2lim tan x x x ππ+

→-=22

12lim sec x x x ππ

→

= 22cos lim 2x x x π

→

2cos sin lim 01

x x x

→

-==;

(12) 2011lim()sin x x x x →-20sin lim sin x x x x x →-=30sin lim x x x

→-= 20cos 1lim 3x x x →-=0sin lim

6x x x

→-=1

6=-; (13) 11lim 1ln x x x x →??- ?-??1

ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+=-1ln lim 1ln x x x x x

→=-+

121

lim 112

x x x x

→==+;

(14) 01

1lim 1x x e x →??- ?-??01lim x x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2x x x x e xe e →-=+1

=-; (15) 2

ln cos2ln cos2lim

lim(cos 2)lim x x x x x

x x x x e

→→→==,

又20ln cos 2lim

x x x →002tan 2tan 2lim lim 22x x x x

x x

→→--===-

故2

lim(cos 2)x x x →=2

e -;

(16) 11

lim (ln )

x x x -→+∞

=ln ln 1

lim x x x e

-→+∞

又11ln ln ln lim lim 011

x x x x x x →+∞→+∞?

==-, 故1

lim (ln )

x x x -→+∞

e =1;

(17) lim x x x x x e e e e --→+∞-+221lim 11x

x e e --→+∞-=+;

(18) sin 1lim

1sin 1x x x x x

→∞-

. 2. 设(0)0f =,(0)2f '=，(0)6f ''=,求2

0()2lim x f x x

x →-.

解 20()2l i m x f x x x →-0()2l i m 2x f x x →'-=0()lim 2x f x →''=(0)

f ''==. 习题4-4

1．判断函数x

y e x =-的单调性.

解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D

在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少；在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加. 2．判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22

ππ

的单调性.

解 cos y x x '=,在区间3(

)22ππ

，,0<'y ∴函数单调减少.

3．求下列函数的单调区间： (1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2

()2ln f x x x =-；

(3) ()f x =

(4) 2

()1x f x x

=+.

解 (1) ).,(:+∞-∞D 2

()61812f x x x x '=-+),2)(1(6--=x x 解方程0)(='x f 得.2,121==x x

当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加；当21<'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加.

(2) :(0,).D +∞1()4f x x x

'=-241

x x -=,

解方程0)(='x f 得1

x =，

在1

(0,)2

内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(0,)2

内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1

(,)2

+∞单调增加.

(3) ).,(:+∞-∞D y '

13=令,0='y 解得14

x =在21,x =32x =处y '不存在.

在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3?? ???

内，,0>'y 函数单调增加；故函数在

4,3??-∞ ???内函数单调增加；

在4,23??

???

内，,0<'y 函数单调减少；在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加.

(4) :(,1)(1,).D -∞--+∞

()111x f x x x x

==-+++,22

1(2)()1(1)(1)x x f x x x +'=-=++, 令,0='y 解得12,x =-20,x =

在(,2)-∞-内，,0>'y 函数单调增加；在(2,1)--内，,0<'y 函数单调减少；在(1,0)-内，,0<'y 函数单调减少；在(0,)+∞内，,0>'y 函数单调增加.

4．当0>x 时，应用单调性证明下列不等式成立：

(1) 2x +>

(2) 2

1ln(1)2

x x x x >+>-.

证 (1) 令()2f x x =+- 则

()1

f x '==. 当0>x 时,,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加，

,0)0(=f ∴当0>x 时，()(0)0,f x f >=即2x +-，

故2x +>

(2)设),1ln()(x x x f +-=则.1)(x

x f +=

' )(x f 在],0[+∞上连续，

且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>

又设21()ln(1),2

g x x x x =+-+

因为()g x 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且1()11g x x x

'=-++,12

x x +=

当0>x 时，()0,g x '>又(0)0.g = 故当0>x 时，()(0)0,g x g >=

所以.2

1)1ln(2x x x -

>+ 综上，当0>x 时，有2

1ln(1)2

x x x x >+>-

，证毕. 5．证明方程5

210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 证令5

()21f x x x x =++-，

因)(x f 在闭区间[0,1]连续，且)0(f 1=-,0<(1)f 30=>.

根据零点定理)(x f 在(0,1)内有一个零点,即方程53210x x x ++-=至少有一个小于1的正根.

在(0,1)内，)(x f '42561x x =++,0> 所以)(x f 在[0,1]内单调增加，即曲线)(x f y =在(0,1)内与x 轴至多只有一个交点.

综上所述，方程5

210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 6．求下列曲线的凹凸区间及拐点： (1) 14334+-=x x y ；

(2) 2y =- (3) 2

1y x =

+；

(4) (y x =-解 (1)函数的定义域为),,(+∞-∞

,121223x x y -='.236?? ?

-=''x x y 令,0=''y 得,01=x .22=x

)

所以，曲线的凹区间为]0,(-∞,2凸区间为2拐点为和112

(2) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '

13=- y ''= 函数y 在1x =处不可导，但1x <时，,0<''y 曲线是凸的，1x >时，,0>''y 曲线是凹

的.

故凹区间为[1,)+∞，凸区间为(,1]-∞，拐点为(1,2)；

(3) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '22

8(1)

x =-+ , y ''223248(1)x x -=+ 令,0=''y 得

1x =2x = 在(,

-∞，,0>''y 曲线是凹的；在(

，,0<''y 曲线是凸的；在)

+∞，,0>''y 曲线是凹的.

因此凹区间为(,

-∞,)+∞，凸区间为[，拐点为(3)和

(4) 函数的定义域为),,(+∞-∞ 523

(y x x x =-=-,

y '2133

5233x x -=-=, y ''143310299x x --=+=, 令,0=''y 得11

x =-在20x =处y ''不存在，

在1

(,)5-∞-，,0<''y 曲线是凸的；

在1

(,0)5

-，,0>''y 曲线是凹的；

在(0,)+∞，,0>''y 曲线是凹的；

故凹区间为1(,0]5-,[0,)+∞，凸区间为1

(,]5

-∞-，拐点为1(,5-. 7．利用函数的凹凸性证明：若,0,x y x y >≠，则不等式2

()x y

x y

xe ye x y e ++>+成立.

证令()t

f t te =(0t >)，则所要证明的不等式改写为

()()<()22

f x f y x y

f ++.

因此问题转化为要证明()f t 在(0,)+∞内为凹.

由()t t f t te e '=+，()2t t

f t te e ''=+，因0t >，()0f t ''>，故()f t 在(0,)+∞内为凹，

于是不等式成立.

习题4-5

1．求下列函数的极值： (1) 3

()393f x x x x =--+；

(2) 2

()1x

f x x =+; (3) 2

()2ln f x x x =-;

(4) ()f x =

(5) 2

()(1)1f x x =--;

解 (1) )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x

所以, 极大值(1)8,f -=极小值(3)24f =-.

(2) 222

1(1)(1)

()11x x x f x x x

--+'==++,令,0)(='x f 得驻点121, 1.x x =-= 列表讨论如下：

所以, 极小值(1),2

f -=-极大值(1)2

f =. (3) 函数的定义域为(0,),+∞1()4f x x x

'=-241x x -=，令,0)(='x f 得驻点1

2x =，

在1(0,)2内，,0)(<'x f )(x f 在1

(0,)2内单调减少；

在1(,)2+∞内，,0)(<'x f )(x f 在1

(,)2

+∞单调增加.

所以,有极小值11

()ln 222

f =+.

(4) ).,(:+∞-∞D y '

13=令,0='y 解得14

x =在21,x =32x =处y '不存在.

在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3?? ???

内，,0>'y 函数单调增加；

在4,23?? ???

内，,0<'y 函数单调减少；

在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加.

因此，有极大值4()3f =

极小值(2)0f =. (5) 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f 因(0)60,f ''=>/故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为(0) 2.f =-

因,0)1()1(=''=-''f f 考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f 因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值.同理，)(x f 在1-=x 处也没有极值.

2. 设3

x π

是函数1

()sin sin 33

f x a x x =+的极值点，则a 为何值？此时的极值点是

极大值点还是极小值点？并求出该值.

解由()cos cos3f x a x x '=+,

因3x π

是极值点，故()cos

cos 033

f a ππ

π'=+=,得a =2,

又()(2cos cos3)2sin 3sin3f x x x x x '''=+=--,

()2sin 3sin 033

f ππ

π''=--=,

所以，3

x π

是极大值点，极大值为：1

()2sin

sin 3

f ππ

π=+=3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值：

(1) 4

()23f x x x =-+, 3[2]2

-，;

(2) ()f x x =+[3,1]-; (3)()sin cos f x x x x =+,[],ππ-.

解 (1)3

()444(1)(1),f x x x x x x '=-=+-

解方程,0)(='x f 得1231,0, 1.x x x =-==

计算357

();2

f -=

(1)(1)2;f f -==(0)3;f =(2)11f =. 比较得最大值(2)11f =,最小值(1)(1)2f f -==.

(2) ()1

f x '==令,0)(='x f 得3

4x =，

计算(3)1f -=-，35

()44f =，(1)1f =.

从而得最大值35

()44

f =,最小值(3)1f -=-.

(3) ()cos f x x x '=，令,0)(='x f 在[],ππ-得驻点123,0,.2

x x x π

=-==

计算()()222

f f π

ππ

==，(0)1f =，()()1f f ππ-==-. 故得到，最大值为()()222

f f π

ππ

==，最小值为()()1f f ππ-==- .

4. 求下列曲线的渐近线： (1) 1sin x y x

; (2) 11

1x y e

-=+.

解 (1)因1sin lim 0x x

x →∞+=, 得水平渐近线0;y =

因01sin lim x x x

→+,=∞ 得铅直渐近线.0=x (2) 因1

lim(1)2x x e

-→∞

+=, 得水平渐近线2;y =

因1

lim(1)x x e +

-→+=+∞, 得铅直渐近线 1.x =

5. 作出下列函数的图形： (1) 3

()31f x x x =-+； (2) 4

()21f x x x =-+;

(3) 2y =-(4) 2

()1x f x x

=+.

解 (略)

6. 设A 、B 两个工厂共用一台变压器，其位置如右下图所示，问变压器设在输电干线的什么位置时，所需电线最短？

解设变压器设在输电干线距C 点x km 处，由已知条件可得电线的总长度为

()6)f x x =≤≤

求导

()f x '=

，

令()0f x '=，在[0,6]内，得 2.4x =为唯一驻点,

容易判断，此时，函数有最小值，故变压器设在输电干线距C 点2.4 km 处，所需电线最短.

习题4-6

1．某钟表厂生产某类型手表日产量为Q 件的总成本为

1()200100040

C =

++Q Q Q (元)， (1) 日产量为100件的总成本和平均成本为多少？ (2) 求最低平均成本及相应的产量；

(3) 若每件手表要以400元售出，要使利润最大，日产量应为多少？并求最大利润及相应的平均成本？

解 (1) 日产量为100件的总成本为

100(100)20010010002125040

C =+?+=(元)

平均成本为21250

(100)212.5100

C ==(元).

(2) 日产量为Q 件的平均成本为()1000

()20040C C ==++

Q Q Q Q Q

， 211000

()40C '=-Q Q

，令()0C '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为200=Q .

又2003

1000

(200)0C =''=>Q Q

，故200=Q 是()C Q 的极小值点，即当日产量为200件时，平均成本最低，最低平均成本为1000

()20021040

200

200200

C =

= (元).

(3) 若每件手表要以400元售出，此时利润为

()L Q 2

1400()400200100040

C ==-

--Q -Q Q Q Q 2

12001000

40=-

+-Q Q ， 1

()20020

L '=-+Q Q ，

令()0L '=Q ，得唯一驻点为400=Q ，此时，1

()020

L ''=-

因此，要使利润最大，日产量应为400件，此时的最大利润为

()200100075 00040400400400L =-

?+?-=(元) 相应的平均成本为

1000

()200212.540

400

400400

C =

=(元).

2．设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为

23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元),

现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量.

解利润函数为

()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q ，

求导2

()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ，

令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q ，此时，2

2000

()0.0060.03(0.0120.00602000)L =''=-??=-

，

因此，要使利润最大，销量应为2000条，此时的最大利润为

23()10000.003(0.013000200020002000)L =-+?-?=(元).

3. 设某种商品的需求函数为1000100P =-Q , 求当需求量300=Q 时的总收入, 平均

收入和边际收入，并解释其经济意义.

解设需求量Q 件价格为P 的产品收入为(),R P =?Q Q

由需求函数1000100P =-Q 得100.01P =-Q 代入得总收入函数

2()(100.01)100.01.R =-?=-Q Q Q Q Q

平均收入函数为 ()

()100.01.R R ==-Q Q Q Q

边际收入函数为

()(100.01)100.02.

R ''=-

=-Q Q Q Q 当300=Q 时的总收入为 ,210030001.030010)300(2

=?-?=R

平均收入为 ,730001.010)300(=?-=R 边际收入为 (300)

100.02300

R '=-?=，其经济意义是：当需求量为300件时，每增加1个单位商品的需求，将增加4元的收入.

4．设某工艺品的需求函数为800.1P =-Q (P 是价格，单位：元, Q 是需求量，单位：件), 成本函数为 500020C =+Q (元).

(1) 求边际利润函数()L 'Q , 并分别求200=Q 和400=Q 时的边际利润，并解释其经济意义.

(2) 要使利润最大，需求量Q 应为多少?

解 (1)

已知800.1P =-Q ，500020C =+Q ，则有

2()(800.1)800.1,R P =?=-=-Q Q Q Q Q Q 2()()()(800.1)(500020)L R C =-=--+Q Q Q Q Q Q

边际利润函数为

2()(0.1605000)0.260,L ''=-+-=-+Q Q Q Q

当200=Q 时的边际利润为

(200)0.22006020.L '=-?+=

当400=Q 时的边际利润为

.20604002.0)400(-=+?-='L

可见销售第201个产品，利润会增加20元，而销售第401个产品后利润将减少20元. (2) 令()0,L '=Q 得,300=x

02.0)300(<-=''L

故要使利润最大，需求量300=Q 件，此时最大利润为 4000)300(=L (元).

5．设某商品的需求量Q 与价格P 的关系为

1600

P =

Q (1) 求需求弹性)(P η，并解释其经济含义;

(2) 当商品的价格10=P (元)时, 若价格降低1%, 则该商品需求量变化情况如何？解 (1) 需求弹性为

)

()()(P Q P Q P P '=η1600416004P P P '?? ???=1600

ln 4416004P P

P -=?

ln 4P =-?P )2ln 2(-=.39.1P -≈

需求弹性为负, 说明商品价格P 上涨1%时, 商品需求量Q 将减少1.39P %.

(2) 当商品价格10=P (元)时, ,9.131039.1)10(=?-≈η 这表示价格10=P (元)时,

价格上涨1%, 商品的需求量将减少13.9%. 若价格降低1%, 商品的需求量将增加13.9%.

6．某商品的需求函数为3

P e -=Q (Q 是需求量，P 是价格)，求：

(1) 需求弹性)(P η； (2) 当商品的价格2,34P =，时的需求弹性, 并解释其经济意义.

解 (1) 需求弹性为

()()3

P e P P P

e η--'

==-

； (2) 2

(2)13

η=<,说明当2P =时，价格上涨1%, 需求减少0.67 %；

(3)1η=，说明当3P =时，价格与需求变动幅度相同；

4(4)>13

η=,说明当4P =时，价格上涨1%, 需求减少1.33 %.

7．已知某商品的需求函数为2

75P =-Q (Q 是需求量，单位：件，P 是价格，单位：

元).

(1) 求5P =时的边际需求, 并解释其经济含义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并解释其经济含义.

(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 解设,75)(2

P P f Q -==需求弹性)(0P P =

)

()(|00

P f P P f P P ?

'==η 刻划了当商品价格变动时需求变动的强弱. (1) 当5P =时的边际需求5

(5)210P f P

='=-=-

它说明当价格P 为5元,每上涨1元, 则需求量下降10件. (2) 当5P =时的需求弹性

(5)(5)(10)175755

P f P η'=?

=-?=--- 它说明当5P =时, 价格上涨1%, 需求减少1%.

(3) 由 ()(1)R f P η'=?+. 又 ()R P P f P =?=?Q ,于是

()

()1()()

ER P R P R P EP R P f P η''=?==+ 由(5)1η=-，得

5110P ER

==-= 所以当5P =时,价格上涨1%,总收益不变，此时总收益取得最大值.

(4) 由,753

P P PQ R -==(6)234,R =(6)R '2675333,P P ==-=-

(6)0.85(6)

P ER R EP R ='=?≈- 所以当6=P 时,价格上涨1%,总收益将减少0.85%.

复习题4

（A ）

1．设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，12a x x b <<<，则下式中不一定成立的是

A . ()()()()f b f a f b a ξ'-=-

()a b ξ<<； B . ()()()()f a f b f a b ξ'-=- ()a b ξ<<；

C . ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)；

D . 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<).

答：C 2．当x =4π时，函数1

()cos cos 44

f x a x x =-取得极值，则a =

A ．-2

B ．

C D ．2

答：B

3．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线)(x f y =在I 是 A ．单调减少且为凹弧； B ．单调减少且为凸弧； C ．单调增加且为凹弧； D ．单调增加且为凸弧.

答：D

4．曲线y =3

2(1)x x -

A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线；

B ．只有水平渐近线；

C ．有垂直渐近线x =1；

D ．没有渐近线.

答：C

5．用中值定理证明下列各题：

(1) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()0f a f b ==，

且在(a , b )内()0f x ≠，试证：对任意实数k , 存在),(b a <<ξξ使得()

()

f k f ξξ'=

. (2) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()1f a f b ==，

试证：存在,(,)a b ξη∈，使得[()()]1e f f ξη

ξξ-'+=

证 (1) 对任意实数k ，设()()kx

F x e

f x -=，

()()()kx kx F x ke f x e f x --''=-+，显然()F x 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，且()()0F a F b ==，故在[a , b ] 应用罗尔定理，存在),(b a <<ξξ使()0F ξ'=，即

()()()0k k F ke f e f ξξξξξ--''=-+=，整理得

()()0kf f ξξ'-+=，即()

()

f k f ξξ'=

. (2)设()()x F x e f x =，()()()x x

F x e f x e f x ''=+，

在闭区间[a , b ]上应用拉格朗日中值定理

()()

()b a e f b e f a F b a

ξ-'=-，(,)a b ξ∈

即[()()]b a e e e f f b a

ξξ-'+=-

令()x

G x e =，()[()()]b a e e G e e f f b a

ηξηξξ-''==

=+-，,(,)a b ξη∈ 故有 [()()]1e f f ξη

ξξ-'+=，,(,)a b ξη∈.

6．求函数1

()3f x x

=-的1n +麦克劳林公式.

解 1()3f x x =-=13(1)3

x =

-01()33k n n

k k x o x ==+∑10()3k n

n k k x o x +==+∑ 7. 计算下列极限： (1) lim

(arctan )2

x x π

-；

(2) 0

lim(

)1x

x e x

→--; (3) 1ln 0

lim(cot )x

x x +

→；

(4) 11

0(1)

lim x

x x e →?

?+?

??????

. 解 (1) lim

(arctan )2

x x π

-arctan 2

lim x x π

→+∞-=

211lim

x x →+∞+=

2lim 0x →+∞=-=；

(2) 01

1lim 1x x e x →??- ?-?

?01lim x x x x e xe x →-+=-01lim 1x x

x x e xe e →-=+- 0lim 2x x x x e xe e →-=+1

； (3) 1

ln 0

lim(cot )x

x x +

→ln cot ln cot lim ln ln 00

lim x x

x x e e

+→+

→==

而0ln cot lim ln x x x

+→20csc cot lim 1x x

x x +

→-=20csc lim cot x x x x +→-= 20csc lim cot x x x x +→-=0lim 1cos sin x x x x +

→-==-，所以原式=1

e -；

(4) 11

0(1)lim x

x x e

→??+????????1

ln(1)1

0lim x x x

x e ++-→= 01ln(1)1lim x x x x →+-20ln(1)lim x x x x →+-=011

1lim 2x x x

→-+= 01lim 2(1)x x →-=+1

=- 所以原式=12

8．问,,a b c 为何值时，点(-1,1)是曲线3

y x ax bx c =+++的拐点，且是驻点？解 3

y x ax bx c =+++，2

32y x ax b '=++，62y x a ''=+，由已知(1)620y a ''-=-+=，得3a =，

2(1)3(1)23(1)0y b '-=-+?-+=，得3b =，

点(-1,1)代入曲线方程：3

(1)3(1)3(1)1c -+-+-+=，得2c =

9. 证明方程 1ln -=

e x

x 在区间),0(+∞内有两个实根. 证令()ln 1x f x x e =-+，11()f x x e

'=-e x

ex -=，

（1）当0x e <<时，()0f x '>，即函数单调增加，而()ln 110e

f e e e

+=>，0lim ()x f x +→=-∞，例如11

()ln 10e f e e e e

---=-+=-<，因此，函数在(0,)e 内有且只有一个零点，即方程1ln -=e

x 在(0,)e 内有且只有一个根；

（2）当x e >时，()0f x '<，即函数单调减少，()()f x f e <

又()ln 110e f e e e =-+=>，即()ln 11x

f x x e =-+<

于是ln x

x e

<，因此lim ()x f x →+∞=-∞，所以函数在(,)e +∞内有且只有一个零点，即方

程1ln -=

x 在(,)e +∞内有且只有一个根；综上，即证方程 1ln -=e x

x 在区间),0(+∞内有两个实根..

10．确定函数32

()231210f x x x x =+-+的单调区间，并求其在区间[3,3]-的极值与

最值.

解 2

()66126(1)(2)f x x x x x '=+-=-+,令,0)(='x f 得驻点122, 1.x x =-=

所以, 函数在(],2-∞-，[1,)+∞单调增加，在[]2,1-单调减少，极小值(1)3f =，极小值(2)30f -=；

又(3)55f =，(3)18f -=，因此得最大值(3)55f =,最小值(1)3f =.

（B ）

1. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（） A ．0()f x 是()f x 极大值； B ．0()f x 是()f x 极小值； C ．0()f x '是()f x '的极值；

D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点.

答： D

2. 设()(1)f x x x =-，则（）

A ．0x =是()f x 极值点，但(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；

B ．0x =是()f x 极值点，且(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；

C ．0x =不是()f x 极值点，但(0, 0)是曲线)(x f y =的拐点；

D ．0x =不是()f x 极值点，且(0, 0)也不是曲线)(x f y =的拐点.

答：B 3. 设120e

a ->>，证明方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.

证：因12

a -

>>，则12e a ->，即21a e <

令()ax f x x ae =-，显然()f x 在1

[0,]a -连续，

由(0)0f a =-<，1

()(1)0f a a ae a a e ---=-=->，所以方程ax x ae =在1

(0,)a -内至少有一实根，

又2()1ax f x a e '=-，在1(0,)a -内0ax e e <<，所以22

0ax a e a e <<，

于是2()10ax

f x a e '=->，即函数()ax f x x ae =-在1(0,)a -单调增加，至多与x 轴有

一个交点；

因此，方程ax

x ae =有且只有一个小于1

a -的正根.

4. 设(0)0f =,()0f x ''<，证明对任意120,0x x >>，恒有

1212()()()f x x f x f x +<+.

证由()0f x ''<，知)(x f '单调减少，对任意120,0x x >>，在1[0,]x 上应用拉氏定理知,11(0,),x ξ?∈使

11111()()(0)

()0

f x f x f f x x ξ-'==- 在112[,]x x x +上应用拉氏定理知，2112(,),x x x ξ?∈+使

12212221122

()()()()

()()f x x f x f x x f x f x x x x ξ+-+-'==+-

)(x f '单调减少,

∴)()(21ξξf f '>' ?

122

111

()()()f x x f x f x x x +-<

所以1212()()()f x x f x f x +<+. 证毕.

5. 当10x >>时，证明不等式212x

x +<成立.

证令2

()12x

f x x =+-，当10x >>时，(0)(1)0f f ==,

()22ln 2x f x x '=-,

又2

()22ln 2>0x f x ''=-,(10x >>)，故()f x '在(0,1)单调增加，

由(0)ln 2<0f '=-，(1)22ln 2>0f '=-，故()f x '在(0,1)有且只有一个零点，设为

k .

易知在(0,)k 内()<0f x '，在(,1)k 内()>0f x ', 因此点x =k 必为()f x 的极小值点. 从而在(0,)k 内，()f x 单调减少，即有0k x >>时，()<(0)0f x f =，于是有

212x x +<(0k x >>)

在(,1)k 内，()f x 单调增加，即有1x k >>时，()<(1)0f x f =，于是有 212x x +<(1x k >>)

因在(0,)k 和(,1)k 内()<0f x ，()f k 是函数()f x 的极小值，所以()<0f k .

综上即得，在(0,1)内()<0f x ，于是，当10x >>时，不等式2

12x

x +<成立. 证毕. 6. 已知0a b <<，函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在,ξη使得

2()

()f f ab

ηηξ''=

证 )(x f y =在区间[a , b ]上应用拉氏定理知，在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得

()()

()f b f a f b a

ξ-'=

-，

又()f x ，

在[a , b ]上满足柯西中值定理的条件，故在(a , b )内至少存在一点η，使 2()()()

.111f b f a f b a ηη

'-=--

整理得：

2()()()

f b f a f b a ab

ηη'-=-.

因此得到，在(a , b )内至少存在,ξη使得

2()()f f ab

ηηξ''=.

证毕.

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

高等数学经济数学习题集含答案

《高等数学（经济数学1）》课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院版权所有习题【说明】：本课程《高等数学（经济数学1）》（编号为01014）共有单选题,填空题1,计算题等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。一、单选题 1.幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称（） A 、函数 B 、初等函数 C 、基本初等函数 D 、复合函数 2.设,0 ,0 ,)(???≥+<=x x a x e x f x 当a=（）时，)(x f 在),(+∞∞-上连续 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3.由函数2x u e y u ==，复合而成的函数为（） A 、2 x e y =B 、2 x e x =C 、2 x xe y =D 、x e y = 4.函数f(x)的定义域为[1，3]，则函数f(lnx)的定义域为（） A 、],[3e e B 、]3,[e C 、[1，3] D 、],1[3e 5.函数x y x y z 2222-+=的间断点是（）A 、{} 02),(2=-x y y x B 、2 1 =x C 、0=x D 、2=y 6.不等式15<-x 的区间表示法是（）A 、(-4,6)B 、(4,6)C 、(5,6)D 、(-4,8) 7.求323 lim 3 x x x →-=-（）A 、３B 、２C 、５D 、－５ 8.求=++→43lim 20 x x x （） A 、１ B 、２ C 、３ D 、４ 9.若f(x)的定义域为[0，1]，则 )(2x f 的定义域为（）

A 、[-1,1] B 、（-1,1） C 、[０,1] D 、[-1,０] 10.求=+-→t e t t 1lim 2（）A 、21(1)e -+B 、211(1)2e +C 、)11(212+-e D 、11 (1)2e -+ 11.求0sin lim x x x ω→=（）A 、０B 、１C 、2ωD 、ω 12.求=-∞→x x x )1 1(lim （）A 、e 1B 、１C 、０D 、e 13.求=-+→x x x 11lim （）A 、１ B 、12C 、13D 、1 4 14.已知x x x f +-= 11)(，求)0(f ＝（）A 、１ B 、２C 、３D 、４ 15.求29)(x x f -=的定义域（）A 、[-1,1]B 、（-1,1）C 、[-3,3]D 、（-3,3） 16.求函数y =的定义域（）A 、[1,2]B 、（1,2）C 、[-1,2]D 、（-1,2） 17.判断函数53)(2+=x x f 的奇偶性（）A 、奇函数B 、偶函数C 、奇偶函数D 、非奇非偶函数 18.求13+=x y 的反函数（）A 、113y x = +B 、113y x =-C 、13 x y += D 、31 -=x y 19.求极限lim )x x →+∞的结果是（）A 、0B 、1 2 C 、∞ D 、不存在 20.极限01lim 23x x →+的结果是（）。A 、0B 、不存在C 、15D 、1 2 21.设x x y sin ?=，则y '=（） A 、)cos 2sin ( x x x x +B 、)sin 2cos (x x x x +C 、)cos 2sin (x x x x -D 、)sin 2cos (x x x x - 22.设4)52(+=x y ,则y '=（）A 、34(25)x +B 、3)52(8+x C 、44(25)x +D 、48(25)x + 23.设t e t y sin =则y ''=（）A 、2sin t e t --B 、2sin t e t -C 、2cos t e t -D 、t e t cos 2-- 24.=--→1 1lim 3 1x x x （）A 、1B 、2C 、3D 、4 25.设)()2)(1()(n x x x x x f ---=K ,则)()1(x f n +=（）A 、)!1(+n B 、1n +C 、0D 、1 26.曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线轴与x 正向的夹角为：（） A 、 2πB 、3πC 、4 πD 、5π

大学高等数学下考试题库(附答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π =b a 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,2 2<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ??+22sin ，其中2 2224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -?

(word完整版)高等数学习题集及答案

第一章函数一、选择题 1. 下列函数中，【】不是奇函数 A. x x y +=tan B. y x = C. )1()1(-?+=x x y D. x x y 2sin 2 ?= 2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】 A. 3 3)(,)(x x g x x f = = B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 1 1)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == 3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】 A. +arctan y x x = B. cos y x = C. arcsin y x = D. sin y x x =? 4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【】 A. (0,)π B. (,) 22ππ- C. [,] 22ππ- D. (,+)-∞∞ 6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】 A. arcsin y x = B. arccos y x = C. arctan y x = D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】 A. (,)-∞+∞ B. [1,1]- C. (,)ππ- D. [2,0]- 9. 下列各组函数中，【】是相同的函数 A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x = B. ()f x x =和()g x = C. ()f x x =和()2 g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】 A. ()cos f x x = B. ()arccos f x x = C. ()tan f x x = D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】 A. (,)22 ππ - B. (0,)π C. (,)-∞+∞ D. [1,1]- 12. 下列函数是奇函数的是【】

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武科院试题一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有（A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在（D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题一、填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大学高等数学第一册考试试题+答案

一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 1.设-∞=→)(lim 0 x f x x ，-∞=→)(lim 0 x g x x ，A x h x x =→)(lim 0 ，则下列命题不正确的是 ( B ) A. -∞=+→)]()([lim 0 x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0 x h x f x x ; C. -∞=+→)]()([lim 0 x h x f x x ; D. +∞=→)]()([lim 0 x g x f x x . 2. 若∞ →n lim 2)5 1(++n n =( A ) A. 5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x f x f cos 1) 0()(--=3,则在点x=0处 ( C ) A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0; B. f(x)的导数不存在; C. f(x)取极小值; D. f(x)取极大值. 4设x e 2-是f(x)的一个原函数,则 ?dx x xf )(= ( A ) A. x e 2-(x+ 2 1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c. 5. ? x a dt t f )3('= ( D ) A. 3[f(x)－f(a)] ; B. f(3x)－f(3a); C. 3[f(3x)－f(3a)] ; D. 3 1 [f(3x)－f(3a)]. 二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分） 1. 若+∞→x lim (1 1 223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . . 2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h h a f h a f ) 3()(--+= 4)('a f . 3. 设y=5 22)ln(e x a x +++,则dy . 4. 不定积分 dx e x x ?2 = c e x x ++2 ln 12 . 5. 广义积分?-3 11dx x x = 23 10 . . 6. ?-++11 21 sin dx x x x x = 0 .

高等数学(专科)复习题及答案

高等数学期末试卷一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞ 。 2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f ．解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x , 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+- →→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的，又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--= 21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

大学高等数学下考试习题库(附答案)

欢迎阅读《高等数学》试卷6（下）一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（）. A.a ∥b 3. （A ） 6π4.A.=?b a 5.函数z A.2 6.设z =A. 2 2 7. 级数（A 8.幂级数=1n n A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 二.填空题（4分?5）

1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. 设L 为取正向的圆周：221x y +=，则曲线积分2 (22)d (4)d L xy y x x x y -+-=? ?____________. 5. .级数 n ∞ 三.1.设z =2.3.计算D ??4. . 一.二.1.2-y x 2.(xy cos 3.62-y x 4. ()n n n n ∑ ∞ =+-01 21. 5.()x e x C C y 221-+= . 三.计算题 1. ()()[]y x y x y e x z xy +++=??cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=??cos sin .

关于大学高等数学期末考试试题与答案

关于大学高等数学期末考试试题与答案 Last revision on 21 December 2020

（一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（）。 A 、 B 、

5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内（）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限（1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分（1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ；（2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ；（3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分（1 ）；（2 ）；（3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x

高等数学练习题库及答案

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

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华中师大学网络教育《高等数学》练习测试题库一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( )

A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续

大一高等数学试题及答案

期末总复习题一、填空题 1、已知向量2a i j k =+- ，2b i j k =-+ ，则a b ? = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞ =?? + ???∑的敛散性为发散。 4、设L 是上半圆周2 2 2 a y x =+（0≥y ），则曲线积分22 1 L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：?? --01 2 1),(y dx y x f dy ＝ dy y x dx ),(f 0 x -12 1 ? ? 6．级数∑ ∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 1 。二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系（ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是（ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:2 2 >≤+y y x D ,则32222 ln(1) 1 D x x y dxdy x y ++=++?? （ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是（ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6 、微分方程 2 2 ()()0y y y ' ''+ - =的阶数为（ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为

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