文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

……外…………○学……内…………○绝密★启用前

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题

试卷副标题

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

注意事项:

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷(选择题)

请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

1.已知函数y =

A ,则A =R e( )

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

A .{}{}

01x x x x ≤?≥ B .{}{}

01x x x x C .{}

01x x ≤≤

D .{

}

01x x <<

2.抛物线24y x =的焦点坐标为( ) A .()1,0 B .()2,0

C .10,8?? ???

D .10,

16??

???

3.已知复数()112ai

z a R i

+=

∈+为纯虚数,则实数a =( ) A .2 B .2- C .1

2

D .12

-

4.函数cos y x x =的大致图像为( )

A .

B .

C .

D .

5.已知一个几何体的三视图如图所示,则其体积为( )

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

线

线

正视图侧视图

俯视图

A.12πB.16π

C.

32

3

π

D.

40

3

π

6.已知双曲线C过点()

1,3,其两条渐近线方程为2

y x

=±,则C的离心率为()

A B C D

7.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一,古代数学家称直角三角形较短的直

角边为勾,另一直角边为股,斜边为弦,其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从

1~15这15个数中随机抽取3个数,则这三个数为勾股数的概率为()

A.

1

910

B.

3

910

C.

4

455

D.

6

455

8.已知等比数列{}n a的前n项和的乘积记为n T,若29512

T T

==,则

8

T=()

A.1024B.2048C.4096D.8192

9.函数()

f x为偶函数,当BC AP

λ

=时,()e x

f x x

=,则曲线()

y f x

=在1

x=-处

的切线方程为()

A.20

ex y e

++=B.20

ex y e

--=C.230

ex y e

+-=

D.230

ex y e

-+=

10.已知数列{}n a的前n项和为n S,满足()

1

21

,22

3n n

n

a S a n

S

=-++=≥,则下面

选项为等差数列的是()

A.{}1

n

S+B.{}1

n

S-

C.

1

1

n

S

??

??

+

??

D.

1

1

n

S

??

??

-

??

11.设

0.32

1

log0.6,log0.6

m n

==,则()

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

A .m n m n mn ->+>

B .m n mn m n ->>+

C .m n m n mn +>->

D .mn m n m n >->+

12.已知函数()()()sin 0,0f x x ω?ω?π=+><<的图像过两点

()0,,,0,24A B f x π???? ? ? ???

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

??在0,4π?? ???内有且只有两个极值点,且极大值点小于极小值点,则()f x =( ) A .()sin 34f x x π?

?

=+

??

?

B .()3sin 54

f x x π??=+

??

?

C .()sin 74f x x π?

?=+ ??

?

D .()3sin 94f x x π?

?=+ ??

?

……○……※※请※……○……第II 卷(非选择题)

请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

13.已知向量,a b 满足()

21,b a a a b ==⊥-,则a 与2a b +的夹角的余弦值为__________.

14.若,x y 满足约束条件2320

323040x y x y x y -+≤??

-+≥??+-≥?

,则2z x y =+的最小值为_______.

15.将5名学生分配到3个社区参加社会实践活动,每个社区至少分配一人,则不同的分配方案有__________种.(用数字填写答案)

16.已知线段AB ì平面α,点O ∈线段AB ,满足2OB OA =.将点A 绕O 折起到点

P 的位置,使直线PB 与平面α所成的角θ最大,则tan q =__________.

三、解答题

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

17.已知向量()(

)

sin ,cos ,3cos ,cosx a x x b x ==

(),f x a b =?.

(1)求函数()f x a b =?的最小正周期; (2)在ABC ?中,3sin BC B C =

=,若()1f A =,求ABC ?的周长.

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

18.在三棱柱ABC A B C '''-中,AB BC CA AA '===,侧面ACC A ''⊥底面ABC ,D 是棱BB '的中点.

(1)求证:平面DA C '⊥平面ACC A '';

(2)若60A AC '∠=,求二面角A BC B '--的余弦值.

19.某纺织厂为了生产一种高端布料,准备从A 农场购进一批优质棉花,厂方技术人员

从A 农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花,分别测量了其纤维长度(单位:

cm )的均值,收集到100个样本数据,并制成如下频数分布表:

…………○…○……号:__________…………○…○……

(1)求这100个样本数据的平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表); (2)将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布

()

2~,X N μσ,其中22,x s μσ≈≈.

①利用正态分布,求()2P X μσ>-;

②纺织厂将A 农场送来的这批优质棉进行二次检验,从中随机抽取20处测量其纤维均值()1,2,

,20y i =,数据如下:

若20个样本中纤维均值2Y μσ>-的频率不低于①中()2P X μσ>-,即可判断该批优质棉花合格,否则认为农场运送是掺杂了次品,判断该批棉花不合格.按照此依据判断A 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花,并说明理由. 附:若(

)2

~,Z N μσ

,则()0.6827,

P Z μσμσ-<<+=()220.9543.P Z μσμσ-<<+= 3.504≈

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

20.已知动点P 到直线:4l x =的距离是到点()1,0F 距离的2倍.记点P 的轨迹为曲线

C .

(1)求曲线C 的方程;

(2)记曲线C 与x 轴交于,A B 两点,()4,0Q .设M 是直线1x =上任意一点,直线

,MA MB 与曲线C 的另一交点分别为,D E .求证:,,Q D E 三点共线.

21.已知函数()()()ln 1f x x mx m R =+-∈. (1)讨论函数()f x 的单调性; (2)当BC AP λ=时,()2

12

f x x ≤

,求实数m 的取值范围. 22.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22cos ,

sin ,

x y αα=+??

=?(α为参数).

以O 为极点x ,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系Ox . (1)求曲线C 的极坐标方程;

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

(2)已知,A B 是曲线C 上任意两点,且4

AOB π

∠=,求OAB ?面积的最大值.

23.已知函数()231f x x x =--+. (1)求不等式()6f x ≤的解集;

(2)集合M 满足:当且仅当x M ∈时,()32f x x =-.若,a b M ∈,求证:

22225a b a b ++-<.

参考答案

1.D 【解析】 【分析】

由题意求出定义域A ,根据补集运算的定义即可求解。 【详解】

由已知{}{}

01A x x x x =≤?≥,故{}01R A x =<

本题考查集合的补集运算,属基础题 2.D 【解析】 【分析】

抛物线的标准方程为2

1

4

x y =,从而可得其焦点坐标。 【详解】

抛物线2

4y x =的标准方程为2

14x y =

,故其焦点坐标为10,16??

???

,故选D. 【点睛】

本题考查抛物线的性质,属基础题。 3.D 【解析】 【分析】

先由复数的除法运算化简z ,再由纯虚数的概念即可得结果。 【详解】

()()()()()()11212212125ai i a a i z i i +-++-=

=+-,由题意得1205a

+=,解得12

a =-,故选D.

【点睛】

本题考查复数的运算及复数的概念,属基础题。 4.A 【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和特定值依次排除即可得解. 【详解】

函数cos y x x =为奇函数,故排除B D 、,当x 取很小的正实数时,函数值大于零,故选A. 【点睛】

本题考查了函数的图象、奇偶性,属于基础题. 5.D 【解析】 【分析】

由三视图可知,该几何体为圆柱挖去1

6

其后的剩余部分,从而求体积可得解。 【详解】

由三视图可知,该几何体为圆柱挖去

1

6其后的剩余部分,该圆柱的底面半径为2,高为4.故其体积为圆柱体积的56,2

554016663

V R h πππ==?=.故选D.

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

【点睛】

本题考查空间想象力及计算能力,属于基础题. 6.D 【解析】 【分析】

设双曲线的方程为:()2

2

04

y x λλ-=≠,根据过点()1,3可求得双曲线的方程,进而可得

221

4

b a =,代入离心率公式即可求解。 【详解】

设双曲线的方程为:()2

2

04

y x λλ-=≠,因为过点()1,3,则914λ-=,即54λ=-.故双

曲线的方程为224155y x -=

,故221,4b e a ===

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

,故选D. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的求法,涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程,双曲线中a ,b ,c 的关系,属基础题。 7.C 【解析】 【分析】

先计算15个数中任意抽取3个数的基本事件个数,再计算满足勾股数的所有可能,代入公式,即可求解。 【详解】

从这15个数中随机抽取3个整数所有基本事件个数为3

15C ,其中为勾股数为

()()()()3,4,5,6,8,10,9,12,15,5,12,13共4个,故概率为31544

455

P C =

=,故选C. 【点睛】

本题考查古典概型的概率问题,属基础题。 8.C 【解析】 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ,由29T T =,可求得1a q ,的值,代入所求即可。 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ,由29T T =得761a =,故61a =,即5

11a q =.

又2121512a a a q ==,所以91512q =,故12q =,所以3

6312

832424096a T T a q ??===== ???

.

故选C. 【点睛】

本题考查等比数列的性质、等比数列的通项公式,考查计算化简的能力,属中档题。

9.A 【解析】 【分析】

根据BC AP λ=时的解析式,可求得()()12,1f e f e '==.根据偶函数的性质,可得

()()12,1f e f e '-=--=,代入点斜式的方程,即可求解。

【详解】

当BC AP λ=时,()()1x

f x x e +'=,故()()12,1f e f e '==.,由函数()f x 为偶函数,

所以()y f x =的图像关于y 轴对称,故()()12,1f e f e '-=--=,所求切线方程为:

()21y e e x -=-+,即20ex y e ++=.故选A.

【点睛】

本题考查函数的奇偶性,导数的几何意义,属中档题 10.C 【解析】 【分析】

因为1(2)n n n a S S n -=-≥,结合题中条件,可得()11

2,2

n n S n S -=-≥+代入数据,对选项

逐一判断即可。 【详解】

因为1(2)n n n a S S n -=-≥,代入()122n n n

S a n S +

+=≥得()112,2n n S n S -=-≥+

123234,,345S S S =-=-=-,故123111

1,1,1,345

S S S +=+=+= 所以1n S +不是等差数

列,故A 错误; 同理1513S -=-

,2714S -=-,39

15

S -=-,所以1n S -不是等差数列,故B 错误; 11315S =--,21417S =--,31519S =--,所以1

1

n S -不是等差数列,故D 错误 123111

3,4,5111

S S S ===+++,故选C.

【点睛】

本题考查数列的递推关系,利用1(2)n n n a S S n -=-≥来求解,考查计算推理的能力,属中档题。 11.A 【解析】 【分析】

先判断m ,n 的正负,即可得0mn <;计算

11

m n

+0.6log 1.21=<,化简可得m n mn +>,再通过作差法比较m n -,m n +的大小,即可得结果。 【详解】

0.30.3log 0.6log 10,m =>= 2211

log 0.6log 10,22

n =

<= 0mn < 0.60.611

log 0.3log 4m n +=+ 0.60.6log 1.2log 0.61=<=,即1m n mn

+<,故m n mn +>. 又()()20m n m n n --+=->,所以m n m n ->+. 故m n m n mn ->+>,所以选A. 【点睛】

本题考查利用作差法、作商法比较大小,考查对数的化简与计算,考查分析计算,化简求值的能力,属中档题。 12.C 【解析】 【分析】

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

因为()f x 过点0,,2A ?? ? ???

结合?的范围,可得4π?=或34π。当4π?=时,对ω进行赋值,通过图像检验是否满足题意,同理当34

π

?=时,进行赋值检验,即可得结果。 【详解】

由已知得sin ,02

??π=

<<,所以4π?=或

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

34π. 当4π

?=

时,sin 04

4ππω??+= ???,所以()

*

14,k k N ω=-+∈.

若=3ω时,()sin 34f x x π?

?=+ ??

?在0,4π?? ???有一个极大值点,不符合题意;

若7ω=时,()sin 74f x x π??

=+ ??

?

在0,

4π??

???

内极大值点为28π,小于极小值点528π,符合题意; 当34πω=

时,3sin 04

πω??+=

???

,所以()

*

34,k k N ω=-+∈. 若5ω=时,()3sin 54

f x x π??=+

??

?在04π??

???

,有一个极小值点,不符合题意; 若=9ω时,()3sin 94f x x π??=+ ??

?在0,4π?? ???极小值点12π

和极大值点

736π,不符合题意. 综上所述:应选C. 【点睛】

本题考查正弦型函数的图像与性质,需结合图像,对ω进行检验,考查分析推理,计算求解的能力,属中档题。 13

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

【解析】 【分析】

由()

a a

b ⊥-得1

4

a b ?=,结合条件,即可求出2a b +,a 的值,代入求夹角公式,即可求解。 【详解】

由()

a a

b ⊥-得221

,24434

a b a b a a b b ?=

+=+?+= a 与2a b +的夹角的余弦值为(

)2

223

cos<,2>=222a a b a

a b a a b a a b

a a b

?++?+=

=++. 【点睛】

本题考查数量积的定义,公式的应用,求夹角公式的应用,计算量较大,属基础题。 14.5 【解析】

【分析】

画出不等式满足的平面区域,结合直线斜率可得答案。 【详解】

不等式满足的平面区域如图阴影部分,

其中()()1,3,2,2A B ,当动直线2y x z =-+过点A 时,min 5z =.

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

故答案为5. 【点睛】

本题考查线性规划,属于基础题。 15.150 【解析】 【分析】

根据人数先进行分组,有3,1,1或2,2,1两种情况,求出每一种的情况数目,结合分步计数原理,即可求解, 【详解】

当一个社区3人其他社区各有1人时,方案有33

5360C A =(种);当一个社区1人其他社区

各2人时,方案有122

3

54232

2

90C C C A A ?=(种),故不同的分配方案共有150种. 【点睛】

本题考查排列组合的应用,结合条件先分组,再分配,属基础题。

16.

3

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

【解析】 【分析】

由题意可得,当平面POB α⊥,且OP PB ⊥时,直线PB 与α平面所成的角θ最大,根

据三角形的性质,即可求解。 【详解】

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

当平面POB α⊥,且OP PB ⊥时,直线PB 与α平面所成的角θ最大,此时6

π

θ=

,所

以3

3=θtan . 【点睛】

本题考查空间中线面角的问题,考查空间想象能力,属基础题。

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

17.(1)π;(2)4+【解析】 【分析】

(1)由向量的数量积公式、二倍角公式、辅助角公式,化简可得()1

sin 262

f x x π?

?=++ ??

?,代入公式即可求得最小正周期。 (2)由()1f A =,可得3

A π

=,结合正弦、余弦定理,可求得b ,c 的值,即可求解周长。

【详解】

解:(1)()2

cos cos f x x x x =+ 11sin2cos2222

x x =

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

++ ()1sin 262f x x π?

?=++ ??

?

所以()f x 的最小正周期22

T π

π==. (2)由题意可得1sin 262A π??

+= ??

?,又0A π<<,所以132666

A πππ<+<, 所以52=

6

6

A π

π+

,故3A π

=.

设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,则2222cos a b c bc A =+-.

所以2227a b c bc =+-=,又sin 3sin B C =,所以3b c = 故222793c c c =+-,解得1c =.

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

所以3,b ABC =?的周长为4+【点睛】

本题考查正余弦定理、辅助角公式的应用,三角函数的图像与性质,考查计算化简的能力,属基础题。

18.(1)详见解析;(2)5

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

-【解析】 【分析】

(1)取,AC A C '

'的中点,O F ,连接OF 与C A '交于点E ,连接,,DE OB B F ',根据题意可证四边形BB FO '是平行四边形,即//DE OB .根据侧面ACC A ''⊥底面ABC ,可得

OB ⊥平面ACC A '',根据面面垂直的判定定理,即可得证。

(2)分别以,,OB OC OA '分别为,,x y z 轴正方向建系,求出各点坐标及平面BCC B ''和平面ABC 的法向量,利用面面角的公式求解即可。 【详解】

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

解:(1)取,AC A C ''的中点,O F ,连接OF 与C A '交于点E ,连接,,DE OB B F '. 则E 为OF 的中点, 因为三棱柱ABC A B C '''-,

所以////OF AA BB '',且OF AA BB ''==, 所以四边形BB FO '是平行四边形. 又D 是棱BB '的中点,所以//DE OB .

因为侧面AA C C ''⊥底面ABC ,且OB AC ⊥, 所以OB ⊥平面ACC A '' 所以DE ⊥平面ACC A '' 又DE ì平面DA C ', 所以平面DA C '⊥平面ACC A ''

(2)连接A O ',因为60A AC '∠=,所以A AC '?是等边三角形,故A O '⊥底面ABC 。 设2AB BC CA AA '====

,可得A O OB '==

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

分别以,,OB OC OA '分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系, 则(

))(

)(0,1,0,,0,1,0,A B

C A '-

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

(

)(3,1,0,BC BB AA =-=''=

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

设平面BCC B ''的一个法向量为(),,m x y z = 则0,0m BC m BB ?'=?

=

所以30,0,

x y y ?-

+=??=??,取1,1x y z ===-

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

所以()

1,3,1m =-

又平面ABC

的一个法向量为()0,0,1n =

故cos<,m n >=

=

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

因为二面角A BC B '--为钝角,所以其余弦值为【点睛】

本题考查面面垂直的证明,二面角的向量求法,考查学生的逻辑思维和空间想象能力,属中档题。

19.(1)平均数31,方差12.28;(2)该批优质棉花合格. 【解析】 【分析】

(1)将数据代入公式,即可求解。

(2)①根据正态分布的性质及条件,即可求解; ②2312 3.50423.992μσ-=-?≈,分析表中数据可得

()()223.9921P Y P Y μσ>-=>=>0.97715,满足条件,即可做出判断。

【详解】 解:(1)1

(4249261628100

x =

?+?+?2430183214341036+?+?+?+? 538)31+?= 22221

s (4795163241100

=

?+?+?+?22218114310557)12.28+?+?+?+?=

(2)棉花的纤维长度(

)2

~,X N μσ

,其中31, 3.504μσ=≈

≈,

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

①利用正态分布,则()()1

2110.95432

P X μσ>-=-

- 0.97715= ②2312 3.50423.992μσ-=-?≈,故()()223.9921P Y P Y μσ>-=>=>0.97715 故满足条件,所以认为该批优质棉花合格. 【点睛】

本题考查正态分布中3δ原则及其简单的应用、平均值,方差的计算,考查分析推理,计算化简的能力,属中档题。

20.(1)22

4x y +=;(2)详见解析.

【解析】 【分析】

(1)设动点P 的坐标为(),x y ,由已知条件根据两点间距离公式计算可得答案;(2)设点M 的坐标为()1,m ,根据条件表示出直线MA 方程并与2

2

4x y +=联立由韦达定理表示D 坐

标,同理可表示E 坐标,通过计算QD 和QE 的斜率从而得证. 【详解】

解:(1)设动点P 的坐标为(),x y

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

由已知得2PM PF ==化简得:2

2

4x y +=,故曲线C 的方程为2

2

4x y +=

(2)由(1)可得()()2,0.2,0A B -,设点M 的坐标为()1,m

山西省2019届高三高考考前适应性训练(三)理科数学试题-3a1feb037dce4652ac53247d27fad5be

直线MA 的方程为:()23

m

y x =+ 将()23

m

y x =

+与224x y +=联立消去y 整理得: ()2

222944360m

x m x m +++-=

设点D 的坐标为(),D D x y ,则22436

29

D m x m --=+

故2

2

1829

D m x m -=+,则()212239D D m m y x m =+=+, 直线MB 的方程为()2y m x =--

将()2y m x =--与2

2

4x y +=联立消去y 整理得:

()2

22214440m

x m x m +-+-=

设点E 的坐标为(),E E x y ,则2244

21

E m x m -=+

故22

22

1

E m x m -=+,则()22243E E m y m x m =--+ QD 的斜率为()122

12418241D D y m k x m m =

=---+223m m =-+; QE 的斜率为()222442241E E y m k x m m =

=---+223

m m =-+

.

因为直线,QD QE 都过点Q ,所以,,Q D E 三点共线. 【点睛】

本题考查了轨迹的求法,韦达定理和利用斜率证明三点共线,考查计算能力,属于中档题。 21.(1)详见解析;(2)[1,)+∞. 【解析】 【分析】

(1)对函数求导,对m 分类讨论即可得出单调性。 (2)原式等价于当BC AP λ=时,()2

1ln 102

x mx x +--

≤.令()()21

ln 12

g x x mx x =+--()0x 3,求导,可得()g x 的单调区间,结合x 的范围及()

g x 的单调区间,即可求解 【详解】

解:(1)函数()f x 的定义域为()1,-+∞

()1111

mx m

f x m x x -+-'=

-=

++ 当0m ≤时,()1

0,1

f x m x =

->+'()f x 在()1,-+∞上单调递增; 当0m >时,令()0f x '=,得1

1x m =-+

若()()11,1,0,x f x f x m ??

'∈--+

> ???

单调递增; 若()()11,,0,x f x f x m ??

'∈-+

+∞< ???

单调递减; 综上:当0m ≤时,()f x 在()1,-+∞上单调递增;

当0m >时,()f x 在11,1m ??--+ ???上单调递增,在11,m ??

-++∞

???

上单调递减. (2)当B C A P

λ=时,()212

f x x ≤

等价于:当BC AP λ=时,()21ln 102x mx x +--≤.

令()()()2

1ln 102

g x x mx x x =+--

≥, ()11g x m x x '=--+ ()2111

x m x m

x --++-=+