初中九年级下册数学试卷
初中九年级下册数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知cosA ＞，则锐角∠A的取值范围是（）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜90° C ．0°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°
2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，D是AC上一点．
若tan∠DBA=，则AD长为（）A．2 B． C． D．1
3．函数y=kx2-k和在同一直角坐标系中图象可能是图中（）
A．B．C．D．
4．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；
④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
5．要得到y=﹣2（x+2）2﹣3的图象，需将抛物线y=﹣2x2作如下平移（）
A．向右平移2个单位,再向上平移3个单位 B．向右平移2个单位,再向下平移3个单位
C．向左平移2个单位,再向上平移3个单位 D．向左平移2个单位,再向下平移3个单位
6．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE ∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为（）
A．B．C．1 D．2
7．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC=33°，则∠A等于（）
A．33°B．57°C．67°D．66°
4题图6题图7题图9题图
8．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（）A．在⊙P内B．在⊙P上C．在⊙P外D．无法确定
9．如图，BC为半圆O的直径，D为半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，作BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E，已知BC=10，AD=4，若直线CE与以点O为圆心，r为半径的圆相切，则r等于（）A．2 B．C．3 D．
10．已知抛物线y=x2+bx+c的系数满足2b﹣c=5，则这条抛物线一定经过点（）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）二．填空题（共8小题）11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，cosB=，则AC长为．
12．在△ABC中，（2sinA﹣1）2+=0，则△ABC的形状为．
13．如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0④ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；
⑤8a+c＞0．其中正确的命题是．
14．如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是．
15．抛物线y=x2+1与双曲线y=交点A横坐标为1，则不等式
＞0解集为．
13题图14题图15题图
16．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．17．已知：如图，⊙C与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，⊙C 的半径为3，则圆心C的坐标为．
18．如图A是半圆上一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点．已知⊙O半径为1，求AP+BP的最小值．
16题图17题图18题图
三．解答题（共12小题）
19．（1）计算：cos45°?tan45°+
?tan30°﹣2cos60°?sin45°．
（2）化简求值：ab
a b a ab a b ab a +-÷-+-22222，期中a=cos30°，b=tan60°
20．已知：二次函数y=x 2+bx ﹣3的图象经过点A （2，5）．（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标；
（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x ﹣h ）2+k 的形式．
21．如图，二次函数的图象与x 轴相交于A （﹣3，0）、B （1，0）两点，与y 轴相交于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．
（1）求D 点坐标；（2）求二次函数的解析式；
（3）根据图象直接写出使一次函数值小于二次函数值的x的取值范围．
22．某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）（2）商店若获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元应进货多少个
（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元获得的最大利润是多少
23．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（﹣4，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存，请说明理由．
24．如图，某一水库水坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD=5米，斜坡AD=16米，坝高6米，斜坡BC的坡度i=1：3，求斜坡AD的坡角∠A（精确到1分）和坝底宽AB（精确到米）．
25．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C岛，
乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，问乙船的速度是每小时多少海里
26．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB=60°，解答下列各题：
（1）求线段AB的长及⊙C的半径；（2）求B点坐标及圆心C的坐标．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．
28．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．
29．如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；（2）作DH⊥BC交BC的延长线于点H，连接CD，试判断线段AE与线段CH的数量关系，并说明理由．（3）若BC=4，AB=6，试求AE的长．
30．如图，AB为⊙O的直径，射线AP交⊙O于C点，∠PCO的平分线交⊙O于D点，过点D作DE⊥AP交AP于E点．
（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=3，AC=8，求直径AB的长．
参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）
1．解：∵cos60°=，余弦函数随角增大而减小，∴0°＜∠A＜60°．故选C．
2．解：如图作DE⊥AB于E．∵CA=C B，∠C=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠A=∠ADE=45°，∴AE=DE，设AE=DE=x，∵tan∠DBA=，∴BE=5x，∵AC=3，∴AB=3，∴x+5x=3，∴x=/2，∴AD=AE=1．故选D．3．解由解析式y=kx2﹣k可得：抛物线对称轴x=0；A、当k＜0时，物线开口方向向下、双曲线的两支分别位于二、四象限、抛物线与y 轴交点为在y轴的正半轴上；本图象符合题意，正确；B、当k＞0时，物线开口方向向上、双曲线的两支分别位于一、三象限；当k＞0抛物线会与y轴的交点为在y轴的负半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误；C、当k＜0时，物线开口方向向下、双曲线的两支分别位于二、四象限；当k＜0抛物线会与y轴的交点为在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误；D、当k＞0时，双曲线的两支分别位于一、三象限而物线开口方向应该向上，本图象与k的取值相矛盾，错误．故选A．
4．解：∵抛物线开口向上,∴a＞0,∵抛物线对称轴为直线x=-=-1,∴b=2a＞0,则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴
下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c ＞0，所以③错误；∵点（-5，y1）离对称轴要比点（，y2）离对称轴要远，∴y1＞y2，所以④错误．故选A．
5．解：抛物线y=﹣2x2顶点坐标为(0，0)，而抛物线y=-2(x+2)2-3的顶点坐标为(-2，-3)，因为点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点(-2，-3)，所以把抛物线抛物线y=-2x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y=-2(x+2)2-3．故选D．
6．解：∵OD⊥AC，AC=2，∴AD=CD=1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO=∠OFE=90°，∵OE∥AC，∴∠DOE=∠ADO=90°，∴∠DAO+∠DOA=90°，∠DOA+∠EF=90°，∴∠DAO=∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE，∴OF=AD=1，故选C．
7．解：连结CD，∵BD是⊙O直径，∴∠BCD=90°，而∠DBC=33°，∴∠D=57°，∴∠A=∠D=57°故选B
8．解：∵圆心P坐标为(5，12 )，∴OP==13，∴OP=r，∴原点O在⊙P上．故选B．
9．解：连接OD，与EC交于F点，∵AD为圆O的切线，∴OD⊥AD，∵BC为圆O的直径，∴∠BEC=90°，又BA⊥AD，∴∠A=90°，∴∠BEC=∠A=90°，∴EC∥AD，∴OD⊥EC，∴F为EC的中点，即EF=FC，
∵∠A=∠AEF=∠ADF=90°，∴四边形AEFD为矩形，∴EF=AD=4，∴EC=2EF=8，在Rt△BEC中，BC=10，EC=8，根据勾股定理得：BE=6，∵F为EF的中点，O为BC的中点，∴OF为△EBC的中位线，∴OF==3，则r的值为3．故选C
10．解：由2b﹣c=5，得c=2b﹣5，∴y=x2+bx+c=x2+bx+2b﹣5=x2+（x+2 ）b﹣5故当x+2=0，即x=﹣2时，y=﹣1，抛物线一定经过点（﹣2，﹣1）．故选B．
二．填空题（共8小题）11．解：∵AB=10，cosB=，∴BC=10×=8，∴AC==6，故答案为：6．
12．解：∵（2sinA﹣1）2+=0，∴2sinA﹣1=0，cosB﹣=0，∴sinA=，∠A=30°；cosB=，∠B=60°．∴∠C=90°．∴△ABC 是直角三角形．
13．解：①根据抛物线是开口方向向上可以判定a＞0；∵对称轴x=﹣b/25=﹣1，∴b=2a＞0；∵该抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0；故本选项正确；②由①知，b=2a；故本选项错误；③∵该抛物线与x轴交于点（1，0），∴x=1满足该抛物线方程，∴a+b+c=0；故本选项正确；④设该抛物线与x轴交于点（x，0）），则由对称轴x=﹣1，得(x+1)/2=﹣1，解得，x=-3；∴ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；故本选项正确；⑤根据图示知，当x=-4时，y＞0，∴16a﹣4b+c
＞0，由①知，b=2a，∴8a+c＞0；故本选项正确；综合①②③④⑤，上述正确的①③④⑤；故答案是：①③④⑤．
14．解：∵由图可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为(-3,0)，对称轴为直线x=-1，∴设抛物线与x轴的另一交点为(x,0)，则(-3+x)/2=-1，解得x=1，∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-3，x2=1．故答案为：x1=-3，x2=1．
15．解：由k/x﹣x2﹣1＞0得，k/x＞x2+1，故不等式的解集是0＜x ＜1．故答案为：0＜x＜1．
16．解：根据切线长定理得AD=AE，BC=BE，所以梯形周长是5×2+4=14，故答案为：14．
17．解：过C点作CD⊥AB于D点，连AC，如图，AD=BD，∵A（1，0）、B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴AD=2，而⊙C的半径为3，即AC=3，在Rt△ACD中，CD===，而OD=1+2=3，所以圆心C 的坐标为（3，）．故答案为（3，）．
18．解：作点B关于MN对称点E,连接AE交MN于点P此时PA+PB最小,且等于AE.作直径AC,连接CE,OE，又∵B 是中点，∴===，又∵A是半圆三等份点，∴∠AOM=60°，∠MOE=∠AOM=30°，∴∠AOE=90°，∴∠CAE=45°，又∵AC为圆的直径，∴∠AEC=90°，∴∠C=∠CAE=45°，∴CE=AE=AC=，即AP+BP的最小值是．故答案为：．
三．解答题19．（1）解：原式=×1+×﹣2××=+1﹣=1．（2）原式=a+b当a=3/2,b=3时,原式=33/3
20．解：（1）∵二次函的图象经过点A(2,5)，∴4a+2b-3=5，解得b=2，∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3；
（2）令y=0，则x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为(-3,0)和(1,0)；
（3）y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．
21．解：（1）∵抛物线的对称轴是x=﹣1，而C、D关于直线x=﹣1对称，∴D（﹣2，3）；
（2）设该抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0），把C(0，3)代入，得3=a(0+3)(0﹣1)，解得 a=﹣1，所以该抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3，即y=-x2-2x+3；（3）根据图象知，一次函数值小于二次函数值的x的取值范围是-2＜x＜1．
22．解：由题意得：（1）50+x-40=x+10（元）（2）设每个定价增加x 元．列出方程为：(x+10)(400-10x)=6000解得：x1=10 x2=20要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个．（3）设每个定价
（400﹣10x）=﹣10x2+300x+4000=增加x元，获得利润为y元．y=（x+10）
﹣10（x﹣15）2+6250当x=15时，y有最大值为6250．所以每个定价为65元时得最大利润，可获得的最大利润是6250元．
23．解：（1）将A(2,0），B(﹣4,0)代入得：，解得：，抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+8；
（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为：y=kx+d，将点B（﹣4，0）、C（0，8）代入得：，解得：，故直线BC解析式为：y=2x+8，直线BC与抛物线对称轴 x=﹣1的交点为Q，此时△QAC周长最小．解方程组得，，则点Q（﹣1，6）即为所求；
（3）如图2，过点P作PE⊥x轴于点E，P点（x，﹣x2﹣2x+8）（﹣4＜x＜0），∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣16，若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大。∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=?PE+(PE+
OC)=(x+4)(-x2-2x+8)+(-x)(-x2-2x+8+8)=﹣2(x+2)2+24，当x=-2时，S四边形BPCO最大值=24，∴S△BPC最大=24-16=8，当x=﹣2时，﹣x2﹣2x+8=8，∴点P的坐标为（﹣2，8）．
24．解：作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，则ED=CF=6，因为BC坡度i=1：3，∴BF=18，∵AD=16，∴AE=≈，∴AB=AE+BF+CD ≈米，∵sinA=6÷16=，∴∠A=22°1′．
25．解：∵甲速度是12海里/时，时间是2小时，∴AC=24海里．∵∠EAC=35°，∠FAB=55°，∴∠CAB=90°．∵BC=40海里,∴AB=32海里．∵乙船也用2小时，∴乙船速度16海里/时．
26．解(1)连接AB,∵∠ODB=∠OAB,∠ODB=60°,∴∠OAB=60°,∵∠AOB是直角,∴AB是
⊙C直径,∠OBA=30°,∴AB=2OA=4,∴⊙C的半径r=2；（2）在Rt△OAB 中,由勾股定理得
OB2+OA2=AB2,∴OB=，∴B坐标为：(,0)过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂径定理得：OE=AE=1，OF=BF=，∴CE=，CF=1，∴C的坐标为（，1）．
27．解（1）证明连接OE,∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB,∵∠ACB=90°,∴∠CBE+∠BEC=90°，
∵BD为⊙O的直径，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE，
∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，即OE⊥AC，∴AC 为⊙O的切线；
（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴，∵，∴，∴，
∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴．
28．（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．
∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．
∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC﹣EC=1．
29．解：（1）如右图所示，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，即∠MAB=90°，∴MN是半圆的切线；
（2）AE=CH，理由如下：连接AD，∵D是中点，∴AD=CD，∠HBD=∠ABD，
∵DE⊥AB，DH⊥BC，∴AD=DC，且∠AED=∠DHC，在Rt△ADE和Rt△CDH中，
，∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），∴AE=CH；
（3）由（2）知DH=DE，∠DHB=∠DEB=90°，在△RtDBH和Rt△DBE 中，
，∴△RtDBH≌Rt△DBE（HL），∴BE=BH，∴BA﹣AE=BC+CH，且AE=CH，
∴BA﹣AE=BC+AE，又∵AB=6，BC=4，∴6﹣AE=4+AE，∴AE=1．
30．（1）证明连接OD．∵OC=OD,∴∠1=∠3.∵CD平分∠PCO,∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．
∵DE⊥AP,∴∠2+∠EDC=90°.∴∠3+∠EDC=90°.即∠ODE=90°.∴OD⊥DE.∴DE为⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AP于F．由垂径定理得AF=CF.∵AC=8.∴AF=4.∵OD ⊥DE，DE⊥AP，
∴四边形ODEF为矩形.∴OF=DE.∵DE=3,∴OF=3.在Rt△AOF 中,OA2=OF2+AF2=42+32=25．
∴OA=5．∴AB=2OA=10．